学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（人教B版，范围：人教B版选择性必修第二、三册）

**基本信息** 立足人教B版选择性必修第二、三册，以文创设计、旅游支出等现实情境为载体，融合数列、导数、概率统计等核心知识，考查数学抽象、数据观念与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|线性回归、等比数列、概率计算|基础概念辨析，如残差分析与决定系数| |多选|3/18|二项式定理、概率性质、数列单调性|多维度知识整合，如独立性检验与正态分布| |填空|3/15|独立事件概率、数列求和、事件相关系数|情境化问题设计，如种子发芽率计算| |解答|5/77|导数应用、正态分布、数列证明、新定义探究|分层综合考查，如旅游支出统计分析（数据观念）、对称等差数列新定义（创新意识）|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二、三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 2．已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，且，.在数列的每相邻两项、之间依次插入、、……、，得到数列：、、、、、、、、、、……，的前22项和为（   ） A．34 B．36 C．37 D．39 7．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（     ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，则 B．已知随机变量，则 C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y独立 D．若随机变量，且，则 11．在正项数列中，，且对任意，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且是递增数列，则的取值范围为 D．若，则的最大值为32 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 13．在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为___________． 14．对于两个事件，若，则称为事件的相关系数．在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：玄武湖、梅花山、牛首山和银杏湖，每人只能去一个景点，若事件：梅花山景点至少有一人；事件：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人，则事件，的相关系数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值；(2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 16．（15分）一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 17．（15分）已知是公差为的等差数列，前项和为，且三项成等比数列，，数列的前项和为，且满足，，，数列的前项和为. (1)求数列和的通项公式；(2)求证：是等比数列；(3)求证：. 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 19．（17分）定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”. (1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式. (2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列； (3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A A B C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1），. 令，解得或. 2分 递增 极大值 递减 极小值 递增 5分 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 7分 （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 9分 当，，作出的大致图象如下： 11分 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 13分 16．【详解】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 1分 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． 4分 （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； 6分 （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 8分 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． 9分 （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 10分 则，，， ， 12分 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 14分 数学期望为： ． 15分 17．【详解】（1）等差数列中，， 1分 又三项成等比数列，则有，即， 因为，整理得， 2分 由可解得， 所以， 4分 又，所以， 两式相减得，所以， 又满足，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列，. 6分 （2），则有 ， 7分 两式相减得 ， 所以 9分 所以且 所以是等比数列得证. 11分 （3）因为是等差数列，，可求得， 所以， 12分 所以 ， 14分 因为， 所以得证. 15分 18．【详解】（1）当时，得到，则， ，则， 2分 所以切线方程为，即. 4分 （2）由题意得， 可得， 5分 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; 7分 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； 8分 ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； 10分 ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 故的单调增区间为；单调减区间为. 12分 （3）由题意得当时，恒成立， 等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 此时，所以恒成立. 14分 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 17分 19．【详解】（1）因为数列是“对称等差数列”， 所以对任意，， 可得，即， 则（为常数），故为等差数列， 2分 由，，得公差，则， 4分 且； 5分 （2）由数列是“对称等差数列”， 故对任意，， 则对任意，，即， 则成立，即， 所以（为常数）， 故是等差数列； 8分 由，即， 故同理可得是等差数列. 10分 （3）由数列是“对称等差数列”， 所以对任意，都有， 则对任意，，即， 所以， 13分 则数列是等差数列，且首项为，第项为， 由数列的前项和， 则有， 15分 可得， 故. 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二、三册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 2．已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，且，.在数列的每相邻两项、之间依次插入、、……、，得到数列：、、、、、、、、、、……，的前22项和为（   ） A．34 B．36 C．37 D．39 7．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（     ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，则 B．已知随机变量，则 C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y独立 D．若随机变量，且，则 11．在正项数列中，，且对任意，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且是递增数列，则的取值范围为 D．若，则的最大值为32 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 13．在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为___________． 14．对于两个事件，若，则称为事件的相关系数．在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：玄武湖、梅花山、牛首山和银杏湖，每人只能去一个景点，若事件：梅花山景点至少有一人；事件：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人，则事件，的相关系数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值；(2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 16．（15分）一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 17．（15分）已知是公差为的等差数列，前项和为，且三项成等比数列，，数列的前项和为，且满足，，，数列的前项和为. (1)求数列和的通项公式；(2)求证：是等比数列；(3)求证：. 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 19．（17分）定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”. (1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式. (2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列； (3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 【答案】C 【详解】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误； B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误； C选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，C正确； D选项，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误. 故选：C 2．已知数列是等比数列，满足，则数列的公比为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式可得： ，，代入已知等式： 等比数列中，两边约去得：，整理得， 又公比，因此. 3．某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意从9款设计稿中任选3款的试验有个基本事件， 被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有个基本事件， 所以所求概率为. 故选：A 4．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 5．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据概率的乘法公式， 得， 根据条件概率公式得， 可得， 由于每场比赛的结果相互独立， 所以甲队获胜的场数，从而． 故选：B． 6．已知数列的前n项和为，且，.在数列的每相邻两项、之间依次插入、、……、，得到数列：、、、、、、、、、、……，的前22项和为（   ） A．34 B．36 C．37 D．39 【答案】C 【详解】由题意有：当时，， 所以， 所以数列： 设，所以， 又，所以， 所以的前22项是由7个1与15个2组成． 所以的前22项的和为：， 故选：C. 7．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A选项，令，则原式等于，即，故A选项错误； 对于B选项，令，则原式等于，又因为， 故，故B选项正确； 对于C选项，， 则，， 故，则C选项正确. 对于D选项，令，则原式等于， 即，由B选项得，故D选项错误； 10．下列说法正确的是（   ） A．在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，则 B．已知随机变量，则 C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y独立 D．若随机变量，且，则 【答案】BD 【详解】对于选项A：因为A与B相互独立，则， 所以，故A错误； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 根据依据的独立性检验原则，可知分类变量X与Y相关，不独立，故C错误； 对于选项D：因为随机变量，且， 则，， 又因为，则， 即，解得，故D正确； 故选：BD. 11．在正项数列中，，且对任意，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且是递增数列，则的取值范围为 D．若，则的最大值为32 【答案】BD 【详解】对任意，令， 得，由，得， 因为，所以， 对任意，令， 得， 得， 所以数列为等比数列，且首项为，公比为2， 则，得， 则，故A项错误； ，故B项正确； 对于C项，若时，， 由是递增数列，得， 得， 得， 令， 则， 得数列为递增数列，最小值为， 故，故C项错误； 对于D项，若，得， 则， 得，当时，都有， 则的最大值为，故D项正确． 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【答案】 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 13．在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为___________． 【答案】 【详解】在正项数列中，， 所以数列是以、公差d为1的等差数列， 所以，即， 所以 ， 因为整数满足， 所以， 又，所以， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 14．对于两个事件，若，则称为事件的相关系数．在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现有四个可出游的景点：玄武湖、梅花山、牛首山和银杏湖，每人只能去一个景点，若事件：梅花山景点至少有一人；事件：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人，则事件，的相关系数为___________． 【答案】 【详解】事件：梅花山景点至少有一人，则事件：梅花山景点无人， 则，所以； 事件：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人， 所以， 所以． 事件：梅花山景点至少有一人，牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人， ， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【详解】（1），. 令，解得或. 2分 递增 极大值 递减 极小值 递增 5分 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 7分 （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 9分 当，，作出的大致图象如下： 11分 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 13分 16．（15分）一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【详解】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 1分 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． 4分 （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； 6分 （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 8分 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． 9分 （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 10分 则，，， ， 12分 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 14分 数学期望为： ． 15分 17．（15分）已知是公差为的等差数列，前项和为，且三项成等比数列，，数列的前项和为，且满足，，，数列的前项和为. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：是等比数列； (3)求证：. 【详解】（1）等差数列中，， 1分 又三项成等比数列，则有，即， 因为，整理得， 2分 由可解得， 所以， 4分 又，所以， 两式相减得，所以， 又满足，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列，. 6分 （2），则有 ， 7分 两式相减得 ， 所以 9分 所以且 所以是等比数列得证. 11分 （3）因为是等差数列，，可求得， 所以， 12分 所以 ， 14分 因为， 所以得证. 15分 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时，得到，则， ，则， 2分 所以切线方程为，即. 4分 （2）由题意得， 可得， 5分 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; 7分 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； 8分 ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； 10分 ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 故的单调增区间为；单调减区间为. 12分 （3）由题意得当时，恒成立， 等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 此时，所以恒成立. 14分 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 17分 19．（17分）定义：对于数列，若存在正整数，使得对任意都有，（约定时，），则称为“对称等差数列”. (1)已知数列是“对称等差数列”，且，，求，的值，并写出数列的一个通项公式. (2)若数列是“对称等差数列”，证明：与均是等差数列； (3)设数列是“对称等差数列”，且数列的前项和，求的解析式. 【详解】（1）因为数列是“对称等差数列”， 所以对任意，， 可得，即， 则（为常数），故为等差数列， 2分 由，，得公差，则， 4分 且； 5分 （2）由数列是“对称等差数列”， 故对任意，， 则对任意，，即， 则成立，即， 所以（为常数）， 故是等差数列； 8分 由，即， 故同理可得是等差数列. 10分 （3）由数列是“对称等差数列”， 所以对任意，都有， 则对任意，，即， 所以， 13分 则数列是等差数列，且首项为，第项为， 由数列的前项和， 则有， 15分 可得， 故. 17分 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $