精品解析：陕西西安市莲湖区名校联盟庆安初级中学等校2026年中考一模考试数学试卷

九年级数学冲刺（一） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最小的是（） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此即可解答． 【详解】解：在有理数中，负数小于零，正数大于零；且负数中，绝对值越大，数值越小， ， ， ∴. ∴最小的数是， 故选：A． 2. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的旋转，熟练平面图形与立体图体的关系是解题的关键，根据面动成体，图形绕直线旋转是圆锥即可得到答案． 【详解】解：由图可得，将三角形沿着虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 陕西生态条件多样，植物资源丰富、种类繁多，现有林地 公顷，森林覆盖率 ，主要分布在秦巴山区、关中、黄龙山和桥山．数据 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 4. 将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作 ， ∵， ∴ ， ∴，， 在等边三角形中，， ∴ ， ∴ ． 5. 若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. a为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于的不等式，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一次函数 ， ∵随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 又∵函数图象与轴交点在轴上方， 当时， ，交点在轴上方即， ∴， 解得 ． ∴ ． 6. 如图，在中，，分别为，边的中点，连接并延长至点，使得，连接，交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，利用中位线定理得出平行关系，进而构造相似三角形，通过线段比例求解的长． 【详解】解：，分别为，边的中点， 是的中位线， 平行于，， 平行于， ， ， 平行于， ， ， ， ， 即， ， ， ， 是中点， ， ， 得． 7. 已知二次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质，判断开口方向，对称轴位置，与轴交点，判别式，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数 的图象经过第一，第二，第四象限， 若开口向下，图象必然经过第三象限， ∴，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 又∵得， ∴，选项A错误； 当时，，即函数与轴交点为， 若图象只经过第一，第二，第四象限，则交点不在轴负半轴，即 ， ∴，选项C正确； ∵图象经过第四象限，说明二次函数与轴有两个不同交点， ∴判别式 ，选项D错误； 对于选项B，举反例：取，， ，二次函数 符合过第一，第二，第四象限的要求，此时 ，故B错误． 综上，答案选C． 第二部分（非选择题共99分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 8. 写出一个符合不等式的x的值______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，解不等式，得到，即，因此任意大于的数均符合要求，例如2． 【详解】解：， 两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得， 因此可取， 故答案为：2．（答案不唯一） 9. 如图，正八边形的边长为4，延长，交于点，则______． 【答案】 4 【解析】 【分析】利用正八边形的外角性质求出的两个底角，从而确定三角形的形状，用三角函数求出 ，再利用三角形面积公式求即可． 【详解】解：正八边形的外角度数为， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 10. 如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若A物体的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B物体的质量为_________克． 【答案】10． 【解析】 【分析】设B物体的质量为x克，由图可列方程，解方程即可． 【详解】解：设B物体的质量为x克， 由图可得， 解得，x=10. 所以B的质量为10克， 故答案是：10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是由天平得到方程． 11. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__． 【答案】80° 【解析】 【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2∠C=80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 12. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，时，反比例函数在每个象限内随的增大而减小，结合可得两点都在第一象限，横坐标均为正，且横坐标满足不等关系 ，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． ， 均为正数，两点都在第一象限，横坐标均为正数，且 ， 即 解不等式得， 解不等式 得， 因此的取值范围是． 13. 如图，在菱形中，E，F分别为，的中点，连接，．若，cm，则菱形的边长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质和中点得到线段关系，证得，进而得到，然后过点F作于点H，延长交的延长线于点G，在利用锐角三角函数的定义与勾股定理求得、的长，再通过证求得的长，最后通过设未知数表示相关线段，在中利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴cm， 如图，过点F作于点H，延长交的延长线于点G， 在中， ∵ ∴cm， cm， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴cm， ∴cm， 设菱形的边长为cm， 则cm，cm， 在中， ， 解得， ∴菱形的边长为cm． 三、解答题（共12小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题运用完全平方公式和单项式乘多项式法则将原式展开，合并同类项得到化简结果，再代入计算，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解．先分解分母，将分式方程化为整式方程求解，最后对根进行检验即可得到结果． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘得 展开得 解得 检验∶当时， 所以原方程的解为． 17. 如图，点在直线上，请用尺规作图法，作等腰直角三角形，使得点在直线上，点在直线外（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作直线的垂线，再以为圆心，任意长为半径画弧，分别交和直线的垂线于点，即可． 【详解】略 18. 如图，在与中，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 延安革命纪念馆新推出沉浸式红色研学项目——“红星问答局”，由馆内引导员向游客发起提问，带领游客重温革命岁月，体验延安精神．“红星问答局”的问题可分为A．革命诗词类，B．历史事件类，C．红色歌曲类，D．延安生活类．引导员从这四类中随机选题提问，每类问题被选中的可能性相同，且同一类问题可重复选取． （1）若小聪同学参加“红星问答局”，第一个问题被问到“C．红色歌曲类”的概率是______． （2）用画树状图或列表的方法，求小聪同学前两个问题均没有被问到“A．革命诗词类”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算． （1）直接利用概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可求解． （2）通过列表或画树状图列出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，共有4种等可能的选题结果，其中第一个问题选中C类的结果有1种. 因此第一个问题被问到C类的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由表可得，共有16种等可能的结果，其中前两个问题均没有被问到A类的结果有9种，因此前两个问题均没有被问到A类的概率为． 20. 法门寺合十舍利塔位于陕西省宝鸡市扶风县法门镇，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点．如图，为测量法门寺合十舍利塔的高度，某数学兴趣小组在附近一建筑物楼顶D处测得舍利塔顶端A处的仰角为，测得该塔底部B处的俯角为，已知建筑物的高为42米，请你计算法门寺合十舍利塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】147米 【解析】 【分析】过点D作于点E，构造出两个直角三角形和矩形，根据矩形的性质可得，然后在和中，利用锐角三角函数的定义分别求出、的长，最后进行计算可得的值． 【详解】解：如图：过点D作于点E， 由题意得四边形是矩形， ∴米， 在中， ∵， ∴ （米）， 在中， ∵， ∴（米）， ∴（米）． 答：法门寺合十舍利塔的高的值约为147米． 21. 小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用/元 电费/（元/千瓦时） 家用充电2800 （综合平均价） 公共充电0 （含服务费均价） （注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费） （1）请分别求出方案和方案的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与． （2）已知该款车百公里耗电15千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算． 【答案】（1） ， （2） 方案更合算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、有理数的混合运算： （1）根据“总费用安装费电费”得到方案的函数表达式，根据“总费用电费”得到方案的函数表达式； （2）先计算6年的总行驶里程，再计算6年的总充电量，直接带入函数中计算不同方案的费用，比较得出最划算的方案即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 方案的充电费用与充电量的函数关系式为： ， 方案的充电费用与充电量的函数关系式为： ． 【小问2详解】 解：6年的总行驶里程为： （公里）， 6年的总充电量为： （千瓦时）， 当时， 方案的总费用为： （元）， 方案的总费用为： （元）， ， 方案更合算． 22. 陕西菜作为中国西北地区极具影响力的风味菜系，其渊源可上溯至周秦汉唐，素有“千年古都，美食天堂”之美誉，其烹饪讲究“火功”与“用汤”，调味突出鲜香酸辣．西安某校举行了“家乡美食及烹饪常识”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩分别为，，，，，，，，，． 八年级名学生中，有名学生的竞赛成绩分别为，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出______，______． （2）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好？判断并说明理由（写出一条即可）． （3）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为和，请你估计在本次竞赛活动中，七、八年级成绩优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）， （2）八年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好；理由：八年级的竞赛成绩的中位数高于七年级的中位数 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据中位数、众数的意义即可求解． （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：七年级名学生的竞赛成绩中出现了3次，出现次数最多，则， 八年级名学生的竞赛成绩中，A组有人，B组有1人，C组有3人，且C组的竞赛成绩分别为，，． ∴第个和第个数分别为，． ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 答：估计在本次竞赛活动中，七、八年级成绩优秀（）的学生总人数为人． 23. 如图，为的外接圆，延长到点，使得，连接，且满足，连接并延长，与弧交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵连接并延长，与弧交于点， ∴为直径， ∴，则， ∴，即， 又∵为半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，以及同弧所对的圆周角相等，等量代换得出，结合直径所对的圆周角是直角得出，即，即可得证； （2）设交于点，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，得出，进而求得的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，设交于点，过点作于点 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴是的中点， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴的半径长为 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为，与轴交于，两点，其中点在点的左侧．连接，满足． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线进行平移，得到抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，当点在轴上，且满足四边形的面积为8时，求出抛物线到抛物线的平移方式． 【答案】（1） （2）平移方式为向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度，或向上平移2个单位长度，向左平移5个单位长度 【解析】 【分析】(1) 先配方求出抛物线顶点坐标，再解方程得到抛物线与轴交点、坐标，依托直角三角形正切定义列式算出参数，代入写出函数解析式； (2) 根据平移的性质判定，且，得到四边形为平行四边形，结合面积公式，分在左侧、右侧两类，对应得到抛物线平移方案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴抛物线的顶点的坐标为， 令，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， 过点作轴于点，连接，如图： ∴， ∴，， 在中， ∵， ∴， 解得：， 把代入中得： ， ∴抛物线的表达式为: ； 【小问2详解】 由（1）可知 ，， ∵抛物线平移后点在轴上，且与E是对应点， ∴点向上平移了2个单位长度， 又∵抛物线平移时，对应点的平移方式相同， ∴点也向上平移了2个单位长度， 此时轴，轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，由（1）知，且， ∴，即， 解得：， 当点在点右侧时，点的坐标为， ∴点到点的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴抛物线到抛物线的平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度； 当点在点左侧时，点的坐标为， ∴点到点的平移方式为向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴抛物线到抛物线的平移方式为向左平移5个单位长度，向上平移2个单位长度； 答：抛物线到抛物线的平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度或向左平移5个单位长度，向上平移2个单位长度． 25. 在“综合与实践”数学活动课上，小秦同学的课题为已知，为内部一点，将三角尺顶点与点重合，三角尺两条边所在直线分别与交于点，与交于点．通过转动三角尺探究如下问题： 问题提出 （1）当时， Ⅰ．如图①，连接，当为的平分线时，与的数量关系为______． Ⅱ．如图②，连接，当时，与的数量关系为______． 问题探究 （2）如图③，连接，，若 ，且当与所成的锐角夹角为时，求四边形的面积． 问题解决 （3）如图④，该同学先将点固定，使得，连接，并测得，将三角尺的角顶点与点重合，绕顶点旋转三角尺，再连接，分析的面积变化，请你根据该同学的操作方式探究的面积是否存在最小值？若存在，求出的最小面积；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；② （2） （3）存在最小值，的最小面积为 【解析】 【分析】（1）①作、，证四边形为矩形得，由同角的余角相等得 ，结合角平分线性质得，用证 ，即可得；②同①得 ，证 得，利用三角函数以表示、，求出，即可得 ； （2）作、 ，由与夹角得 ，将四边形面积拆为与面积和，代入计算即可； （3）作、，证四边形为矩形得，求为定值，将绕点顺时针旋转，并按放大，使与重合，得到，则，且在上，通过底高推导证明，将问题转化为求“定角、定高”的的最小面积，用定角定高模型作外接圆求最小值，得出面积最小值，即为最小面积． 【小问1详解】 解：①如图，过点作于，于， ∴ ， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； ②如图，过作于，于， ∴ ， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， 在中， ， 在中， ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，过点作 于，设与交于点， 由题意得 ， 在中， ， 在 中， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：存在最小值，的最小面积为； 如图，过点作于，于，过点作于， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在 中，，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ， 将绕点顺时针旋转，并按放大，使与重合，得到，则，， ∴，， 过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴求的最小值等价于求的最小值， 作 的外接圆，半径为，连接 、、，过作 于， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边的高， ∴ ， ∵点、均在直线同侧， ∴ （当且仅当在上时取等号）， ∵， ∴，解得 ， 即， 此时， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学冲刺（一） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共21分） 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最小的是（） A. B. C. 0 D. 2 2. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 陕西生态条件多样，植物资源丰富、种类繁多，现有林地 公顷，森林覆盖率 ，主要分布在秦巴山区、关中、黄龙山和桥山．数据 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. a为任意实数 6. 如图，在中，，分别为，边的中点，连接并延长至点，使得，连接，交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 已知二次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则下列选项中的结论正确的是( ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题共99分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 8. 写出一个符合不等式的x的值______． 9. 如图，正八边形的边长为4，延长，交于点，则______． 10. 如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若A物体的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B物体的质量为_________克． 11. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__． 12. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是______． 13. 如图，在菱形中，E，F分别为，的中点，连接，．若，cm，则菱形的边长为______cm． 三、解答题（共12小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解方程：． 17. 如图，点在直线上，请用尺规作图法，作等腰直角三角形，使得点在直线上，点在直线外（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，在与中，，，，求证：． 19. 延安革命纪念馆新推出沉浸式红色研学项目——“红星问答局”，由馆内引导员向游客发起提问，带领游客重温革命岁月，体验延安精神．“红星问答局”的问题可分为A．革命诗词类，B．历史事件类，C．红色歌曲类，D．延安生活类．引导员从这四类中随机选题提问，每类问题被选中的可能性相同，且同一类问题可重复选取． （1）若小聪同学参加“红星问答局”，第一个问题被问到“C．红色歌曲类”的概率是______． （2）用画树状图或列表的方法，求小聪同学前两个问题均没有被问到“A．革命诗词类”的概率． 20. 法门寺合十舍利塔位于陕西省宝鸡市扶风县法门镇，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点．如图，为测量法门寺合十舍利塔的高度，某数学兴趣小组在附近一建筑物楼顶D处测得舍利塔顶端A处的仰角为，测得该塔底部B处的俯角为，已知建筑物的高为42米，请你计算法门寺合十舍利塔的高度．（参考数据：，，） 21. 小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用/元 电费/（元/千瓦时） 家用充电2800 （综合平均价） 公共充电0 （含服务费均价） （注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费） （1）请分别求出方案和方案的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与． （2）已知该款车百公里耗电15千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算． 22. 陕西菜作为中国西北地区极具影响力的风味菜系，其渊源可上溯至周秦汉唐，素有“千年古都，美食天堂”之美誉，其烹饪讲究“火功”与“用汤”，调味突出鲜香酸辣．西安某校举行了“家乡美食及烹饪常识”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩分别为，，，，，，，，，． 八年级名学生中，有名学生的竞赛成绩分别为，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出______，______． （2）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好？判断并说明理由（写出一条即可）． （3）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为和，请你估计在本次竞赛活动中，七、八年级成绩优秀（）的学生总人数． 23. 如图，为的外接圆，延长到点，使得，连接，且满足，连接并延长，与弧交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为，与轴交于，两点，其中点在点的左侧．连接，满足． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线进行平移，得到抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，当点在轴上，且满足四边形的面积为8时，求出抛物线到抛物线的平移方式． 25. 在“综合与实践”数学活动课上，小秦同学的课题为已知，为内部一点，将三角尺顶点与点重合，三角尺两条边所在直线分别与交于点，与交于点．通过转动三角尺探究如下问题： 问题提出 （1）当时， Ⅰ．如图①，连接，当为的平分线时，与的数量关系为______． Ⅱ．如图②，连接，当时，与的数量关系为______． 问题探究 （2）如图③，连接，，若 ，且当与所成的锐角夹角为时，求四边形的面积． 问题解决 （3）如图④，该同学先将点固定，使得，连接，并测得，将三角尺的角顶点与点重合，绕顶点旋转三角尺，再连接，分析的面积变化，请你根据该同学的操作方式探究的面积是否存在最小值？若存在，求出的最小面积；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $