精品解析：2025年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷

2025年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算-3-5的结果是（ ） A. －8 B. 8 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，计算选出正确答案． 【详解】解：-3-5=-3+(-5)=-(3+5)=-8． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键． 2. 将如图所示的图形绕直线旋转一周，得到立体图形的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平面图形和立体图形之间的关系，立体图形的三视图，根据面动成体，即可解答，熟知从正面的图形叫主视图是解题的关键． 【详解】解：将如图所示的图形绕直线旋转一周，得到立体图形的主视图为， 故选：C． 3. 一元一次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式的步骤即可得出答案． 【详解】解： 故选B． 4. 如图，，平分，交于点H．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的概念得到，即可得到的值，熟练利用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，， 平分， ， ， 故选：A． 5. 如图，在中，，D为的中点，于点E，若，则图中的等腰三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，是等腰三角形，再得出，进而可得出是等腰三角形． 【详解】解；∵在中，，D为的中点， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 综上：一共有3个等腰三三角形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等知识，准确找出等腰三角形是解题的关键． 6. 已知二元一次方程的一组解为，正比例函数经过点，则k的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，正比例函数的性质，根据二元一次方程的解可得出，进而得出， 把代入正比例函数即可得出k的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∵是正比例函数上的一点， ∴， ∴， 故选：B 7. 如图，正方形的边长为12，E为的中点，连接交于点F，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求角的正切值．证明得，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为12， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴． ∴． 故选A． 8. 已知抛物线经过点，且，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. C. 抛物线与轴有个交点 D. 若为抛物线上任意一点，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，顶点坐标的计算是解题的关键． 根据题意得到抛物线图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴越远，函数值越大，，函数的最小值为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线图象开口向上，对称轴直线为， ∵抛物线经过点，且， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∴， ∴对称轴直线， ∴A选项正确，不符合题意，B选项错误，符合题意； ∵， ∴抛物线与轴有个交点，故C选项正确，不符合题意； ∵，且抛物线开口向上， ∴函数的最小值为， ∴为抛物线上任意一点，则，正确，不符合题意； 故选：B ． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 分解因式：＝__________. 【答案】x(x-1) 【解析】 【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可． 【详解】解：=x（x-1）． 故答案为：x(x-1). 10. 如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了黄金数，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形的周长为，得到方程，即可求解． 【详解】解：由题意，设矩形长为x，则宽为， ∵矩形的周长为 ∴， 解得：， 故答案为：8． 11. 如图，A，B，C，D为上的点，，且于点E．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊四边形的判定和性质，圆的基本性质和勾股定理，连接、、和，过点O作于点F，过点O作于点H，则，，可判定四边形为矩形，有，，，，可得，则四边形为正方形，那么，，结合已知求得，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：连接、、和，过点O作于点F，过点O作于点H，如图， 则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ， ∴， ∴四边形为正方形， 则， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点，在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴上，轴，轴，为的中点．若的面积为8，则该反比例函数的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的应用，根据线段间的关系利用三角形面积找出关于的方程是解题的关键．设点，根据题意可推出，，，，然后表示出、的代数式，最后利用即可求得值，从而得到答案． 【详解】解：设点， 点在轴上，轴，轴，为的中点 点的横坐标为，， 点，在反比例函数 ， ，，的面积为8 该反比例函数的表达式为 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，平分，点E在边上，．若，则的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识．过点B作于点H，证明，则．设，得到在中，，求出，即可得到． 【详解】解：如图，过点B作于点H，则． ∵， ∴， ∴． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解：原式． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式进行化简，去括号，然后合并同类项，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，先去分母，再去括号，解一元一次方程即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得． 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，是此方程的根． 17. 如图，请用尺规作图法在的边的延长线上取一点M，使得．（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】 如图即为所求作的图形： 【解析】 【分析】本题主要考查角度作图，涉及作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法作即可． 【详解】略 18. 如图，在中，，，，垂足为F，且连接，．求证：． 【答案】 ， ． ， ， ， ． ，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 利用，，证出，利用，， 证出，即得． 【详解】略 19. 国家大力提倡绿色低碳出行，越来越多的人选择电动车出行．某车行销售的一款电动车每辆标价是3600元，在一次促销活动中，将这款电动车按标价的七折销售，仍可盈利，求每辆这款电动车的进价． 【答案】2100元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用实际标价减去成本等于盈利，即可解答，正确得到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每辆这款电动车的进价为x元． 由题意，得， 解得， 答：每辆这款电动车的进价为2100元． 20. 如图，两个标有数字的转盘分别被等分为四部分和三部分，它们可以分别绕中心旋转，旋转停止时，每个转盘上方的箭头各指着转盘上的一个数字． （1）转动转盘1，转出的数字为5的概率是_______． （2）同时转动两个转盘，请利用画树状图或列表的方法，求转出的两个数字的和为偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图的方法求概率，以及概率公式，解题的关键在于根据题意列出表格． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）先列表，根据表格中的情况数，找出箭头所指的两个数字的和为偶数的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：转动转盘1，转出的数字为5的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下． 由表格知，所有可能出现的结果有12种，且每一种结果出现的可能性相等． 转出的两个数字的和为偶数的结果有5种，分别为，，，，， ∴转出的两个数字的和为偶数的概率为 21. 某兴趣小组准备测量广告牌的宽度，广告牌支架垂直于地面．现在兴趣小组利用无人机和激光笔测量，无人机位于距地面米的位置上，无人机调整激光笔的角度．当激光笔发出的光线恰好经过广告牌顶端时，激光的光线落在地面点处，此时米；当激光笔的光线恰好经过广告牌底端时，激光的光线落在地面点处，此时米．已知广告牌底部距离地面米．求广告牌的宽度．（忽略光在空气中的折射，结果精确到米） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，能准确找到相似三角形是解题的关键．由题意可知为等腰直角三角形，可知，进而求出和,由相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质，列出等比关系，求解即可． 【详解】解：由题意，可得米，米，，， ∴为等腰直角三角形，． 在中，， ∴米， ∴米． ∵米， ∴米． ∵， ∴， ∴，即， 解得：米． ∵米， ∴米． 22. 汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 （1）请求出y关于x的函数关系式． （2）若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 【答案】（1） （2）车速应该限制在以内 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，解题时要能读懂题目，理解题意，正确进行计算是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意得出，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，可知y与x满足正比例函数关系，设y关于x的函数关系式为． 将，代入，得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，得，解得：， ∴车速应该限制在以内． 23. “表里山河，锦绣山西”．山西具有丰富的旅游资源暑期将至．我省将迎来旅游潮，为提升服务质量，某景点对讲解人员进行考核，成绩分别为7分、8分、9分、10分．如图，这是①号小组10名成员的考核成绩条形统计图和统计表． （1）根据以上信息： ， ，并将条形统计图补充完整． （2）若小组成员平均成绩低于8.3分，则小组成员需要进修学习，通过计算a的值，判断①号小组成员是否需要进修学习． （3）若该景区有100名讲解人员，根据①号小组成员的考核成绩，估计该景区讲解人员本次考核成绩在9分（包含9分）以上的人数． 【答案】（1）8.5；9，补全条形统计图如下： （2）①号小组成员不需要进修学习，理由如下： (分)． ， ①号小组成员不需要进修学习． （3）该景区讲解员本次考核成绩在9分（包含9分）以上的人数约为50人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数的概念以及样本估计总体． （1）考核成绩8分的有3人，最中间两个成绩是第5个、6个，分别是8分和9分，即可求得中位数；9分成绩出现的次数最多为4次，故得众数；最后可补充完整条形统计图； （2）计算出①号小组的平均数，与8.3分进行比较即可作出判断； （3）100与考核成绩在9分（包含9分）以上的人数的占比的积，即可得估算出人数． 【小问1详解】 解：考核成绩8分的有（人）， 把10人成绩按低到高排列，最中间两个成绩是第5个、6个，分别是8分和9分，其平均数（分），故；由统计图知，9分成绩出现的次数最多为4次，故得众数； 故答案为：8.5；9． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：(人)． 答：该景区讲解员本次考核成绩在9分(包含9分)以上的人数约为50人． 24. 如图，的顶点，在上，，与分别交于点，，为的直径，为的中点，连接，． （1）求的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等以及为的中点，可得到，再根据圆的内接四边形的性质可知，结合，即可得到答案； （2）过点作于点，可推出为等腰直角三角形，可求得，然后在中根据，设，则，利用勾股定理解得，从而得到． 【小问1详解】 解：如图，连接 为直径 为的中点 点，，，均在圆上 【小问2详解】 解：如图，过点作于点 由（1）可知， 为等腰直角三角形 在中， 可设，则 即 解得（负值已舍去） 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为3米（米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门．若以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）若安装的门的上端和窑洞相接，底边在x轴上，求门的面积． 【答案】（1） （2）4平方米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据题意得到顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则点，由对称性可得，，由此列式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：设点的坐标为，则点， 由对称性可得， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴米， ∴门的面积为4平方米． 26. 问题提出 （1）如图1，四边形为圆的内接四边形．已知，，则的弧长为________ 问题解决 （2）如图2，工人师傅需要对一块矩形的木板进行加工，已知这块矩形木板的长为10米，宽为6米．为满足加工需求，要在矩形木板内挖出一个直径为2米的圆形部件，并且这个圆形部件在木板内的位置需保证与矩形的两边，相切．在完成挖圆操作后，剩下的木板材料还需要进行二次利用，要求通过一条直线将挖掉圆形部件后的剩余木板面积平分，以便用于制作两个面积相等的小部件．已知该直线交于点M，与圆E交于点P，Q，且点P位于点Q的左侧，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设圆心为O，连接和，过点O作，则求得，和，进一步可求得，结合垂径定理得，可得，利用弧长公式即可求得答案； （2）连接，交于点O，连接，交于点M，结合矩形的性质可知直线平分剩余木板面积．过点E作于点F，作于点H．则，，根据题意得．延长交于点G，则，那么，四边形为矩形，求得，，和．过点O作，交于点N，则，．在中，，利用勾股定理求得，证明，则即可． 【详解】解：（1）设圆心为O，连接和，过点O作，如图， ∵，四边形为圆的内接四边形． ∴，解得， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的弧长为， 故答案为：； （2）如图，连接，交于点O，连接，交于点M，直线平分剩余木板面积． 过点E作于点F，作于点H． 则，， ∵圆E与，相切，矩形木板内挖出一个直径为2米的圆形部件， ∴． 延长交于点G，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． 过点O作，交于点N， ∵四边形为矩形， ∴点N为的中点， ∴， ∴． 在中，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧长公式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉特殊四边形的性质，并做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算-3-5的结果是（ ） A. －8 B. 8 C. 2 D. -2 2. 将如图所示的图形绕直线旋转一周，得到立体图形的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 一元一次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，平分，交于点H．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，D为的中点，于点E，若，则图中的等腰三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知二元一次方程的一组解为，正比例函数经过点，则k的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 如图，正方形的边长为12，E为的中点，连接交于点F，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过点，且，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. C. 抛物线与轴有个交点 D. 若为抛物线上任意一点，则 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 分解因式：＝__________. 10. 如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________． 11. 如图，A，B，C，D为上的点，，且于点E．若，，则的长为________． 12. 如图，点，在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴上，轴，轴，为的中点．若的面积为8，则该反比例函数的表达式为_______． 13. 如图，在四边形中，，平分，点E在边上，．若，则的面积为_____． 三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 解方程：． 17. 如图，请用尺规作图法在的边的延长线上取一点M，使得．（不写作图过程，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，，，，垂足为F，且连接，．求证：． 19. 国家大力提倡绿色低碳出行，越来越多的人选择电动车出行．某车行销售的一款电动车每辆标价是3600元，在一次促销活动中，将这款电动车按标价的七折销售，仍可盈利，求每辆这款电动车的进价． 20. 如图，两个标有数字的转盘分别被等分为四部分和三部分，它们可以分别绕中心旋转，旋转停止时，每个转盘上方的箭头各指着转盘上的一个数字． （1）转动转盘1，转出的数字为5的概率是_______． （2）同时转动两个转盘，请利用画树状图或列表的方法，求转出的两个数字的和为偶数的概率． 21. 某兴趣小组准备测量广告牌的宽度，广告牌支架垂直于地面．现在兴趣小组利用无人机和激光笔测量，无人机位于距地面米的位置上，无人机调整激光笔的角度．当激光笔发出的光线恰好经过广告牌顶端时，激光的光线落在地面点处，此时米；当激光笔的光线恰好经过广告牌底端时，激光的光线落在地面点处，此时米．已知广告牌底部距离地面米．求广告牌的宽度．（忽略光在空气中的折射，结果精确到米） 22. 汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 （1）请求出y关于x的函数关系式． （2）若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 23. “表里山河，锦绣山西”．山西具有丰富的旅游资源暑期将至．我省将迎来旅游潮，为提升服务质量，某景点对讲解人员进行考核，成绩分别为7分、8分、9分、10分．如图，这是①号小组10名成员的考核成绩条形统计图和统计表． （1）根据以上信息： ， ，并将条形统计图补充完整． （2）若小组成员平均成绩低于8.3分，则小组成员需要进修学习，通过计算a的值，判断①号小组成员是否需要进修学习． （3）若该景区有100名讲解人员，根据①号小组成员的考核成绩，估计该景区讲解人员本次考核成绩在9分（包含9分）以上的人数． 24. 如图，的顶点，在上，，与分别交于点，，为的直径，为的中点，连接，． （1）求的度数． （2）若，，求的长． 25. 陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为3米（米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门．若以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）若安装的门的上端和窑洞相接，底边在x轴上，求门的面积． 26. 问题提出 （1）如图1，四边形为圆的内接四边形．已知，，则的弧长为________ 问题解决 （2）如图2，工人师傅需要对一块矩形的木板进行加工，已知这块矩形木板的长为10米，宽为6米．为满足加工需求，要在矩形木板内挖出一个直径为2米的圆形部件，并且这个圆形部件在木板内的位置需保证与矩形的两边，相切．在完成挖圆操作后，剩下的木板材料还需要进行二次利用，要求通过一条直线将挖掉圆形部件后的剩余木板面积平分，以便用于制作两个面积相等的小部件．已知该直线交于点M，与圆E交于点P，Q，且点P位于点Q的左侧，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $