八年级数学下学期期末模拟卷02（新教材北师大版）

**基本信息** 立足北师大版七年级下册内容，以交通标志、测量距离等真实情境为载体，通过“豫数”定义、折叠变换综合题等设计，分层考查数学抽象、推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|多边形内角和、图形变换、不等式性质|第2题结合交通标志考中心对称，第7题“豫数”定义渗透创新意识| |填空题|6/18|二次根式、代数求值、一次函数平移|第15题规律探究体现数学思维，第16题折叠与等腰三角形结合空间观念| |解答题|9/72|几何证明、分式化简、应用题、综合实践|25题综合实践分“问题情境-探究-解决”三层，24题新定义运算考查推理能力，22题购物问题培养应用意识|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D D D A C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．2025 12．70 13． 14．30 15．（，且n取整数） 16．或或 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为．.............3分 解集在数轴上表示为： .............6分 18．（6分） 【详解】（1）解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质．.............2分 （2）解： ，.............6分 ∵ ∴， 把代入，得．.............6分 19．（6分） 【详解】（1）证明：∵E是边的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形．.............3分 （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴．.............6分 20．（6分） 【详解】（1）解：， ∴的结果是3的43倍；.............2分 （2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除．.............6分 21．（8分） 【详解】（1）解：如图所示，为所求；.............3分 （2）解：∵点的对应点，且， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求，.............6分 （3）解：如图，连接交于点， .............8分 则． 22．（8分） 【详解】（1）解：设购买一个B种学习用品需要元，则购买一个A种学习用品需要元． 根据题意列方程得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，符合题意． 此时． 答：购买一个A种学习用品需要25元，购买一个B种学习用品需要5元．.............3分 （2）解：设购买A种学习用品个，则购买B种学习用品个，总费用为元． 根据题意得不等式：， 解不等式得：． 总费用表达式为：． ， 随的增大而增大． 当取最大值时，取得最大值． 将代入得：（元）． 答：购买A种学习用品40个时，学校费用最多，最多费用是1800元．.............8分 23．（8分） 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分；.............4分 （2）解：∵，E是的中点， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长．.............8分 24．（12分） 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， 解得，；.............4分 ②解，即， 解得； 解，即， 解得； ∴不等式的解集为， ∵关于m的不等式组恰好有2个整数解， 即， ∴， 解得；.............8分 （2）解：∵对任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 展开得， 化简得， 再整理得， 由于上式对于任意实数x，y都成立， ∴， ∴．.............12分 25．（12分） 【详解】（1）如图所示， F为的中点， ，   ， 　，又， ， ，， ， ， 为直角三角形，．.............4分 （2）如图所示， 是由沿着翻折而成的，且F为的中点， ，， ， ， ， ，又， 四边形是平行四边形．.............8分 （3）如图所示，过点M作于， ，四边形为平行四边形， ，， 是由翻折形成，且， ，， ，在中 ，， 在， ， ， ．.............12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．36 B．72 C．108 D．144 2．学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分．下列交通标识中，不是轴对称图形但是是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 5．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 7．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 8．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 9．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．20 B．16 C．14 D．10 10．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．任写一个使二次根式有意义的x值______． 12．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 13．在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________． 14．如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 15．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 16．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组：，求不等式组的解集，并把它在数轴上表示出来． 18．下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ．…………第四步 (1)以上化简步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，1中选择一个合适的数代入求值． 19．如图，在四边形中，E是边的中点，交于点F，且满足，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，，求的长． 20．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 21．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 22．某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半． (1)求购买一个A种学习用品和购买一个B种学习用品分别需要多少元？ (2)若该学校准备买两种学习用品一共200个，若购买A种学习用品的数量不超过B种学习用品数量的，求购买A种学习用品多少个时，学校费用最多，最多费用是多少？ 23．如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 24．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 25．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明． 【独立思考】 （1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明． 【问题解决】 （3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．36 B．72 C．108 D．144 【答案】C 【分析】先利用边形内角和公式求出五边形的总内角和，再计算每个内角的度数即可． 【详解】解：∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形每个内角都相等， ∴． 2．学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分．下列交通标识中，不是轴对称图形但是是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3．已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，结合不等式的基本性质逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：A、不等式两边同乘，得，两边再同减，得，故本选项不等式错误； B、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故本选项不等式正确； C、不等式两边同减，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确； D、不等式两边同加，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确． 4．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 5．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理解题． 【详解】解：由题意知，点为的中点， ∴，故选项C不合题意； 为的中位线， ∴，且， ∴，故选项A和选项B不合题意； ∵点为的中点， ∴，无法得到，故选项D符合题意． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 7．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 【答案】A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 8．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据尺规作图利用证明，可得结论； ②利用①的过程可得结论； ③利用直角三角形的性质和角平分线的定义进行判断； ④利用等角对等边得出相等的边，然后根据线段垂直平分线的判定定理得出结论． 【详解】解：①如图所示，连接， 由尺规作图可知，，且， ∴， ∴， 即平分， 故①正确； ②由①可得作图依据是, 故②错误； ③∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④由③可得， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 9．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．20 B．16 C．14 D．10 【答案】B 【分析】先解不等式组结合无解得到的取值范围，再解分式方程结合非负数解得到的限制条件，找出所有符合条件的整数求和即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴，解得：； 将原分式方程化为， 方程两边同乘得， 整理得， ∵分式方程有非负数解， ∴，且，分母不为零，， 解得且； 综上所述，且， 为整数， ∴符合条件的为，则． 10．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．任写一个使二次根式有意义的x值______． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件. 得到被开方数是解题的关键． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故可取（答案不唯一，满足即可）． 12．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 【答案】70 【分析】首先根据长方形周长和面积的条件，推导得到与的值，对待求式进行因式分解，再将和的值代入分解后的式子，即可求出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴； 长方形面积为． 则． 13．在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________． 【答案】 【分析】先设出直线上点的坐标，根据坐标平移规律得到平移后点的坐标，再将点坐标代入直线解析式，整理即可得到与的关系． 【详解】解：设点的坐标为，因为点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据坐标平移规律，横坐标右移加，纵坐标下移减，可得点的坐标为， 因为点依然在直线上，将代入得：， 去括号得：， 移项整理得：． 14．如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 【答案】30 【分析】过点P作，延长交的延长线于点E，由平行四边形的性质可得，，可得，则，，再根据可得，然后根据平行四边形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点P作，延长交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积是30． 15．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 16．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 【答案】或或 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 【详解】∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组：，求不等式组的解集，并把它在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】分别解两个不等式，再取解集的公共部分，最后在数轴上规范表示． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： 18．下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ．…………第四步 (1)以上化简步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二；通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质 (2)， 【分析】（1）先理解题意，观察解题过程，发现从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时第二个分式的分子未乘，即可作答． （2）先理解题意，再通分，然后运算乘法化简，得，结合分式有意义，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察解题过程，得出从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时第二个分式的分子未乘，不符合分式的基本性质． （2）解： ， ∵ ∴， 把代入，得． 19．如图，在四边形中，E是边的中点，交于点F，且满足，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理证明，再结合即可证明结论； （2）由中位线定理可得，利用平行四边形的性质可得，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E是边的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 20．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 【答案】(1)43 (2) 见解析 【分析】（1）利用平方差公式法进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算后判断即可. 【详解】（1）解：， ∴的结果是3的43倍； （2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除． 21．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作图； （2）由点的对应点，得到平移方式，即可作图； （3）连接交于点，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：∵点的对应点，且， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， （3）解：如图，连接交于点， 则． 22．某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半． (1)求购买一个A种学习用品和购买一个B种学习用品分别需要多少元？ (2)若该学校准备买两种学习用品一共200个，若购买A种学习用品的数量不超过B种学习用品数量的，求购买A种学习用品多少个时，学校费用最多，最多费用是多少？ 【答案】(1)购买一个A种学习用品需要25元，购买一个B种学习用品需要5元． (2)购买A种学习用品40个时，学校费用最多，最多费用是1800元． 【分析】（1）根据单价差和数量关系，设未知数列分式方程求解，检验后即可得到结果； （2）根据购买数量的限制条件列不等式求出自变量的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出最大费用． 【详解】（1）解：设购买一个B种学习用品需要元，则购买一个A种学习用品需要元． 根据题意列方程得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，符合题意． 此时． 答：购买一个A种学习用品需要25元，购买一个B种学习用品需要5元． （2）解：设购买A种学习用品个，则购买B种学习用品个，总费用为元． 根据题意得不等式：， 解不等式得：． 总费用表达式为：． ， 随的增大而增大． 当取最大值时，取得最大值． 将代入得：（元）． 答：购买A种学习用品40个时，学校费用最多，最多费用是1800元． 23．如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵，E是的中点， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长． 24．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， 解得，； ②解，即， 解得； 解，即， 解得； ∴不等式的解集为， ∵关于m的不等式组恰好有2个整数解， 即， ∴， 解得； （2）解：∵对任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 展开得， 化简得， 再整理得， 由于上式对于任意实数x，y都成立， ∴， ∴． 25．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明． 【独立思考】 （1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明． 【问题解决】 （3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积． 【答案】（1），证明见解析； （2）四边形是平行四边形，证明见解析； （3） 【分析】（1）F为的中点，，，，可得，由此可证明，结合，可得．所以为直角三角形，，. （2） 是由沿着翻折而成的，且F为的中点，可得，，由此得到，证得，，又，故可得到是平行四边形． （3）要求的面积，只需求的面积，根据已知角，，可求得长和边上的高，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示， F为的中点， ，   ， 　，又， ， ，， ， ， 为直角三角形，． （2）如图所示， 是由沿着翻折而成的，且F为的中点， ，， ， ， ， ，又， 四边形是平行四边形． （3）如图所示，过点M作于， ，四边形为平行四边形， ，， 是由翻折形成，且， ，， ，在中 ，， 在， ， ， ． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．36 B．72 C．108 D．144 2．学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分．下列交通标识中，不是轴对称图形但是是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 5．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 7．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 8．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A．个 B．个 C．个 D．个 9．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．20 B．16 C．14 D．10 10．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．任写一个使二次根式有意义的x值______． 12．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 13．在平面直角坐标系中，把直线上的点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．若点依然在直线上，则与的关系是_________． 14．如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 15．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 16．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组：，求不等式组的解集，并把它在数轴上表示出来． 18．下面是小超同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ．…………第四步 (1)以上化简步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，并从，，1中选择一个合适的数代入求值． 19．如图，在四边形中，E是边的中点，交于点F，且满足，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，，求的长． 20．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 21．如图，的顶点坐标分别为． (1)以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； (2)将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 22．某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半． (1)求购买一个A种学习用品和购买一个B种学习用品分别需要多少元？ (2)若该学校准备买两种学习用品一共200个，若购买A种学习用品的数量不超过B种学习用品数量的，求购买A种学习用品多少个时，学校费用最多，最多费用是多少？ 23．如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 24．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 25．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明． 【独立思考】 （1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明． 【问题解决】 （3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $