广西壮族自治区柳州市柳江中学2025-2026学年高一下学期自主练习（5）数学试题

2028届高一（下）自主练习（5) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U={x∈Z|-4≤x<3},集合M={x∈U|2x+1≤-5}，则CwM=() A.{-2,-1} B.{-2,-1,0} C.{2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2} 2.已知复数z满足z+3i=V3-,则zz=() A.-5 B.11 C.13 D.5 3.设事件A,B是互斥事件，P(A)=0.3,P(B)=0.5,则下列说法错误的是() A.P(A=0.7 B.P(B)=P(B) C.P(A∩B)=0.15 D.P(AUB)=0.8 4.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：m):18, 19,20,20,21,21,22,23,23,24.估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数 为() A.21 B.22 C.22.5 D.23 5.如图，△OAB是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为() 3 4 64 B'文 A.4 B.6 C.8 D.12 6.已知心，为两条不同的直线，&，B为两个不同的平面，下列命题为假命题的是() A.若m⊥a,m⊥B,则&/1B B.若m⊥n,n⊥，则m/l C.若m⊥，mcB,则&⊥B D.若m⊥o,n⊥，则ml/n 7.若a=1og10.2,b=1og40.3,c=33,d=2-3,则下列选项正确的是（ A.a<b,c<d B.a<b,c>d C.a>b,c<d D.axb,c>d 8.如图，在三棱柱ABC-ABC1中，侧棱A4⊥底面AB,C1,△ABC是正三角形，E是BC的中 点，则下列叙述正确的是() A.CC与BE是异面直线 B.AC⊥平面ABBA 试卷第1页，共4页 C.4C与B,B所成角的余弦值为5 D.AE⊥BE 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 单位万元 一收入…支出 100 选错的得0分. 9.某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图，已 知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是() A.该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月 1234367890而品2月份 的总利润 B.该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C.该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D.该企业2025年11月份的月利润最大 10.若3，z2为复数，则下列选项一定正确的是( A.21+22=31+2匀 B. c.名1=32 D.3+z=a+22 11.已知函数f(x)=sin@x+cOS@x(w>0),则下列说法正确的是() A.若o=1,则/(w)在0上单调递增 B.若f日)1，则知的最小值为1 C.若将函数f(x)的图象向右平移个单位，所得图象与f()关于)轴对称，则四的最小值 为3 D.若左怎对无等点，则的取直范为引 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量AB=(2,-1),BC=(m,-2),CD=1,4),若A,B,D三点共线，则m= 13.现有甲、乙两组数据.甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个 数，其平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 14.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八 分之五.己知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD,BC⊥CD,且 AB=CD=√6，BC=22,利用张衡的结论可得球O的表面积为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知向量a=(1,2),b=(-5,k). (1)若a1/6,求的值： (2)若a⊥a+2b),求a与b夹角的余弦值. 16.某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： 频率 cm),按照区间[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)， 个组距 0.07 [180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示). 0.04 0.02 (1)求身高在区间[170,175)的学生人数； 0.01 160165170175180185身高/cm (2)将身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]区间内的学生依次记 为A,B,C三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人. ①求从这三个组分别抽取的学生人数： ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率. 17.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足b-c)b+c)=a(a-c). (1)求角B的大小： (2)若b=2,求△ABC周长的最大值： (3)若a=2√5，D为线段AC上一点，满足BD=CD=2AD,求△ABC的面积. 试卷第3页，共4页 18.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点.设平 面PAD与平面PBC的交线为l,平面PADL平面ABCD. (1)证明：平面EFG∥平面PAB; (2)求证：BCl; D (3)求证：DC⊥PA. 19.己知向量元-(sin华，cos),元-(cos产-sim)函数/(，=m-n, 1)若9e5,且f0)=求cos(0+)的值： (2)若函数g(x)=f(2x+） (i)求8(x)的最小正周期和单调递增区间： (i)设函数n(0)=cos2x+2af)-2,若对任意的c[受引，总存在c0引，使得 h(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围. 试卷第4页，共4页 《2028届高一（下）数学自主练习(5)》参考答案 1.D2.C3.C 4.D【详解】10×75%=7.5度Z,则75%分位数取从小到大的第8个数，即23. 5.D6.B 7.C【详解】由对数函数y=log1x在(0，+o)上单调递减，得log01<log10.2<log10.1,即0<a<1;由对 数函数y=log4x在(0，+o)上单调递增，得log40.3<log41=0,即b<0,因此a>b.由幂函数y=x03在(0，+o) 上单调递减，得33<23，即c<d.综上，a>b且c<d. 8.D【详解】对于A,因为CC1与BE都在平面BCCB内，所以CC1与B,E不是异面直线，故A错误；对于B, 因为△MBC是正三角形，所以BAC-子即AC与AB不垂直，所以4C不可能垂直平面AB84,故B错；对 于C,设AB=a,BB=b,则BE= 0+-V+F,又西=5+-+C,所以 1 ACBE=ACaB+BC=ACBC=x×a,设AC与BE所成角为a,则 1 11 2 2 2 24 cosa=cos(AC,BE)= AC·B,E 4 4 4CBEa 因为a与b的大小关系不确定，所以AC与BE d2+b V4 a2+b3 所成角的余弦值不确定，故C错：对于D因为E是BC的中点，所以AE⊥BC,又BB,⊥平面ABC,AEC平 面ABC,所以BB⊥AE,又BC,BBC平面BCCB,所以AE⊥平面BCC1B,又BEC平面BCCB,，所以 AE⊥BE,故D正确 9.ABC 10.AC【详解】设31=a+bi,3=c+i,由3+22=(a+c)+(b+d)i, 所以31+22=(a+c)-(b+d)i,z1+z2=a-b1+c-d1=(a+c)-(b+d)1, 所以+石=三+，故A正确：由子=(a+bi)2=a-b+2abi,=d+b,所以子=z不一定成立，故B 错误：由2·云=(a+bi)(a-bi)=ad-(bi'=a+b,zlz=Va2+b2√a2+(-b)2=a2+b2,所以z·z1= |z·z,故C正确：z+z=√(a+c2+(b+d)2,|z+z2=Va2+b2+Vc2+d2, 所以z1+z2引=z|+z2不一定成立，故D错误. h.A如【详解】fx)=nor+cosr=V55nax+ -cos ax)=v2sin ox+ 对于A,若 2 -1,倒-+)当e(罗0时，x+÷(÷》又v=m在（年到 上单调递增，故A正 路对于B,若f④)-1，则Vm（爱0t引-1，所以-牙子12点欧o-头+，e2,即 444 444 答案第1页，共4页 w=8k或o=2+8歇，k∈Z,又o>0,所以o的最小值为2，故B错误.对于C,将函数f(x)的图象向右平移 补位，何到(-》-max-5ro为与X 于y辅对称，所以V5sm(or-平(a-》=V2sin(-ox+孕，所以ar-不（@-)=-a++2k元或 0x-平(@)=元-（←0x+牙+2x,k∈乙，即0=0，k=0或0=-2-8，k∈Z,又0>0，所以0的最 0+T≥k元 小值为6，放C错误对于D,若f()在2上无零点，则 2 4 ,k∈Z,解得 0+花≤元+k 4 4)sas3+作，keZ.又00，当k=0时，0<≤}：当k=1时， 3≤0≤4：当k≥2时 2 4 共，3共，北时无锅，改若在到后小无学点划的取货家回为0引-引 D正确. 12.-5 13.4.76【详解】设甲、乙组平均数分别为x,,方差分别为S,S,设两组数据混合成一组的平均数为币，方 差为S,则=3，=5，=5号=3，则m=6。x+9 3 6。x+10卫=2×3+×5=21=4.2) 5 5 s=gg+-i间1-g+-]=015+140+06x(6+060=476 14.20W10【详解】如图： 因为BC⊥CD,所以BD=√14，△BCD的外接圆的圆心O为BD的中点，又AB⊥底面 BCD,由截面圆的性质得：球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为AD=2√，利用张衡的结论可 得心5 得168则元=0，所以球0的表面积为45=20m=200. 15.(1)5V5 2)-285 85 【详解】(1)解：由ā=(1,2)，b=(-5,k),因为a/b,可得1×k=2×(-5),解得k=-10,所以b=(（-5,-10), 所以5=V(-5+(-10=55.(2)解：由向量ā=(1,2)，b=（←5，)，可得d=5,ā.i=-5+2k,因为 a1(a+26,可得a(a+20)-a+2a.6=5+2.(5+2)=4-5=0,解得-员，所以6-（-5)则 答案第2页，共4页 5 月5何且a5-1(列2子子所以oa- a.b 2 -2V85 丽5x57 85 4 16.(1)30人 ②03人，2人，1人：② 【详解】(1)设[170,175)的频率为x,x=1-5×(0.07+0.04+0.02+0.01),解得x=1-5×0.14=0.3.所以身高 在区间[170,175)的学生人数为100×0.3=30（人）. (2)①4，B,C三组的人数分别为0人，20人，10人.因此三组中每组各抽取30×-3（人， 60 20奇-2（人.10×高1人）. ②设A组的3位同学为A,A,A,B组的2位同学为B,B2,C组 60 的1位同学为C1,则从6名学生中抽取2人有15种可能：（A,4),（4,4),（A,B),（A,B2),（4,C), (A,4),（A,B),(A,B2),（A,C1),(A,B),(4,B2),（A,C1),(B,B2),(B,C),（B2,C1).其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：（A,B),（A,B),（A,B),（A,B2),(A,B),（A,B2), 93 (B,B),(B,C1),(B2,C).所以B组中至少有1人被抽中的概率为P 155 1.0B-胃 ②)6 8)33 2 【详解】(1)因为0-c0+0）=aa-0),所以B-c2=d-ac,故cosB-+c2-b-心={，又因为 2ac 2ac 2 B∈(O,,所以B= 3 《2)B=3,b=2,由余弦定理可得：BP=c+c2-2acc0sB,即4=d+c2-ac=a+c}-3c,又因为 xs(生9a9,当且取当a=c时，等号成，所以4=ae-c之a+心.a10.ad,当 4 4 4 且仅当a=c时，等号成立，所以(a+c)2≤16，所以a+c≤4，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以△ABC周 长1=a+c+b=a+c+2≤4+2=6，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为6： (3)如图所示： 设AD=(x>O),则BD=CD=2x,在△ABD中，由余弦定理可得： C0S LADB=BD+AD-B+xcSx-c 2BD.AD 4x2 4,在ABCD中，由余弦定理可得： C0S CDB-BD+CD-BC-12-12 2BD.CD 8.x2 8r2 又因为∠ADB与∠CDB互补，所以 cos∠ADB=-cos∠CDB,所以c2=9x2-6①， 在△ABC中，由余弦定理可得：coS∠ABC=AB+BC2-AC-c2+12-9x21 2AB·BC 4v3c21 答案第3页，共4页 整理得c2=9x2+2V3c-12,② 一业0T=O87Is·O8·8FT=aSM日‘￡个=批翅‘9-=乙I-O忆徵世⑦①m “32 18.(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】(1)因为E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，所以EFIICD,EG/PB,又因为底面ABCD为矩 形，所以ABIICD,所以EF∥AB,又EF丈平面PAB,ABC平面PAB,所以EF∥平面PAB,又因为EG文平 面PAB,PBC平面PAB,所以EGW平面PAB.因为EF∩EG=E,EF、EGC平面EFG,所以平面EFG∥ 平面PAB. (2)因为底面ABCD为矩形，所以BCI∥AD,又因为BC丈平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面 PAD.因为BCc平面PBC,平面PADO平面PBC=I,所以BCII. (3)因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面 ABCD=AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,因为PAC平面PAD,故CD⊥PA. 19.(1)-4+35 )()名)的最小正周期为T=元，单调递增区间为-}十c,+ck∈Z:( 10 6 33 ae(22. 【详解】(1)由已知，f(w)=m·i=sincos导-cossin=sin(-为=sic,因为f()- 是所以血9=子，因为0径所以o9=-手 coe0+9）cs6cos-m0sm-年x}×5.4+3日 35252 10 (2)(i)gx)=f(2x+&）=sin(2x+ 》最小正周T-吾=无，1=2+后，因为m4的单调造增区间为[子2血子242，所以 0 6 +2m≤2x+匹≤亚+2kmk∈Z,解得-亚+m≤x≤+机，keZ, 2 62 3 6 所以3闲的华讯进指区同为子+爱+的cZ（a)A0因-m女+20网-2=oe+2asx- 6 2=-sim2x+2 2asinx-1,因为对任忘的22，总存在无02 使得h(x1)<g(x2)成立， 所以h(x)ma<gx2)max:令u=2x2+云，x2e[0,引，所以u∈[G,, y=sinu在u [引上单调适南，在E(台：引单词递减，所以nue,所以gm1,令t simx,x∈-乏，引所以te[-11],函数h()可化为=-t+2at-1,开口向下，对称轴t=a,当a≥1， p)在[-1，上单调递增，pt)m=p①=2a-2,即h(x)max=2a-2,由于h(x)max<g(x2)max,所以 2a-2<1,解得a<所以1≤a<:当-1<a<1,在[1a)上单调递增，在[a上单调递减，则 )m=ga=-1,即h(x)max=a2-1,由于h(x)max<g(x2)max'所以d-1<1,解得-V2<a<V2, 所以-1<a<1:当a≤-1，p在[-1上单调递减，p)x=p(-1)=-2a-2，即h(x1)max=-2a-2,由于 xmk<9ax,所以-2a-2<L,解得a>)所以asL:综上所述，a的取值范围为(33 2'2 答案第4页，共4页