精品解析：广西柳州地区民族高级中学2025-2026学年高一下学期数学自主练习（3）

2028届高一（下）数学自主练习（3） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由定义域得到不等式，解不等式求出，解绝对值不等式求出，从而求出交集. 【详解】由对数函数真数大于0得到，解得：，所以， 由，解得：，所以， 故． 故选：B 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：，结合复数的除法运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：B. 3. 已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：由题意得出，先求出，即可求解；法二：不妨设，根据向量坐标表示的运算法则及模的计算即可求解． 【详解】法一：由题意得， 所以，则； 法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量， 所以不妨设，则， 故，则， 故选：A． 4. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得， 所以，圆锥的底面圆周长为，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查圆锥底面半径的计算，考查了圆锥侧面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图正三棱锥，设其高为PO，为底面中心，则为底面重心，所以， 故，故三棱锥的体积为． 6. 若向量，，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标运算得，利用同角三角函数的商数关系式即可得的值，进而将化为齐次式可求值. 【详解】向量，，且， 则，故， . 故选：D. 7. 已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果；法二：应用排除法得答案． 【详解】法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球的大圆（如下图）， 对角面为等腰梯形，其上下底边长分别为2，4，高为3， 由正四棱台的对称性可知，球的球心在梯形上下底的中点连线所在直线上， 设，则，球半径为， 由，可得，解得， 所以所求的球的表面积为， 法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径（下底对角线长的一半），表面积排除D； 对角面等腰梯形的对角线长，故球半径，表面积，排除C； 若，则，易求球心到的距离为，球心到的距离为， 无法满足，或，排除A. 故选：B. 8. 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底向量方法，以为基底表达，进而根据数量积公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以 ． 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于多面体的几种说法，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱台的上、下底面边长之比等于侧棱延长线交点到上、下底面的距离之比 D. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 【答案】AC 【解析】 【分析】根据棱柱和棱锥、正棱锥的定义可逐一判断A，B，D选项错误，对于C项，可以具体棱台为例，通过其与棱锥的联系以及相似形的知识推理得到. 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面之间的交线都互相平行的几何体才是棱柱， 如图1虽具备有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，故A正确； 图1 图 2 图3 对于B，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面的中心的棱锥是正棱锥， 如图2，棱锥的底面是正方形,顶点在底面上的射影在边上， 此时该棱锥不是正四棱锥，故B错误； 对于C，以三棱台为例，如图3所示，设三棱台的三条侧棱延长后交于点， 过点作平面于点，交平面于点， 因平面平面，则平面， 连接，因平面平面，平面平面， 则，故，又由，可得， 则，其他对应边均可同理得到结论，故C正确； 对于D，因有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的多面体才是棱锥， 如图4，底面为四边形，其余各面都是三角形，但这并不是棱锥,故D错误. 故选：AC. 图4 10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长． 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若，则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，向量且，则为等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的平行四边形法则结合向量共线即可判断选项A；根据向量的线性运算即可判断选项B；根据向量数量积及向量垂直即可判断选项C；根据向量的平行四边形法则、向量数量积、向量垂直及等腰三角形的性质即可判断选项D. 【详解】选项A：设的中点为. 根据向量的平行四边形法则可知，. 又，则，所以，，三点共线， 所以点在边的中线上. 同理可得，点也在边、边的中线上，所以点为的重心，故A正确. 选项B：， 所以，即点在边的垂直平分线上. 同理可得，点在边的垂直平分线上. 所以点为的外心，故B错误. 选项C：因为，所以， 所以，即. 同理由可得，由可得. 所以点为的垂心，故C错误. 选项D：设，分别是向量，方向上的单位向量， 结合向量的平行四边形法则可知，在的角平分线上. 又，即，所以的角平分线垂直于， 所以，所以为等腰三角形. 又，即，所以，即， 所以为等边三角形，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 13. 为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义： 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求A， （2）若的周长为20，面积为，求a． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，即，则，即， 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由的周长为20，得，即， 由余弦定理得，即， 于是，解得， 所以. 16. （1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值； （2）已知平面向量，的夹角为120°，且，，若与垂直，求实数的值. 【答案】【小问1】 【小问2】 【解析】 【分析】（1）由两向量共线公式即可求解. （2）由两向量垂直公式即可求解 【详解】（1），， ∵与平行，∴， 解得：. （2）， ∵与垂直，∴， ∴，得，解得. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求周长的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)用正弦定理、正弦的和角公式进行求解； (2)利用辅助角公式并结合锐角三角形的条件进行求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 在中，，代入得： 得到，即 又，且，所以，又因为，可得. 【小问2详解】 设外接圆半径为，则， 周长 而 代入化简得： 利用辅助角公式可得： 因为是锐角三角形，且，所以， 则，则， 所以周长 即：周长的取值范围为. 18. 如图，在中，，. （1）若，求； （2）若，且，求AB. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. 【小问1详解】 在中，，由，得，又， 在中，由余弦定理得， 因此，所以. 【小问2详解】 令，则，因此，， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 所以. 19. 已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. （1）求在上的值域； （2）若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，由范围，求出范围，然后得到函数在区间上的最值，即求出函数在该区间上的值域； （2）由求得，由正弦定理求得，根据题意列关于的不等式，基于的取值范围，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得. 由题意可得. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. 【小问2详解】 因为，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以，所以， 则，则. 因为，所以，则，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，所以， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一（下）数学自主练习（3） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若向量，，且，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于多面体的几种说法，正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 棱台的上、下底面边长之比等于侧棱延长线交点到上、下底面的距离之比 D. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥 10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若，则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，向量且，则为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知中，，则外接圆半径为____________. 13. 为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求A， （2）若的周长为20，面积为，求a． 16. （1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值； （2）已知平面向量，的夹角为120°，且，，若与垂直，求实数的值. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求周长的范围. 18. 如图，在中，，. （1）若，求； （2）若，且，求AB. 19. 已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. （1）求在上的值域； （2）若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $