专题06 解三角形解答题归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

专题06 解三角形解答题归类 题型一 正余弦定理的边角互化（重点） 题型六 三角形的中线与角平分线（重点） 题型二 向量、三角函数、解三角形的结合 题型七 基本不等式求最值取值范围（重点） 题型三 三角函数的实际应用 题型八 三角函数法求最值取值范围（难点） 题型四 多三角形中解三角形（含一个全知三角形）（重点） 题型九 存在问题（难点） 题型五 多三角形中解三角形（不含一个全知三角形）（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正余弦定理的边角互化 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 2．在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 3．已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 4．在中，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 5．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求证：； (2)若，的面积为，求，． 题型二 向量、三角函数、解三角形的结合 6．在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 7．已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 8．已知向量，且， (1)求函数的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且. (1)求角的大小； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 10．已知向量，设函数. (1)求函数的周期及单调递增区间； (2)在中，内角的对边分别为，且，求的面积. 题型三 三角函数的实际应用 11．如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 12．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 13．海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 14．作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西的方向上，B在D的北偏东的方向上． (1)求观测点C与建筑物A之间的距离； (2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积． 15．夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 题型四 多三角形中解三角形（含一个全知三角形） 16．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 17．如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 18．如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 19．如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 20．如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 题型五 多三角形中解三角形（不含一个全知三角形） 21．在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 22．如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 23．如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 24．如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 25．如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 26．如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 题型六 三角形的中线与角平分线 27．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 28．在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 29．在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 30．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若为边上一点，为角的平分线，， 且，求的值. 31．记的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 32．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 题型七 基本不等式求最值取值范围 33．在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 34．在中，角、、的对边为、、，已知，，. (1)求边上的高； (2)若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 35．已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 36．在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 37．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 题型八 三角函数法求最值取值范围 38．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 39．在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 40．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 41．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 42．在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 题型九 存在问题 43．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求的周长； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 44．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为. (1)证明：； (2)若的面积为，，，求b，c； (3)是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由. 45．在四边形ABCD中，对角线，． (1)求的大小； (2)若是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围； (3)当时，是否存在实数，使得的最小值为．若存在，求值以及的大小；若不存在，请说明理由． 46．已知在中，为边中点． (1)若，试求边的长； (2)若为锐角，过点分别作的平分线和边的垂线，与边分别交于点和点．是否存在，使得成立？若存在，试求出的面积；若不存在，请说明理由． $专题06 解三角形解答题归类 题型一 正余弦定理的边角互化（重点） 题型六 三角形的中线与角平分线（重点） 题型二 向量、三角函数、解三角形的结合 题型七 基本不等式求最值取值范围（重点） 题型三 三角函数的实际应用 题型八 三角函数法求最值取值范围（难点） 题型四 多三角形中解三角形（含一个全知三角形）（重点） 题型九 存在问题（难点） 题型五 多三角形中解三角形（不含一个全知三角形）（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正余弦定理的边角互化 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：， 由正弦定理可得 ， 即 ， ，， 即； （2） 解得，又，所以， ，， 又，所以， ． 2．在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，， 由结合正弦定理可得， 又因为、，则，所以，即， 因为，则，所以，可得，所以，故. （2）由（1）可知， 故 ，即， 因为，故，所以， 故 ， 所以， 由正弦定理可得，即，整理可得， 解得，故， 因此. 3．已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为， 所以， 所以. 因为在锐角中，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，所以，所以，， 由正弦定理，得，， 所以的周长为. 4．在中，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知，交叉相乘得 ; 在中，由正弦定理得； 由于 ，故， 可得， 即， 即 ， 化简得 ， 由，得， 又 ，故 （2）由的面积公式，将代入化简得； 由余弦定理， 得 ，即， 则， 由得。 故的周长为. 5．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求证：； (2)若，的面积为，求，． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即， 且，则，即， 可得，则，所以. （2）因为， 则，， 可得，，， 所以， 又因为，则， 且，则， 所以，． 题型二 向量、三角函数、解三角形的结合 6．在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)6 【分析】 【详解】（1）由，根据向量平行的坐标条件，得， 化简得. 利用辅助角公式，将左边整理为， 因此：， 因为锐角三角形，故，则. 所以，解得. （2）由(1)知，结合面积公式，代入， 得， 再由余弦定理，代入、， 得， 由完全平方公式，，故(边长为正，取正值). 因此，的周长为. 7．已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）由题意， ， 所以函数的最小正周期； （2）由得， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 8．已知向量，且， (1)求函数的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以 ， 即 ， 整理得， 令，则， 解得， 即的单调递减区间为； （2） ， 即， 因为为三角形内角，故，则， 因此，解得， 由题意知，三角形面积， 由面积公式 ，代入得 解得， 由余弦定理，代入已知条件得： ， 整理得，因此 ，， 即. 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且. (1)求角的大小； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 由正弦定理，得， ，即 . （2）点为的内心，为的角平分线， 而 整理得 由余弦定理，可得 将代入可得， 解得. 的周长为 10．已知向量，设函数. (1)求函数的周期及单调递增区间； (2)在中，内角的对边分别为，且，求的面积. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】 【详解】（1） 所以函数的周期； 解得， 函数的单调递增区间为 （2）由得.因为，解得或. 若，由正弦定理得，无解，舍去， （方法1）若，由正弦定理得， 因为，所以有两解：或， 当时，， 当时，， 因此三角形的面积为或. （方法2）若，由余弦定理得 解得：或 当时， 当时， 因此三角形的面积为或. 题型三 三角函数的实际应用 11．如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1)； (2)； (3)（单位：m/min）． 【分析】 【详解】（1）在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． （2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 12．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 【答案】(1)60° (2)收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 【分析】 【详解】（1）连接，在中由余弦定理得 ， ， 又，， ，即， ．    （2）连接，则由及 得：， ， ， 在中，由余弦定理，得：， 则， 又，则是等腰三角形，且， 由已知有， 在中，由余弦定理得： ， 又，则． 由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东． 答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 13．海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】(1) (2)；能，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. 14．作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西的方向上，B在D的北偏东的方向上． (1)求观测点C与建筑物A之间的距离； (2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，根据方向角可得： ，， 因此， 已知，由正弦定理：， 代入得：. （2） 根据方向角得：，， 因此 由正弦定理：， 代入得：， 又，因此的面积： . 15．夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 【答案】(1)距离为100或200米； (2)钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为. 【分析】 【详解】（1）由题意得，，， 在三角形中，根据余弦定理有， 即，解得或100，    故钓友与小孩之间的距离为100或200米. （2）因为钓友到点处比到点处的距离更近，则，      设钓友在最短时间内救援到地点为点，， 则， 所以， 整理得，解得（负根舍去）， 因为，所以钓友这次救援有成功的可能， 且成功的最短时间为. 题型四 多三角形中解三角形（含一个全知三角形） 16．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 17．如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 18．如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析，面积为 【分析】 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以， 由余弦定理得，而为三角形内角， 故. （2），故， ，，， 故，， 故，所以， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 故，又，所以四边形是等腰梯形， ， ， 所以四边形的面积为 19．如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 20．如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．    (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. （2）如图所示：    过作于，在中， ，， ∴，，在中，.       ∴       ∴ ∴ 题型五 多三角形中解三角形（不含一个全知三角形） 21．在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 22．如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 23．如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 所以． （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 所以，解得，所以． 24．如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 25．如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 26．如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； （2）由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 题型六 三角形的中线与角平分线 27．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 28．在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 整理得， 所以，即， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：由（1）知：且的面积为， 可得，可得， 因为，由余弦定理知， 可得，可得， 解得，所以的周长为. （3）解：因为为的平分线且，可得， 由，可得， 又因为，可得， 整理得，所以. 29．在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 30．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若为边上一点，为角的平分线，， 且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. （2）因为，所以， 又为角的平分线，， 所以，即， 所以，又， 所以，， 又， 所以. 31．记的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，即， 由余弦定理得，因为，所以. （2）由（1）得，又，代入解得或（舍）， 如图所示：， 代入数据得， 解得. 32．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． （2）为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 题型七 基本不等式求最值取值范围 33．在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 34．在中，角、、的对边为、、，已知，，. (1)求边上的高； (2)若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，因此，， 由余弦定理，，则， 解得或， 当时，边上的高， 当时，边上的高. （2）当时，为锐角三角形， ，， 设，，则，则 在中根据余弦定理，， 由基本不等式，当且仅当时，取得最小值， 则. 35．已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 36．在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由， 由正弦定理得，而，则， 所以，，则； （2）由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为 ， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.    37．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，可得， 化简得，则，解得. （2）由题意可得，所以， 即， 则，化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以， 所以面积的最大值为. 题型八 三角函数法求最值取值范围 38．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 39．在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. （2）由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. （3） 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 40．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； （2）因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； （3） ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 41．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 【答案】(1)8m (2) 【分析】 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）设，由， 故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 42．在中，，分别为，的中点，与交于点，记，． (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)16. 【分析】 【详解】（1）由题意知是的重心， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； （2）因为，所以，设，则. 在中，由余弦定理可得， 即，得 又，， 所以 记，则， 则， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为16. 题型九 存在问题 43．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)若，求的周长； (2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)12 (2)存在， 【分析】 【详解】（1），， ， ，即， 或， ，，或， 当时，边最长，与条件矛盾，故舍去； 当时，则，又，， ，解得. ，，，的周长为； （2）存在，理由如下： 显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得， 由三角形三边关系可得，即，可得， 是正整数，故. 44．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为. (1)证明：； (2)若的面积为，，，求b，c； (3)是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的取值范围为 【分析】 【详解】（1）取的中点，则，且.    设，则. 在中， 由余弦定理得. 在中，由余弦定理得. 两式相加，得，所以. （2）由第（1）问结论和，，得，解得，即. 又由余弦定理得，所以，即. 因为的面积为，所以，即. 将两式平方相加，得，所以. 又，所以，即. 因此是方程的两个根，故. （3）存在. 若，由第（1）问结论得，整理得，即. 由余弦定理得. 令，其中，则. 因为，所以，当且仅当时等号成立. 另一方面，三角形存在时必须有，所以. 由可知，只要，就能取到对应的三角形；由三角形三边关系可得.结合可知，所以的取值范围为. 因此存在这样的三角形，此时的取值范围为. 45．在四边形ABCD中，对角线，． (1)求的大小； (2)若是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围； (3)当时，是否存在实数，使得的最小值为．若存在，求值以及的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，或, 【分析】 【详解】（1）在中，由正弦定理得：，则， 由，得：， 由，得，即， 又，因此. （2）设，在中，，， 因为是锐角三角形，三个内角的余弦值均为正，由余弦定理可得： ， ， ，对恒成立. 故的取值范围为. （3）设，将模长平方展开：， 代入，，， 得：， 这是关于的开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取得， 代入得最小值： ， 由题最小值为，故：，得或， 当时，， 当时，. 故存在满足条件的，当时，或,. 46．已知在中，为边中点． (1)若，试求边的长； (2)若为锐角，过点分别作的平分线和边的垂线，与边分别交于点和点．是否存在，使得成立？若存在，试求出的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因，， 则在中由余弦定理得，, 则; （2）设，， 因，则， 因，则， 则， 因为边中点，则，则， 即， 则， 若存在，使得， 则， 因为锐角，则，即，故，则， 在中由余弦定理得， 则，， 则，得， 则，， 则的面积.    $