精品解析：2026年河北邯郸市育华中学中考第三次学情自测数学试卷

2026年05月29育华三模数学试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A. 3 B. 2 C. 0 D. 2. 如图，在直线中，可能与直线平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 与相等的是（　　） A. B. C. D. 4. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，其容量是普通唱片容量的8000倍．已知一张普通唱片的容量约为，则一张蓝光唱片的容量约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为y，则列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个骰子相对两面的点数之和为，将它按如图位置放置后，按箭头所示方向滚动，滚动到最后一格时，该骰子朝上一面的点数是（ ） A. B. C. D. 8. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（ ） A. 函数解析式为： B. 当体积为5升时，压强为80千帕 C. 体积越大，对应的压强越大 D. 当压强为200千帕时，体积为2升 10. 小延调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图①及条形图②（柱的高度从高到低排列），条形图不小心被撕了一块．图②中括号里应填的颜色是（ ） A. 红色 B. 黄色 C. 绿色 D. 蓝色 11. 如图，嘉淇在横格纸上画出了，恰好三个顶点都在横格线上，其中，，，都是三角形的边与横格线的交点．已知横格纸的横线互相平行且相邻横线间的距离都相等，若四边形的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（ ） A. 当时， B. 若，则m只能是5 C. 若，则m只能是4 D. 随着m的增大，n不一定也增大 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 因式分解： ________ 14. 近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 15. 如图，有一根木条（在的左边）在数轴上移动，数轴上两点之间的距离，当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4；当点移动到与线段的中点重合时，点所对应的数为_______． 16. 已知点、是半径为的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是_______． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 已知代数式 （1）当时，求P的值； （2）当P的值不小于7时，求符合条件的m的最大整数值． 18. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 19. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 第一次和第二次 20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 21. 综合实践 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》建议大家养成主动饮水的习惯，避免喝过冷或过热的水，否则易引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． ★小贴士：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度． （1）若先接温水，再接的开水，此时温水和开水混合后共有多少毫升水？ （2）小明先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小明接水的时间一共用了，得到一杯的水，这杯水的温度是否符合健康饮水的适宜温度，通过计算说明理由； ②若小明想得到一杯的的水，此时接温水和开水的时间分别是多少秒？ 22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．点M是AB边上一点，且∠CMB＝45°．点Q是直线AB上一点且在点B的右侧，BQ＝4，点P从点Q出发，沿射线QA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．以P为圆心，PC长为半径作半圆P，交直线AB分别于点G，H(点G在点H的左侧)． （1）当t＝1秒时，PC的长为　　　　，t＝　　　　秒时，半圆P与AD相切； （2）当点P与点B重合时，求半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长； （3）若∠MCP＝15°，请直接写出扇形HPC的弧长为 ． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）_______，______； （2）点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2． ①用含的式子表示的长，并求出的最大值； ②当时，求的值； （3）点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式． 24. 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年05月29育华三模数学试卷 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A. 3 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数． 【详解】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 2. 如图，在直线中，可能与直线平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行的概念．根据图形进行判断即可． 【详解】解：直线都与直线相交，直线可能与直线平行， 故选：D． 3. 与相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个选项中式子的值进行比较即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，准确计算． 4. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，其容量是普通唱片容量的8000倍．已知一张普通唱片的容量约为，则一张蓝光唱片的容量约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，用8000乘以化为科学记数法即可． 【详解】解： ； 故选B． 5. 如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，即可求解，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 6. 如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为y，则列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定的乘法竖式，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：5（120＋y）＝100y＋30． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7. 一个骰子相对两面的点数之和为，将它按如图位置放置后，按箭头所示方向滚动，滚动到最后一格时，该骰子朝上一面的点数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，弄清各个面上的数字，动手操作是解题关键． 根据题意弄清各个面上的数字，动手操作即可解答． 【详解】解：骰子相对两面的点数之和为， 的对面是，的对面是，的对面是， 第一次滚动后，朝下，朝上， 第二次滚动后，朝下，朝上， 第三次滚动后，朝下，朝上． 故选：B． 8. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可． 【详解】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD， 由折叠可知CA＝AB， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵△ABC和△BCD关于直线BC对称， ∴CA＝AB=CD=BD， ∴四边形BACD是菱形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式． 9. 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（ ） A. 函数解析式为： B. 当体积为5升时，压强为80千帕 C. 体积越大，对应的压强越大 D. 当压强为200千帕时，体积为2升 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出p与V的函数解析式，再结合反比例函数性质逐一判断选项即可. 【详解】解：∵p与V成反比例函数关系 ∴设 将，代入得 ，解得， ∴函数解析式为； 当时，千帕， ∵，且体积 ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当时，，解得； 综上，只有选项C错误. 10. 小延调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图①及条形图②（柱的高度从高到低排列），条形图不小心被撕了一块．图②中括号里应填的颜色是（ ） A. 红色 B. 黄色 C. 绿色 D. 蓝色 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据柱的高度从高到低排列的和扇形所占的百分比得出绿色是4，所占的百分比是，求出调查的总人数，用总人数乘黄色所占百分比可得黄色的人数，用总人数减去其他人数，求出另一组的人数，再根据柱的高度从高到低排列，即得答案． 【详解】解：根据题意得： 总人数为：（人）， 则喜欢黄色的人数是：（人）， 因为喜欢红色的人数所占百分比最多，所以喜欢红色的人数为13人， 所以喜欢蓝色的人数是（人）， 因为柱的高度从高到低排列， 所以图②中括号里应填的颜色是黄色． 11. 如图，嘉淇在横格纸上画出了，恰好三个顶点都在横格线上，其中，，，都是三角形的边与横格线的交点．已知横格纸的横线互相平行且相邻横线间的距离都相等，若四边形的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题意添加适当的辅助线是解题关键． 与的交点为，与横格纸的横线交点为，连接．已知横格纸的横线互相平行且相邻横线间的距离都相等，即可得证、，利用相似三角形对应线段的比等于相似比，得四边形是平行四边形，推出各个三角形面积相等，结合四边形的面积为，进而得，即可求解． 【详解】解：如图，与的交点为，与横格纸的横线交点为，连接． 横格纸的横线互相平行， ，，， 相邻横线间的距离都相等， 的高的高，的高的高， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 同理可得：, 四边形的面积为， ， ； 故选C． 12. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（ ） A. 当时， B. 若，则m只能是5 C. 若，则m只能是4 D. 随着m的增大，n不一定也增大 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可得到答案． 【详解】解∶A．当时， 则7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， ∴， 故选项正确，不符合题意； B．若， 则m→16→8→4→2→1， ∴m既可能是32，也可能是5， 故选项错误，符合题意； C．若， 则m→2→1， ∴m只能是4， 故选项正确，不符合题意； D．当m=3时，n=7；当m=4时，n=2， ∴随着m的增大，n不一定也增大 故选∶B． 【点睛】本题主要考查了合情推理，审清题意，理解“冰雹猜想”的概念是解题的关键． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 因式分解： ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，因式分解的方法主要包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 15. 如图，有一根木条（在的左边）在数轴上移动，数轴上两点之间的距离，当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4；当点移动到与线段的中点重合时，点所对应的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，整式加减运算，理解，的移动方向和距离相同是解题的关键．根据题意，由，的移动方向和距离相同即可得出所对应的数． 【详解】解：设的长度为， ∵当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4， ∴此时点N对应的数为， ∵， ∴当点到的中点时，点此时对应的数为：， ∴点对应的数为： 故答案为：． 16. 已知点、是半径为的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的⊙C上，连接BC与⊙C的交点为P，此时BP的值最小，利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解． 【详解】由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的⊙C上，连接BC与⊙C的交点为P，此时BP的值最小， 作CE⊥AB于E，作OD⊥AB于D， ∵⊙O的半径为2， ∴OA=OB=2，OC=CA=OP=1， ∵∠AOB=120， ∴∠OAB=∠OBA=30， ∴， ， ， ， ， 根据勾股定理：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、锐角三角形函数、等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题意得出BP最短时，即为连接BC与⊙C的交点是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 已知代数式 （1）当时，求P的值； （2）当P的值不小于7时，求符合条件的m的最大整数值． 【答案】（1）的值为； （2）m的最大整数值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． （1）把代入，然后进行计算即可； （2）根据已知条件列出关于的不等式，求出的取值范围，从而求出答案即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 当时，的值为； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， 的最大整数值为． 18. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 第一次和第二次 【答案】（1）0 （2）见解析，和为单项式的概率为 【解析】 【分析】本题考查了代数式的值、整式的加减、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先将，代入求出三张卡片上代数式的值，再利用概率公式计算即可得； （2）先根据整式的加减补全表格，从而可得共有9种等可能的结果，再找出和为单项式的结果有4种，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：当，时， 甲卡片上代数式的值为， 乙卡片上代数式的值为， 丙卡片上代数式的值为， 则取出的卡片上代数式的值为负数的概率为0． 【小问2详解】 解：由题意，补全表格如下： 第一次和第二次 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中，和为单项式的结果有4种， 则和为单项式的概率为， 答：和为单项式的概率为． 20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 【答案】（1） （2）能，见解析 【解析】 【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度． （2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 在中，． ． ， ． ． ，， 小杜下蹲的最小距离． 【小问2详解】 解：能，理由如下： 过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 在中，． ， ， ． ， ． 小若垫起脚尖后头顶的高度为． 小若头顶超出点N的高度． 小若垫起脚尖后能被识别． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． 21. 综合实践 养成健康饮水的习惯 素材1 《中国居民膳食指南》建议大家养成主动饮水的习惯，避免喝过冷或过热的水，否则易引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水过程中不计热量损失． ★小贴士：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度． （1）若先接温水，再接的开水，此时温水和开水混合后共有多少毫升水？ （2）小明先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题： ①小明接水的时间一共用了，得到一杯的水，这杯水的温度是否符合健康饮水的适宜温度，通过计算说明理由； ②若小明想得到一杯的的水，此时接温水和开水的时间分别是多少秒？ 【答案】（1） （2）①这杯水的温度不符合健康饮水的适宜温度；②接温水的时间是14秒，接开水的时间是2.5秒 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （2）①设小明接温水的时间为x秒，则接开水的时间为秒，根据题意得，解得，求出小明接了温水，开水，从而求得这杯水混合后的水温，最后将所求温度与题中的温度进行比较即可判断结果； ②设小明接温水的时间为y秒，则温水的体积为，开水的体积为，由题意得，解得，从而求得接开水和温水的时间． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴此时温水和开水混合后共有水． 【小问2详解】 解：①设小明接温水的时间为x秒，则接开水的时间为秒， 根据题意，得：， 解得：， ∴接开水的时间为：， 温水的体积为：， 开水的体积为：， 混合后的温度为：， ∵， ∴这杯水的温度不符合健康饮水的适宜温度； ②设小明接温水的时间为y秒，则温水的体积为，开水的体积为， 根据题意，得：， 解得：， ∴此时温水的体积为：， 开水的体积为：， 接开水的时间为：， ∴此时接温水的时间是14秒，接开水的时间是2.5秒． 22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．点M是AB边上一点，且∠CMB＝45°．点Q是直线AB上一点且在点B的右侧，BQ＝4，点P从点Q出发，沿射线QA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．以P为圆心，PC长为半径作半圆P，交直线AB分别于点G，H(点G在点H的左侧)． （1）当t＝1秒时，PC的长为　　　　，t＝　　　　秒时，半圆P与AD相切； （2）当点P与点B重合时，求半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长； （3）若∠MCP＝15°，请直接写出扇形HPC的弧长为 ． 【答案】（1）；； （2） ； （3）π或π． 【解析】 【分析】（1）由点P的运动速度可找出t=1秒时PQ的长，进而可得出BP的长，在Rt△BCP中，利用勾股定理可求出PC的长；设当半圆P与AD相切时，BP=x，则PC=PA=4-x，利用勾股定理可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再结合PQ=BQ+BP即可求出此时t的值； （2）过点B作BE⊥AC于点E，利用面积法可求出BE的长，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长，再利用垂径定理可求出半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长； （3）分点P在点M的左侧和点P在点M的右侧两种情况考虑：①当点P在点M的右侧时，∠CPB=60°，通过解直角三角形可求出PC的长，再利用弧长公式得到结论；②当点P在点M的左侧时，∠CPB=30°，通过解直角三角形可求出PC的长，再再利用弧长公式得到结论． 【详解】（1）当t=1秒时，PQ=2， ∴BP=BQ-PQ=2， 在Rt△BCP中，BP=2，BC=3， ∴PC=， 设当半圆P与AD相切时，BP=x，则PC=PA=4-x， ∴x2+32=（4-x）2， 解得：x=， ∴PQ=4+=， ∴当t= 时，半圆P与AD相切； 故答案为：；； （2）过点B作BE⊥AC于点E，如图2所示． ∵AB=4，BC=3， ∴AC==5， ∴BE=． 在Rt△BCE中，BC=3，BE=， ∴CE=， ∴半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长为 ； （3）分两种情况考虑，如图3所示： ①当点P在点M的右侧时，∵∠CMB=45°，∠MCP=15°， ∴∠MCB=45°，∠PCB=30°， ∴∠CPB=60°，CP= ， ∴扇形HPC的弧长为 π； ②当点P在点M的左侧时，∵∠MCB=45°，∠MCP=15°， ∴∠PCB=∠MCB+∠MCP=60°， ∴∠CPB=30°，CP==6， ∴扇形HPC的弧长为=π， 综上所述，若∠MCP=15°，扇形HPC的弧长为π或π， 故答案为：π或π． 【点睛】此题考查勾股定理、解直角三角形、三角形的面积、垂径定理以及弧长的计算，解题的关键是：（1）利用勾股定理及解方程，求出PC，PB的长；（2）利用勾股定理及垂径定理，求出半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长；（3）分点P在点M的左侧和点P在点M的右侧两种情况，求出PC的长及∠CPB的度数． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）_______，______； （2）点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2． ①用含的式子表示的长，并求出的最大值； ②当时，求的值； （3）点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式． 【答案】（1） （2）①，；②1或 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的最值等知识，熟练掌握数形结合思想是解答本题的关键． （１）运用待定系数法求出ｃ的值，令解方程求出点Ａ的坐标，再把点Ａ的坐标代入，可求出； （2）①根据题意得，表示出，根据二次函数的性质可得结论； ②由列方程求解即可； （3）设过K且与x轴平行的直线为，则可得，，整理后由根与系数关系得由可得绪论． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 令，则， 解得，，， ∵点在点左边， ∴， 把点代入 中，得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：①由（1）得：，， ∵点为线段上一点（不与点重合），横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，最大值为； ②∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得，（舍去），或； 【小问3详解】 解：设过K且与x轴平行的直线为，则可得，， 整理得，，， 由根与系数关系得， 而， 又， ∴． 24. 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1），；垂直 （2）存在，理由见解析； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，，在中，利用勾股定理求得，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； 由折叠的性质即可得解； （2）由折叠的性质即可得解； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而得到点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧，当点运动到点时，根据可求得的度数，然后根据外角的性质即可得到，最后根据弧长公式求解即可； （3）分4种情况讨论：当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；过点构造矩形，通过勾股定理解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即； 由折叠可知，是的对称轴，即垂直平分， ； 【小问2详解】 解：存在，仍然成立； 理由：由折叠可知，点与点关于直线对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， 垂直平分， ； 由知，， ， 是的中点， ， ， ，是定值， 点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧， 当点在点时，点与点重合；当点运动到点时，如图所示， 此时， ， ， 点的运动路径长为； 【小问3详解】 解：当点在边上，在上方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，到下方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则 ， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，如图所示，过点作轴交轴于，作轴于，过点作 于，则四边形、、 是矩形， 如图，当点在第三象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则 ， ， ， 在中，， 即 ，解得， ， ； 如图，当点在第二象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则 ， ， ， 在中，， 即 ， 解得 ， ， ； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $