专题11 平面与平面垂直七大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

**基本信息** 以七大题型系统构建面面垂直知识网络，通过辨析、证明、计算、折叠及条件补全形成完整能力训练链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题判断|4题|以线面、面面位置关系辨析为主|从定义出发构建垂直关系认知框架| |证明应用|16题|涵盖折叠模型、存在性问题等|遵循"判定定理→性质应用→综合转化"逻辑链| |计算探究|18题|结合二面角求解与逆向设问|体现"几何直观→空间建模→运算推理"素养递进|

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题11平面与平面垂直七大题型 题型归纳 题型一：面面垂直有关命题的判断 题型二：证明面面垂直 题型三：面面垂直证明线面垂直 题型四：求空间二面角 题型五：己知二面角求其他 题型六：垂直中的折叠模型 题型七：补全面面垂直的条件 题型专练 题型一：面面垂直有关命题的判断 1.设m,n是两条直线，o,B是两个平面，下列说法错误的是() A.如果a/1B,mca,那么m/1B B.若m⊥a,⊥B,则m/1β C.若a∩B=m,n/la,n/1B,则m∥n D.若m⊥，n⊥B,⊥B,则m⊥n 2.己知m,n是空间两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则下列命题错误的为() A.若m⊥B,mca,则a⊥B B.若m⊥，n⊥a,则m∥n C.若m/1a,m/1B,则a11B D.若m/n,m⊥a,则n⊥a 3.设m,n是两条不同的直线，，B,Y是三个不同的平面，下面正确的是() A.若a⊥B,B⊥y,则a11y B.若o⊥B,mCoa,ncB,则m⊥n C.若a/B,Y∩a=m,y∩B=n,则mlnD.若m/la,nca,则m∥n 4.(多选)设a-l-B是直二面角，直线aca,直线bcB,a,b与1都不垂直，那么下列说法错误的是 () A.a与b可能垂直，但不可能平行 B.a与b可能垂直，也可能平行 C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行 题型二：证明面面垂直 5.如图，在四边形ABCD中，ADI1BC,AD=AB=2,BC=4,∠BCD=45°，∠BAD=90°将△ABD沿 对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD, 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D P(A) B B (I)求证：CD⊥平面PBD; (2)求证：平面PBC⊥平面PCD (3)求三棱锥P-BCD的体积 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=DC,且E,F,G分别是 PC,PB,AD的中点 D G A B (1)求证：GF/平面PCD; (2)求证：平面DEFG⊥平面PBC 7.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底 面ABCD,PA=√5 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D:E>C B (1)证明：平面PBE⊥平面PAB; 8.如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF,DC∥EF,AB⊥BE,AD⊥DC,AB=DC B (I)证明：AB∥DC; (2)证明：平面ABFE⊥平面BCE 9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E是PD的中点， F是PC上靠近点P的三等分点证明： B (1)PB/平面ACE; (2)平面BDF⊥平面ACE 3/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 IO.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD,PD的中点，AC与 BM交于点E,AB=65,4D=6,K为PA上一点，PK-PA, D M (I)证明：KE∥MN; (2)求证：平面PAC⊥平面BMNK; (③老PA,求B账与平面P4C所成角的正弦值。 题型三：面面垂直证明线面垂直 形ABCD中，∠DAB=,AB=2AD,将△DAB沿对角线BD折起，便 ABD,则直线AB与CD所成角的余弦值为() A. B.3 D.3 2 12.如图所示，己知平面ABC⊥平面BCD,且AB=BC=BD=1,∠CBA=∠DBC=120°，则点C到平面 ABD的距离是 4/15 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.如图，在平行四边形ABCD中，∠CBD=90°，沿其对角线BD将△BCD折起至△BCD,使△BC'D所 在平面与平面ABCD垂直 (1)证明：平面BCD⊥平面ACD; (2)若E为CC'上一点，且AC'I/平面BDE,BC=BD=2,求直线AC'到平面BDE的距离. 14.如图，四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PB,PC=PD,且平面PAB⊥平面PCD.E,F 分别是AB,CD的中点.AB=√2BC=√2， E B (I)求证：PEF是直角三角形： (②)求四棱锥P-ABCD体积的最大值 15.如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD,ABIICD,AB=AD=2,CD=4, M为CE的中点，求证： E M B 5/15 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)BM∥平面ADEF; (2)BC⊥平面BDE. 16.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB11CD,∠DAB=90,CD=AB,平面PAD⊥平面 ABCD,M是PB的中点. M B D (I)求证：CM/1平面PAD; (2)求证：CD⊥PA; (3)设棱PC与平面ADM交于点N, PN的值： N 题型四：求空间二面角 17.在正四棱锥P-ABCD中，△PAB的面积为3，△PAC的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面 角的正弦值为（) A.② B.22 D.34 4 3 C.1 3 6 18.如图，正三棱柱ABC-ABC,的底面边长为3，侧棱A4=3V5,点D是CB延长线上一点，且 BD=BC.求二面角B,-AD-B的大小. 6/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C 19.如图，斜三棱柱ABC-A,B,C的底面是边长为2的正三角形，且AA=A,B=AC=V3 C B C (1)证明：CB⊥A4: (2)求二面角C-AA-B的余弦值； 20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2.过点A作 AE⊥PB于E,作AF⊥PC于F,连EF P F E B (I)证明：EF⊥PC; (2)求平面AEF与底面ABCD所成角的余弦值. 21.在四面体P-ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,PA⊥底面ABC,M、N、Q分别是PB、PA、BN的中 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，点E在线段PC上，且PE=3EC. M B (I)求证：EQ/1平面ABC; (②诺三棱锥P-48C的体积为号求平面M4C与平面4CB的夹角的大小 22.如图，在四棱锥P-ABCD中，己知底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面 ABCD,M是棱PD的中点，AD=2. B (I)证明：AM⊥平面PCD; (2)若AB=√3，求二面角P-BC-D. 题型五：已知二面角求其他 23.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°.将△ACD沿对角线AC折起，使二面角 B-AC-D的大小为120°，则B、D两点的距离为 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B C 24.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABIICD,∠ADC=90°，侧棱PD⊥底面ABCD, 且CD=2PD=2AB=4,点E是PC的中点，连接BE. D B (I)证明：BE/I平面PAD; (2)若AD=AB,证明：BC⊥平面PBD; 3 (3)若二面角A-PB-D的正弦值为，求AD的长， 25.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，D,，E分别是BB,和AC的中点. C B A (1)证明：平面AC,D⊥平面ACC,4; ②若8=2，平面4C,D与平面ABC的锐二面角的余弦值为25，求该三棱柱的体积 5 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 26,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD为平行四边形，∠B1D-了PB=2AB=2,PB18D, CD⊥平面PBD,点N在棱PC上. B D (1)求PA; (2)若PA//平面BDN,求三棱锥N-PAD的体积； (同装二面角V-80-C的大小为子求兴 27.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为正方形，E,F分别为AD,PC的 中点，设平面PCD∩平面PBE=I. B (I)求证：BC⊥DF; (2)求证：DF111: (3)若PD⊥CD,二面角P-BC-D的大小为30°，求PB与底面ABCD所成角的正弦值. 10/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型六：垂直中的折叠模型 28.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角B'-AC-D 设E为B'C的中点，F为三棱锥B'-ACD表面上动点，且总满足AC⊥EF,则点F轨迹的长度为() B B D A.35 B.V3 C.35 D.3 2 29.已知矩形ABCD中，AB=2,BC=1,折叠使点A,C重合，折痕为MN,打开平面ADMN,使二面角 4-MN-C的大小为学则直线MN与直线4C的距离为() A.3 B.5 C.1 D.3 2 4 30.如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将ADE沿DE翻折到△SDE, △BEF沿EF翻折到△SEF, D C (I)求证：平面SEF⊥平面SFD; (2)当F是边BC的中点时，求二面角S-EF-D的余弦值； (3)若BF>1,连接DF,设直线SE与平面DEF所成角为O,求sin0的最大值 31.如图1，在△PAB中，PA⊥AB,PA=2√5，D,C分别是PA,PB的中点，现将△PDC沿DC逆时 针翻折形成四棱锥P'-ABCD(如图2)，且P'A=√3，直线P'C与平面PAD所成的角为45°. 11/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 (I)求证：平面P'AB⊥平面PAD; (2)求四棱锥P'-ABCD的体积； (3)求二面角C-P'A-D的正切值. 32.如图1，在直角梯形A8CD中，4D1BC,∠ABC-受4B=BC=2AD=4,EF分别是4B,CD的中点， 沿EF将梯形ABCD翻折，使AB=2,如图(2)， E E B (1) (2) (I)证明：平面EFCB⊥平面ABE; (2)求点E到平面ABF的距离； (3)求CD与平面BCFE所成角的正切值， 题型七：补全面面垂直的条件 33.如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面OAD是正三角形，面QAD⊥面ABCD,M 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是OD的中点 M B (I)求证：QB|平面AMC; (2)求直线AC与平面QCD所成角的正弦值； ()在棱QC上是否存在点N使平面BDV1平面4MC成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由 NC 34.如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC,∠BAC=90°，点M,N分别为A'B和 B'C'的中点. 子 (I)证明：MN∥平面AA'C'C; (②)设AB=1AA',当2为何值时，CN⊥平面AMN?试证明你的结论. 35.如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD ,M是QD的中点. 13/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：AM⊥平面QCD; (2)求侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值； ③在枝QC上是否存在点V使平面5Dv1平面，C成立？如果存在，求出，如果不存在，说明军由 36.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为的菱形，侧面PAB为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD,点G,E分别为AB,CD的中点. D E D (I)求证：DG⊥平面PAB; (2)求证：AB⊥PD; (3)能否在PC上找出一点F,使得平面BEF⊥平面ABCD？若能，求出点F的位置；若不能，请说明理由。 37.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，M为棱AC的中点，AB=BC,AC=2,AA,=V2.在棱BB,上是 否存在点M,使得平面AC,N1平面A4CC?如果存在，求此时B N 的值；如果不存在，请说明理由 14/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 4 C ( C 38.如图所示，边长为4的正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，M、Q分别是PC,AD的 中点 M (I)求证：PA/面BDM; (2)求多面体P-ABCD的体积； (3)试问：在线段AB上是否存在一点N,使面PCN⊥面PQB？若存在，指出N的位置，若不存在，请说明 理由. 15/15 专题11 平面与平面垂直七大题型 题型一：面面垂直有关命题的判断 题型二：证明面面垂直 题型三：面面垂直证明线面垂直 题型四：求空间二面角 题型五：已知二面角求其他 题型六：垂直中的折叠模型 题型七：补全面面垂直的条件 题型一：面面垂直有关命题的判断 1．设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，如果，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，因为，所以存在直线，使得， 又，所以或， 当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知， 所以由平行传递性可得； 当时，因为，，所以直线与直线重合，故. 综上，若，，则，故C正确； 对于D，若，，所以或， 当时，存在直线，使得， 又因为，所以，则； 当时，因为，所以. 综上，若，则，故D正确. 2．已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得或相交，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：C 3．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误. 4．（多选）设是直二面角，直线，直线，a，b与l都不垂直，那么下列说法错误的是（   ） A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直，也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行 【答案】ABD 【详解】由题意，当，时，，故A，D错误； 若，因为b与l不垂直，在b上取点A，过A作． 由面面垂直的性质定理得， 因为，所以．又，，， 所以，这和a与l不垂直相矛盾，所以不可能有．故B错误． 故选：ABD 题型二：证明面面垂直 5．如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 6．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，且分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由分别是的中点，得且， 又四边形为正方形，则且， 因此且，四边形为平行四边形，则， 而平面，且平面，所以平面. （2）由底面，平面，得， 在正方形中，，而，平面， 则平面，又平面，于是， 而且为的中点，则， 由，且平面，得平面， 又平面，所以平面平面. 7．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图所示，连接，    因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 8．如图，在五面体中，平面平面，，，，. (1)证明：； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1），平面，平面， 平面， 又平面平面，平面，所以. （2）由（1），又，则， 又，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面， 又平面，则， 而平面，，故平面， 又平面， 所以平面平面. 9．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.    （2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.    10．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； (3)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （3） 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 题型三：面面垂直证明线面垂直 11．在平行四边形中，，将沿对角线折起，使得平面平面，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 在中，因为， 由余弦定理可得，所以， 则满足，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为在平行四边形中，可得所以， 把折叠后的三棱锥放置在一个长方体中，如图所示， 连接，在长方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 因为， 在直角中，， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 12．如图所示，已知平面平面BCD，且，，则点C到平面ABD的距离是__________. 【答案】 【详解】作，垂足为，连接， 由题意可知：，则， 因为，平面平面BCD，平面平面，平面， 则平面BCD，且平面BCD，可得， 根据对称性可得，，则， 可得， 设点C到平面ABD的距离为， 因为，则，解得， 所以点C到平面ABD的距离是. 故答案为：. 13．如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直. (1)证明: 平面平面; (2)若为上一点，且平面,，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）由，得，又平面平面， 平面平面平面，则平面， 由平行四边形，得，则平面，又平面， 所以平面平面． （2）由平面，得到平面的距离等于点到平面的距离， 连接交于点，连接，如图， 由平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，由，得， 在Rt中，，则，且，为等边三角形， 因此，而平面，则平面， 的长即为点到平面的距离，而， 所以到平面的距离为. 14．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点.．    (1)求证：是直角三角形； (2)求四棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）（1）设平面平面PCD， 由于，平面PDC，平面PDC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． （2）（2）由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD，因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为，四棱锥体积最大为． 15．如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接． 在中，分别为的中点，所以，且． 由已知，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2）在矩形中，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． 在直角梯形中，，，可得． 在中，，， 因为，所以． 因为，平面， 所以平面． 16．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)设棱与平面交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】 【详解】（1）证明：取中点，连， ，是的中点， ，, 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面， ，平面, 平面平面， 平面，直线平面； （2）因为，所以，又，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， （3）作点满足，则,,,四点共面， 又，所以， 所以四边形是平行四边形，则，又， 所以，即，，，四点共面，平面平面， 则与平面的交点必定在上， 所以与的交点即为与平面的交点， 所以，所以， 题型四：求空间二面角 17．在正四棱锥中，的面积为3，的面积为4，则该四棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作平面于点，连接，取的中点，连接， 在正四棱锥中，易得，又因，可得， 则即侧面与底面所成的二面角的平面角. 设，则， 依题意，的面积为， 的面积为，即得， 在中，. 故选：B. 18．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【答案】60° 【详解】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 19．如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 在中，，则， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. (1)证明：； (2)求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， （2）如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别在上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 在中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 21．在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】 【详解】（1）取的中点为，在线段上取点， 使得，连接、、. 因为，所以， 所以，且. 因为和分别为和的中点， 所以，且 因此且， 所以四边形是平行四边形，因此． 又因为平面平面， 所以平面. （2）因为，所以． 因为底面，所以三棱锥的高为， 又因为 故. 连接． 因为分别是的中点， 所以，又因为平面 所以平面 过点作，垂足为点，连接 因为平面，且平面， 所以，又因为，且， 所以平面. 又因为平面，所以，又， 所以即为二面角的平面角, 因为平面，且平面，所以． 故为直角三角形． 在Rt中，，所以 所以平面与平面的夹角大小为. 22．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是棱的中点，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面， 平面，得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，，平面， 所以平面． （2）如图，取，中点、，连接、、， 因为底面为矩形，侧面是正三角形， 所以，，且且都在平面内， 所以平面，又， 所以平面，，平面， 所以，， 所以就是二面角的平面角， 由（1）知平面，因为，所以平面， 面，则， 在直角三角形中，， 又正三角形中，则， 所以，所以， 即二面角为． 题型五：已知二面角求其他 23．如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【答案】2 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 24．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. (1)证明：平面； (2)若，证明：平面； (3)若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1） 如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2） 如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故,    又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 25．如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：连接,则与相交于， 由于三棱柱为正三棱柱， 故为等边三角形， 故,, 结合是与的中点，所以, 又与相交于，且平面， 故平面， 平面，故平面平面， （2）延长与的延长线交于点,连接, 则平面与平面相交于直线， 由于是的中点，故,即是的中点， 因此,故， 又平面，平面， 故, 平面， 故平面，平面， 故，又，因此为平面与平面所成的角， ,故， 因此, 故三棱柱的体积为 26．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． (1)求； (2)若平面，求三棱锥的体积； (3)若二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】 【详解】（1）∵平面，平面，∴平面平面， 又∵，平面，平面平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为直角三角形， ∴，即． （2）连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，可知为的中点，而平面平面，故， 在中，，，， ∴，，， ∴ ． （3）由题意知平面，过点作的平行线交于点， ∴平面，再作（为垂足）， 因为平面，故，而平面， 所以平面，而平面，故， ∴为二面角的平面角，， 由（2）可知，∴是等腰直角三角形， 同理也是等腰直角三角形，从而， 在中，，，∴， 不妨设，，则且， ∴，∴． 27．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）取的中点，连接，，    因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. （3）因为平面，平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为.    题型六：垂直中的折叠模型 28．已知菱形的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，， 所以，均为等边三角形， 故⊥，⊥，且， 为二面角的平面角，则， 故为等边三角形，， 又，平面， 所以⊥平面， 又E为的中点，取的中点，的中点， 连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 因为，平面， 故平面平面， 所以⊥平面， 故点F轨迹为（除外）， 故点F轨迹的长度为.    故选：A 29．已知矩形中，，折叠使点A，C重合，折痕为，打开平面，使二面角的大小为，则直线与直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】如图，设的中点为P，则折叠后二面角的平面角为． 又，于是是边长为的正三角形． 设的中点为Q，则为与的公垂线段，也即直线与直线的距离，为． 故选：B. 30．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到， (1)求证：平面平面； (2)当F是边BC的中点时，求二面角的余弦值； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）证明：因为是正方形，为的中点，所以，， 又因为,且平面，所以平面， 因为平面SEF，所以平面平面. （2）解：取的中点，由题意得，则，， 所以二面角的平面角为， 在中，因为，，， 可得，所以二面角的余弦值为. （3）解：设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角， 设，则， 可得， 在中，由，，， 可得，且， 因为，即，可得， 又因为，所以， 令，则，则， 令，任取， 则， 因为，，，所以即， 所以在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值为. 31．如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）过点作，垂足为， 因为平面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以，则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以四棱锥的体积； （3）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 由（2）知，为等边三角形，则点为中点，， 在中，， 在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 32．如图（1），在直角梯形中，分别是的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2）. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以， 因为， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）如图所示，取中点，连接， 因为， 所以为等边三角形， 所以，， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面 因为分别为的中点， 所以为梯形中位线， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 同理可得，， 又因为， 所以是等腰三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为， 所以， 解得，. 所以点到平面的距离为. （3）如图所示，过作，使，过作，垂足为，连接HC， 所以， 所以四边形为矩形， 所以， 又， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面， 所以平面， 所以即为与平面所成角， 因为， 所以， 故与平面所成角的正切值为. 题型七：补全面面垂直的条件 33．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：设，连接， 因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面 （2）因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为为等边三角形，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设正方形的边长为2，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在，当时，平面平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设，则，所以， 由（2）知平面， 因为平面，所以，所以， 因为， ， 所以， 所以，得，解得， 所以当时，平面平面. 34．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 35．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； （3）当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.    【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 36．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，点，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)能否在上找出一点，使得平面平面？若能，求出点的位置；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)能，F为的中点 【详解】（1）证明：如图，连接，因为四边形是菱形，所以. 又因为，所以是等边三角形，所以. 因为平面平面，平面,平面平面 所以平面. （2）证明：因为为正三角形，且为中点，所以 由，，，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以. （3）能，且F为的中点.连接交于M，连接，，，， 因为四边形为菱形，所以且， 又因为，分别是，的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以.又因为，所以. 由（1）知平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 37．如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】存在， 【详解】当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为，M为棱的中点，故, 又因为平面ABC,平面ABC, 故，由平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 38．如图所示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，、分别是，的中点． (1)求证：面； (2)求多面体的体积； (3)试问：在线段上是否存在一点，使面面？若存在，指出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点，为中点 【分析】 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，由正方形知为的中点， 为的中点，，平面，平面，平面； （2）解：∵为正三角形，为中点，故，又平面平面，平面平面于，故平面， 故多面体的体积； （3）存在点，当为中点时，平面平面， 四边形是正方形，为的中点，． 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面，平面平面． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $