专题09 平面与平面平行六大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

**基本信息** 以六大题型系统构建面面平行认知体系，从概念判断到动态问题形成完整逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题判断|5题|以选择、多选形式辨析面面平行概念及相关命题真假|从基础概念出发，建立面面平行的认知起点| |面面平行证明|6题|结合正方体、三棱台等几何体，应用判定定理证明|衔接概念判断，强化定理应用能力| |证线线平行|5题|利用面面平行性质推导线线平行关系|体现面面平行性质的直接应用| |证线面平行|6题|通过面面平行性质证明线面平行|深化性质应用，构建线面-面面转化逻辑| |根据面面平行求值|5题|求解线段长度、比例等计算问题|从定性分析过渡到定量计算| |动点问题|6题|探究动点轨迹及线段长度最值|综合应用知识，提升空间想象与动态分析能力|

专题09 平面与平面平行六大题型 题型一：有关面面平行命题的判断 题型二：面面平行的证明 题型三：面面平行证线线平行 题型四：面面平行证线面平行 题型五：根据面面平行求值 题型六：面面平行中的动点问题 题型一：有关面面平行命题的判断 1．下列说法错误的是（　　） A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B．一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 C．平行于同一个平面的两平面平行 D．夹在两个平行平面间的平行线段相等 【答案】A 【详解】A中，直线还可以在平面内，A错误； B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确． 故选：A. 2．设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确； 对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误； 对于D，若，则或与异面，故D错误. 3．（多选）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（    ）. A．，， B．， C．，且 D．，，， 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，由面面平行的性质定理可得，故A正确； 对于B，由，则与可能相交，平行，故B错误； 对于C，由，，则还可能在面或面内，故C错误； 对于D，由，当与平行时，与可能相交，故D错误. 故选：BCD. 4．（多选）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A中，若，则与平行或异面，所以A不正确； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，所以C正确； 对于D中，若，则与平行或相交，所以D错误. 故选：ABD. 5．（多选）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断错误的是（    ）      A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 【答案】BCD 【详解】依题意，标出各点位置如下图所示， A选项，根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面. 根据正方体的性质可知，同理可证得平面. 由于平面，， 所以平面平面，A选项正确. B选项，根据异面直线的知识以及图象可知与异面，B选项错误. C选项，平面即平面，由图可知，与平面相交，所以C选项错误. D选项，根据异面直线的知识以及图象可知与异面，D选项错误. 故选：BCD    题型二：面面平行的证明 6．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以，，， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 且三棱锥和三棱锥高之比也为， 由等角定理得，， 所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 7．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，又点分别为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 连接，又点分别为棱的中点，所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面. 所以，即三点共线. 8．如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 9．如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 10．如图，几何体为正三棱台，且，点满足． (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以为的中点． 连接．因为，所以， 则为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． （2）连接．因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． 因为为的中点，，所以， 所以为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． 因为，所以平面平面． 11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 题型三：面面平行证线线平行 12．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 13．如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 【答案】证明见解析 【详解】平面平面， 平面. 四边形为正方形，， 平面，平面， 可得平面. 平面平面， 平面平面. 平面平面平面平面， . 14．如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 15．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为底面中心，M,E分别为PA,PD的中点，为等腰直角三角形，且. (1)若平面平面，判断直线与BC的位置关系并证明； (2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值； (3)若F,N分为CE,DE的中点，点在线段PB上，且，若平面平面ABCD，求实数的值. 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1） 证明：因为底面ABCD为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 又因为面，面平面， 所以. （2） 连接，则为中点，又点为中点，所以， 异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）连接，如图所示， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 则，即，所以. 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii） 【分析】 【详解】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）（i）因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； （ii）当为的三等点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以平面， 由（i）可知，因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 题型四：面面平行证线面平行 17．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】如图， 取的中点，取的中点，连接，则， 又面，面，所以平面， 又为的中点，所以， 又面，面，所以平面， 又，面，面，所以平面平面， 又因为是侧面上一点，且平面， 所以的轨迹为线段， ， 所以点的轨迹的长度为. 故选：B. 18．如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. （2）取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如下图，取中点G，连接， 因为E，F分别为棱BC，PA的中点，G为AD中点，所以， 由在平面内，不在平面内，故平面， 由在平面内，不在平面内，故平面， 又且都在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 20．如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】 因为底面是矩形，所以， 因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，， 因为平面，平面，故平面， 又因为，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. 21．已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 22．如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    【答案】证明过程见解析 【详解】在上取，使得，则， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，所以，则， 又中，，故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面.    题型五：根据面面平行求值 23．如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正方体中， 因为平面∥平面，且平面， 所以∥平面， 因为平面平面，平面， 所以， 又，分别是，的中点，所以∥， 又∥，由平行的传递性可知∥， 因为，所以 所以， 故在直角三角形中，. 故选：C. 24．已知直三棱柱中，，，，P是的中点，Q在棱上，且，M在棱上，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取上一点，使得，取上一点，使得，连接，取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证明平面，再由面面平行的性质定理可得平面，故重合，即可得出答案. 【分析】 【详解】因为平面平面，根据面面平行的性质定理，可得：， 所以，，又， 所以， 因此， 又，所以. 故答案为：9 26．已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则__________. 【答案】15 【详解】如图，连接与平面交于点，连接， 因为，且平面平面，平面平面， 所以所以， 同理可得，所以， ，由，得， 又， . 故答案为：. 27．如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则______，______. 【答案】 /0.5 /0.4 【详解】设, ,则, 由题意可知，由面面平行的性质定理可得该截面六边形的对边分别平行，即, , 则, 又因为, , 所以, 则, 由 , 可 得 , 所以, 由~,可得, 所以, 则, 解得, 所以 故答案为 28．如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   题型六：面面平行中的动点问题 29．在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】分别取，的中点为，，连接，，， 又点M是的中点，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点N是侧面上的一个动点，且平面， 所以点在平面上的轨迹为线段，在中，可知， 所以当时，的长度最小，即， 所以的最小值为. 30．棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】如图平面即平面，取的中点， 连接， 因为，，且， 所以，所以四点共面， 平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以点的轨迹是四边形， 因为，所以平面，平面, 所以，所以四边形是矩形，，， 所以四边形的面积为. 故选：A 31．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设分别是的中点，连接， 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面， 同理可证得平面，由于平面， 所以平面平面. 由于平面，所以点的轨迹是线段， 设是的中点，连接， 由于都是等腰三角形，则， 所以此时最小，， 同理可得，所以的最小值为. 故选：D 32．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】过点分别作交于点，交于点，连接， 要想平面， 则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：B. 33．如图，已知长方体， 分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【详解】根据题意取的中点，连接， 如图所示： 因为分别为的中点， 所以在中，可得， 平面，平面，因此平面， 又，所以，且 所以四边形为平行四边形， 所以， 平面，平面，因此平面， 又，， 所以平面平面， 所以当点在线段上运动时，直线与平面无公共点， 因此线段就是点的轨迹，且 即点的轨迹长度为， 故答案为：. 34．如图，正四棱锥的所有棱长都为为的中点，是底面内（包括边界）的动点，且平面，则长度的取值范围是__________. 【答案】 【详解】如图（1），设的中点分别为，连接，则.因为平面平面，所以平面. 又平面平面，所以平面. 又，所以平面平面，所以动点在线段上运动. 设的中点分别为，连接， 则在等腰梯形中，只需求出点与线段上的点的距离的取值范围. 易知，如图（2），作，则，所以长度的取值范围是. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平面与平面平行六大题型 题型一：有关面面平行命题的判断 题型二：面面平行的证明 题型三：面面平行证线线平行 题型四：面面平行证线面平行 题型五：根据面面平行求值 题型六：面面平行中的动点问题 题型一：有关面面平行命题的判断 1．下列说法错误的是（　　） A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B．一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 C．平行于同一个平面的两平面平行 D．夹在两个平行平面间的平行线段相等 2．设是两条不同的直线，是三个不同的平面 则下列选项正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（多选）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理错误的是（    ）. A．，， B．， C．，且 D．，，， 4．（多选）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断错误的是（    ）      A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 题型二：面面平行的证明 6．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则__________． 7．如图，在正方体中，点分别为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)记平面平面平面，求证：三点共线. 8．如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 9．如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 10．如图，几何体为正三棱台，且，点满足． (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 11．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 题型三：面面平行证线线平行 12．如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 13．如图，空间六面体中，，，平面平面为正方形，平面平面.求证：； 14．如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 15．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为底面中心，M,E分别为PA,PD的中点，为等腰直角三角形，且. (1)若平面平面，判断直线与BC的位置关系并证明； (2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值； (3)若F,N分为CE,DE的中点，点在线段PB上，且，若平面平面ABCD，求实数的值. 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 题型四：面面平行证线面平行 17．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 18．如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． (1)证明：，，、四点共面． (2)若是线段CG上的动点，证明：平面． 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，分别为棱，的中点，且，.证明：平面. 20．如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 21．已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 22．如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    题型五：根据面面平行求值 23．如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 24．已知直三棱柱中，，，，P是的中点，Q在棱上，且，M在棱上，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 26．已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则__________. 27．如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则______，______. 28．如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 题型六：面面平行中的动点问题 29．在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 30．棱长为1的正方体中，是的中点，点在正方体内部及表面上运动，满足平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D．1 31．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（   ）. A． B． C． D． 32．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 33．如图，已知长方体， 分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为______. 34．如图，正四棱锥的所有棱长都为为的中点，是底面内（包括边界）的动点，且平面，则长度的取值范围是__________. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $