专题10 直线与平面垂直八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

专题10 直线与平面垂直八大题型 题型一：求异面直线所成的角 题型二：证明异面直线垂直 题型三：线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 题型四：线线垂直⇔线面垂直 题型五：补全线面垂直的条件 题型六：求点到平面的距离 题型七：求直线与平面所成的角 题型八：已知线面角求其他 题型一：求异面直线所成的角 1．在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 2．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 3．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱柱中，，则， 取中点，中点，中点，连接、、， 如图， ，且， ，且， (或其补角)就是异面直线与所成的角. 在中，，， ， 故. 同理，在 中，，， ， 故. 过作于，连接， ，故是中点， 所以，又， 所以 在中： ，，， 所以是等腰三角形，且. 所以与所成的角为其补角. 故选：B. 4．如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 5．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 题型二：证明异面直线垂直 6．若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 7．（多选）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______． 【答案】AB，A1B1 【详解】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1． 故答案为：AB，A1B1. 8．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 9．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 题型三：线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 10．已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】选项A：若，，和可能平行，也可能异面，不是一定平行，A错误. 选项B：由线面垂直的判定定理可知：直线垂直于平面内两条相交直线才能推出线面垂直， 题干中未指明和不相交，不满足定理条件，B错误. 选项C：由面面平行的判定定理可知：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，才能推出面面平行， 题干中和可能平行，此时和仍可以相交，C错误. 选项D：根据线面垂直的性质：若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与该直线平行， 则另一条直线也垂直于这个平面，结论成立，D正确. 11．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】选项A：若，，则，选项A错误，有可能在平面内； 选项B：若，，则，选项B错误，两条直线都平行于同一个平面时，它们的位置关系可以是平行、相交或异面； 选项C：若，，则，选项C错误，的位置不确定，它可以平行于、在内，或与斜交，不一定垂直于； 选项D：若，，则，选项D正确，根据线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线. 故选：D 12．设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且．下述说法正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则或 D．若与所成的角相等，则 【答案】B 【详解】对于A，因，由，则有或，故A错误； 对于B，如图所示，因，经过直线和平面内一点A可作一个平面， 使，则，又因，同理可作平面，使，则， 故，又因，则得，因，故得，故，即B正确； 对于C，如图，在长方体中，，显然有，但与平面都不垂直，故C错误； 对于D，如图在长方体中，若，取直线为直线， 平面为平面，平面为平面，则直线即直线， 因，故和即b与平面α，β所成的角， 显然，但直线与不垂直，故D错误. 故选：B. 13．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，，则，可能平行、异面或者相交 B．若，，则与可能平行、相交或者 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】若，则可能平行､异面或者相交，故A正确； 若，则与可能平行､相交或者，故B正确； 若，则与可能平行，也可能，故C错误； 若，由线面垂直的性质定理可知，故D正确. 故选：C. 14．（多选）设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D．若l，m是异面直线，，，且，，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误． 对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误． 对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误． 对于D，因为，设平面平面，，所以， 因为l，m是异面直线，，所以l，a相交， 因为，，，所以， 因为，，l，a相交，所以，D正确． 故选：ABC 题型四：线线垂直⇔线面垂直 15．圆锥中，轴截面为正三角形，，为底面圆的两条相互垂直的直径，点P为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，如图，连接， 因为P，O分别为，的中点，所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 因为，，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 设，所以在中，，， 所以. 故选：C. 16．（多选）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】AC 【详解】因为，，所以为等腰直角三角形，， 因为，则，又，所以为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，则，又为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为过一点作直线的垂面有且只有一个，所以与平面不垂直， 故选项不正确，选项C正确； 因为与平面不垂直，且， 所以不垂直（否则平面，不合题意）. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 假设，又平面，所以平面， 因为平面，所以，与不垂直矛盾， 所以不垂直，故选项D不正确． 故选：AC. 17．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 【答案】 【详解】连接，因为平面，平面， 所以，又，， 所以平面，又平面，则， 由矩形可知. 因为， 所以,解得， 则， 故答案为：. 18．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 19．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 20．如图，在四棱锥中，底面，四边形ABCD是平行四边形且，M，N分别是AB，PC的中点， (1)求证：平面; (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为分别为，，的中点， 所以，， 又因为，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）由于底面，底面，则， 又四边形ABCD是平行四边形且，故, 平面， 故平面，平面， 故. 题型五：补全线面垂直的条件 21．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C 22．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 【答案】1或2/2或1 【详解】由已知得平面，又平面，所以， 若CF⊥平面，则必有， 设，则，，， 所以由得，解得或2， 所以当或2时，CF⊥平面. 故答案为：1或2. 23．如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2. (1)求PC与平面PBD所成的角； (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)30° (2)存在，E为PB的中点 【分析】 【详解】（1）解：设AC交BD于O， ∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PD⊥AC， 又BD⊥AC，且，∴OC⊥平面PBD， 又平面PBD，∴OC⊥OP， ∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角， ∵PD=AD=2，∴AC=，∴OC= ，PO= ， ∴tan∠CPO= = ，∴∠CPO=30° ， 即PC与平面PBD所成的角为30°； （2）解：在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点，使得PC⊥平面ADE ， 因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以， 又因， 所以BC⊥平面PDC，因为平面PDC，所以DF⊥BC， 又取PC的中点F，取PB的中点E，连结EF，则， 所以PC⊥EF， 因为PD=DC，所以DF⊥PC， 又因为，所以PC⊥平面DEF， 因为，所以， 则平面即为平面， 所以PC⊥平面ADE. 所以在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点时，PC⊥平面ADE. 24．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点. (1)求证：BC1⊥A1C； (2)求证：EF∥平面A1C1CA； (3)在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在, 【分析】 【详解】（1）证明：因为，又平面平面， 且平面平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）证明：取中点，连，连． 在中，因为，分别是，中点， 所以，且． 在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且． 所以，且． 所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． （3）解：在线段上存在点，使得平面． 取的中点，连，连． 因为平面，平面，平面， 所以，． 在中，因为，分别是，中点，所以． 又由（2）知，所以，． 由，平面，所以平面． 故当点是线段的中点时，平面．此时． 25．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点． 【分析】 【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且， ∴，. ∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE． ∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD， ∴BM∥平面PAD． （2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下： ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD， ∵PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABME． 作MN⊥BE，交AE于点N， ∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E， ∴MN⊥平面PBD． 易知△BME∽△MEN，而， ∴，即，而， ∴N为AE的中点． 【点睛】关键点点睛： （1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行； （2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN⊥平面PBD，结合三角形相似确定N的位置. 题型六：求点到平面的距离 26．已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 则，设点C到平面的距离为h， 则， 又因为， 所以， 故选：A 27．在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点到平面的距离为， ∵两两垂直，且， ∴，， ∴， 又，，，平面， 所以平面， ∵，即 ∴， ∴，即点到平面的距离为， 故选：D 28．如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【详解】连接. 因为为直三棱柱，所以平面，. 又平面，所以， 所以，. 因为平面，平面，，所以平面， 所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 设点到平面的距离为，则，即，所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 29．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 30．如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面      （2）证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即 ∵，平面，平面， ∴平面， （3）解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 题型七：求直线与平面所成的角 31．若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意设圆台上底面半径为，则下底面半径为，圆台的母线长为，如下图所示：    依题意可得，所以，可得； 过作平行于的直线交于点，圆台的母线与底面所成的角即为， 易知，由勾股定理可得, 因此，即圆台的母线与底面所成角的正弦值为. 故选：B 32．如图，在正三棱柱中，，.则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接、，如图： 因为三棱柱是正三棱柱，所以为等边三角形，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 所以为直线与平面所成角. 又，， 因为平面，平面，所以， 所以，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 故选：D 33．如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意易得 又因为且面， 所以平面. 如图过点作的平行线，并与的延长线交于点， 所以平面. 连接，则直线与平面所成的角为． 在中，， 由，，可得. 由，可得. 则，则． 故选：C.    34．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为___________.    【答案】/ 【详解】连接，因为是正方体，所以平面， 又平面，所以，即是直线与平面所成角，    由题意，正方体的棱长为1，所以， 又是棱的中点，所以，所以， 所以. 故答案为： 35．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）证明：连接交于点， 分别为，的中点， ， 平面，且平面， 平面； （2）， 与所成角大小等于与， 为的中点， ，即与所成角的大小为； （3）连接，过作于点， 平面，且平面， ，又且,且两直线在平面内， 平面， 平面， ，又，且，,且两直线在平面内， 平面， 直线与平面所成角大小等于， 正方体的边长为， . 36．如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，M为PD的中点．请用几何法求解下列问题： (1)证明∶ 平面； (2)设，求直线BM与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接， 由为正方形，得是的中点，而M为PD的中点， 则，而平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，由M为PD的中点，得， 而平面，则平面，是直线BM与平面所成的角， ，在中，， 所以直线BM与平面所成角的正切值是. 题型八：已知线面角求其他 37．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（    ） A．224 B．448 C． D．147 【答案】B 【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图， . 因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等， 所以底面，又，所以底面， 所以是“刍童”其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则， 因为，所以， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，，则，即“刍童”的高为， 则该刍童的体积. 故选：B． 38．已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 设，则， 所以，所以， 连接连接，由长方体的性质知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角即为直线与直线所成角， 在中，， 所以由余弦定理得， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A    39．在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于_____________. 【答案】 【详解】由题意可得平面，所以是与底面所成角， 因为与底面所成角的正切值为，所以， 因为底面ABCD为正方形，且边长为，所以，则，所以 故答案为： 40．如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点．    (1)求证：； (2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以为正三角形，平面， 因为为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面, 所以平面， 因为平面，所以， （2）连接，， 由（1）得平面，所以为与平面所成角， 所以， 因为，为正三角形，所以，, 在直角中，，则，得， 所以， 所以三棱柱的表面积为    41．直三棱柱中，，. (1)求证：平面. (2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）三棱柱为直三棱柱，平面， 又∵平面，， 又∵，即， 又∵，平面， 平面. （2）三棱柱为直三棱柱，平面， 即为与平面所成角，； ，，， ， . 42．如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 如图所示，取中点，连接， 是正三角形， 又平面平面，且平面平面， 平面，平面,， ，且， 平面； （2） 如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接， 设，，则， 由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角， 平面，， 则，， 解得：， 故，，且，即，解得，，， 又，所以平面，， ，且，即，解得，，， 所以点为线段的中点，故点也为线段中点， 所以，， 所以即为二面角的平面角， . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 直线与平面垂直八大题型 题型一：求异面直线所成的角 题型二：证明异面直线垂直 题型三：线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 题型四：线线垂直⇔线面垂直 题型五：补全线面垂直的条件 题型六：求点到平面的距离 题型七：求直线与平面所成的角 题型八：已知线面角求其他 题型一：求异面直线所成的角 1．在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 题型二：证明异面直线垂直 6．若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 7．（多选）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______． 8．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 9．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 题型三：线面垂直的性质定理与判定定理的命题的判断 10．已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 11．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 12．设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且．下述说法正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则或 D．若与所成的角相等，则 13．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，，则，可能平行、异面或者相交 B．若，，则与可能平行、相交或者 C．若，，则 D．若，，则 14．（多选）设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D．若l，m是异面直线，，，且，，则 题型四：线线垂直⇔线面垂直 15．圆锥中，轴截面为正三角形，，为底面圆的两条相互垂直的直径，点P为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）． A． B． C． D． 16．（多选）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 17．在矩形中，，，平面，且，E为上一点，，则的长为______________． 18．如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 19．如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 20．如图，在四棱锥中，底面，四边形ABCD是平行四边形且，M，N分别是AB，PC的中点， (1)求证：平面; (2)求证：． 题型五：补全线面垂直的条件 21．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 23．如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2. (1)求PC与平面PBD所成的角； (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由. 24．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点. (1)求证：BC1⊥A1C； (2)求证：EF∥平面A1C1CA； (3)在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 25．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 题型六：求点到平面的距离 26．已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 27．在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（    ） A．1 B． C． D． 28．如图，在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为________________. 29．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 30．如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 题型七：求直线与平面所成的角 31．若圆台的下底面半径为上底面半径的2倍，侧面积等于上、下底面面积之和，则圆台的母线与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在正三棱柱中，，.则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 33．如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，，，，．现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接．若，则直线与平面所成的角为（    ）    A． B． C． D． 34．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为___________.    35．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 36．如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，M为PD的中点．请用几何法求解下列问题： (1)证明∶ 平面； (2)设，求直线BM与平面所成角的正切值． 题型八：已知线面角求其他 37．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（    ） A．224 B．448 C． D．147 38．已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 39．在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于_____________. 40．如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点．    (1)求证：； (2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积． 41．直三棱柱中，，. (1)求证：平面. (2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积. 42．如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $