专题06 空间几何体与斜二测画法六大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

专题06 空间几何体与斜二测画法六大题型 题型一：斜二测画法的概念辨析 题型二：画平面图形的直观图 题型三：画空间图形的直观图 题型四：由直观图还原几何图形 题型五：斜二测画法中的长度计算 题型六：斜二测画法中的面积计算 题型一：斜二测画法的概念辨析 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等 【答案】BD 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半， 所以相等的线段在直观图中不一定相等，故A错误； 平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行，故B正确； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴， 在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直， 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角， 在斜二测画法中可能变成45°或135°等，故C错误； 斜二测直观图面积是原图形面积的， 所以面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等，故D正确. 2．（多选）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 【答案】CD 【详解】在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，A，B错误， 但线段上点的相对位置不变，直角梯形的直观图可能是等腰梯形，C，D正确． 故选：CD. 3．（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 4．如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】斜二测画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 所以的对应点画对了，的对应点画错了. 5．阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 【答案】④ 【详解】对于①，如图所示，设的平面直观图是边长为的等边， 根据斜二测画法，可得为不等边三角形，所以①不正确； 对于②，由斜二测画法的规则，两条相交直线的直观图仍为两条相交直线，所以②错误； 对于③，利用斜二测画法，两条垂直的直线的直观图可能是垂直直线，也可能是相交不垂直的直线，所以③错误； 对于④，如图所示，设梯形为等腰梯形，其中，且， 由斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，可得直角梯形的直观图为等腰梯形， 所以直角梯形的直观图可能是等腰梯形，所以④正确； 对于⑤，根据斜二测画法的规则知，在利用斜二测画法画直观图时，平行性不变，与平行或重合的线段的长度不变，与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半， 若一个直角三角形的内角是，其三边的比为，无论怎么放置，画出其直观图后都不可能是等边三角形，所以⑤错误. 对于⑥，根据斜二测画法的规则知，一个平行四边形的直观图中其对角线一定相互平分，所以⑥错误； 故答案为：④. 题型二：画平面图形的直观图 6．画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【答案】作图见解析 【详解】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴， 垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②. （3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③.    7．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为，    以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为.    8．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    【答案】答案见解析，的面积为 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示，则的面积为.    9．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】答案见解析 【详解】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 10．用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【详解】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 题型三：画空间图形的直观图 11．画出棱长为3cm的正方体的直观图． 【答案】答案见解析. 【详解】(1)作水平放置的正方形的直观图，使，. (2)过点A作z′轴，使，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取. (3)连接如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．    12．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 13．用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 【答案】答案见解析 【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O(A)，使得 . （2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm,在y轴正半轴上取线段AD,使AD=2cm, 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C,则就是长方体的底面ABCD的直观图. （3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过B,C,D各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段 . （4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的长方体的直观图 14．一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm，画出它的直观图（比例尺为），并计算该棱锥的体积． 【答案】直观图见解析， 【详解】如图， 因为比例尺为，所以先画出底面边长为2cm的正六边形ABCDEF的直观图， 则，连接AD与BE，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心， 过点O作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD、PE、PF，则作出底面边长为6cm，高为15cm的正六棱锥的直观图，且比例为. 在正六棱锥中，底面边长，高， 连接，，则是边长为2的正三角形， ， ． ，又比例尺为，所以原正六棱锥的体积为． 题型四：由直观图还原几何图形 15．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【详解】在矩形中，， 所以直观图还原得. 四边形为平行四边形，， ，所以，， 则. 所以，故原图形为菱形. 16．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为. 故选：A 17．水平放置的图形直观图如图所示，其中，，那么原图形是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边互不相等的三角形 D．三边中只有两边相等的等腰三角形 【答案】A 【详解】因为直观图中，，， 所以原如图，，， 所以，即是等边三角形. 故选：A 18．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． 19．如图所示,梯形是平面图形ABCD的直观图.若,,,.如何利用斜二测画法的规则画出原四边形? 【答案】见解析 【详解】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取,. 在过点D的y轴的平行线上截取.在过点A的x轴的平行线上截取.连接BC,即得到了原图形. 【点睛】本题主要考查了根据直观图画原图像的方法,属于基础题型. 20．如图，梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，，轴，，请画出它所对应的平面图形. 【答案】作图见解析 【详解】（1）延长，交轴于点，如图所示. （2）如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴正半轴上截取，过点E在第一象限内作轴，在EF上截取，，再在EF的右侧分别过点D，A作轴，轴，且使，.连接BC，则直角梯形ABCD就是所求作的梯形对应的平面图形. 【点睛】本小题主要考查斜二测画法，属于基础题. 题型五：斜二测画法中的长度计算 21．如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的周长是（   ）    A．12 B．24 C． D． 【答案】C 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且，，， 所以， 所以的周长为. 22．如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】如图，过点作轴，交轴于点， 因为直线垂直于轴，， 所以，即为等腰直角三角形， 因为，所以， 所以在原图形中，，， 所以在中，点到边的距离是 23．如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，原平面图形为直角梯形，， 周长为. 24．一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】在等腰梯形中，，，，则， 将直观图复原为原图，如图所示： 则，所以. 25．如图，矩形是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形ABCD中最长边的长度为（   ） A．6 B． C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为，， 所以，， 则原图中， 将直观图还原成原图，如下图所示： 则，则原四边形ABCD中最长边的长度为9. 26．如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过A′作y′轴的平行线，交x′轴于点C′，则，又，所以，，所以. 由直观图还原得△AOB，如图，则，，，由勾股定理可得. 27．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则在原四边形中，的长为______. 【答案】9 【详解】将直观图还原为原图，如图. 在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，所以原四边形的边的长为9. 题型六：斜二测画法中的面积计算 28．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，那么的面积是______. 【答案】 【详解】将直观图还原后，如图所示： 由，则，， 故. 29．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是_______. 【答案】 【详解】因为直观图为矩形，且,又因为 所以有， 所以直观图面积为， 所以原图形面积. 30．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 【答案】/ 【详解】设对应的平面图形为， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上，且长度不变， 在斜二测画法的图形中在轴上，还原后的图形中在轴上， 且的长度扩大为的倍， 是等腰直角三角形且，斜边，， 根据斜二测画法可知，，，, . 31．如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（   ） A．8 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】由直观图得，如图： 依题意，，轴，且，即的高为， 所以的面积为. 32．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 【答案】A 【详解】根据斜二测画法得出，，， 将直观图还原，如下图. 四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 故选： A. 33．是等腰直角三角形，且，它是在斜二测画法下的直观图，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是等腰直角三角形，且， ， . 故选：D. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 空间几何体与斜二测画法六大题型 题型一：斜二测画法的概念辨析 题型二：画平面图形的直观图 题型三：画空间图形的直观图 题型四：由直观图还原几何图形 题型五：斜二测画法中的长度计算 题型六：斜二测画法中的面积计算 题型一：斜二测画法的概念辨析 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等 2．（多选）下列说法正确的是（   ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D．直角梯形的直观图可能是等腰梯形 3．（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 4．如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（ ） A． B． C． D． 5．阅读下列说法： ①不等边三角形的水平放置的直观图一定是不等边三角形； ②两条相交直线的直观图可能是平行直线； ③画出菱形的直观图的两条对角线，其在直观图中仍然互相垂直； ④直角梯形的直观图可能是等腰梯形； ⑤一个直角三角形的内角是，则画出其直观图后可能是等边三角形； ⑥一个平行四边形的直观图中其对角线可能不再平分． 这些说法中正确的是____________． 题型二：画平面图形的直观图 6．画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    7．用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 8．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    9．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 10．用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 题型三：画空间图形的直观图 11．画出棱长为3cm的正方体的直观图． 12．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 13．用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 14．一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm，画出它的直观图（比例尺为），并计算该棱锥的体积． 题型四：由直观图还原几何图形 15．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 16．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 17．水平放置的图形直观图如图所示，其中，，那么原图形是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边互不相等的三角形 D．三边中只有两边相等的等腰三角形 18．如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 19．如图所示,梯形是平面图形ABCD的直观图.若,,,.如何利用斜二测画法的规则画出原四边形? 20．如图，梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，，轴，，请画出它所对应的平面图形. 题型五：斜二测画法中的长度计算 21．如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的周长是（   ）    A．12 B．24 C． D． 22．如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 23．如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 24．一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（   ） A． B． C．3 D．4 25．如图，矩形是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形ABCD中最长边的长度为（   ） A．6 B． C．8 D．9 26．如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（   ） A． B． C． D． 27．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则在原四边形中，的长为______. 题型六：斜二测画法中的面积计算 28．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，那么的面积是______. 29．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形的面积是_______. 30．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________． 31．如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（   ） A．8 B．16 C．18 D．20 32．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 33．是等腰直角三角形，且，它是在斜二测画法下的直观图，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $