专题08 直线与直线平行、直线与平面平行七大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

**基本信息** 聚焦线线、线面平行七大题型，以“判定-性质-应用”为主线构建方法体系，强化空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明线线平行与等角定理|5题/三棱锥、空间四边形|等角定理应用、中点连线法|线线平行判定→等角定理拓展| |线面平行命题判断|6题/多面体位置关系|定理条件辨析、反例构造|线面平行概念→判定定理深化| |中位线法证线面平行|6题/直三棱柱、四棱锥|中点连线构造中位线|三角形中位线→线面平行判定| |平行四边形法证线面平行|6题/正方体、三棱柱|对边平行构造平行四边形|平行四边形性质→线面平行判定| |线面平行性质证线线平行|6题/三棱柱、菱形底四棱锥|性质定理转化线线平行|线面平行性质→线线平行推导| |补全线面平行条件|6题/长方体、直角梯形四棱锥|条件逆向推导、点位置确定|判定定理应用→条件补全思维| |线面平行求轨迹|4题/正方体、菱形底多面体|面面平行交线轨迹法|线面平行性质→轨迹几何化|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08直线与直线平行、直线与平面平行七大题型 题型归纳 题型一：证明直线与直线平行与等角定理的应用 题型二：线面平行的有关命题判断 题型三：中位线法证明线面平行 题型四：平行四边形法证明线面平行 题型五：利用线面平行的性质定理证明线线平行 题型六：补全线面平行的条件 题型七：根据线面平行求轨迹 题型专练 题型一：证明直线与直线平行与等角定理的应用 1.若OA11OA,OB/1OB且∠AOB=130°，则∠A'0'B'为 2.己知角α的两边和角B的两边分别平行且a=70°，则B= 3.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点，则EF与HG 的位置关系是() G A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 4.空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA中点，直线AC,BD所成角为45° ,AC=2,BD=4,则四边形EFGH面积为 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD 的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形. 1/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二：线面平行的有关命题判断 6.设1，m分别为空间中的两条不同的直线，mc平面0，“1I/m”是“11a”的(）条件： A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 7.在空间中，1，m是不重合的直线，，B是不重合的平面，则下列说法正确的是() A.若1ca,mcB,/1B,则1∥m B.若11∥m,mcB,则1∥B C.若m//B,mca,a∩B=l,则1∥m D.若m/1B,m11a,则a/B 8.已知a,B,Y为三个不同的平面，a,b,1为三条不同的直线.若a∩B=l,any=a,B∩y=b, 11y,则下列说法正确的是() A.a与1相交B.b与1相交 C.a//b D.a与B相交 9.下列命题中，正确的是（) A.若直线a与平面平行，则a平行于a内的任何直线 B.若两直线a,b都与平面a平行，则a/b C.若直线1与平面a平行，则平面a内有无数条直线与1平行 D.若直线a平行于平面a,直线b在平面a内，则a/lb 10.(多选)下列说法中正确的是() A.若直线a与平面有两个公共点，则直线a在平面a内 B.已知两直线a,b平行于平面a,那么直线，b一定平行 C.若直线a不在平面a内，则直线a平行于平面a D.若直线a,b平行，直线b在平面内，则直线a平行于平面内的无数条直线 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(多选)下列命题中，正确的命题是() A.如果直线a和平面a满足a/1a,那么a与平面内的任何一条直线平行 B.如果直线a,b满足a/1a,b1la,则a/b C.如果直线a,b和平面a满足al/b,a/1a,bta,那么b∥a D.如果平面a的同侧有两点A,B到平面a的距离相等，则AB∥a 题型三：中位线法证明线面平行 12.已知直三棱柱ABC-A'B'C'中，AA'C'C为正方形，P,O分别为AC',BC的中点. C (1)证明：PO∥平面ABB'A'; (2)若ABC是边长为2正三角形，求四面体B-AOC'的体积. 3,如图，在四棱锥P-ABCD中，AB上AD,AD∥BC,AD=3,DE=2EP,AB=3,BC=),点P到平面 ABCD的距离为3. D (1)求证：PB∥平面ACE; (2)求三棱锥P-ACE的体积. 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.如图，四棱锥E-ABCD的底面为矩形，EA⊥平面ABCD,AB=AD=1,M为ED的中点，N为 EB的中点，P为BC的中点. E D (1)证明：MN//平面ABCD; 15.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，O是底面ABCD的中心，点E是CC的中点 D B (I)求证：OEI/平面ABC,D; 16.如图，四棱锥P-ABCD中，AB=BC=AD,AD/BC,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点， 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC与BE交于O点. D E ->D H B C ()求证：AP∥平面BEF; 17.如图，△OCD等边三角形，且点A,B分别为线段OD与OC的中点将△OAB沿AB折叠后使点O与点 P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP. D (I)证明：AP∥平面BED; (2)求四棱锥P-ABCD与三棱锥P-BDE的体积之比. 题型四：平行四边形法证明线面平行 18.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F分别是棱BB,DD的中点 5/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C A B D B (I)求证：BD∥平面C,EF; 19.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，E为线段CB的中点，N为线段CE的中点，点D在线段CA上且 CD=2DA. C >BI (I)证明：ANI∥平面BED; 20.如图所示，直三棱柱ABC-A,B,C,的底面是边长为2的正三角形，点E,F分别是棱CC,BB,上的点， 点M是线段AC的中点，EC=2FB=2. 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C A B1 F M B (1I)求证BM∥平面AEF; (②)若C,E=BF,求多面体AEF-A,B,C,的体积 21.如图，矩形ABCD是圆柱OO的轴截面，AB=2,AD=4,，E为AB的中点，M为BE的中点. 01 D C A- B (1)求圆柱O0,的侧面积： (②)求圆柱OO的外接球的表面积： (3)证明：OM/1平面ADE. 22.如图，在三棱柱ABC-A,BC,中，D,E,F分别是棱AB,AC,B,C,的中点. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C A D (1)证明：DE∥平面ABF: (2)若三棱柱ABC-A,B,C,的体积为18，求四棱锥A,-BBCF的体积. 23.如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD,AF∥DE,且DE=3AF=3,证明：BF∥平 面DEC; D 题型五：利用线面平行的性质定理证明线线平行 24.三棱柱ABC-A,BC,中，E是棱CC,的中点，D是棱BC上一点，BD=1DC,若AB∥平面ADE,则 实数1的值为() 8/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A. B.1 C.2 D.4 25.如图，己知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AC交BD于点O,E为AD的中点，F在PA上， AP=2AF,PC∥平面BEF,则2的值为 D: 0 AE的 26.四棱锥P-ABCD中底面ABCD是平行四边形，E是PD中点，平面EAB与PC交于F. D (I)求证：CD∥平面EAB. (2)求证：F是PC中点. 27.如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB、PC、PA的中点， 平面PBC∩平面APD=1. 9/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 K D M B (I)判断直线1与BC的位置关系并证明； (2)求证：MN∥平面PAD; 28.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F,G分别是PB,CD的中点 F D 、G B (I)求证：GF∥平面PAD; (②)设E为AB的中点，过E、F、G三点的截面与棱PC交于点Q,指出点Q的位置并证明. 29.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，E,F,G分别是棱AB,BC,B,C的中点. 10/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B B (I)求证：B,E‖平面ACG; (2)过点E、F的平面交BA于点M,交B,C于点N.求证：MN∥AC. 题型六：补全线面平行的条件 30.如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，AD=AA,=2,AB=4.E,M,N分别是棱C,D,AB,BC的中点，若 点P是平面A,ADD内的动点，且满足PE//平面BMN,则线段PE长度的最小值为() E DL M B A.5 B.√6 C.2v30 5 D.2√2 31.如图，在长方体ABCD-A,BCD,中，AB=AD=2,AA=4,点P为棱DD上一点 D B P (1)试确定点P的位置，使得BD,∥平面PAC，并说明理由； 11/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 32.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形，ADIIBC,∠ADC=90°，AC和BD相交于点N, 面P1C1面4BCD,BC=2AD=2,CD=1,PA=PC=6. 在线段PD上确定一点M,使得PB∥面 2 ACM，求此时PM 的值 MD 33.如图，在四棱锥P-ABCD中，直线PA垂直于平面ABCD,AD/IBC,∠ABC=90°，且 CD=PA=4,AB=3AD=23 A D (1)求四棱锥P-ABCD的体积 (2)在PB上是否存在点F,使得4F1/平面PCD?若存在，求出S的值：若不存在，说明理由 PB 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.一个四面体木块如图所示，点O在平面PAC内且为△PAC的重心， B (1)过点O将木块锯开，使截面平行于直线AB与PC,在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)在棱BC上是否存在点D,使得直线OD1平面PAB?若存在，求出BD的值：若不存在，说明理由。 DC 35.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F,G分别是AB,CC,AD的中点 D C1 A1 B G ② B (1)求异面直线B,E与BG所成角的余弦值； 13/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)棱CD上是否存在点T,使得AT/平面BEF?若存在，求出D”的值；若不存在， 请说明理由 DC 题型七：根据线面平行求轨迹 36.如图，棱长为2的正方体ABCD-A'B'CD'中，E,F分别为AD,AB的中点，点G在上底面A'B'C'D'(含 边界)上运动，若满足BC//平面EFG,则点G的轨迹长度为 D G B F 37.如图，棱长为1的正方体ABCD-A'B'CD'中，E,F分别为AD,AB的中点，点G在上底面A'B'CD'(含 边界)上运动，若满足BC//平面EFG,则点G的轨迹长度为 C G A B A B 38.如图，棱长为1的正方体ABCD-A'B'CD'中，E,F分别为AD,AB的中点，点G在上底面A'B'CD'(含 边界)上运动，若满足BC'1/平面EFG,，则点G的轨迹长度为· D' C G B B 39.如图，己知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，FA⊥底面ABCD,∠ABC=60°， DE∥AF,且FA=3DE=3. 14/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F A B (1)求三棱锥A-EFC的体积； (②)已知点M在侧面ABF及其边界上运动，若ME∥平面BCF,求点M的轨迹长度. 15/15 专题08 直线与直线平行、直线与平面平行六大题型 题型一：证明直线与直线平行与等角定理的应用 题型二：线面平行的有关命题判断 题型三：中位线法证明线面平行 题型四：平行四边形法证明线面平行 题型五：利用线面平行的性质定理证明线线平行 题型六：补全线面平行的条件 题型七：根据线面平行求轨迹 题型一：证明直线与直线平行与等角定理的应用 1．若，且，则为________. 【答案】或 【详解】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解. 根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补，即与相等或互补 所以或. 2．已知角的两边和角的两边分别平行且，则______． 【答案】或 【详解】由题意可知或 所以或 故答案为：或 3．如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【详解】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 4．空间四边形中，，，，分别是，，，中点，直线，所成角为，，，则四边形面积为________． 【答案】 【详解】由题设，可得如下示意图，且， 所以四边形为平行四边形， 由中位线性质，有， 直线，所成角为或其补角，即为或， 所以四边形的面积. 故答案为： 5．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，，，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】 证明： 在中，因为，分别是，的中点， 所以，，同理，． 因为四边形是平行四边形， 所以，． 所以，． 所以四边形是平行四边形. 题型二：线面平行的有关命题判断 6．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 7．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误. 8．已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线．若，，，，则下列说法正确的是（   ） A．与相交 B．与相交 C． D．与相交 【答案】C 【详解】对于AB，平面，，则，同理可得，则AB错误； 对于C，由AB可知，则C正确； 对于D，由A可知，又平面，平面，则，故D错误． 9．下列命题中，正确的是（ ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 D．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 【答案】C 【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 对于D，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 10．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 B．已知两直线平行于平面，那么直线一定平行 C．若直线不在平面内，则直线平行于平面 D．若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线 【答案】AD 【详解】解：A选项，根据平面的性质可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内， 则这条直线在这个平面内，所以A选项正确； B选项，直线平行于平面，可能平行、异面、相交，B选项错误； C选项，若直线不在平面内，则直线平行于平面或直线相交于平面，所以C选项错误； D选项，由于，所以在内与平行的直线（异于），都与平行，D选项正确． 11．（多选）下列命题中，正确的命题是（     ） A．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B．如果直线，满足，，则 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 【答案】CD 【详解】对选项A：∵ 若直线平面，则与内直线的位置关系为平行或异面，并非和内所有直线都平行，∴ A错误. 对选项B：∵ 若，，则的位置关系可能为平行、相交或异面，∴ B错误. 对选项C：∵ ，由线面平行的性质可知，存在直线，满足， 又，故，结合，，根据线面平行的判定定理，可得，∴ C正确. 对选项D：过分别作平面的垂线，垂足分别为， 由在同侧，且到的距离相等，得且， ∴ 四边形为平行四边形，故， 又，，故，∴ D正确. 题型三：中位线法证明线面平行 12．已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 【答案】(1)连接，，则交于点，如下图所示， 因为分别为，的中点， 所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，如下图所示， 因为是边长为2的正三角形，为正方形， 所以，， 所以， 所以四面体的体积为. 13．如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 14．如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，为的中点，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）∵、分别是、的中点， ∴是的中位线，因此， 又不在平面内，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. （2）由（1）可知，异面直线和所成的角等于异面直线和所成的角（或其补角）， 由题意，，底面为矩形，因此，， ，又为中点，故， 矩形对角线， 直角中，，， 在中，由余弦定理， 即，整理得， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 15．如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，， 在中， ，分别为，的中点，    又平面，平面， 平面. （2）由（1）知， 或其补角即为所求， 在中，设， 则，， 所以. 16．如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【分析】 【详解】（1）证明：连接EC，   ，， ，， 四边形是平行四边形， O为的中点， 又F是的中点， ， 又平面，平面， 平面BEF． （2）证明：F，H分别是的中点， ， 又平面PAD，平面PAD， 平面PAD， 又O是的中点，H是的中点， ，平面，平面， 平面， 又在平面内相交于点H， 平面平面． （3）①证明：，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面直线l， ． ②且， ， 又E，H分别为的中点， ，且三棱锥与三棱锥高之比为， ． 17．如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 题型四：平行四边形法证明线面平行 18．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）若分别为，的中点，，， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，不在平面内，平面； （2） 取中点，连接AE，AF，BG，FG，， 四边形为正方形，且， 四边形是平行四边形， 又且，四边形是平行四边形， ，，或其补角就是异面直线与所成的角. 在中，，，， 由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 19．如图所示，在三棱柱中，E为线段的中点，N为线段的中点，点D在线段上且． (1)证明：平面； (2)若，，，若三棱柱的六个顶点均在同一个球面上，求此球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，延长， 交于点Q， 取的中点M，连接，连接， ，， 所以线段为三角形的中位线，为线段的中点， 连接，交于点S，， ，，， 又平面，平面，平面. （2），， 平面，所以三棱柱为直棱柱， 又与均为等边三角形， 所以分别取它们的中心，，取的中点O，所以点O为该球的球心， 连接，则为球半径，设， 又的外接圆半径为， ，平面，， 在直角三角形中，，，， 所以该球的表面积为. 20．如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 21．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． 22．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 23．如图，是边长为4的正方形，平面，，且．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面，平面，故平面． 题型五：利用线面平行的性质定理证明线线平行 24．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 25．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为________． 【答案】3 【分析】 【详解】设与交于点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以， 由于四边形是棱形，可得，则， 所以，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故答案为：3. 26．四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F． (1)求证：平面． (2)求证：F是中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由底面是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）由（1）有平面， 又平面，平面平面， 所以， 又E是中点， 所以F是中点. 27．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)求证：平面； 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）.证明如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且， 所以，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. 28．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见详解 (2)是的中点，证明见详解 【分析】 【详解】（1） 如图，取中点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）为的中点，证明如下： 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点. 29．如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以∥平面； （2）记过过点的平面为平面，平面交于点，交于点， 因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. 题型六：补全线面平行的条件 30．如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图设立空间坐标系，由题意可知： ， ，设， 则 ， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，得， 又，PE平面， 所以，解得，所以， 故 ， 所以. 故选：C. 31．如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)点为棱的中点，理由见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 点为的中点，设与相交于点，连接，则为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 32．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，和相交于点，面面，，，．在线段上确定一点，使得面，求此时的值. 【答案】点为的三等分点且，此时 【详解】点为的三等分点且，此时，证明如下： 连接， 在直角梯形中，，，， 又，，， 又平面，平面，平面. 33．如图，在四棱锥中，直线垂直于平面，，且. （1）求四棱锥的体积. （2）在上是否存在点F，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】 【详解】解：（1）如图，过点D作，交于点M，则. 因为，所以四边形是平行四边形， 所以. 因为，所以，所以. 则四边形的面积为. 由题意可知是四棱锥的高，则该四棱锥的体积为. （2）分别取的中点E，F，连接. 因为E，F分别是的中点，所以. 由（1）可知，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 故存在点F，使得平面，此时，. 34．一个四面体木块如图所示，点O在平面内且为的重心， （1）过点O将木块锯开，使截面平行于直线与，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； （2）在棱上是否存在点D，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）存在；． 【详解】解（1）如图，在平面内过点O作直线交于M，交于N，在平面内过点M作直线交于点I，在平面内过点N作交于Q，连接． 则、、、为截面与木块各表面的交线 证明：， ，、N、Q、I四点共面． 平面，平面 平面，同理可证平面． （2）如图，连接交于点E，连接，若上存在点D满足平面， 则由平面PAB,平面平面，则， 由于O为的重心，所以，， 所以在棱上存在点D，使得直线平面，且． 35．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】 【详解】（1）取中点，连接，，，. 因为是正方体，，分别为，的中点， 所以，所以（或补角） 为异面直线与所成角. 设正方体的棱长为2，则，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为. （2）存在，且，证明如下： 延长，交于，连接交于， 因为，是的中点，所以为中点. 因为，所以，且， 当时，，且，即四边形为平行四边形， 所以，即， 又平面，平面，所以平面. 题型七：根据线面平行求轨迹 36．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 37．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为____________. 【答案】 【详解】取的中点分别为，连接， 由分别为的中点，得，同理得， 由，得四边形是平行四边形，则，， 同理，，因此点共面， 而，面，面，则平面， 又平面，于是点在平面内，又点在上底面（含边界）， 因此点在面与面的交线上，点的轨迹为线段， 所以点的轨迹长度为. 38．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 39．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． (1)求三棱锥的体积； (2)已知点在侧面及其边界上运动，若平面，求点的轨迹长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知为等边三角形， 因为底面，平面，故， 又平面平面，所以平面平面ADEF， 如图，过点作于点，所以平面 因为为等边三角形，所以，则点到平面的距离， 过点作于点，所以， 所以． （2）取靠近点的三等分点，连接， 因为，且，则，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，又平面，平面， 所以平面，且，平面， 所以平面平面， 由题意知在线段上时，平面． 所以点的轨迹长度为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $