专题07 简单几何体的结构特征、表面积和体积八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第四册

专题07 简单几何体的结构特征、表面积和体积八大题型 题型一：简单几何体的结构辨析 题型二：平面展开图 题型三：路径最短距离 题型四：多面体的表面积 题型五：旋转体的表面积 题型六：简单几何体的体积 题型七：组合体的表面积与体积 题型八：体积或表面积的最值问题 题型一：简单几何体的结构辨析 1．如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列几何体中为棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 5．（多选）已知下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的 C．一个棱锥至少有4个平面围成 D．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 题型二：平面展开图 6．（多选）下列图形中，是三棱柱展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．在下面四个平面图形中，各侧棱都相等的四面体的展开图是_____(把你认为正确的序号都填上).    8．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则（    ） A． B． C． D． 9．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 10．已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 11．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是______；与“你”字相对的字是______. 题型三：路径最短距离 12．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 13．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    14．已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 15．正方体的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点到顶点的最短距离为________． 16．如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 17．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 题型四：多面体的表面积 18．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 19．埃及著名的吉萨（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥.已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积，则高的平方与底面棱长的平方的比值为（   ） A． B． C． D． 20．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 21．（多选）两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（    ） A．12 B． C．10 D． 22．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为____________． 题型五：旋转体的表面积 23．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的表面积（   ） A． B． C． D． 24．如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 25．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 26．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 27．底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 28．如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，.求该几何体的表面积. 题型六：简单几何体的体积 29．北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（    ） A．108π平方分米 B．144π平方分米 C．180π平方分米 D．216π平方分米 30．已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 31．已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 32．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 33．早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____.    34．（多选）已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（    ） A． B． C． D． 题型七：组合体的表面积与体积 35．（多选）如图，封闭图形由线段和曲线组成，其中三点共线，，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ） A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体的表面积为 D．该旋转体的体积为 36．半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（    ） A． B． C． D． 37．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 38．已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体. (1)求的长； (2)求几何体的体积； (3)求几何体的表面积. 39．如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 40．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，M是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一周.    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积. 题型八：体积或表面积的最值问题 41．四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为______. 42．已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为7，则该圆台的体积为_________． 43．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是______． 44．《茶花开了》是一首具有独特魅力的歌曲，充满了生活气息和乡土情怀，能让许多听众产生共鸣，找到心灵的归属.在这首歌曲中提到了一种采茶工具竹篓，如图是一个形如两个圆台叠放在一起的竹篓，该竹篓上、下底面半径分别为、，高为50cm（即上、下底面间的距离），环结的半径小于上底面半径，已知装满这只竹篓需要5kg新鲜茶叶，1kg新鲜茶叶的体积为，则该竹篓的环结的半径（单位：cm）的取值范围为______.（取近似值3） 45．如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）. (1)求该正四棱锥的表面积与体积； (2)求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值. 46．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 简单几何体的结构特征、表面积和体积八大题型 题型一：简单几何体的结构辨析 题型二：平面展开图 题型三：路径最短距离 题型四：多面体的表面积 题型五：旋转体的表面积 题型六：简单几何体的体积 题型七：组合体的表面积与体积 题型八：体积或表面积的最值问题 题型一：简单几何体的结构辨析 1．如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 2．（多选）下列几何体中为棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AB 【详解】选项A：前后两个面是互相平行的三角形，其余各面（侧面）都是四边形（矩形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是三棱柱，故A正确； 选项B：上下两个面是互相平行的四边形，其余各面（侧面）都是四边形（平行四边形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是四棱柱，故B正确； 选项C：侧棱不互相平行（有的长有的短，且方向不同），不符合棱柱侧棱互相平行的特征，故C错误； 选项D：上下底面平行但不全等（大小不同），侧棱延长后交于一点，符合棱台的定义，是四棱台，不是棱柱，故D错误. 3．下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 【答案】②③ 【详解】①错误．以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台； 但以另一条不垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不是圆台。故原说法错误. ②正确．圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆面． ③正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同． ④错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到． 故答案为：②③ 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 C．棱台的所有侧棱所在直线交于同一点 D．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 【答案】ACD 【详解】对于A，棱柱的侧面均为平行四边形，故侧棱互相平行且相等，故A对； 对于B，只有当以直角梯形垂直于两底的腰为旋转轴旋转时，所得旋转体才是圆台，若以上底、下底或斜腰为旋转轴，得到的几何体都不是圆台，故B错； 对于C，棱台是由平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到的，所有侧棱延长后必然交于原棱锥的顶点，即侧棱所在直线交于同一点，故C对； 对于D，该表述是棱台的标准定义，截面与底面平行，满足棱台的结构特征，故D对； 故选：ACD 5．（多选）已知下列说法正确的是（    ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的 C．一个棱锥至少有4个平面围成 D．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 【答案】BC 【详解】正棱台的侧面是等腰梯形，普通棱台的侧面是一般梯形，故A错误； 由圆柱母线的定义可知，所有母线都相互平行，故B正确； 三棱锥的平面数最少，有4个面，故一个棱锥至少有4个平面围成，故C正确； 以直角梯形的直角边所在直线为旋转轴的旋转体才是圆台， 若以斜边所在直线为旋转轴的旋转体不是圆台，故D错误． 题型二：平面展开图 6．（多选）下列图形中，是三棱柱展开图的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【详解】由图可知，A，B，D选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图． 故选：ABD. 7．在下面四个平面图形中，各侧棱都相等的四面体的展开图是_____(把你认为正确的序号都填上).    【答案】①② 【详解】由题意，可得折叠后，①②均可围成三棱锥，即为四面体，且各侧棱都相等，所以①②符合题意； 而③④折叠后，只能围成无底的四棱锥，不是四面体，所以③④不符合题意. 故答案为：①② 8．已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 由题意得，侧面展开图为扇形，对应的弧长为， 所以. 9．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则，解得， 又，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是. 10．已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 【答案】 【详解】根据题意，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的周长为， 所以，所以，所以圆锥底面圆的直径为， 所以用经过圆锥的轴的平面截此圆锥得到的三角形为等边三角形， 所以截面三角形的顶角大小为； 故答案为： 11．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是______；与“你”字相对的字是______. 【答案】 前 程 【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”. 故答案为：前；程. 题型三：路径最短距离 12．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    13．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 14．已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为， 圆台的母线长为，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得， 所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即， 展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即，解得， 由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得，代入数据，解得 即从点到达点的最短路径的长度为. 15．正方体的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点到顶点的最短距离为________． 【答案】 【详解】在棱长为2的正方体中，将侧面与上底面展开在同一平面上，连接， 如图，，所以所求最短距离为. 16．如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示， 因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形， 在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：， 所以. 所以最短路程为. 17．斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为线段之长. 由题意知，圆弧的长即圆锥的底面圆周长，则， 由余弦定理，得， 即． 故选：C． 题型四：多面体的表面积 18．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 19．埃及著名的吉萨（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥.已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积，则高的平方与底面棱长的平方的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，设四棱锥，底面中心为，棱中点为，连接， 设高为，底面棱长为，则，则， 由高度的2倍的平方等于它的侧面积，可得， 化简得，即， 可知关于一元二次方程的， 因为，解得. 故选：B. 20．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 21．（多选）两个直三棱柱的高均为2，底面边长都是1，1，，将它们拼成一个新的棱柱，则这个新棱柱的表面积可以是（    ） A．12 B． C．10 D． 【答案】BCD 【详解】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成三棱柱时有三种情况， 第一种情况： 表面积为； 第二种情况： 表面积为； 第三种情况： 表面积为. 故B，C，D正确，A错误. 22．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为____________． 【答案】 【详解】正四面体表面积为，故截取的小三棱锥的侧面积为， 故小三棱锥的侧面等边三角形的面积为，设该平面在木料上的截面面积为， 而底面面积为，则即， 故答案为：. 题型五：旋转体的表面积 23．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作，则为矩形，所以. 又，所以. 在中，，所以. 则原四边形为以为直角边的直角梯形， 则以边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，其中，，. 则. 所以 . 24．如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作，垂足为， 绕旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥， 几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2的圆锥的侧面积， 则； 故选：C． 25．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆锥的底面半径为，侧面展开图的弧长为， 又侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长， 则圆锥的表面积. 故选：D. 26．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 【答案】C 【详解】设它们底面圆半径为，母线长为， 记圆柱的表面积为，则， 记圆锥的表面积为，则， 所以圆柱与圆锥表面积之比. 故选：C 27．底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 【答案】 【详解】设该圆柱的高为， 则该圆柱的侧面积，表面积， 由题意可得，即，解得， 即该圆柱的高为， 故答案为： 28．如图，以菱形ABCD的一边AB所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，.求该几何体的表面积. 【答案】 【详解】因为，，设圆锥的底面半径为，所以， 圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 题型六：简单几何体的体积 29．北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（    ） A．108π平方分米 B．144π平方分米 C．180π平方分米 D．216π平方分米 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，即 所以 30．已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为：. 因为， 所以，所以. 31．已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为，高为. 由圆台上、下底面面积分别是，，可得，解得， 由圆台的侧面积是，可得，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积为. 32．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 33．早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____.    【答案】 【详解】设半球中阴影截面圆的半径，球半径为，截面高度为， 则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，圆柱底面半径为， 则截面圆环面积，所以， 所以半球中截面与底面之间的几何体体积等于半圆柱的体积减去截面下的圆锥体积. 半圆柱的体积为， 截面下方的圆锥体积为， 则半球中底面与截面之间的几何体的体积为 故答案为： 34．（多选）已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设四棱锥为，底面，已知底面为菱形，设底面棱长为， 则，设， 则， ， 当时，，若， 则，此时，故， ， ，故可能为A； 当时，， 若，则，解得， 则， ， ，故可能为C； 当时，， 若，则，解得， 则， ， ，故可能为B； 当时，，无论或2，均不在集合中，不满足题意． 题型七：组合体的表面积与体积 35．（多选）如图，封闭图形由线段和曲线组成，其中三点共线，，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ） A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体的表面积为 D．该旋转体的体积为 【答案】BC 【详解】由题知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成，半球体的半径为3，圆锥体的底面半径为3，高为6，母线长为， 则该旋转体的表面积为，体积为. 36．半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体.由棱长为2的正方体截得的二十四等边体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，正方体截得的二十四等边体边长为， 其中有个面为正方形，个面为正三角形， 其表面积为. 37．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． ，， 因此阴影部分形成的几何体的体积为． （2）圆锥侧面积， 圆柱的侧面积， 底面面积， 表面积为． 38．已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体. (1)求的长； (2)求几何体的体积； (3)求几何体的表面积. 【答案】(1) (2)160 (3) 【分析】 【详解】（1）设，由可得，， 因为外接球的表面积为，即，解得， 又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长， 即，解得， 所以； （2） ， 即几何体的体积为160； （3）由（1）得，，，则， ，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 从而得几何体的表面积为 . 39．如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为.正四棱柱的底面边长为，高为.正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高（即侧面梯形的高）为.    (1)求这种型号的奖杯的表面积（用表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； (2)已知，若为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？（取3.14，精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）球的表面积为. 正四棱柱的表面积为. 正四棱台的表面积为. 故这种型号的奖杯的表面积为. （2）因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为 ， 所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为. 因为为奖杯表面镀金所用的材料每可以涂， 所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料. 40．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，M是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一周.    (1)说明所得几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积. 【答案】(1)几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体 (2)表面积为；体积为 【分析】 【详解】（1）该几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体. （2）由图可知圆锥的高为2，母线长为4，圆柱的高为，底面半径为， 所以表面积 ， 体积 . 题型八：体积或表面积的最值问题 41．四面体中，直线与所成的角为，，，，则四面体的体积的最大值为______. 【答案】/ 【详解】 设点到平面距离为，，， ， ，即（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）； 直线与所成角为，直线与平面所成角的最大值为， 点到平面距离的最大值， 四面体体积的最大值为. 42．已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，若经过该圆台两条母线的平面，截圆台所得截面面积的最大值为7，则该圆台的体积为_________． 【答案】 【详解】由题意作出轴截面，并将其补充成等腰三角形， 则，，设， 因为，，所以，即圆台的母线长为. 过圆台两条母线所作截面也为等腰梯形，并将其补成等腰三角形，设其顶角为， 则， 因为，且，则当时，的最大值为， 所以，得， 在中，由余弦定理得，即. 所以圆台的高， 所以圆台的体积. 43．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】如图：    水量较少，水面恰好为长方体的截面时，； 水量较多，水面恰好为长方体的截面时，. 因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以的取值范围是. 故答案为： 44．《茶花开了》是一首具有独特魅力的歌曲，充满了生活气息和乡土情怀，能让许多听众产生共鸣，找到心灵的归属.在这首歌曲中提到了一种采茶工具竹篓，如图是一个形如两个圆台叠放在一起的竹篓，该竹篓上、下底面半径分别为、，高为50cm（即上、下底面间的距离），环结的半径小于上底面半径，已知装满这只竹篓需要5kg新鲜茶叶，1kg新鲜茶叶的体积为，则该竹篓的环结的半径（单位：cm）的取值范围为______.（取近似值3） 【答案】 【详解】设环结的半径为，环结与上底面之间的距离为，由题知该竹篓的容积为，则， 化简得，其中， 令，得， 故该竹篓的环结的半径（单位：cm）的取值范围为. 故答案为： . 45．如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为的内接正四棱柱（正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内）. (1)求该正四棱锥的表面积与体积； (2)求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）如图，， ， 则该正四棱锥的表面积为， 体积； （2）根据在棱锥中平行于底面的截面与底面相似，所以四边形为正方形， 设正四棱柱底面边长为，高为， ，即， ， 正四棱柱侧面积， 则当时，正四棱柱侧面积的最大值为，此时． 46．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $