考点03 空间图形的表面积和体积（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点03 空间图形的表面积和体积 考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 考点二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为． （2）圆台的表面积：． 考点三：柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是． 综上，柱体的体积公式为． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 考点三：球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 易把侧面积当成表面积，漏掉上下底面面积。计算时易数错侧面数量，棱台常误用棱锥侧面积公式，不按上下底边长与斜高计算。斜棱柱易错用直棱柱公式，不区分斜高与棱长；单位不统一、边长平方算错，也常导致表面积结果出错。 1．在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】因为长方体中，底面是边长为1的正方形，， 所以该长方体的表面积为： 故选：A 2．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过作平面于，过作于，连接， 因平面,则，又平面， 故平面，因平面，则，故为的平面角， 故，则. 令正四棱台上底边长为，则， ， 所以，即， 解得或（舍去），故. 所以该结构表面积为 . 故选：A. 3．若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为. 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，的中点，连接， 如图所示： 因为，为的中点，所以，且， 过点作平面的垂线交于点， 又因为底面为矩形，所以， 故平面与平面的夹角为，，， 因为，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又平面，则， 所以， 所以， ， 点到的距离为1，点到的距离为， 同理点到的距离为， 所以， 所以该四棱锥的侧面积为： . 5．如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 【答案】B 【解析】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积． 故选：B． 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 常把侧面积直接当作表面积，忘记加上底面圆面积。圆锥、圆台易混淆母线长与高，误把高当作母线计算。圆台侧面积公式易记错，错用简单比例代替。半径、直径不分导致底面积算错，忽略上下底面积差异，最终结果少算或多算面，造成失分。 1．已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱底面半径为，高为，已知球半径. 因为圆柱上下底面圆周都在球面上，球心在圆柱的轴线的中点， 由勾股定理得：， 所以，即，当且仅当. 则该圆柱侧面积为，故其最大值为. 2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 3．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设底面圆的半径为， 在等腰三角形中，由余弦定理： 代入，，，得： 即，解得。 圆锥表面积. 4．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【解析】设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径，由该圆台母线长为7，侧面积为， 得，所以. 5．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解析】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 1、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 棱台体积常错用棱锥减棱锥思路但算错高，或直接套用梯形面积类比。容易把斜高当作几何体的高，底面积计算错误，单位不统一，导致整体体积偏大或偏小，公式记忆不牢是主要失分点。 1．如图，已知圆柱底面圆直径为2，高为1，将其截成一个四棱柱，用和圆柱底面平行的平面截这个四棱柱，得到的截面为矩形，设该矩形一条边长为，截面的面积为. (1)求截面的面积关于的函数解析式； (2)求截得棱柱的体积的最大值. 【解析】（1）横截面如图所示，由题意得. （2）截得棱柱的体积，因为， 所以当时，，即截得棱柱的体积的最大值为2. 2．已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 3．如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 【解析】（1）证明：如图所示，连接，由四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. （2）由平面及（1）知平面， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 因为，因为为圆的直径，可得， 又因为，，所以，， 且，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 4．如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； （2）由，，则， 故为等腰直角三角形，则点到的距离为， 则点到的距离为， 由为的中点，则点与点到平面的距离相等， 故. 5．如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 【解析】设棱柱的底面积为，高为，则的面积为， 令， 剩余的不规则几何体的体积为， 所以两部分的体积之比为． 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个空间图形的基本量，注意方程思想的应用． （2）在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有． 圆台公式常记错或直接用两锥相减时算错高。常把母线当作高代入，半径直径不分。圆台易错误用平均底面积乘高计算. 1．已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【解析】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有， 整理得，因， 代入化简得 解得：，代入，可得， 因，， 则， 故. 2．已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：， 因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形， 所以，即，所以， 所以该圆柱的体积为， 故选：D. 3．已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积与圆柱的体积比为. 4．已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为48，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，可得， 而，解得， 故圆台的体积． 5．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知圆台上底半径，下底半径，半径之差， 已知母线与底面夹角的余弦值为， 设母线长为，则，解得， 设圆台的高为，由勾股定理可得， 圆台的体积为． 题型五：组合体的体积 求组合体体积的常用方法 （1）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （2）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积． 易直接将各部分体积简单相加，忽略重叠部分要扣除、空心部分要减去。拼接时易重复计算公共区域，挖去型组合体常忘记做减法。选错基本几何体公式、高和底面找错，或单位不统一，都会导致结果错误，整体思路不清是常见问题。 1．如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【解析】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为. （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为. 2．在正三棱柱中，，以该三棱柱上、下底面的内切圆为底面挖去一个圆柱． (1)求剩余几何体的体积； (2)求剩余几何体的表面积． 【解析】（1）如图所示， 因为是边长为2的正三角形， 所以其内切圆的半径， 则剩余几何体的体积． （2）正三棱柱的侧面积为， 未挖去圆柱时，正三棱柱的上下底面积为， 上、下底面内切圆的面积之和， 被挖去的圆柱的侧面积， 所以剩余几何体的表面积． 3．如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 【解析】（1）如图，取的中点，连接， 由正四棱锥知，所以，且, 又， 所以， 所以， 故正四棱锥的侧面积为. 又长方体的侧面积为，底面积为， 所以这种“笼具”的表面积为. （2）连接，，设，的交点为，连接，易知平面， 又平面，所以， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为. 长方体的体积． 所以这种“笼具”的体积为. 4．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【解析】由，得． 又因为，所以． 因为，， 所以． 所以几何体的表面积 ． ． ． ． 5．（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 【解析】（1）补形成圆锥，圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥的体积，大圆锥高为，小圆锥高为， 大圆锥体积减去小圆锥体积为 由圆锥性质，， 由合比性质，， 表示， 所以， ． （2） 该旋转体体积等于两个圆台体积加一个圆柱体积减去两个圆锥体积． 圆台， 圆锥， 圆柱， 所求几何体的体积． （3）该旋转体的表面积等于两圆台侧面积加一个圆柱侧面积加两个圆锥侧面积， 圆台侧 圆柱侧 圆锥 所求几何体的表面积. 题型六：球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 外接球常找错球心与半径，把棱长、体对角线直接当直径；内切球、棱切球分不清切点位置，错用半径。多面体与球组合时，不构造直角三角形就估算，导致半径算错。 1．平行六面体所有棱长都等于2，点在底面的射影为底面对角线的交点，且线段是它在底面射影长的倍，则三棱锥的外接球的体积为______． 【答案】 【解析】设底面对角线的交点为， 因为线段是它在底面射影长的倍， 所以，所以 ，， 即， ，则， ， 又平面，平面， ，则， ，即， 三棱锥中，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 外接球的体积为. 2．三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【解析】若平面，连接，即， 而，则， 所以是的外心，同上分析可得， 由平面，平面，平面，则， 若，且， 而平面，平面，平面， 所以平面，平面，平面，即， 所以，则， 所以是的内心， 综上，是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥， 所以外接球球心落在过的高线上， 若棱锥的外接球半径为，的外接圆的半径为，则， 所以，而，则，， 所以，则三棱锥的外接球体积为. 3．若一正方体外接球的体积为，则该正方体内切球的表面积为_____. 【答案】 【解析】设该正方体外接球的半径为，由，得. 设该正方体的棱长为，所以，即， 设该正方体内切球的半径为，则，所以， 故该正方体内切球的表面积为. 故答案为：. 4．已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则，解得． 又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长， 所以球的半径长是， 所以此球的体积为． 故答案为：. 5．已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为___________. 【答案】 【解析】将三棱锥补全为正方体，如下图所示： 则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球， 设正方体棱长为，则，解得：， 所求的球的半径，球的体积. 故答案为：. 1．已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 2．如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示． 因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形.所以. 由，且，得是的中位线，所以分别为的中点， 故，与的面积比为. 所以三棱锥是正四面体. 取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以． 因为为正三角形，，． 在中，． 所以正四面体的体积为. 所以． 3．在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 4．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 【答案】C 【解析】如图所示，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，球的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，解得， 又因为圆锥的高为，可得，解得， 即圆锥的底面圆的半径为，母线长为，即球的半径为， 所以球的表面积为. 5．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设圆锥与半球的底面半径为R，圆锥的高为h，母线长为，轴截面的顶角为. 则由可得，即. 所以圆锥的母线长， 则由余弦定理可得， 所以圆锥轴截面顶角的余弦值是，故其正弦值是. 6．降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发､渗漏､流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（    ） A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨 【答案】A 【解析】设水面半径为， 根据三角形相似可得，解得. 则. 又接雨面积为桶的开口面积， 根据降雨量定义，. 结合降雨量的等级划分可得，当日降雨量的等级是暴雨. 7．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正三棱柱所有棱长为，底面正的面积，高，由题意得：，，. 如图连接，将几何体分为和， ， 梯形的面积. 四棱锥以为底面的高等于三角形的高，所以. 几何体体积为. 8．在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 9．（多选题）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 10．（多选题）（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】圆锥轴截面是边长为a的正三角形， 所以圆锥的底面半径为，高为，体积为， 圆柱的轴截面是边长为a的正方形， 所以圆柱的底面半径为，高为a，体积为， 故选：CD. 11．如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【答案】 【解析】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面， 取MN的中点H，连接，因为平面， 所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，，， 所求几何体的体积为 解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC， 又， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是． 12．已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【解析】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 13．已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 14．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 【解析】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 15．在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. (1)求灯笼总体积；（单位：分米） (2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 【解析】（1）已知正四棱台上底边长，下底边长，高，则，， 所以（分米3）， 已知正四棱柱底面边长，高，则（分米3）， 总体积：（分米3）. （2）正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积（分米2）， 正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高： 正四棱台高为，等腰梯形上下底差的一半为， 由勾股定理得斜高，单个等腰梯形面积为， 因此正四棱台侧面积， 总面积（分米2）. 16．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【解析】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 空间图形的表面积和体积 考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 考点二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为． （2）圆台的表面积：． 考点三：柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是． 综上，柱体的体积公式为． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 考点三：球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 易把侧面积当成表面积，漏掉上下底面面积。计算时易数错侧面数量，棱台常误用棱锥侧面积公式，不按上下底边长与斜高计算。斜棱柱易错用直棱柱公式，不区分斜高与棱长；单位不统一、边长平方算错，也常导致表面积结果出错。 1．在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 2．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ） A． B． C． D． 3．若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（ ） A．4 B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（    ） A．18 B． C． D．34 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 常把侧面积直接当作表面积，忘记加上底面圆面积。圆锥、圆台易混淆母线长与高，误把高当作母线计算。圆台侧面积公式易记错，错用简单比例代替。半径、直径不分导致底面积算错，忽略上下底面积差异，最终结果少算或多算面，造成失分。 1．已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 4．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 5．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积 1、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 棱台体积常错用棱锥减棱锥思路但算错高，或直接套用梯形面积类比。容易把斜高当作几何体的高，底面积计算错误，单位不统一，导致整体体积偏大或偏小，公式记忆不牢是主要失分点。 1．如图，已知圆柱底面圆直径为2，高为1，将其截成一个四棱柱，用和圆柱底面平行的平面截这个四棱柱，得到的截面为矩形，设该矩形一条边长为，截面的面积为. (1)求截面的面积关于的函数解析式； (2)求截得棱柱的体积的最大值. 2．已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 3．如图，在圆柱中，AC，分别为圆O，圆的直径，，，为圆柱的母线. (1)求证：平面平面； (2)若圆O的半径为2，，，点P为的中点，求三棱锥的体积. 4．如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 5．如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个空间图形的基本量，注意方程思想的应用． （2）在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有． 圆台公式常记错或直接用两锥相减时算错高。常把母线当作高代入，半径直径不分。圆台易错误用平均底面积乘高计算. 1．已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若 4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 2．已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A． B． C． D． 3．已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 4．已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为48，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五：组合体的体积 求组合体体积的常用方法 （1）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （2）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积． 易直接将各部分体积简单相加，忽略重叠部分要扣除、空心部分要减去。拼接时易重复计算公共区域，挖去型组合体常忘记做减法。选错基本几何体公式、高和底面找错，或单位不统一，都会导致结果错误，整体思路不清是常见问题。 1．如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 2．在正三棱柱中，，以该三棱柱上、下底面的内切圆为底面挖去一个圆柱． (1)求剩余几何体的体积； (2)求剩余几何体的表面积． 上、下底面内切圆的面积之和， 被挖去的圆柱的侧面积， 所以剩余几何体的表面积． 3．如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥和长方体． (1)求这种“笼具”的表面积； (2)求这种“笼具”的体积． 4．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 5．（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 题型六：球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 外接球常找错球心与半径，把棱长、体对角线直接当直径；内切球、棱切球分不清切点位置，错用半径。多面体与球组合时，不构造直角三角形就估算，导致半径算错。 1．平行六面体所有棱长都等于2，点在底面的射影为底面对角线的交点，且线段是它在底面射影长的倍，则三棱锥的外接球的体积为______． 2．三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________. 3．若一正方体外接球的体积为，则该正方体内切球的表面积为_____. 4．已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________． 5．已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为___________. 1．已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为（   ） A．12π B．16π C．48π D．9π 5．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 6．降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发､渗漏､流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（    ） A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨 7．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（多选题）若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 10．（多选题）（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的体积为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 12．已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 13．已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________． 14．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 15．在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. (1)求灯笼总体积；（单位：分米） (2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 16．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $