精品解析：2026年内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校初中学业水平考试考前质量监测数学学科

内蒙古2026年初中学业水平考试第三次质量监测 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. 9 D. 3. ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 7. 为比较A，B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是（ ） A. B. A保温杯的保温性能更好 C. 当时间从增加到时，B保温杯的水温变化比A保温杯大 D. 当时，水温随时间的增大而降低 8. 在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则m的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 2或6 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______． 10. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知 ，，则圆心角所对的弧长约为_____km（结果保留）． 11. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷…（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷…）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式为________． 12. 如图，在矩形ABCD中，，，为对角线，点，，分别为，，上的点．若，，则四边形面积的最大值为______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简： （1） （2）． 14. 联合国新闻部将每年4月20日中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献，某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用x表示，百分制）分成四组：A.；B.；C.；D.，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100； 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，91，93，95，91； 整理数据 分析数据 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.5 91.5 99 八年级 92 m 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，填空：______，______； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动，试估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 15. 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图 信息二：图2是6个碗叠放的总高度和碗的数量（个）的函数图象 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：________． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 16. 如图，是的直径，弦与交于点E，连接，，过点C作的垂线，交的延长线于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求线段的长． 17. 用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图1，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为A，运动路径近似为抛物线，且，石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B，运动路径近似为抛物线，若点B的坐标为，的最高点距离水面．（小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）求抛物线的函数表达式； （2）若横坐标为的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面，判断该石头能否飞越水鸭． 18. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2026年初中学业水平考试第三次质量监测 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义．先求出，再根据算术平方根的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：B． 3. ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需要将1750亿转换为标准形式 ，其中 ， 为整数． 【详解】解：∵ 1750亿 ， ∴ 数据1750亿用科学记数法表示为 ． 故选：B． 4. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是圆心，点A，B均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明为等边三角形，可得，，从而得到，再由弧长公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ，， 为等边三角形， ，， ， ∴优弧的长为． 6. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 7. 为比较A，B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是（ ） A. B. A保温杯的保温性能更好 C. 当时间从增加到时，B保温杯的水温变化比A保温杯大 D. 当时，水温随时间的增大而降低 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：由温度计的读数可知，，故A正确； 对于选项B：由图象可知，内A保温杯的曲线高于B保温杯的曲线，因此A保温杯的保温性能更好，故B正确； 对于选项C：从增加到时，A保温杯温度变化为，B保温杯温度变化为， ∵， ∴B保温杯的水温变化比A保温杯小，故C错误； 对于选项D：由图可知，当时，水温随时间的增大而降低，故D正确． 8. 在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则m的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 2或6 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为45°，再联系已知抛物线的对称轴，即可得出结论． 【详解】解：∵这两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直， ∴每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为45°， 又∵其中一条抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为x＝2， ∴顶点纵坐标的绝对值为2， 即， 解得m＝6或m＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，熟练掌握二次函数知识点，运用数形结合是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可． 【详解】由题可知，在两个象限， ∵， ∴反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 10. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知 ，，则圆心角所对的弧长约为_____km（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】设，由是的切线，可得，由此构建方程求出r,再利用弧长公式求解． 【详解】解：设， 由题意，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解． 11. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷…（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷…）．甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形类的变化类．根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，从而可以写出十三烷的化学式． 【详解】解：由图可得， 甲烷的化学式中的C有1个，H有（个）， 乙烷的化学式中的C有2个，H有（个）， 丙烷的化学式中的C有3个，H有（个）， ， 十三烷的化学式中的C有13个，H有（个）， 即十三烷的化学式为， 故答案为：． 12. 如图，在矩形ABCD中，，，为对角线，点，，分别为，，上的点．若，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形性质及勾股定理求出的长及的三角函数值，由四边形内角和及已知条件证得，利用等腰三角形性质及互余关系证得为等腰三角形，设，分别表示出和的面积，构建关于的二次函数，利用二次函数性质求最值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， 设，则，，， ∵，，四边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， 在中，， 设，则，过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 联合国新闻部将每年4月20日中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献，某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用x表示，百分制）分成四组：A.；B.；C.；D.，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100； 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，91，93，95，91； 整理数据 分析数据 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.5 91.5 99 八年级 92 m 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，填空：______，______； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动，试估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）补全频数分布直方图见解析，， （2）参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为分； （3）八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多．理由见解析 【解析】 【分析】（1）先算出七年级D组的人数，即可补全条形统计图；利用八年级C组的人数的占比乘以即可求出；根据中位数的定义求解m； （2）根据加权平均数的定义求解即可； （3）利用平均数作决策即可． 【小问1详解】 解：七年级D组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： ； （人）， 将八年级20人的竞赛成绩从第到高排列，则八年级的中位数位于C组的第4位和5位的平均数： ∴； 【小问2详解】 解：（分） 答：参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为分； 【小问3详解】 解：八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多． 理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩．（从中位数或者从众数的角度分析均可．） 15. 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图 信息二：图2是6个碗叠放的总高度和碗的数量（个）的函数图象 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：________． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由图1知：增加一个碗，总高度增加，由图2知：当时，，且与是一次函数，据此求解即可； （2）把，分别代入（1）所求函数解析式，即可判断. 【小问1详解】 解：由图1知：增加4个碗，总高度增加， ∴每增加一个碗，总高度增加， 由图2知：当时，，且与是一次函数， ∴； 【小问2详解】 解：将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗， 当时，， 当时，， ∴将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层. 16. 如图，是的直径，弦与交于点E，连接，，过点C作的垂线，交的延长线于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）由是的直径，的半径为，得，，由，得，则，同理可得，再证明，得，求得． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵是的直径，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 17. 用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图1，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图2所示．石头第1次与水面接触的点为A，运动路径近似为抛物线，且，石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B，运动路径近似为抛物线，若点B的坐标为，的最高点距离水面．（小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点） （1）求抛物线的函数表达式； （2）若横坐标为的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面，判断该石头能否飞越水鸭． 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，进而求出的顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴当时，， ∵， ∴该石头能飞越水鸭． 18. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $