第四章 三角形 第6节 相似三角形 同步练习题 2026年中考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦相似三角形判定与性质，通过基础到综合题型构建知识应用链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |例题精炼|单选9/填空6/解答3|含判定条件辨析、实际应用（杠杆/测量）、综合证明（结合圆/四边形）|从性质计算到判定推理，逐步融合图形变换与函数知识| |A组基础达标|单选8/填空8/解答6|侧重基础计算、网格与坐标应用、跨学科情境（光的反射）|以基础题型巩固概念，通过变式题深化相似与其他几何知识联系|

第四章 三角形 第6节 相似三角形 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 一、单选题 1．如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 4．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 9．在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 二、填空题 10．如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 11．如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 12．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 13．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 14．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 15．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 三、解答题 16．如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 17．如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求⊙的半径． 18．如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 【A组基础达标】 一、单选题 1．杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 3．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．①甲：→→，路程为；②乙：→→→→，路程为；③丙：→→→，路程为．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，的顶点A，B，C均在坐标轴上，与y轴交于点E，且，若反比例函数经过点D，则k的值为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的值等于（    ） A． B． C． D． 7．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 9．如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在上，过点作于点．若，，则的长为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数的图象上，纵坐标分别为1，4，则k的值为______． 11．如图，已知菱形的边长为，对角线，作，交于点F，则的长为______． 12．已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 13．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，在中，，，，点，分别在边，上，若四边形是筝形，则的长为____． 14．如图所示，中，点E与点F是边的三等分点，连接与交于点G，若，则的值为______． 15．如图，中，，，，以为腰向外作等腰，使得，则的长是______． 16．如图，矩形中，点是边上一点，交对角线于点，，连接．若，，则的值是_________． 三、解答题 17．【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 18．如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接、，交于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点E，求证：； (3)若，，求图中阴影部分的面积． 19．如图，E是正方形的边上一点，连接，延长至点F使得，连接． (1)求证：； (2)过点E作，垂足为G，当E为的中点，且时，求的长． 20．【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 21．如图，四边形是矩形，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．直线分别与直线，直线相交于点． (1)如图1，当时，的度数为______． (2)如图2，当点在的延长线上时． （ⅰ）求证：． （ⅱ）求的长． (3)当点在线段上时，请直接写出的长． 22．在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第6节 相似三角形 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 一、单选题 1．如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 3．如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 4．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 5．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 6．如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 7．如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 8．两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 9．在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键； 先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴, 由题意可得：平分，即， 设交于点M，作于点N，如图， 则， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A. 二、填空题 10．如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 【答案】80 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：80． 13．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 15．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 三、解答题 16．如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求⊙的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)⊙的半径为3 【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明； （2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径． 【详解】（1）证明：在⊙中， ∵， ∴， 又∵, ∴． （2）解：∵， 由（1）可知，， ∵直径， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， 即⊙的半径为3． 【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 18．如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设，则，证明，列出比例式求出的值，进而求出点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点和点分别代入， 得 解得 故一次函数的表达式为； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，故点． ∴的纵坐标为， 将代入，得， ∴点． 【A组基础达标】 一、单选题 1．杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 2．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意判定与相似，再利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，对照选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴故A项成立． 3．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．①甲：→→，路程为；②乙：→→→→，路程为；③丙：→→→，路程为．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，以及两点之间线段最短的应用，关键是通过构造相似三角形，结合角度关系分析三条路线的长度关系．根据图中给出的角，可判断甲、乙路线中的三角形均为等腰三角形，再通过相似三角形的比例关系，证明甲、乙的路程相等；最后利用“两点之间线段最短”的原理，判断丙的路程比甲、乙的路程短，进而比较出三条路线的长度大小． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 由图和题干得，， ， 根据两点之间线段最短，任意弯折的折线，跨度不变时，弯折次数越多、路径越平缓，总长越短，凸起的尖角路线，绕行距离更长， ， 综上所述，． 故选：． 4．如图，的顶点A，B，C均在坐标轴上，与y轴交于点E，且，若反比例函数经过点D，则k的值为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先由平行得到，再由，可得，设，分别表示出其他的边长从而得到点D的坐标代入函数解析式，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 由，即，得， 故， ∴， 因为且，且在轴上， ∴点， ∵， ∴点， ∵反比例函数经过点， 则：． 5．如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用矩形的性质和相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，， ∴在中， ， ， ， ， ． 6．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格图得出，即可得到的值． 【详解】解：由图可知，与均在水平网格线上， ， ， ． 7．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 二、填空题 9．如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在上，过点作于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到的长和的度数，根据线段中点的定义求出的长，由垂直的定义得到，从而证得，再利用相似三角形的判定与性质列出比例式解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ，， ∵点是的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数的图象上，纵坐标分别为1，4，则k的值为______． 【答案】 【分析】过点A作轴于点D，过点B作，交的延长线于点E，因为是矩形，根据矩形的性质推出，进而证得，再根据相似的性质列出关系式，根据反比例函数表达式，分别用含k的式子表示出点A、点B的横坐标，确定两点坐标形式，建立关于k的方程．结合的取值范围，求解方程得到k的值． 【详解】如图，过点A作轴于点D，过点B作，交的延长线于点E， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，，， ∴，， ∴， 解得， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴． 11．如图，已知菱形的边长为，对角线，作，交于点F，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据等面积求出，勾股定理再求出，证明，可得，根据即可得解． 【详解】连接交于点O，如图， 四边形是菱形，边长为，对角线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米． 【答案】1.6 【分析】线段的最小值即点到的距离．作，利用相似三角形对应边成比例求出即可． 【详解】解：过点E作，垂足为， ∵中，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， ∴当点与点重合时，线段最小，线段的最小值为米． 13．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，在中，，，，点，分别在边，上，若四边形是筝形，则的长为____． 【答案】或 【分析】根据勾股定理求出的长，根据筝形的定义分两种情况讨论：①，；②，．利用相似三角形的性质或勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得． 四边形是筝形， 分两种情况讨论： ①当，时，连接，过点D作于点F，如图 在和中， ． ，， ， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； ②当，时，如图 同理可证， ，， ． ，， ． ， 即， ． 综上所述，的长为或． 14．如图所示，中，点E与点F是边的三等分点，连接与交于点G，若，则的值为______． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质可得且，结合三等分点定义可得与的数量关系，进而证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，最后根据线段的和差关系求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点与点是边的三等分点， ， ，即， ，点、在上， ， ∴， ， ， ， ． 15．如图，中，，，，以为腰向外作等腰，使得，则的长是______． 【答案】或 【分析】过点作于点，构造等腰直角三角形，，分别表示出、，在中利用勾股定理列方程求解，以为腰向外作等腰，使得，分类讨论：①当，时，②当，时，分别求出的长． 【详解】解：如解图①，过点作于点， ， 为等腰直角三角形， ，设， ，， 在中， 由勾股定理得， 解得，， 又， ，， ， 当，时， ； 如解图②，当时，． 过点作于点， ， ，， ， ，即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 16．如图，矩形中，点是边上一点，交对角线于点，，连接．若，，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，从而证得，利用相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，最后在中利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 三、解答题 17．【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断； （2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴， （2）解：∵， ∴，， 又∵在菱形中，， ∴， ， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 18．如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接、，交于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点E，求证：； (3)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合圆的切线的性质，得出，即可得证； （2）连接，证明，得到，再结合切线长定理和三线合一的性质，证明，得到，即可得证； （3）连接、，根据直径和圆的切线的性质，得到，进而推出，利用四边形内角和得出，在中，，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵与相切， ∴ ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵、是的切线， ∴，且平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接、， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴在中，， ∴ ∴． 19．如图，E是正方形的边上一点，连接，延长至点F使得，连接． (1)求证：； (2)过点E作，垂足为G，当E为的中点，且时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意得，则有，然后可得，进而可得，根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 20．【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 21．如图，四边形是矩形，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为点．直线分别与直线，直线相交于点． (1)如图1，当时，的度数为______． (2)如图2，当点在的延长线上时． （ⅰ）求证：． （ⅱ）求的长． (3)当点在线段上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得,，进而根据四边形的内角和为，即可求解； （2）（ⅰ）连接．证明，进而得出根据平行线的性质进而得出，则，等量代换，即可得证； （ⅱ）在中，，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）当点在线段上时，，由（2）（ⅰ）得，在，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵将绕点逆时针旋转，得到，， ∴,， ∴， ∴． （2）（ⅰ）证明：如图1，连接． 在和中， ， ． ， ， ， ． ， ． （ⅱ）在中，， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得． （3）解：如图2，当点在线段上时，， ， 由（2）（ⅰ）得． 在中， ， 解得． 22．在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据即可证明； （2）证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， 在和中 ； （2）证明：由（1）得， ， 又 又（公共角）， 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $