专题01 相似三角形的性质及其应用（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 图形的变化 专题01 相似三角形的性质及其应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：比例的性质 易｜混｜易｜错 1）比例的性质及其变形： ； 2）简单的比例问题，首先分清是成比例还是线段成比例；其次，给出比值，一般直接把对应字母当成对应数字直接参与计算（简单题设k）; 1．（2025•温州模拟）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•西湖区校级模拟）如果，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025•钱塘区校级模拟）已知，则的值是　 ． 4．（2025•婺城区二模）若，则　 　 ． 考点二：黄金分割 易｜混｜易｜错 1）黄金分割相关注意事项： 一条线段的黄金分割点有2个、黄金分割比=、记忆技巧：； 2）记忆技巧：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的． 1．（2025•柯桥区二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 ． 2．（2025•温州模拟）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知P是笛子AB的黄金分割点，若笛子AB长50cm，则PB长为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•建德市校级模拟）清代数学家梅文鼎在《几何通解》中指出：若一直角三角形的股长是勾长的二倍，则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股，其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比（即黄金分割比）．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．点D在边AB上，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，若四边形DECF的周长与Rt△ABC的周长之比恰好为中末比，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC． （1）求证：△BCP∽△BAC． （2）若PC＝2，求AC的长． 考点三：平行线分线段成比例 易｜混｜易｜错 1）如图：AB∥CD∥EF 2）常做辅助线：过点作三角形内部线段的平行线； 1．（2025•萧山区校级模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•浙江模拟）如图，AD∥BE∥CF，若，则为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•金华模拟）如图，点G，H，P，Q分别在等腰△ABC的腰上，连接GH，PQ，已知GH∥PQ∥BC，AG＝BP，且sinA＝asinB，PQ+GH＝b，AB的长为定值．当a与b发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B．ab C．a+b D． 4．（2025•杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：AB＝1：3，DF＝3，则FC的长为（　　） A．6 B．4 C．5 D．4.5 5．（2025•临平区二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：4，BE＝28，那么CE的长为 　16　 ． 考点四：相似三角形的性质与判定 易｜混｜易｜错 1）相似三角形的性质有： 对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。 另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。 2）特别记忆：因为相似三角形对应边成比例的性质特点，所以中考数学中，求解线段长度时，列方程常以相似三角形对应边成比例为等量关系。 3）相似三角形的判定方法有： 重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型； 相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。 4）特别记忆：判定相似三角形的主要目的，就是要利用相似三角形的性质继续求解后续问题，所以问题中可以不直接让证明相似三角形，而是我们求解最后问题的中间手段。 1．（2025•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025•西湖区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．下列结论不正确的是（　　） A．AD＝BD B．AD＝2CD C．BC2＝CD•AC D．AB＝3CD 3．（2026•长兴县校级模拟）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 　 　 ． 4．（2026•定海区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AC，DE交于点O，则AO的长度为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•西湖区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC＝4，ON＝1，则DC的长为（　　） A． B．5 C． D． 6．（2026•宁波模拟）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE＝BF＝CG＝AH．若菱形的面积等于24，BD＝8，记EF＝x，GH＝y，则下列代数式的值不变的是（　　） A．x﹣y B．x+y C．xy D．x2+y2 7．（2025•宁波一模）如图是凸透镜成像的光路示意图，AB，CD，OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直．一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C．已知OF＝10cm，OB＝15cm，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 8．（2025•温州模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边分别向外作两个正方形ACDE，正方形CBFG，HA⊥AB，JB⊥AB，分别交边DE，CG于点H，J，下列说法不正确的是（　　） A．AH＝AB B．BJ＞EH C． D． 9．（2026•平阳县校级模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE＝∠B． （1）求证：△ABD∽△ADE． （2）若AE＝4，AB＝9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积． 10．（2025•定海区三模）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE． （1）求证：△ACD∽△AEB． （2）当，求的值． 11．（2025•浙江模拟）如图，D是平行四边形BCEF的边FE的中点，连接BD并延长，交CE的延长线于点A，连结CF交BD于点H． （1）求证：AH＝2BH． （2）过点B作BG⊥CE于点G，若G是CE的中点，tan∠BCG＝3，求tanA的值． 12．（2026•长兴县校级模拟）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，点F分别在AB，AC上，连结DE，DF． （1）若，求证：△BDE∽△CFD． （2）如图2，在（1）的条件下，连结EF，若EF＝9，BE＝10，求DE的值． 13．（2026•平阳县校级模拟）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，D为的中点．连结CD并延长，交BF延长线于点E，且CE⊥BE． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若CA＝2，CD＝4． ①求⊙O的半径． ②求EF的长． 14．（2025•嘉兴模拟）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，，点D在上，过点C作AD的垂线，分别交⊙O，AB，AD于点E，F，G，连接AE，CD． （1）求∠DAE的度数． （2）求证：①CD∥AE； ②． 考点五：相似三角形的应用 易｜混｜易｜错 1）相似三角形在实际生活中的应用： 建模思想：建立相似三角形的模型 1）常见题目类型： 1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解 2.测量底部可以到达的物体的高度 3.测量底部不可以到达的物体的高度 4.测量河的宽度 1．（2026•台州一模）如图是笔直杠杆AB的示意图．已知AB＝180cm，支点C离水平地面的高度为20cm．当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　 　 cm． 2．（2025•湖州一模）小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为（　　） A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm 3．（2025•金华模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　） A． B．3cm C． D． 4．（2025•西湖区校级三模）如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，使CD⊥AB，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，CD＝12m，那么河宽AB为（　　） A．8m B．12m C．6m D．24m 5．（2025•临平区校级三模）如图，把一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将它悬挂．在中点O的左侧与中点O的距离为25cm处挂一个重9.8N的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点35cm时，弹簧秤的读数应为（　　） A．9.8N B．7N C．6.2N D．2N 6．（2025•鹿城区校级一模）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时， ． 7．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 考点六：位似变换 易｜混｜易｜错 1）位似图形满足的条件： ①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）； ②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比） 1．（2026•宁波模拟）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若S△ABC：S△DEF＝4：9，则OA：AD＝（　　） A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5 2．（2026•西湖区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0） 3．（2026•普陀区一模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA＝2，AD＝3，△ABC的面积为，则△DEF的面积为（　　） A．20 B． C．30 D． 4．（2026•西湖区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（6，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（6，2）或（﹣6，﹣2） 5．（2026•金华一模）古书《墨子•天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形ABCD对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB：A′B′＝1：2，则A′C′两点之间的距离为　 ． 6．（2026•宁波模拟）如图，四边形ABCD，A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0），则A'B'的长为　 ． 考点七：相似三角形综合压轴题 易｜混｜易｜错 相似三角形的常见模型： 1、 手拉手相似 如图：△ABC∽△ADE时，连结BD、CE，直线BD、CE交于点H， 则有：△ABD∽△ACE、△AOB∽△HOC 2、 K型相似 如图，当∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°时，有△ADB∽△BEC 其他性质： 1　 普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】 2　 中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3 3　 以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。 3、 母子相似 当∠ABD=∠ACB时，有：△ABD∽△ACB，性质： 4、 平行类相似 如图：DE∥BC，则△ADE∽△ABC ☆：“A字图”最值应用 A字图中作动态矩形求最大面积时， 通常当MN为△ABC中位线， 矩形面积达到最大值！ 1．（2026•莲都区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，AC＝AD，E为AD的中点，连接BE，交AC于点F． （1）求证：∠CAD＝2∠ACB． （2）如图2，若AD＝CD，求的值． （3）如图3，若BE⊥AC，求tan∠ACB． 2．（2026•定海区模拟）在边长为4的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点E是AB边上的一个动点，连接EM并延长交射线CD于点F． （1）如图1，连接CM，当AE＝1时，求证：CM⊥EF； （2）过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG． （ⅰ）如图2，求证：MG＝2ME； （ⅱ）如图3，当△BEG∽△CGF时，求tan∠BGE的值． 1．（2025•浙江二模）如图，Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，点E是边AC上的动点，连结DE，作DF⊥DE交AB于点F，连结EF，当点E在AC上运动时，下列比值会变化的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•浙江三模）如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG＝2DG，点H是线段CF上一点，CH＝2HF，连接AG，AH，GH，HE．若已知△AGH的面积，则一定能求出（　　） A．△ABC的面积 B．△ADG的面积 C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积 3．（2026•宁波模拟）如图，点D是△ABC内部一点，且∠DCB＝∠DAB，延长AD交BC于点E．已知6AD＝7DE，BE＝5，CE＝6，则AB＝　 ． 4．（2025•鹿城区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB＝4，AD＝6，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，则AE的长为　 ． 5．（2026•浙江模拟）如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线分别交⊙O、AB于点D、M，则线段DM的长为　 cm ． 6．（2025•浙江模拟）如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，以BD为直径的圆⊙O交边AC于E，F两点，连结DE，BE，BF，并且BE平分∠DBF． （1）求证：△BCF∽△BED； （2）若DE＝2.5，CF＝2，求BC的长； （3）若BD＝2AD，BF＝8，求CF的长． 1．（2026•西湖区校级模拟）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片ABCD（）．先将纸片折出折痕BD，再在边AD上取点P，将△ABP沿BP折叠得△A′BP．记A′P与BD的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段A′P时，A′B恰好平分∠DBC，则AD长度应取 　 cm． 2．（2026•金华一模）某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法： ①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O； ②过O作OE1⊥AB于点E1，连结CE1交BD于点P1； ③过P1作P1E2⊥AB于点E2，连结CE2交BD于点P2； ④过P2作P2E3⊥AB于点E3，连结CE3交BD于点P3； … 则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点； （1）求证：； （2）已知AB＝3BC， ①求∠ACE3的正弦值； ②按上述方法继续画图得到点En（n＞2），若△CBEn∽△DCB，则n的值为　 　 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 图形的变化 专题01 相似三角形的性质及其应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：比例的性质 易｜混｜易｜错 1）比例的性质及其变形： ； 2）简单的比例问题，首先分清是成比例还是线段成比例；其次，给出比值，一般直接把对应字母当成对应数字直接参与计算（简单题设k）; 1．（2025•温州模拟）已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可； 【解答】解：∵2x＝3y（y≠0）， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查比例的性质、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2026•西湖区校级模拟）如果，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可． 【解答】解：原式＝1， ∵， ∴原式＝1． 故选：C． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握拆分法是解题的关键． 3．（2025•钱塘区校级模拟）已知，则的值是　 ． 【答案】 【分析】依据，即可得出7b＝a，进而得出的值． 【解答】解：∵， ∴3（a+b）＝4（a﹣b）， ∴7b＝a， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 4．（2025•婺城区二模）若，则　 　 ． 【答案】3． 【分析】先将化为，再代入求值即可． 【解答】解：根据题意可知，． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是关键． 考点二：黄金分割 易｜混｜易｜错 1）黄金分割相关注意事项： 一条线段的黄金分割点有2个、黄金分割比=、记忆技巧：； 2）记忆技巧：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的． 1．（2025•柯桥区二模）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则APAB，代入数据即可得出AP的长． 【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点， 且AP是较长线段； 则AP＝21． 【点评】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的． 2．（2025•温州模拟）黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知P是笛子AB的黄金分割点，若笛子AB长50cm，则PB长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄进分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵已知P是笛子AB的黄金分割点，AB＝50cm， ∴BPAB50＝25（1）cm， 故选：C． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 3．（2025•建德市校级模拟）清代数学家梅文鼎在《几何通解》中指出：若一直角三角形的股长是勾长的二倍，则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股，其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比（即黄金分割比）．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．点D在边AB上，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，若四边形DECF的周长与Rt△ABC的周长之比恰好为中末比，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得到，设DE＝x，则，则CE＝4﹣2x，根据，求出即可得到答案． 【解答】解：由条件可知AB， ∴， 由题知四边形DECF是矩形， ∴DE∥BC， ∴△AED∽△ACB， 设DE＝x，则，则CE＝4﹣2x， ∴矩形DECF的周长为2×（4﹣2x+x）＝8﹣2x， ∴， 解得． ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（2025•萧山区一模）如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，以点B为圆心，以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC，PC，BC． （1）求证：△BCP∽△BAC． （2）若PC＝2，求AC的长． 【答案】（1）见解答； （2）1． 【分析】（1）由作法得BC＝AP，根据黄金分格的定义得到AP2＝BP•BA，则BC2＝BP•BA，然后根据相似三角形的判定方法可判断△BCP∽△BAC； （2）先利用黄金分割的定义得到APAB，而BC＝AP，则，接着根据相似三角形的性质得到，从而可求出AC的长． 【解答】解：由作法得BC＝AP， ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， ∴AP2＝BP•BA， ∵BC2＝BP•BA， 即， 而∠PBC＝∠CBA， ∴△BCP∽△BAC； （2）∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， ∴APAB， 即， ∵BC＝AP， ∴， ∵△BCP∽△BAC， ∴， ∴AC21． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了相似三角形的判定与性质． 考点三：平行线分线段成比例 易｜混｜易｜错 1）如图：AB∥CD∥EF 2）常做辅助线：过点作三角形内部线段的平行线； 1．（2025•萧山区校级模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴， ∵AC＝CG， ∴， 故A正确，不符合题意； ∵CD∥EF， ∴， ∵AC＝CG，AG＝FG， ∴FG＝2CG， ∴EG＝2DG， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AG＝FG， ∴BG＝EG， ∴BE＝2BG， ∵， ∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴， 故C错误，符合题意； ∵CD∥EF， ∴ ∵BG＝2DG，BE＝4DG， ∴DE＝3DG， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 2．（2026•浙江模拟）如图，AD∥BE∥CF，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（2025•金华模拟）如图，点G，H，P，Q分别在等腰△ABC的腰上，连接GH，PQ，已知GH∥PQ∥BC，AG＝BP，且sinA＝asinB，PQ+GH＝b，AB的长为定值．当a与b发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B．ab C．a+b D． 【答案】A 【分析】过C作CM⊥AB于M，过P作PN∥AC交BC于N，判定△BPN≌△GAH（ASA），推出BN＝GH，判定四边形PNCQ是平行四边形，推出CN＝PQ，得到BC＝b，由sinA，sinB，得到AC•sinA＝b•sinB，求出AC＝定值． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过P作PN∥AC交BC于N， ∴∠BPN＝∠A， ∵GH∥BC， ∴∠B＝∠AGH， ∵BP＝GA， ∴△BPN≌△GAH（ASA）， ∴BN＝GH， ∵PQ∥BC，PN∥AC， ∴四边形PNCQ是平行四边形， ∴CN＝PQ， ∴BC＝CN+BN＝PQ+GH＝b， ∵sinA，sinB， ∴CM＝AC•sinA＝b•sinB， ∵sinA＝asinB， ∴AC， ∵AC＝AB＝定值， ∴是定值． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，关键是判定△BPN≌△GAH（ASA），推出BN＝GH，判定四边形PNCQ是平行四边形，推出CN＝PQ，由锐角的正弦定义得到AC•sinA＝b•sinB． 4．（2025•杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：AB＝1：3，DF＝3，则FC的长为（　　） A．6 B．4 C．5 D．4.5 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例解答． 【解答】解：∵AE：AB＝1：3， ∴AE：EB＝1：2， ∵AD∥BC，EF∥AD， ∴AD∥BC∥EF， ∴， ∵DF＝3，AE：EB＝1：2， ∴， ∴FC＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 5．（2025•临平区二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：4，BE＝28，那么CE的长为 　16　 ． 【答案】16． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得答案． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：4，BE＝28， ∴AD：DF＝BC：CE＝3：4， 又∵BC＝BE﹣CE， ∴， ∴CE＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 考点四：相似三角形的性质与判定 易｜混｜易｜错 1）相似三角形的性质有： 对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。 另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。 2）特别记忆：因为相似三角形对应边成比例的性质特点，所以中考数学中，求解线段长度时，列方程常以相似三角形对应边成比例为等量关系。 3）相似三角形的判定方法有： 重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型； 相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。 4）特别记忆：判定相似三角形的主要目的，就是要利用相似三角形的性质继续求解后续问题，所以问题中可以不直接让证明相似三角形，而是我们求解最后问题的中间手段。 1．（2025•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，EG∥BC，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明△AEF∽△ABD，则根据相似三角形的性质得到，从而可对A选项和C选项进行判断；再证明△AFG∽△ADC，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，从而可对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断． 【解答】解：∵EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴，所以A选项和C选项的结论错误； ∵FG∥DC， ∴△AFG∽△ADC， ∴， ∴，所以B选项的结论正确； ∵FG∥DC， ∴，所以D选项的结论错误． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 2．（2025•西湖区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．下列结论不正确的是（　　） A．AD＝BD B．AD＝2CD C．BC2＝CD•AC D．AB＝3CD 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【解答】解：选项A，∠A＝30°，∠C＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°． ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°． ∴AD＝BD，该选项正确． 选项B，∠DBC＝30°， ∴BD＝2CD．又 ∵AD＝BD， ∴AD＝2CD，该选项正确． 选项C， ∵∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠DBC＝30°， ∴△BCD∽△ACB ∴，即BC2＝CD•AC，该选项正确． 选项D 设CD＝x， ∵AD＝2CD ∴AD＝2x， ∴AC＝AD+CD＝3x． ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BC． ∵AB2＝BC2+AC2， ∴（2BC）2＝BC2+（3x）2， ∴，，显然AB≠3CD，该选项错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质（30°角所对直角边与斜边的关系、勾股定理）、等腰三角形的判定（等角对等边）以及相似三角形的判定与性质．解题关键在于熟练运用这些性质，对每个选项进行合理推导与判断． 3．（2026•长兴县校级模拟）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 　 　 ． 【答案】4 【分析】通过证明△ADC∽△ACB，可得AC2＝AB×AD＝16，即可求AC的长． 【解答】解：∵AD＝2，BD＝6， ∴AB＝AD+DB＝8， ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AB×AD＝16 ∴AC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADC∽△ACB是本题的关键． 4．（2026•定海区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，连接AC，DE交于点O，则AO的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理求出AC的长，证明△AOD∽△COE，列出比例式，进行求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝6， ∵AB＝4， ∴， ∵AD∥EC， ∴△AOD∽△COE， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴AD＝BC＝2CE， ∴2， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是判定△AOD∽△COE，推出2． 5．（2026•西湖区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC＝4，ON＝1，则DC的长为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝OD，通过互余关系证明∠OBN＝∠OCD，进而证得△BON∽△COD，利用相似比求出OD的长，最后在Rt△COD中利用勾股定理求出DC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∴∠BON＝∠COD＝90°， ∵BM⊥CD， ∴∠CMN＝90°， ∴∠MCN+∠CNM＝90°， ∵∠OBN+∠BNO＝90°，∠BNO＝∠CNM， ∴∠OBN＝∠MCN，即∠OBN＝∠OCD， ∴△BON∽△COD， ∴， ∵OC＝4，ON＝1，OB＝OD， ∴， ∴OD＝2， ∴在Rt△COD中，， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．（2026•宁波模拟）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE＝BF＝CG＝AH．若菱形的面积等于24，BD＝8，记EF＝x，GH＝y，则下列代数式的值不变的是（　　） A．x﹣y B．x+y C．xy D．x2+y2 【答案】B 【分析】由菱形的性质求出AC＝6，证明∠BEF＝∠BAC，得EF∥AC，证出△BEF∽△BAC，得出；同理可得，从而可证明EF+GH＝AC＝6，得x+y＝6是定值． 【解答】解：在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE＝BF＝CG＝AH． 如图，连接AC，交BD于点O， ∵AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD， ∴， ∴AC＝6， ∵BE＝BF， ∴， ∵BA＝BC， ∴， ∴∠BEF＝∠BAC， ∴EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∵BA＝DA， ∴； 同理可证△DHG∽△DAC， ∴， ∴， 即， ∴EF+GH＝AC＝6， ∴x+y＝6， 故选：B． 【点评】本题主要考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 7．（2025•宁波一模）如图是凸透镜成像的光路示意图，AB，CD，OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直．一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C．已知OF＝10cm，OB＝15cm，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，得出，，OE＝AB，求出DF＝20cm，即可求解． 【解答】解：根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形， ∴，，OE＝AB， 即， 解得DF＝20cm， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，掌握以上性质是解题的关键． 8．（2025•温州模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边分别向外作两个正方形ACDE，正方形CBFG，HA⊥AB，JB⊥AB，分别交边DE，CG于点H，J，下列说法不正确的是（　　） A．AH＝AB B．BJ＞EH C． D． 【答案】C 【分析】证明△AEH和△ACB全等，即可判断选项A和选项B，根据△AEH和△BCJ相似，得到D选项正确． 【解答】解：∵四边形ACDE是正方形， ∴∠EAC＝∠E＝90°，AE＝AC， ∵HA⊥AB， ∴∠HAB＝90°， ∴∠EAH＝∠CAB， 在△AEH和△ACB中， ， ∴△AEH≌△ACB（ASA）， ∴AH＝AB，EH＝CB，故A选项正确； ∵BJ＞CB， ∴BJ＞EH，故B选项正确； ∵△AEH∽△BCJ， ∴， ∴，故D选项正确； ∵，故C选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质等，属于综合题，掌握性质和判定方法是解题的关键． 9．（2026•平阳县校级模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE＝∠B． （1）求证：△ABD∽△ADE． （2）若AE＝4，AB＝9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积． 【答案】（1）∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAE． 又∵∠ADE＝∠B， ∴△ABD∽△ADE； （2）S△ABD＝18． 【分析】（1）要证明△ABD∽△ADE，需找到两组对应角相等．利用角平分线的性质得到∠BAD＝∠DAE，结合已知∠ADE＝∠B，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明． （2）由△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方．先通过对应边成比例求出相似比，再结合△ADE的面积计算△ABD的面积． 【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAE． 又∵∠ADE＝∠B， ∴△ABD∽△ADE； （2）解：∵△ABD∽△ADE， ∴， ∴AD2＝AB•AE＝9×4＝36， ∴AD＝6， ∴． ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是利用角平分线和已知角相等证明三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解面积． 10．（2025•定海区三模）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE． （1）求证：△ACD∽△AEB． （2）当，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）首先利用作图证明CD＝CB，然后利用等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠CBD，再利用角平分线的性质得到∠BAD＝∠CAD，由此即可证明结论； （2）首先利用相似三角形的在可以得到，然后利用已知条件即可求解． 【解答】（1）证明：∵以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D， ∴CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ADC＝∠ABE， ∵AB平分∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴△ACD∽△AEB； （2）解：∵△ACD∽△AEB， ∴ 而， ∴， ∴． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了等腰三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法解决问题． 11．（2025•浙江模拟）如图，D是平行四边形BCEF的边FE的中点，连接BD并延长，交CE的延长线于点A，连结CF交BD于点H． （1）求证：AH＝2BH． （2）过点B作BG⊥CE于点G，若G是CE的中点，tan∠BCG＝3，求tanA的值． 【答案】（1）见解析； （2）1． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到BF∥AC，BF＝CE，证明△BFD≌△AED得到AE＝BF＝CE，再证明△FBH∽△CAH，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）设EG＝CG＝x，则FB＝EC＝2x．解直角三角形得到BG＝3CG＝3x．则AE＝2x，AG＝AE+EG＝3x，可证明△GBA是等腰直角三角形，得到∠A＝45°，则tanA＝1． 【解答】（1）证明：∵D是平行四边形BCEF的边FE的中点， ∴DF＝DE． ∵四边形BCEF是平行四边形， ∴BF∥AC，BF＝CE， ∴∠FBD＝∠A，∠BFD＝∠AED， 在△BFD与△AED中， ， ∴△BFD≌△AED（AAS）， ∴AE＝BF＝CE． ∵BF∥AC． ∴△FBH∽△CAH． ∴BH：AH＝BF：AC＝1：2， ∴AH＝2BH． （2）解：∵G是CE的中点， ∴EC＝2EG＝2CG． 设EG＝CG＝x，则FB＝EC＝2x． ∵， ∴BG＝3CG＝3x． ∵AE＝BF＝CE， ∴AE＝2x，AG＝AE+EG＝3x， ∴AG＝BG． ∵BG⊥CE， ∴△GBA是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， ∴tanA＝1． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． 12．（2026•长兴县校级模拟）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，点F分别在AB，AC上，连结DE，DF． （1）若，求证：△BDE∽△CFD． （2）如图2，在（1）的条件下，连结EF，若EF＝9，BE＝10，求DE的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰三角形的性质推出∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，根据三角形外角性质求出∠BED＝∠CDE，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）结合（1）根据相似三角形的性质得出，则，结合∠B＝∠EDF，推出△BDE∽△DFE，根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∵∠EDF＝90°∠A， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF， ∵∠EDC＝∠ABD+∠BED，∠EDC＝∠EDF+∠CDF， ∴∠BED＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）解：∵△BDE∽△CFD， ∴， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴， ∴， ∴， 又∵∠B＝∠EDF， ∴△BDE∽△DFE， ∴， ∵EF＝9，BE＝10， ∴DE＝3（负值已舍）． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 13．（2026•平阳县校级模拟）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，D为的中点．连结CD并延长，交BF延长线于点E，且CE⊥BE． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若CA＝2，CD＝4． ①求⊙O的半径． ②求EF的长． 【答案】（1）如图1，D是中点，连结OD，OF， ∴， ∴， ∵， ∴∠AOD＝∠ABE， ∴OD∥BE， ∵BE⊥CD， ∴OD⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）①⊙O的半径为3； ②． 【分析】（1）连结OD，OF，根据弧、弦、圆心角的关系以及圆周角定理可得∠AOD＝∠ABE，从而得到OD∥BE，即可求证； （2）①设⊙O的半径为r，则OD＝r，OC＝r+2，根据OC2＝OD2+CD2，求出r的值，即可求解；②连结AF交OD于点G，证明四边形EDGF是矩形，可得EF＝DG，AF∥DE，从而得到△OAG∽△OCD，即可求解． 【解答】（1）证明：如图1，D是中点，连结OD，OF， ∴， ∴， ∵， ∴∠AOD＝∠ABE， ∴OD∥BE， ∵BE⊥CD， ∴OD⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：①∵CD是⊙O的切线，CA＝2，CD＝4．设⊙O的半径为r，则OD＝r，OC＝r+2， ∴∠ODC＝90°， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：OC2＝OD2+CD2， ∴（r+2）2＝r2+42， 解得：r＝3， ∴⊙O的半径为3． ②如图2，AB是直径，连结AF交OD于点G． ∴∠AFE＝90°＝∠E＝∠ODE， ∴四边形EDGF是矩形， ∴EF＝DG，AF∥DE， ∴△OAG∽△OCD， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定与性质． 14．（2025•嘉兴模拟）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，，点D在上，过点C作AD的垂线，分别交⊙O，AB，AD于点E，F，G，连接AE，CD． （1）求∠DAE的度数． （2）求证：①CD∥AE； ②． 【答案】（1）∠DAE＝45°；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【分析】（1）利用AB是⊙O的直径，，得出∠E＝45°，再结合∠AGE＝90°，即可求解； （2）①利用AB是⊙O的直径，，得出∠D＝45°，结合∠DAE＝45°，得出∠D＝∠DAE，即可证明； ②连接AC，CO，先证明∠CAB＝∠DAE＝45°，得出∠CAD＝∠BAE，证明△ACD∽△AFE，得出，再证明，CD即可证明． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠E＝45°， ∵AD⊥CE， ∴∠AGE＝90°， ∴∠DAE＝45°； （2）证明：①∵AB是⊙O的直径，， ∴∠D＝45°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠D＝∠DAE， ∵CD∥AE； ②如图，连接AC，CO， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠AOC＝90°，∠CAB＝45°， ∴∠CAB＝∠DAE＝45°， ∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB， 即∠CAD＝∠BAE， ∵∠D＝∠E， ∴△ACD∽△AFE， ∵CO＝AO，∠AOC＝90°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴， ∵∠DCE＝∠DAE＝45°，∠D＝∠E＝45°，∠CGD＝90°， ∴CG＝GD， ∴△CGD是等腰直角三角形， ∴CD， ∵△ACD∽△AFE， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查圆的基本性质，涉及圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 考点五：相似三角形的应用 易｜混｜易｜错 1）相似三角形在实际生活中的应用： 建模思想：建立相似三角形的模型 1）常见题目类型： 1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解 2.测量底部可以到达的物体的高度 3.测量底部不可以到达的物体的高度 4.测量河的宽度 1．（2026•台州一模）如图是笔直杠杆AB的示意图．已知AB＝180cm，支点C离水平地面的高度为20cm．当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　 　 cm． 【答案】120． 【分析】利用相似三角形的判定和性质计算即可． 【解答】解：如图，作BE⊥水平地面于点E， ∴∠ADC＝∠AEB， ∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△AEB， ∴， ∵BE＝30cm，AB＝180cm，CD＝20cm， ∴， ∴AC＝120cm． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2025•湖州一模）小明用两根小木棍AC，BD自制成一个如图所示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O，OA＝OB，OC＝OD，OB＝3OD．现将其放进一个锥形瓶，经测量，CD＝3cm，则该锥形瓶底部的内径AB的长为（　　） A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm 【答案】B 【分析】证明两个三角形相似，即可求出AB的长度． 【解答】解：∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOB和△DOC都是等腰三角形， ∵∠DOC＝∠BOA， ∴△AOB∽△DOC， ∵OB＝3OD， ∴， ∴3， ∴AB＝9， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，正确找出相似三角形是解题的关键． 3．（2025•金华模拟）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若焦点F1到物体AH的距离与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，若物体AH＝4cm，则其像CG的长为（　　） A． B．3cm C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得：BO＝CG，AH⊥AO，BO⊥HO，从而可得∠AHO＝∠BOH＝90°，然后证明8字模型△AHF1∽△BOF1，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：BO＝CG，AH⊥AO，BO⊥HO， ∴∠AHO＝∠BOH＝90°， ∵∠AF1H＝∠OF1B， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴， 解得：BO， ∴CG＝BOcm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 4．（2025•西湖区校级三模）如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，使CD⊥AB，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，CD＝12m，那么河宽AB为（　　） A．8m B．12m C．6m D．24m 【答案】A 【分析】证得ADAC＝AB，再证得△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质即可求出AB． 【解答】解：∵∠CAD＝60°，∠BCA＝30°， ∴∠B＝∠CAD﹣∠BCA＝30°＝∠BCA， ∴AB＝AC， Rt△ACD中， ∵∠CAD＝60°，CD＝12m， ∴∠ACD＝30°， ∴ADACAB，∠ACD＝∠B， ∵∠ADC＝∠CDB， ∴△ADC∽△CDB， ∴， ∴， 解得AB＝8m． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，证得△ADC∽△CDB是解决问题的关键． 5．（2025•临平区校级三模）如图，把一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将它悬挂．在中点O的左侧与中点O的距离为25cm处挂一个重9.8N的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点35cm时，弹簧秤的读数应为（　　） A．9.8N B．7N C．6.2N D．2N 【答案】B 【分析】设弹簧秤的读数为xN，由杠杆原理得到35x＝25×9.8，求出x的值，即可得到答案． 【解答】解：设弹簧秤的读数为xN， 由杠杆原理得到：35x＝25×9.8， ∴x＝7， ∴弹簧秤的读数为7N． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是掌握杠杆原理． 6．（2025•鹿城区校级一模）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时， ． 【答案】． 【分析】过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图，先利用三角形面积公式计算出AM＝8，再证明四边形DMNG为矩形得到DG＝MN，则AN＝8﹣DG，接着证明△AGF∽△ABC，所以，则DE（8﹣DG），根据矩形的面积公式得到矩形DEFG＝DG•DE（8﹣DG）DG，利用二次根式的性质，当DG＝4时，S矩形DEFG最大，然后求出对应的DE的长，从而得到的值． 【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图， ∵S△ABC＝40， ∴•BC•AM＝40， 即10×AM＝40， 解得AM＝8， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥DE，DE＝GF，∠GDE＝∠DGF＝90°， ∴AM⊥GN， ∵∠GDE＝∠DGF＝∠DMN＝90°， ∴四边形DMNG为矩形， ∴DG＝MN， ∴AN＝AM﹣MN＝AM﹣DG＝8﹣DG， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴，即， ∴DE（8﹣DG）， ∴S矩形DEFG＝DG•DE（8﹣DG）DG（DG﹣4）2+20， ∴当DG＝4时，S矩形DEFG最大， 当DG＝4时，DE（8﹣4）＝5， 此时， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用相似三角形对应边的高的比等于相似表示出GF和DE的关系是解决问题关键．也考查了二次函数的意义和三角形的面积． 7．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【答案】（1）3.2厘米；（2）厘米． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可； （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴． ∵AB∥A′B′， ∴△OAC∽△OA′D， ∴， ∴， ∴， ∴A′B′＝3.2． 答：像A′B′的长度3.2厘米． （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图， ∵A′E∥OD，MN∥A′B′， ∴四边形A′EOD为平行四边形， ∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D． 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴AP＝OC＝32cm， ∵AP∥CD，A′E∥OD， ∴AP∥A′E， ∴△APO∽△A′EO， ∴， ∴． ∵MN∥A′B′， ∴△POF∽△A′DF， ∴， ∴OFOD（厘米）． 答：凸透镜焦距OF的长为厘米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 考点六：位似变换 易｜混｜易｜错 1）位似图形满足的条件： ①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）； ②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比） 1．（2026•宁波模拟）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若S△ABC：S△DEF＝4：9，则OA：AD＝（　　） A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， ∴， ∵S△ABC：S△DEF＝4：9， ∴， ∴， ∴OA：AD＝2：1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了位似变换，掌握其相关知识点是解题的关键． 2．（2026•西湖区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0） 【答案】C 【分析】分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4，2），即可得到答案． 【解答】解：如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4，2）， 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点评】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2026•普陀区一模）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA＝2，AD＝3，△ABC的面积为，则△DEF的面积为（　　） A．20 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质得到，由相似三角形的性质得到，相似三角形的面积比等于相似的平方，代入计算即可求解． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴，△ABC∽△DEF， ∴△OAC∽△ODF， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．（2026•西湖区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（6，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（6，2）或（﹣6，﹣2） 【答案】D 【分析】由以原点为位似中心的位似变换性质，需分位似图形与原图形在原点同侧和异侧两种情况求解对应点坐标． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为k，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或﹣k． 已知点A坐标为（3，1），本题相似比为2． ∴当对应点与A在原点同侧时，对应点坐标为（3×2，1×2），即（6，2）． 当对应点与A在原点异侧时，对应点坐标为（﹣3×2，﹣1×2），即（﹣6，﹣2）． 因此点A的对应点坐标为（6，2）或（﹣6，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（2026•金华一模）古书《墨子•天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形ABCD对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB：A′B′＝1：2，则A′C′两点之间的距离为　 ． 【答案】4． 【分析】连接B′D′，根据正方形的性质得到∠B′C′D′＝90°，得到B′D′是圆O的直径，根据相似比的概念求出B′C′＝C′D′＝4，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：连接B′D′， ∵四边形A′B′C′D′是正方形， ∴∠B′C′D′＝90°， ∴B′D′是圆O的直径， ∵正方形ABCD的面积为4， ∴正方形ABCD的边长为2， ∵正方形ABCD的与A′B′C′D′是位似图形，AB：A′B′＝1：2， ∴B′C′＝C′D′＝4， ∴B′D′4， ∴A′C′＝B′D′＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质，熟记90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 6．（2026•宁波模拟）如图，四边形ABCD，A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0），则A'B'的长为　 ． 【答案】． 【分析】根据位似图形的性质可得，求解，进一步利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD，A′B′C′D′是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴， ∵点A，B，A′的坐标分别为（4，0），（0，3），（﹣2，0）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了位似变换，掌握其相关知识点是解题的关键． 考点七：相似三角形综合压轴题 易｜混｜易｜错 相似三角形的常见模型： 1、 手拉手相似 如图：△ABC∽△ADE时，连结BD、CE，直线BD、CE交于点H， 则有：△ABD∽△ACE、△AOB∽△HOC 2、 K型相似 如图，当∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°时，有△ADB∽△BEC 其他性质： 1　 普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】 2　 中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3 3　 以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。 3、 母子相似 当∠ABD=∠ACB时，有：△ABD∽△ACB，性质： 4、 平行类相似 如图：DE∥BC，则△ADE∽△ABC ☆：“A字图”最值应用 A字图中作动态矩形求最大面积时， 通常当MN为△ABC中位线， 矩形面积达到最大值！ 1．（2026•莲都区校级模拟）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，AC＝AD，E为AD的中点，连接BE，交AC于点F． （1）求证：∠CAD＝2∠ACB． （2）如图2，若AD＝CD，求的值． （3）如图3，若BE⊥AC，求tan∠ACB． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【分析】（1）利用互余关系、等腰三角形的性质以及三角形的内角和关系导角可证明； （2）由已知证明△ACD为等边三角形，导角可得∠BCA＝∠BAC＝30°．设AE＝DE＝a，则AD＝AC＝2a，故AB＝BC，作BG∥AD交AC于点G，再计算得到BG＝CG，通过BG∥AD，得到△BGF∽△EAF，从而． （3）作DM⊥AC于点M，设AE＝DE＝1，则AC＝AD＝2．可得AF＝MF，EF，由中位线定理可得DM＝2EF＝2．设AF＝MF＝x，则CM＝2﹣2x，根据射影定理可得AF2＝BF•EF，从而得BF．再证明∠ACB＝∠MDC，从而有tan∠ACB＝tan∠MDC，从而有，即，解得x，故tan∠ACB． 【解答】（1）证明：设∠ACB＝α，则∠ACD＝90°﹣α， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝90°﹣α， ∴∠CAD＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α， 即∠CAD＝2∠ACB． （2）解：如图2所示， ∵AD＝CD＝AC， ∴△ACD为等边三角形， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BCA＝∠BAC＝30°． 设AE＝DE＝a，则AD＝AC＝2a， 故AB＝BC， 作BG∥AD交AC于点G， ∴∠GBA＝90°，∠BGA＝60°， ∴∠BCG＝∠CBG＝30°， ∴BG＝CG， ∵BG∥AD， ∴△BGF∽△EAF， ∴． （3）解：作DM⊥AC于点M，如图3所示， 设AE＝DE＝1，则AC＝AD＝2， ∵E为AD中点，EF∥DM， ∴AF＝MF． ∴EF，DM＝2EF＝2． 设AF＝MF＝x，则CM＝2﹣2x， ∵∠B+∠BAF＝90°，∠BAF+∠FAE＝90°， ∴∠B＝∠FAE， 又∵∠BFA＝∠AFE＝90°， 故△BAF∽△AEF， ∴AF2＝BF•EF，即x2＝BF•， 故BF． ∵∠ACB+∠MCD＝90°，∠MCD+∠MDC＝90°， ∴∠ACB＝∠MDC，从而有tan∠ACB＝tan∠MDC， ∴，即． 解得x， 故tan∠ACB． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，构造平行线证明三角形相似，三角形的中位线，勾股定理，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题关键． 2．（2026•定海区模拟）在边长为4的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点E是AB边上的一个动点，连接EM并延长交射线CD于点F． （1）如图1，连接CM，当AE＝1时，求证：CM⊥EF； （2）过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG． （ⅰ）如图2，求证：MG＝2ME； （ⅱ）如图3，当△BEG∽△CGF时，求tan∠BGE的值． 【答案】（1）连接CE， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝DM， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAE＝∠CDM＝∠MDF＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵在△AME和△DMF中， ， ∴△AME≌△DMF（ASA）， ∴AE＝DF＝1，ME＝MF， ∴M为EF的中点，BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3，CF＝CD+DF＝4+1＝5， ∵Rt△BCE中，， ∴CE＝CF＝5， ∴点C一定在线段EF的垂直平分线上， 故CM⊥EF； （2）（ⅰ）如图，过点G作GN⊥AD，交AD的延长线于点N， ∵四边形ABCD为正方形，M是AD边的中点， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，， ∵∠A＝∠B＝∠N＝90°， ∴四边形ABGN是矩形， ∴NG＝AB＝AD＝4， ∵GM⊥EF， ∴∠NMG+∠AME＝90°， 在Rt△MAE中，∠AEM+∠AME＝90°， ∴∠AEM＝∠NMG， ∵∠A＝∠N＝90°， ∴△AME∽△NGM， ∴， 即MG＝2ME；（ⅱ）． 【分析】（1）利用正方形性质证明△AME≌△DMF得AE＝DF＝1，ME＝MF，连接CE，再结合勾股定理证明CE＝CF，最后利用垂直平分线的判定定理即可证明CM⊥EF； （2）（ⅰ）过点G作GN⊥AD，交AD的延长线于点N，结合正方形性质证明四边形ABGN是矩形，得NG＝AB＝AD＝4，再证明△AME∽△NGM，由相似三角形性质得出，即可证明MG＝2ME； （ⅱ）由△AME≌△DMF可得AE＝DF，ME＝MF，由垂直平分线性质得GE＝FG，结合相似三角形性质得BE＝CG，BG＝CF，设BE＝CG＝x，则DF＝AE＝AB﹣BE＝4﹣x，建立一元一次方程4+x＝8﹣x，解出后可得BE＝CG＝2，根据即可得解． 【解答】（1）证明：连接CE， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝DM， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAE＝∠CDM＝∠MDF＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵在△AME和△DMF中， ， ∴△AME≌△DMF（ASA）， ∴AE＝DF＝1，ME＝MF， ∴M为EF的中点，BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3，CF＝CD+DF＝4+1＝5， ∵Rt△BCE中，， ∴CE＝CF＝5， ∴点C一定在线段EF的垂直平分线上， 故CM⊥EF； （2）（ⅰ）证明：如图，过点G作GN⊥AD，交AD的延长线于点N， ∵四边形ABCD为正方形，M是AD边的中点， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，， ∵∠A＝∠B＝∠N＝90°， ∴四边形ABGN是矩形， ∴NG＝AB＝AD＝4， ∵GM⊥EF， ∴∠NMG+∠AME＝90°， 在Rt△MAE中，∠AEM+∠AME＝90°， ∴∠AEM＝∠NMG， ∵∠A＝∠N＝90°， ∴△AME∽△NGM， ∴， 即MG＝2ME； （ⅱ）解：由（1）可知△AME≌△DMF， ∴AE＝DF，ME＝MF， 又GM⊥EF， ∴GE＝FG， ∵△BEG∽△CGF， ∴， ∴BE＝CG，BG＝CF， 设BE＝CG＝x，则DF＝AE＝AB﹣BE＝4﹣x， CF＝BG＝BC+CG＝4+x， 又CF＝CD+DF＝4+4﹣x＝8﹣x， 则有4+x＝8﹣x， 解得x＝2， 即BE＝CG＝2， ∴． 【点评】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、求角的正切值，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 1．（2025•浙江二模）如图，Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，点E是边AC上的动点，连结DE，作DF⊥DE交AB于点F，连结EF，当点E在AC上运动时，下列比值会变化的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE，推出，再根据BD，CD，AD为定值，可得，为定值，再根据∠AFE是变值，即可得到是变化的，即可得出答案． 【解答】解：∵Rt△ABC，AD是斜边BC上的高，DF⊥DE交AB于点F， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAC＝90°，∠EDF＝90°， ∴∠ADE+∠CDE＝∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADF+∠BDF＝∠ADF+∠ADE＝90°， ∴∠CDE＝∠ADF，∠BDF＝∠ADE， ∵∠C+∠CAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∠B+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD，∠B＝∠CAD， ∴△CDE∽△ADF，△BDF∽△ADE， ∴， ∵BD，AD，CD为定值， ∴，比值不变， 故A选项、C选项、D选项不符合题意； ∵∠AFE是变值， ∴的值是变化的， 故选项B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 2．（2025•浙江三模）如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG＝2DG，点H是线段CF上一点，CH＝2HF，连接AG，AH，GH，HE．若已知△AGH的面积，则一定能求出（　　） A．△ABC的面积 B．△ADG的面积 C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用已知条件和相似三角形的判定与性质得到∠DAG＝∠FEH，利用平行线的判定定理得到AG∥EH，利用同底等高的三角形的面积相等的性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴， ∵EG＝2DG，CH＝2HF， ∴DGDE，FHFC， ∴， ∴， ∵∠ADE＝∠EFC， ∴△ADG∽△EFH， ∴∠DAG＝∠FEH， ∵EF∥AB， ∴∠DAE＝∠FEC， ∴∠DAE﹣∠DAG＝∠FEC﹣∠FEH， 即∠GAE＝∠HEC， ∴AG∥EH， ∴S△AGH＝S△AGE． ∵EG＝2DG， ∴， ∴， ∴S△ADES△ADG， ∴S△ADES△AGH． ∴已知△AGH的面积，则一定能求出△ADG的面积． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2026•宁波模拟）如图，点D是△ABC内部一点，且∠DCB＝∠DAB，延长AD交BC于点E．已知6AD＝7DE，BE＝5，CE＝6，则AB＝　 ． 【答案】． 【分析】过点D作DF∥AB交AB于点F，证明△DEF∽△AEB，设AD＝7k，则DE＝6k，求出，设DF＝6m，则AB＝13m，再证明△CFD∽△DFE，得到DF2＝CF•EF，即可求解． 【解答】解：过点D作DF∥AB交AB于点F， ∵DF∥AB， ∴△DFE∽△ABE， ∴， ∵6AD＝7DE， 即， 设AD＝7k，则DE＝6k， ∴AE＝DE+AD＝13k， ∵BE＝5， ∴， ∴， ∵△DEF∽△AEB， ∴， 设DF＝6m，则AB＝13m， ∵DF∥AB， ∴∠EDF＝∠DAB， ∵∠DCB＝∠DAB， ∴∠EDF＝∠DCB， ∵∠CFD＝∠DFE， ∴△CDF∽△DEF， ∴， ∴DF2＝CF•EF， ∵CE＝6， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：3． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 4．（2025•鹿城区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB＝4，AD＝6，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，则AE的长为　 ． 【答案】． 【分析】延长AD、EF交于点M，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，通过角度之间的等量代换，证出△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，△DFM∽△CFE，设CE＝s，EF＝t， 利用上述三组相似三角形可得出线段之间的比例关系，建立方程进行求解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． 延长AD、EF交于点M，如下图所示： ∵∠FEC＝∠AMF，∠AEB＝∠AFE， ∠AEB＝180°﹣∠AEF﹣∠FEC，∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF， ∴∠EAF＝∠FEC＝∠AMF， ∴∠EAF＝∠AME， 又∵∠AEF＝∠AEM， ∴△AEF∽△MEA， ∵∠EAF＝∠FEC，∠AFE＝∠EFC， ∴△AEF∽△ECF， ∵AM∥EC， ∴△DFM∽△CFE， ∵AB＝4，AD＝6，CF＝1， ∴DF＝AB﹣CF＝3， 设CE＝s，EF＝t， ∵△AEF∽△ECF， ∴， 即， ∴AE＝st，AF＝t2， 又∵△DFM∽△CFE， ∴， 即， ∴FM＝3t，DM＝3s， ∴AM＝AD+DM＝6+3s， EM＝EF+FM＝t+3t＝4t， ∵△AEF∽△MEA， ∴， 即， ∴， 解得或（舍去）或s＝﹣2（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】题目主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 5．（2026•浙江模拟）如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线分别交⊙O、AB于点D、M，则线段DM的长为　 cm ． 【答案】DMcm． 【分析】连接AD，BD，过B作BH⊥CD于H，由圆周角定理得∠ACB＝∠ADB＝90°，由勾股定理求出BC＝8cm，判定△BCH是等腰直角三角形，求出CH＝BH＝4cm，判定△ADB是等腰直角三角形，求出BD＝5cm，由勾股定理求出DH＝3cm，得CD＝CH+DH＝7cm，判定△DBM∽△DCB，推出DB：DC＝DM：DB，即可求出DM的长． 【解答】解：连接AD，BD，过B作BH⊥CD于H， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC8（cm）， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∴△BCH是等腰直角三角形， ∴CH＝BHBC＝4（cm）， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BD， ∴△ADB是等腰直角三角形， ∴BDAB＝5（cm），∠MBD＝45°， ∴DH3（cm）， ∴CD＝CH+DH＝7（cm）， ∵∠MBD＝∠BCD＝45°，∠BDM＝∠CDB， ∴△DBM∽△DCB， ∴DB：DC＝DM：DB， ∴5：7DM：5， ∴DM（cm）． 故答案为：cm． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，圆周角定理，角平分线的定义，关键是判定△DBM∽△DCB． 6．（2025•浙江模拟）如图，点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，以BD为直径的圆⊙O交边AC于E，F两点，连结DE，BE，BF，并且BE平分∠DBF． （1）求证：△BCF∽△BED； （2）若DE＝2.5，CF＝2，求BC的长； （3）若BD＝2AD，BF＝8，求CF的长． 【答案】（1）见解析； （2）6； （3）． 【分析】（1）由圆内接四边形对角互补结合邻补角得到∠EDB＝∠CFB，由∠BED＝∠C，即可证明相似； （2）先证明EF＝DE＝2.5，再由相似得到，设BC＝4x，则BE＝5x，CE＝CF+EF＝2+2.5＝4.5，在Rt△BCE中由勾股定理建立方程求解即可； （3）如图，连结OE，先证明OE∥BF，则，设DE＝EF＝x，圆O的半径为r，则AE＝2x，证明△ADE∽△AFB．则，解得：，再由△BCF∽△BED求解即可． 【解答】（1）解：∵四边形BDEF内接于圆， ∴∠EDF+∠EFB＝180°， ∴∠EDB＝∠CFB， ∵BD是直径， ∴∠BED＝90°， ∵∠C＝90°， ∴△BCF∽△BED； （2）解：BE平分∠DBF， ∴∠DBE＝∠FBE， ∴EF＝DE＝2.5， ∵△BCF∽△BED， ∴， 设BC＝4x，则BE＝5x，CE＝CF+EF＝2+2.5＝4.5， 根据勾股定理BC2+CE2＝BE2，得（4x）2+4.52＝（5x）2， 解得：x＝1.5（舍负）， ∴BC＝4x＝4×1.5＝6； （3）解：如图，连结OE， ∵BE平分∠DBF，OB＝OE， ∴∠FBE＝∠OEB， ∴OE∥BF， 又∵BD＝2AD， ∴， 设DE＝EF＝x，圆O的半径为r，则AE＝2x， ∵四边形BDEF内接于圆O， ∴∠AED＝∠ABF， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△AFB， ∴， 即， 解得：， ∵△BCF∽△BED， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 1．（2026•西湖区校级模拟）某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片ABCD（）．先将纸片折出折痕BD，再在边AD上取点P，将△ABP沿BP折叠得△A′BP．记A′P与BD的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段A′P时，A′B恰好平分∠DBC，则AD长度应取 　 cm． 【答案】7． 【分析】延长PA′交BC于点E，过点P作PF⊥BC于点F，通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等的边和角，证明△A′BQ≌△A′BE，得出相等的边，结合矩形的性质证明△DPQ∽△BEQ，得出相似比，设PQ＝A′Q＝A′E＝x，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：如图所示，延长PA′交BC于点E，过点P作PF⊥BC于点F， ∴∠PFB＝∠PFE＝90°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴四边形ABFP为矩形， ∴BF＝AP，， 根据折叠可得，，∠BA′Q＝∠A＝90°＝∠BA′E， ∵A'B平分∠DBC， ∴∠A′BQ＝∠A′BE， 又∵A′B＝A′B， ∴△A′BQ≌△A′BE（ASA）， ∴A′Q＝A′E， ∵点Q平分线段A′P， ∴PQ＝A′Q， ∴PQ＝A′Q＝A′E， ∵AD∥BC， ∴△DPQ∽△BEQ， ∴， 设PQ＝A′Q＝A′E＝xcm， 则PE＝3x，BF＝AP＝A′P＝2x， 由勾股定理得， ∴， ∴ 由勾股定理得PF2+EF2＝PE2， 即， 解得x＝2（负值已舍）， ∴AD＝AP+PD＝4+3＝7（cm）， 故答案为：7． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，二次根式的应用，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2026•金华一模）某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法： ①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O； ②过O作OE1⊥AB于点E1，连结CE1交BD于点P1； ③过P1作P1E2⊥AB于点E2，连结CE2交BD于点P2； ④过P2作P2E3⊥AB于点E3，连结CE3交BD于点P3； … 则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点； （1）求证：； （2）已知AB＝3BC， ①求∠ACE3的正弦值； ②按上述方法继续画图得到点En（n＞2），若△CBEn∽△DCB，则n的值为　 　 ． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，OE1⊥AB， ∴AD＝BC，OA＝OC＝OB＝OD，∠OE1A＝∠CBA＝90°， ∴OE1∥CB， ∴△OAE1∽△CAB，△OE1P1∽△BCP1， ∴， ∴， ∴， 同理可证，P1E2∥AD， ∴△BE2P1∽△BAD， ∴， ∴； （2）①；②8． 【分析】（1）利用矩形性质证明△OAE1∽△CAB，△OE1P1∽△BCP1，利用相似三角形性质推出，再证明△BE2P1∽△BAD，最后利用相似三角形性质分析求解，即可解题； （2）①先证明△P2E2P1∽△P2CB推出，类比（1）同理证得，设BC＝x，则AB＝3x，结合勾股定理推出BE3，AC，CE3，AE3，记E3到AC的距离为h，利用等面积法求出h，再根据正弦定义求解，即可解题； ②类比（1）同理证得，利用矩形性质推出CD＝AB＝3BC，根据△CBEn﹣∽△DCB得到，再整理求解，即可解题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，OE1⊥AB， ∴AD＝BC，OA＝OC＝OB＝OD，∠OE1A＝∠CBA＝90°， ∴OE1∥CB， ∴△OAE1∽△CAB，△OE1P1∽△BCP1， ∴， ∴， ∴， 同理可证，P1E2∥AD， ∴△BE2P1∽△BAD， ∴， ∴； （2）解：①∵，△BE2P1∽△BAD， ∴P1E2ADBC， ∵P1E2∥AD，AD∥BC， ∴P1E2∥BC， ∴△P2E2P1∽△P2CB， ∴， ∴BP2OBOBBD， 类比（1）同理可证BE3AB， ∵AB＝3BC， 设BC＝x，则AB＝3x， ∴BE3x，ACx， ∴CE3x，， 记E3到AC的距离为h，则， 即， 解得， ∴； ②类比（1）同理证得， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3BC， ∴CD＝AB＝3BC， ∵△CBEn∽△DCB， ∴， ∴， ∴， 解得n＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了相似三角形相关知识，解题的关键是根据相似三角形的性质和判定推理得到BEn与AB的数量关系． 1 / 10 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