专题08 期末真题压轴百练通关（期末复习专项训练+9大题型）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦期末压轴突破，涵盖9大核心题型80道真题，系统整合选填与解答压轴方法，强化几何推理与模型应用 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多结论问题|10小题|几何结论正误判断|综合角平分线、垂直等性质推理| |多解问题|10小题|动态图形分类讨论|结合旋转、动点位置多情况分析| |最值问题|10小题|路径与线段最值|运用对称、垂线段最短等模型| |动点变量问题|7小题|运动过程函数关系|动点路径与面积变化规律探究| |乘法公式与几何综合|10小题|代数公式几何验证|数形结合解决面积与边长关系| |平行线综合|10小题|性质与判定综合应用|角平分线、动态旋转下平行关系| |截长补短模型|5小题|线段和差证明|构造全等转化线段关系| |一线三等角模型|5小题|直角/等腰三角形全等|利用等角条件证三角形全等| |倍长中线模型|5小题|中线辅助线构造|延长中线构建全等三角形|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08期末真题压轴百练通关(80题9大压轴题型) 真题实战，百练通关 选填压轴 解答压轴 题型1多结论问题 题型5乘法公式与几何图形综合题 题型2多解间题 题型6平行线的性质与判定综合题 题型3 最值问题 题型7三角形全等之截长补短模型 题型4动点变量问题 题型8三角形全等之一线三等角模型 题型9三角形全等之倍长中线模型 题型一多结论问题（共10小题） 1.(25-26七年级上河南漯河·期末)如图，O为直线AB上一点，0C平分∠AOE,∠DOE=90°，以下结 论：①LA0D与LB0E互为余角；②若∠B0E=58°，则∠C0E=61°；③∠B0E=2LC0D;④0D平分 ∠AOC.其中结论正确的是() A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 2.(25-26七年级上·湖南常德期末)如图，0为直线AB上一点，∠D0C和LG0E为直角，OE平分 ∠B0C,0F平分LA0D,0G平分∠AOC,下列结论：①∠GOF=45;②2∠AOE-∠BOD=90;③ ∠EOD与∠COG互为补角；④∠BOE-∠DOF=45;其中正确的是() A.①②③④ B.③④ C.②③ D.②③④ 3.(24-25八年级上·北京石景山期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,CD是∠ACB内部的射 线且∠BCD<45°，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.给出下面三个结论：① ∠EAB=∠FBA;②AB=CF:③EF=AE-BF.其中正确的有() 1/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.(24-25八年级上·浙江湖州期末)如图，AB=AD,∠BAD=140°，AB1CB于点B,AD⊥CD于点D, E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF=70°，下列结论中①DF=BE,②△ADF≌△ABE,③FA平 分∠DFE,④EF平分∠AEC,⑤BE+DF=EF,其中正确的结论是() F A.④⑤ B.①② c.③⑤ D.①②③ 5.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，已知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两 点，延长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分LFBC,若∠ACB=I10°.则下列 结论： ①∠MAB=∠BAD; ②∠ABM=∠BAM;③LNBC=LBDH;④设LCBM=a,则∠BAD=55- a ；⑤LDBA=55 其中，正确的有() C E B G -H A D A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.②③④⑤ 6.(25-26八年级下·湖南衡阳·期末)如图，在ABC中，AD是BC边上的高， LBAF=∠CAG=90°，AB=AF,AC=AG,连接FG,交DA的延长线于点E,连接BG,CF.则下列结论： ①BG=CF;②BG⊥CF;③EF=EG;④BC=2AE,其中正确的有() 2134 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 B D A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 7.(25-26七年级上·吉林长春期末)如图，AB∥CD,直线1与AB、CD分别交于点E、F,FM平分 LCFE交直线AB于点M,FN平分∠DFE交直线AB于点N.给出下面四个结论：①LCFE=∠BEF;② MF⊥NF;③∠CFM+∠BNF=180°；④∠CFE+2LENF=180°；上述结论中，正确结论的序号有· AM NB E D 8.(24-25七年级下.甘肃兰州期末)如图，在aAFC与△AEB中，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, CF分别交AB、EB于点N,D,AC交EB于点M,则下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF;③CD=DN ;④△ACN≌△ABM,其中正确的序号为： E D 9.(25-26八年级上·吉林长春期末)如图，在ABC中，AD为中线，过B作BE⊥AD于点E,过C作 CF⊥AD于点F.在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD. 给出下面四个结论： ①BE=CF; ②AG=3DE; ③ABE≌GCF; ④SABD+ScDe=SGCF· 上述结论中，正确结论的序号有 3/34 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 G D E 10. (25-26七年级上湖北武汉·期末)如图，A,B,C,D,E是直线1上顺次排列的五个点，点F是直 线I外一点，连接AF,BF,CF,DF,EF.BM平分∠ABF交AF于点M,BN平分∠EBF交EF于点N, 连接DN,且∠FDN=∠FBN. M A 下列五个结论： ①图中以F为顶点的角共有10个； ②∠MBN=90°； ③图中互为余角的角共有5对： ④若∠ABM=60,∠FDN=FDE,则∠FDE=90； ⑤若图中直线1上所有线段之和为62，AE=12,则BD=7. 其中正确的是 (填写序号). 题型二多解问题（共10小题） 11.(25-26八年级上江西赣州期末)已知等式(x-4)3=1成立，则实数x的值为 12.(24-25七年级下·浙江台州期末)如图，在射线AB上取一点D,连接CD,过点D作DE∥BC交直 线AC于点E,若LABC=85°，LCDE=20°，则∠ADC的度数是一· D C 13.(25-26七年级上·河南新乡·期末)如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中 4/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB=∠CDE=90°，∠ABC=30°，∠DCE=45°.三角板ABC固定不动，三角板DCE可绕点C转动， 当AB∥EC时，∠DCB的度数为 B 14.(24-25七年级下江苏宿迁期末)将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF 交于点G,∠C=∠EFB=90,∠A=60,∠E=45,现将图中的ABC绕点G按每秒30的速度沿逆时针方 向旋转180°，在旋转的过程中，ABC恰有一边与DE平行的时间为 G B(D) 15.(24-25七年级下·江西南昌·期末)一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺ABC固定不动， 将45°的三角尺BDE绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线AB的上方，当两块三角尺至少有一组边互相 平行时，如图2，当DE∥AB时，∠ABE=45°，则其它符合条件的∠ABE度数为 D 图1 图2 16. (24-25八年级上甘肃张掖期末)如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=5,延长边BC到点E, 使CE=2,连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，当 △ABP和△DCE全等时，△DCE会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则△DCE首次闪烁与第二次闪 烁的时间间隔为秒 B P 5/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17.(24-25七年级下.河北保定期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,J顶点C在 直线MN上，点P以3cm/s的速度沿A→C→B向终点B运动，同时点Q以5cm/s的速度从点B开始，在 线段BC上往返运动（即沿B→C→B→C→…运动），当点P到达终点B时，P,Q同时停止运动.过 P,Q分别作直线MN的垂线段，垂足分别为D,E.设运动时间为t(s,当△PCD与△QCE全等时，t= S. B MD 18.(24-25七年级下·四川巴中期末)如图，AB=9cm,BC=12cm,LB=LC.如果点P在线段BC上以 3cms的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t秒后同时停止，当△ABP 与COP全等时，则？点的运动速度是 cm/s. D B 19.(24-25七年级下·江西景德镇期末)如图，在Rt△DEF中，∠E=90°，EF=3cm,DE=4cm,DF=5cm, 在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=∠D,BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm.现有一动点P,从点C出发，沿着三 角形的边CB→BA→AC运动，回到点C停止，速度为3cms,若另外有一个动点Q,与点P同时出发， 从点A开始沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.若在两点运动过程中的某一时刻，恰好BPQ和 aDEF全等，设点Q的运动速度为vcm/s,则的值为 36 20.(24-25七年级下·安徽宿州期末)如下图，在四边形ABCD中，AD=BC=10,AD∥BC,点E从 点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度，沿 C→B→C做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.BD=14,点G为BD的中点， 6/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两个点同时出发，设移动时间为t秒，在移动过程中，当△DEG与△BFG全等时，t的值为 秒. 题型三最值问题（共10小题） 21.(25-26八年级上·广东汕头期末)如图，在锐角ABC中，AC=20,S△4Bc=50,∠BAC的平分线 交BC于点D.点M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是· D M B 22.(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图，ABC中∠ACB=90°，AC=4,BC=3,AB=5,BP平分∠ABC ,点D、E分别是BC、BP上不与端点重合的动点，连接CE,DE,则CE+DE的最小值为 B 23.(24-25七年级下广东深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,S。4BC=6,点E、D 分别是AB,BC上的动点，则AD+DE的最小值为· 24.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在ABC中，AC=6,∠BAC=90°，E,D分别为边AB,AC上 的动点，且AE=CD,连接BD,CE.当CE+BD取最小值时，SBDc+S.Bc=, 7134 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 25.(25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末)如图，己知在直角三角形ABC中，BC=3,AC=4,AB=5 ,动点D在AC边上运动，过D点作DE⊥AB,垂足为点E.则在点D的运动过程中，DB+DE的最小 值为 26.(25-26八年级上·安徽合肥·期末)如图，在ABC中，D是BC上一点，连接AD,将ABC沿AD折 叠，点B的对应点E恰好落在AC上，M是AD上一动点，连接ME,MC,若BC=5,AB=3,AC=6, 则MC+ME的最小值为· M B 27.(24-25八年级下山东聊城期末)如图，直线与直线相交，∠a=60°，点P在∠α内，用下面的 方法作P的对称点：先以（为对称轴作点P关于的对称点？，再以马为对称轴作关于的对称点B, 然后再以为对称轴作B关于的对称点P,以马为对称轴作B关于的对称点P,,如此继续，得到 一系列点P,B,B,P,,P,若P与P重合，则n的最小值为 ●D a 28.(24-25八年级上·安徽合肥期末)如图，在ABC中，若AC=5,BC=12,AB=14,将ABC折 叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD,点P为AD上一动点，则△PEB的周长最小值为 8/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D 29.(24-25七年级下河南期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，M是BC边上一点，AC=6, AB=8,BC=I0,若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称，则点M1,M2之间的距离 的最小值是，点M1,M2之间的距离的最大值是· M 30.(24-25八年级上河北石家庄·期末)如图，∠A0B=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=8 ,△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P,点P关于OB对称的点为B, 当点P在直线NM上运动时，△OPP的面积最小值为 P M P NB P2 题型四动点变量问题（共7小题） 31.(24-25六年级下山东威海·期末)如图，在长方形ABCD中，AB=5cm,BC=7cm,点P是边BC上 的动点（不与点C重合），点Q是边AD上任意一点，点P从点B向点C以3cm/s的速度运动.则△QPC的面 积S(cm)与点P的运动时间xs间的表达式为() 9/34 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C A.S=15 B.S=5(7-x c.s-31-3网 D.因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 32.(24-25八年级上·云南玉溪期末)如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A一→B→C→D的 路径匀速前进到D为止.在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是() B P SA B C D 33.(24-25七年级下河北保定期末)如图1所示，长方形ABCD中，动点P从点B出发，以1cm/s的速 度沿着B一C一D一A运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，△ABP的面积为yCm2,y与x的关 系如图2所示，那么下列说法错误的是() 049N衣 图1 图2 A.AB =5cm B.长方形ABCD的周长为18cm 10/34 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 C.当x=5秒时，y=10cm D.当y=7.5cm2时，x=10秒 34.(24-25七年级下·山东济南期末)如图，线段AD是ABC底边BC上的高，BC=15,AD=10,动 点P从点B出发，沿BC的方向运动至点C处停止.设BP的长为x,△APC的面积为S,则S与x之间 的关系式为 B D 35.(24-25七年级下·四川达州期末)如图1，已知长方形ABCD中，动点M沿长方形ABCD的边以 B→C→D→A的路径匀速运动到A处停止，记△ABM的面积为y,动点M运动的路程为x,y与x的关 系如图2所示，则图2中的m的值为 VA 8 13 图1 图2 36.(24-25六年级下·山东烟台期末)如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿 A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PCD的面积为y,如果y与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为 7101720x 37.(24-25八年级上·宁夏银川期末)已知动点P以每秒1cm的速度沿图甲的边框按从 B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示. 若AB=3cm,①图甲中BC长是4cm;②图乙中a是6cm2;③图甲中图形面积是15cm2;④图乙中的b是 17秒.正确说法的序号是 11/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个S(cm2) 469 图甲 图乙 题型五乘法公式与几何图形综合题（共10小题） 1.(25-26八年级上·辽宁盘锦期末)若一个整数能表示成a2+b2(α，b是整数)的形式，则称这个数为 “完美数”. 例如，5是“完美数”.因为5=22+12.再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y)+y2(x,y是整数)，所以M 也是“完美数”. (1)请说明13是“完美数”； (2)已知S=x2+4y2+8x-12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个 k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足-x2+7x+y-11=0,请求出x+y的最小值 2.（25-26八年级上·广东广州期末)数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，请认真观察图形，解 答下列问题： a 0 b E 图1 图2 图3 图1是我们学过的乘法公式的图形表示，请利用这个公式解决下面问题， (1)用4个一样的长方形，长和宽分别为α，b,拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积， 直接写出这三个代数式(a+b),(a-b)，ab之间的等量关系： (2)若2m+3n=5,mn=1,求2m-3n的值； (3)如图3，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为m,n(m>n),若m+n=6,mn=3,E是AB的 中点，求阴影部分面积的和 3.(21-22六年级下·山东东营·期末)（附加题）【探究】如图①，从边长为α的大正方形中剪掉一个边 长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 12/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a 图① 图② (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：一（用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知16m2-9n2=120,4m+3n=40,则4m-3n的值为_ ②计算：(2a+b-c(2a-b+c (4)【拓展】①2+1)(2+1(2+1(2+122+1+1结果的个位数字为_ ②计算：1002-992+982-972+.+42-32+22-12 4.（25-26八年级上·江西赣州期末)数学活动一一和为定值的两数积的规律. 观察以下两组算式： ①两数和为60时，30×30=900,35×25=875,43×17=731,52×8=416； ②两数和为100时，50×50=2500,53×47=2491,74×26=1924,91×9=819. (1)你发现的规律是：两数和一定时，两数 ,积越大；两数 ,积最大. (2)请你利用乘法公式解释你发现的规律. (3)规律应用： 用20m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是 m2,此时长方形的长和宽有什么 数量关系？ 由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中， 的面积最大。 5.(25-26八年级上黑龙江大庆期末)阅读材料：如果一个数的平方等于-1，记为2=-1，这个数i叫 作虚数单位，那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部. 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： (2+i)+(3-4i)=(2+3)+(1-4)i=5-3i.(3+i)i=3i+i2=3i-1. ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等： ③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭； 13/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)填空：①1+i1-i)=-,②(2+)2=_ (2)复数4+bi与复数a+5i共轭，则a+b=- (3)已知a+)(b+i=1-4i,求a2+b2的值. 6.(25-26八年级上湖北荆门·期末)“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万 事休.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式. B 图① 图② 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为Q和b的两个正方形，长宽分别为Q和b的两个长方形，利用 这个图形可以验证公式(a+b)2=a2+2ab+b2. 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 (1)若xy=3,x+y=5,则xX2+y2=: 【类比应用】 (2)若(20-x)(x-30)=10,求(20-x)2+(x-30)2的值. 【知识迁移】 (3)如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG,若阴影部 分的面积和为10，△CDG的面积为3，求CE的长度. 7.(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯期末)【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们 必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系.”这就是“算两次” 原理.例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.如图1可以得到 (a+b)2=a2+2ab+b2. 14/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b 图1 图2 图3 【类比应用】 (1)如图2，可以得到的代数恒等式是：一： 【结论应用】 (2)若x满足2026-0x-2025列=号求(2026-+x-2025°的值： 【迁移应用】 (3)两块完全相同的特制直角三角板（∠A0B=∠C0D=90°）如图3所示放置，其中A,O,D在一直线 上，连接AC,BD,若一块直角三角板的面积为11，△AOC与△BOD面积之和为28，求线段AD的长. 8.(25-26八年级上·山西吕梁期末)【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方（α+b)”展开式的规律，在欧洲，这 个图表叫做“帕斯卡三角”.帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年.如图，是杨辉三角 的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和)，它把二项式乘方展开式 系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如(a+b)”(n为正整数)展开式各项的系数，请你仔细观察下 列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题， (a+b)'=a+b (a+b)2=a2+2ab+b (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 【初步感知】 (1)按以上规则，(a+b)4展开式共有 项，第三项（字母部分为ab)的系数是 【拓展推广】 15/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)利用杨辉三角，写出(a+b)3的展开式 【迁移应用】 (3)我们在对(a-b)的推演过程中，是将(a+b)=a2+2ab+b2中的b”代换成“-b”,可得 (a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2;利用杨辉三角，写出(a-b)的展开式. 9.(25-26八年级上·广东珠海期末)【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这 个正整数为“神秘数” 例如：8=32-12,16=52-32,24=72-52,32=92-72，… 因此8,16,24,32都是“神秘数”. 99 D (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：()=11-92；48=（)2-()2； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为℉M928”,928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续 的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (④)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正 方形边长为3，第3个正方形边长为5.，按此规律拼叠到正方形ABCD,正方形ABCD的边长99，求阴 影部分面积的和， 10.(25-26八年级上·山东济宁期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性， 可以帮助理解数学问题 a-b a-b a b a 图1 图2 图3 (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式. 图1： 图2： 图3： 16/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 己知x-y=5,y=4,求代数式①x2+y2;②x2-y2的值. (3)若(2025-m)(2026-m=10,求(2025-m)2+(2026-m2的值， 题型六平行线的性质与判定综合题（共10小题） 11.(25-26七年级上·福建漳州期末)在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角 度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，己知AB∥CD∥EF,BC∥DE,测得LB=98°，求LC,LD,LE的度数； 【探究二】保持AB∥EF,改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF之 间具有什么数量关系？探究并说明理由： 【探究三】在图②的基础上，分别作∠BCD、∠DEF的角平分线并相交于点P,从而得到图③的形状.若 ∠B=106°，∠D=70°，求∠P的度数. 图① 图② 图③ 12.(25-26七年级上·重庆期末)如图所示，含30°的直角三角形ABC,点A和点C在两平行线 MN、OR上，AD、AE分别为∠BAN、∠BAM的角平分线，F为BC的延长线与AD的交点. M A N CD R B (I)求证：EA⊥AD; (2)试判别∠AED和∠CFD的大小关系，并说明理由： (3)当∠ADE=36°时，射线AM和射线CB分别以10°每秒和30°每秒的速度同时顺时针旋转，当射线CB旋 转一周时，全部停止运动，求射线AM和射线CB在旋转过程中平行时对应的时间的值 13.(25-26八年级上山东青岛期末)(1)基础问题：如图(1)，若AB∥CD,∠BEP=140°， LPFC=50°，则∠EPF的度数为 (2)问题迁移：如图(2)，若AB∥CD,点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、∠EPF之间有什么 17/34 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 数量关系？请说明理由， (3)联想拓展：如图(3)，在(2)的条件下，已知∠EPF=a°，∠PFC=B°，∠PEA的角平分线和 LPFC的平分线交于点G,则∠G= °（用含有a、B的代数式表示）. : 图(1) 图(2) 图(3) 14.(25-26八年级上江西抚州期末)问题情境：如图1，AB∥CD,∠0CD=110°，∠0BA=140°，求 ∠BOC度数. 01 E----------- H B 图1 图2 小彬的思路是：过O作OE∥AB,通过平行线性质来求∠BOC. (1)按小彬的思路，求∠BOC的度数； (2)问题迁移：如图2，AB∥CD,点E在射线OF上运动，记LABE=Q,∠CDE=B,当点E在A,C 两点之间运动时，问∠BED与，B之间有何数量关系？请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点E在A,C两点外侧运动时（点E与点O,A,C三点不重合），请直接写出 ∠BED与a,B之间的数量关系. 15.(25-26七年级上·福建泉州期末)【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰 富的角度关系.现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸. 如图，直线AB∥CD,EF∥GH,∠AEF的角平分线交CD于点P F (备用图) 探究(1)初步观察与推理 用量角器测量∠EPF和∠PEF的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由， 18/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 探究(2)角度倍数关系的计算 若测量得LFHG=3LEPF,请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数. 探究(3)动点角度的分析 点Q为射线GH上一点，连接EQ,FQ.若测∠QFH=∠FOH,且∠PEQ-∠EQF=50°，求∠EQF的度数. 16.(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，MN∥PQ,直线AB交MN于点A,交P9于点B,点E是 线段AB上一点，C、D分别在射线AN、BQ上，连接CE、DE,∠ECN的平分线与∠BDE的平分线交于点 F. LAC M B P 备用图 (I)当CE⊥DE时，∠ACE+∠BDE= : (2)∠CED与LCFD的数量关系是 (3)过点D作DH⊥CF,交CF的延长线于H,将直线AB绕点A逆时针旋转，速度为每秒2°，旋转后的对 应直线为AB',同时，将△DFH绕点D顺时针旋转，速度为每秒4°，旋转后的对应三角形为△DFH',当 直线AB'首次与直线MN重合时，整个运动停止.在(1)的条件下，若∠CAB=80°，∠EDB=40°，经过t 秒后，直线AB恰好与△DF'H'的边FH'或边DH'平行，请直接写出所有满足条件的t的值. 17.(25-26七年级上·福建福州期末)如图，AB∥CD,点P在AB,CD之间，过P作射线PM,PN分别 交直线AB,CD于点E,F,PE⊥PF. M A IH B 图1 图2 (I)如图1，求LAEP+∠PFC的度数： (2)如图2，若∠MEB的平分线和∠PFD的平分线交于点G,GF交AB于H, ①求LG度数； ②当∠PFC=30°时，射线FN绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为t秒，0<t<36,当FN与 三角形GEH的一边垂直时，求出t的值. 19/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26八年级上广东深圳期末)综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有∠1=∠2.潜 望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置， (I)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，AB、CD是两面互相平行的镜面，光线EF照射到镜面AB 上，反射光线为FG；FG照射到镜面CD上，反射光线为GH.试判断光线EF和GH的位置关系，并说明 理由。 HE 图1 D图2 图3 图4 (2)类比探究：如图3，将两块平面镜AB、BC的一个端点重合于点B,一束光线EF照射在镜面AB上，经 过两次反射后得到光线GH,若EF∥GH,∠HGC=45°，求LEFG及∠ABC的度数 (3)拓展探究：如图4，光线EF与光线GH交于点H.设两面镜子的夹角LABC=a(0°<a<90°)，设 ∠FHG=B(0°<B<90°). ①当a=80°，∠AFE=40°时，求B的度数： ②直接写出与B之间的数量关系. 19.(25-26七年级上·福建泉州期末)直线MN∥PQ,点A在直线P9上，点B在直线MN、PQ之间， ∠BAP=45°，点C在直线MN上，记∠MCB=a(0°<a<22.5°). M C E B A DO D O 图1 图2 图3 (I)如图1，求∠ABC的度数；（用含a的代数式表示） (2过点B作∠ABD交直线PO于点D(D在A的右侧)使得∠ABD=}∠ABC,点E为平面内一点且满足 3 ∠MCE=∠BCE,直线CE与直线BD交于点F, (i)如图2，若点E在直线MN上方，求∠BFC与∠MCB的数量关系； (i)如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点，且满足 LGFB+∠HCF=I50°，连接GH,试说明三角形BCF,BFG,BGH,BCH中必有某两个三角形的面积相 20/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 等 20.(25-26七年级上·海南海口期末)综合与探究 如图，AB∥CD,点P,Q为直线CD,AB上两定点，O°<∠PNQ<180°. D C D M 3 B -B 图1 图2 P ) M2MM B 图3 图4 (1)如图1，当N点在P9左侧时，∠1，∠2，∠3满足数量关系为-： (2)若PM平分LCPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=110°. ①如图2，点N在PO左侧时，求∠PM但的角度； ②如图3，点N在P9右侧，求∠PMQ的角度； (3)如图4，PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=120°，点N在P2右侧，若∠CPM与∠AOM的角 平分线交于点M1,∠CPM,与∠AQM,的角平分线交于点M2;依次类推，则∠PM2o26Q=-·(直接写出 结果) 题型七三角形全等之截长补短模型（共5小题） 21.(24-25八年级上·山东威海期末)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC, CD上，已知∠EAF=∠DAB,∠ABC+∠ADC=180°. 21 21/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E C F 图1 图2 (I)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成 立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由。 22.(25-26八年级上·陕西延安·期末)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法， 可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系 问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习.如 图，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. B B D F D 图① 图② (①图O,若∠ABC=∠ADC=90,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠BF-号BD,试探究线 段EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接 AG,请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若∠ABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 23.(25-26八年级上陕西商洛期末)【问题探究】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠D=180°，点F在CB上，点E在CB的延长线上， 连接AF、AE,∠EAF=∠BAD,点G在DC上，且DG=BE,连接AG,试说明LEAF=LGAF; 2 22/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 【问题解决】 (2)如图2，四边形ABCD是某小区一块空地，经测量，AB=BC,∠BAD+∠BCD=180°，小区物业现 计划对这块空地及其周边进行重新规划，在DA、DC的延长线上分别取点P、Q,沿BP、BQ修建两条 灌溉水渠，并在△PBQ内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足PQ=AP+CQ,请你求出∠PBQ与 ∠ABC之间的数量关系，并说明理由. 图2 24.(24-25八年级上山东济宁·期末)四边形ABCD中，AB=BC,∠A+∠C=180°，E,F分别是边 AD,CD上的动点，且∠ABC=2∠EBF. E 图1 图2 (1)如图1，当E,F分别在线段AD,CD上时， ①填空：若设∠D=a,∠EBF=B,则a,B之间的数量关系是一； ②猜想AE,EF,FC之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当E,F分别运动到在线段DA,CD延长线上时，其它条件不变，(1)中②你的猜想是否仍 然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明。 25.(24-25七年级下·江西抚州期末)【初步探索】 (1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD,∠EAF之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 23/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由. 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的 延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=68°，请求∠EAF的度数. 6 D D E 图1 图2 图3 题型八三角形全等之一线三等角模型（共5小题） 26.(24-25七年级下·广东清远期末)【问题提出】 (1)如图1，直线1经过点A,∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C向直线1作垂线，垂足分别为D ,E.求证：△ABD≌△CAE; A 图1 【变式探究】 (2)如图2，点A、D、E分别在直线1上，如果LCEA=∠BAC=LADB,AB=AC,求证： DE=BD+CE; B C E A D 图2 【拓展应用】 (3)如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC, 24/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE,作BC边上的高AG,延长GA交DE于点H.若AH=5,AG=I2,求△DAE的面积. D 图3 27.(24-25七年级下·山西晋中.期末)综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系.已知：在ABC 中，AB=AC. E A Em D Am B->P BP 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，若LBAC=90°，点D、A、E在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC,则BD与AE的数量关系 为，CE与AD的数量关系为 (2)如图2，若∠BAC>90°，点D、A、E在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断线段BD,CE和 DE的数量关系，并说明理由 (3)如图3，若∠BAC<90°，AB=AC=12cm,BC=8cm,E是AB中点，点P在线段BC上以3cms的速 度由点B到点C运动，同时点Q在线段CA上由点C到点A运动，它们运动的时间为tS,当点Q的运动 速度为多少时，能使△BPE与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等.（直接写出结果） 28.(24-25八年级上吉林期末)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线1经过点C. B C E 图1 图2 图3 (1)当AC=BC时， ①如图1，分别过点A,B作AD⊥直线I于点D,BE⊥直线I于点E,求证：△ACD≌△CBE; 25/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②如图2，过点A作AD⊥直线I于点D,点B与点F关于直线1对称，连接BF交直线l于点E,连接CF.请 写出线段DE,AD,EF三者之间的数量关系，并说明理由 (2)如图3，当AC=8cm,BC=6cm时，点B与点F关于直线I对称，连接BF,CF.点M从A点出发，以 每秒1cm的速度沿路径A→C运动到终点C;点N以每秒3cm的速度沿路径F→C→B→C→F运动到 终点F,分别过点M,N作MD⊥直线l于点D,NE⊥直线I于点E,点M,N同时开始运动，各自达 到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒.当△MDC与△CEN全等时，直接写出t的值 29.(24-25七年级下·四川达州期末)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型 图（如图2、图3），即“一线三等角”模型. 朱列黄实 赵爽 赵爽弦图 图1 图2 图3 图4 【探究问题】 (1)如图2，在直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点C正好落在直线I上，分别作BF⊥1于点F, AE⊥I于点E,则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 (2)如图3，将(1)中的直线1绕点C转动到与AB相交，其余条件不变.请问(1)中结论是否成立？ 如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由， 【解决问题】 (3)如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C,ABC的边上有两个动点D、E,点D以2cm/s的速 度从点A出发，沿AC→CB移动到点B,点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A,两 动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点，过点D、E分别作DM⊥PQ,EN⊥PQ,垂足分 别为点M、N,若AC=I2cm,BC=16cm,设运动时间为t,当以点D、M、C为顶点的三角形与以点 E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值 30.(25-26八年级上湖北随州期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm，DE=1.7cm,求BE的长.” 在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. 26/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，LACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD1DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE; 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC, 连DC交OB延长线于点E.猜想AO与BE的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以ABC的AB,AC边向外 作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=LCAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H ,若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 题型九三角形全等之倍长中线模型（共5小题） 31.(25-26八年级上陕西商洛期末)(1)问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题： 如图①，AD是ABC的中线，若AB=7,AC=5,求BC长和AD长的取值范围.他们利用所学知识很 快计算出了BC长的取值范围为 (2)方法探究：但是他们怎么也算不出AD长的取值范围，经小组讨论后发现：延长AD至点E.使 DE=AD,连接BE,如图①.可证出△ACD≌aEBD,利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化 到△ABE中，进而求出AD长的取值范围，请写出解答过程； (3)方法应用：如图②，在ABC中，点E在BC上，且DE=DC,过点E作EF‖AB,交AD于点F, 且EF=AC.求证：AD平分∠BAC. B D B 图① 图② 27/34 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 32.(25-26八年级上·甘肃陇南期末)综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某 特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题， 例：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，BE平分∠ABC,试判断BC,CD,AB之 间的等量关系， 小颗的方法：如图②，延长BE,CD相交于点F,构造ABE≌DFE和等腰三角形BCF即可判断. 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)按照小颖的方法，判断BC,CD,AB之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 (2)如图③，在ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F,AE=EF,试说明 AC=BF. 33.(25-26八年级上·山东滨州期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中 一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究.古希腊数学家欧几里得《几何原本》 虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础.数学文献中，倍长中线作为标准术 语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧. D D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】 如图1，ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是」 (2)【变式思考】 28/34 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 如图2，ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,AB=AE, AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，连接EF,求证：EF=2AD; (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,将△ABD沿着AB翻折，点D的对应点为H, ∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长， 34.(25-26八年级上江西赣州期末)【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①， AB=5,AC=3,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD;②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③ 利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是_； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠C0D互补，连接AC,BD,E是AC的中点，求 证：oEBn, (3)如图③，在(2)的条件下，若LA0B=90°，延长E0交BD于点F,0F=2,0E=5,求 △A0C的面积， B D E 图① 图② 图③ 35.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对 其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】△ABC 如图1，△ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是 29/34 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B D 图1 (2)【变式思考】 如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰 R1aACF,AB=AE,AC=AF,LBAE=∠CAF=90°，连接EF.求证：EF=2AD; F B D 图2 (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点， ∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 图3 D C:AD是△ABC的中线， E ∴CD=BD,又LADC=∠EDB, :.△ADC≌△EDB(SAS), .BE=AC=6, 30/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .2<AE<14, DE=AD, .AE =2AD, 2<2AD<14,解得1<AD<7, 故答案为：1<AD<7; 2 考题猜想·高分必刷 1.如图，AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠AB0=30°.则下列结论：① ∠BOE=70°，②0F平分∠BOD,③LP0E=∠B0F,④∠POB=2∠DOF.其中正确的个数为() P B A E D A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，在△0AB和△0CD中，0A=0B,OC=OD,0A>0C,∠A0B=∠C0D=30°，连接AC, BD交于点M,AC与OD相交于E,BD与OA相交于F,连接OM,则下列结论中：①△AOC≌aBOD; ②AC=BD;③∠AMB=30°；④aOEM≌aOFM.正确的个数有() 0 M A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，ABC中，LACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线l经过点C且与边AB相交（不经过点 A,B)·动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终 点A运动.点P和点Q的速度分别为lcms和2cms，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计 31/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥1于点F,设运动时间为t秒，则当t= 秒时，△PEC与OFC全等（不考虑P、Q重合的情况）· 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E分别是AB,AC边两个动点.将ADE沿DE折叠得到FDE, 点A的对应点为点F,∠BDF的平分线交直线BC于点G.若边DF与ABC的一条边平行，∠A=40°，则 LBGD的度数为 A D G 5.已知MA∥BN. M P 图1 图2 备用图 (1)如图1，若LMAC=30°，∠ACB=95°，求∠CBN的度数， (2)如图2，∠ACB=90°，∠MAC,∠CBN的平分线交于点P. ①求∠APB的度数. ②己知LMAC=50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F,连接EP,若 ∠FEP=10°，请直接写出∠BPE的度数. 6.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并 且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和 解释。 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图(1)， 在边长为α的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图(2). 32/34 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图(1)阴影部分面积可表示为a2-b2,图(2)中阴影部分面积可表示为a+b)(a-b),因为两个图中的 阴影部分面积是相同的，所以可得等式：a2-b2=a+b)(a-b). 花 草 a E 草 花 (1) (2) (3) (4) 【类比探究】 (1)用两种不同方法表示图(3)中阴影部分面积a2+b、(a+b)、ab的等量关系式是_， 【应用】 (2)根据(1)所得的关系式，a+b=10,ab=5,则a2+b2=_ 【拓展】 (3)若x满足(11-x)(x-8)=2,求(11-x)2+(x-8)2的值. 【知识迁移】 (4)如图(4)，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在 △AED和△BEC区域内种花，经测量种花区域的面积和为 ,4C=7,求种草区域的面积和。 25 7.如图，正方形ABCD边长AB=10cm,点E在边AD上，且AE=4cm,点N从点A出发，以5cms的 速度在A、B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以2cms的速度沿路径E→D→C匀速运动， 当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t(单位：s),在运动过程中△AMN的面积S(单 位：cm)随运动时间t的变化而变化， 备用图1 备用图2 (I)当点N第一次运动到点B时，则t=」 S= (2)在整个运动过程中，求S与t的关系式： (3)当3≤t≤8时，若S=40,求t的值. 8.己知：ABC中，∠ACB=90°，AC=CB. 33/34 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H B B E 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上时，连接AD,在直线AC左侧作AE⊥AD,且AE=AD,过点E作 EH⊥AC于H,求证：EH=AC; (2)如图2，当点D在线段AC上时，连接BD,在直线BC下方作BE⊥BD,且BE=BD,过点E作 EH1BC于H,连接AE交BC于M,求 的值： CM (3)当点D在射线CB上时，连接AD,在直线AC左侧作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交直线AC于M ,若AC=3CM,请在各用图中画出图形，再直接写出的值. SAAEM 34/34 专题08 期末真题压轴百练通关（80题9大压轴题型） 选填压轴 解答压轴 题型1 多结论问题 题型5 乘法公式与几何图形综合题 题型2 多解问题 题型6 平行线的性质与判定综合题 题型3 最值问题 题型7 三角形全等之截长补短模型 题型4 动点变量问题 题型8 三角形全等之一线三等角模型 题型9 三角形全等之倍长中线模型 题型一 多结论问题（共10小题） 1．（25-26七年级上·河南漯河·期末）如图，O为直线上一点，平分，以下结论：①与互为余角；②若，则；③；④平分．其中结论正确的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及余角的定义．据此对各结论进行分析即可作出判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∴与互为余角，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴，故结论②正确； ③设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， 无法推出，故结论④错误； 综上所述，正确的是①②③． 2．（25-26七年级上·湖南常德·期末）如图，为直线上一点，和为直角，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③与互为补角；④；其中正确的是（    ） A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算．根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，∴②正确； ∵， ∴，∴③正确； ∵平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴；∴④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：A． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 【详解】解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 6．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 8．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在与中，，分别交、于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为：___________． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，进一步可证明，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，故②正确， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为中线，过B作于点E，过C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据题意证得，根据全等三角形的性质可得、，从而可判断①正确；再证明，根据全等三角形的性质可得，从而判断③正确，②错误；由，结合以上结论可判断④正确． 【详解】解：为中线， ， 、， ， 在和中， ， ， 、， 故①正确； 在和中， ， ， 故③正确，符合题意； ， ， ， 故②错误； 、， ， 为中线， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，A，B，C，D，E是直线l上顺次排列的五个点，点F是直线l外一点，连接．平分交于点M，平分交于点N，连接，且． 下列五个结论： ①图中以F为顶点的角共有10个； ②； ③图中互为余角的角共有5对； ④若，则； ⑤若图中直线l上所有线段之和为62，，则． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段的和差计算，角的定义，余角的定义，根据角的定义可判断①；由角平分线的定义得到，由平角的定义可得，则，据此可判断②；根据余角的定义可判断③④；找出直线l上的所有线段，再根据线段的和差关系求出的长即可判断⑤． 【详解】解：图中以F为顶点的角有，，共10个，故①正确； ∵平分交于点M，平分交于点N， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴，， ∵， ∴，， ∴与互余，与互余，与互余， 与互余，与互余，与互余， ∴图中共有6对互余的角，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 直线l上的所有线段为线段， ∵图中直线l上所有线段之和为62， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 题型二 多解问题（共10小题） 11．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知等式成立，则实数的值为_____． 【答案】5或3或 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．考虑等式成立的三种情况：底数且指数为任意实数；底数且指数为偶数；指数且底数，分别求解对应方程． 【详解】解：情况一：当底数时，解得，此时指数，有，等式成立； 情况二：当底数时，解得，此时指数，为偶数，有，等式成立； 情况三：当指数时，解得，此时底数，有，等式成立； 综上，实数的值为5或3或． 故答案为：5或3或． 12．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在射线上取一点D，连接，过点D作交直线于点E，若，，则的度数是______． 【答案】105°或65° 【分析】本题主要考查平行线的性质．解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；角的和差计算；分类讨论． 根据题意作出相应的图，由平行线的性质可得，点D在边上，点在延长线上两种情况，求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当点D在边上时， ； 当点在延长线上时， ． 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 15．（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为____________________． 【答案】或或 【详解】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角尺的性质求解是解题的关键． 【分析】解：①当时，如图，， ，与题意重复； ②当时，如图，，即， ； ③当时，如图，， ； ④当时，如图，延长交于点， ∴， 故答案为：或或． 16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为_____秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 17．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，___________s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 18．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是_____________． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论． 设点的运动速度为，分两种情况：①当时，则，即；②当时，则，，即，，求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 分两种情况：①当时， ∴， ∴，； 解得：，； ②当时，则， ∴，， 解得：，． 综上，点的运动速度是或． 故答案为：或． 19．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 20．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如下图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为____________秒． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键；根据题意，分、或、讨论，即可求解． 【详解】解：当， ∴， ∴与全等时，为的中点，则、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 故答案为：或． 题型三 最值问题（共10小题） 21．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点．点分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】5 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，掌握垂线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，在上取一点,使,连接, ∵是的角平分线， ∴, 在和中， , , , , 当点,,共线时，取最小值，最小值为， 由垂线段最短得，当时，取得最小值， 此时,， , 解得． 故答案为：5． 22．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等积法求线段的长，在上截取，连接，作于点，证明，得到，进而得到，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，作于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当，即点与点重合时，最小， ∵ ∴，即：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 23．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 25．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，已知在直角三角形中，．动点D在边上运动，过D点作，垂足为点E．则在点D的运动过程中，的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，三角形的面积，作点B关于的对称点F，作，交于点H，连接，再确定的最小值为，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点F，过点F作，交于点H，连接， ∴． 当点D与点H重合时，． ∵， ∴的最小值为． ∵， ∴． ∵， 解得． 故答案为：． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 27．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为__________． 【答案】21 【分析】连接，根据折叠的性质，得，，结合已知得到，根据，得到，故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，结合的周长为解答即可． 本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：连接，根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的周长为， ∴的周长最小值为． 故答案为：21． 29．（24-25七年级下·河南·期末）如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，掌握垂线段最短是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，，推出，，三点共线，得到，进而得到当最小时，最小，当最大时，最大，进行求解即可． 【详解】解：连接，，， 点和点关于对称， ，， 点和点关于对称， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， 当最小时，最小． 是上一点， 时，最小， 此时， ， ， 的最小值为 是上一点， 点与点重合时，最大， 的最大值为， 故点，之间的距离最小值是，点，之间的距离最大值是， 故答案为：； 30．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，   ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 题型四 动点变量问题（共7小题） 31．（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的动点(不与点重合)，点是边上任意一点．点从点向点以的速度运动．则的面积与点的运动时间间的表达式为(   ) A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【答案】C 【分析】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据，用含的代数式表示出的底边的长即可得到答案． 【详解】解：由题意，， ∴ ∴ 故选C． 32．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线的距离来判断S与t的关系．根据点P的运动过程可知：的边始终不变，点P到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象． 【详解】解：设点P到直线的距离为h， ∴的面积为：， 当P在线段运动时，此时h不断增大，S也不断增大； 当P在线段上运动时，此时h不变，S也不变； 当P在线段上运动时，此时h不断减小，S不断减少； 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间． 故选：C． 33．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 34．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 【答案】 【分析】求出的长和的取值范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，的长为， ∴，且， ∵线段是底边上的高，， ∴的面积为， 综上，与之间的关系式为． 35．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 __________________． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 36．（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【答案】21 【分析】利用数形结合的思想进行求解． 【详解】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知， 当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知， ∴长方形的面积为：． 37．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 题型五 乘法公式与几何图形综合题（共10小题） 1．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请说明13是“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)已知实数x与y的和是“完美数”，且满足，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)，S是完美数，见解析； (3)的最小值等于． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是关键． （1）根据13是“完美数”定义证明即可； （2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求k的值， （3）由得到，再由完全平方的非负性求解最值． 【详解】（1）解：∵， ∴13是“完美数”； （2）解：，是完美数， 理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是“完美数”，且是大于等于2的最小“完美数”， 当时，可由解得符合题意， 故的最小值等于 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，请认真观察图形，解答下列问题： 图1是我们学过的乘法公式的图形表示 ，请利用这个公式解决下面问题， (1)用4个一样的长方形，长和宽分别为a，b，拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (2)若，，求的值； (3)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】（1）根据图形面积列出等量关系； （2）借助（1）的结论求解； （3）表示出阴影部分的面积，然后利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解：（答案形式不唯一）； （2）解：由题意得，， ∵，， ∴，          ∴或； （3）解：∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 3．（21-22六年级下·山东东营·期末）（附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： (4)【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】(1)， (2) (3)①；② (4)①；② 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； （2）解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； （3）解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； （4）解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）数学活动一一和为定值的两数积的规律． 观察以下两组算式： ①两数和为60时，，，，； ②两数和为100时，，，，． (1)你发现的规律是：两数和一定时，两数______________，积越大；两数______________，积最大． (2)请你利用乘法公式解释你发现的规律． (3)规律应用： 用20m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是______________m2，此时长方形的长和宽有什么数量关系？______________，由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中，______________的面积最大． 【答案】(1)差的绝对值越小，相等 (2)见解析 (3)25，相等，正方形 【分析】本题考查乘法公式的应用，以及数字变化规律，关键是根据材料发现规律； （1）根据材料中①②可以发现规律； （2）先求出两个数的和为定值，再验证（1）的规律； （3）利用（1）（2）可以得出结论． 【详解】（1）解：根据材料中①②可以发现：两数和一定时，两数差的绝对值越小，积越大；两数相等，积最大， 故答案为：差的绝对值越小，相等； （2）解：设两数分别为和（为定值）， ∴， ∴为定值； ， 当越小，则两数差的绝对值越小，且的值越小， ∵，且为定值， ∴为定值， 要使的值最大，则需要的值最小， 当时，最小，此时两数积最大； （3）设长方形的长为m，宽为m， 根据题意可知，，即， 由（1）（2）可知，当时，长方形的面积最大， 此时，最大面积为， 答：当长方形的两条邻边长各为5m时，长方形的面积最大，最大面积是； 此时长方形的长和宽相等，由此得出更一般的结论，周长一定的长方形中，正方形的面积最大， 故答案为：25，相等，正方形． 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫作复数，a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等； ③若两个复数，它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭； (1)填空：① ，② ． (2)复数与复数共轭，则 ． (3)已知，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)12 【分析】本题主要考查了实数的运算和新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）①利用平方差公式展开并计算即可；②利用完全平方公式展开并计算即可； （2）根据共轭复数的定义求得a、b的值，再计算的值即可； （3）将计算后求得和的值，然后将利用完全平方公式变形后进行计算即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：2； ② ， 故答案为：； （2）解：∵复数与复数共轭， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （2）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， 当，时， ． 故答案为：． （2），， ； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 7．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【答案】【小问1】； 【小问2】； 【小问3】 【分析】（1）通过两种方法计算图2中长方形的面积，一种是直接用长乘宽，另一种是将其分割为小正方形和小矩形后求和，从而推导出对应的代数恒等式． （2）利用完全平方公式的变形，通过设元将已知条件转化为和的具体值，再代入变形公式即可求出所求代数式的值． （3）设出直角三角板的直角边，利用三角板的面积和与的面积和这两个条件，结合完全平方公式求出直角边的和，得到线段的长度． 【详解】（1）解：图2中，大长方形的长为，宽为，面积为； 同时，大长方形可分割为一个边长为的正方形、三个长为宽为的矩形和两个边长为的正方形，面积和为， 故恒等式为； （2）解：设，， 则，． ∵， ∴； （3）解：设，． ∵，、、共线， ∴，． ∵三角板的面积为， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即． 8．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】（1）5，6；（2）；（3） 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律应用． （1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】解：（1）观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6， 故答案为：5，6； （2）根据杨辉三角的规律，对应的杨辉三角的一行数为1，5，10，10，5，1， ∴的展开式为， 故答案为：； （3）由题意知， ． 9．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)是， (3)证明见解析 (4)5000 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用． （1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果； （2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可； （3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数； （4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可． 【详解】（1）解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11． （2）解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差． （3）证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （4）解： ． 10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ (2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 【详解】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； （2）解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 题型六 平行线的性质与判定综合题（共10小题） 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的定义、几何中角度的运算、平行的性质、解一元一次方程等，具有分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 13．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江西抚州·期末）问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点E作，可得，从而得到，，即可解答； （3）分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图1，过点E作， ， ， ，， ； （3）解：如图2所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 如图3所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 综上所述，与α，β之间的数量关系为或． 15．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，直线交于点A，交于点B，点E是线段上一点，C、D分别在射线、上，连接的平分线与的平分线交于点F． (1)当时，__________°： (2)与的数量关系是__________； (3)过点D作，交的延长线于H，将直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点D顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过t秒后，直线恰好与的边或边平行，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为，10，17.5，32.5，40 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、解一元一次方程， （1）过点E作，根据平行线定理得，再根据平行线的性质得，，进而求解即可； （2）过点F作交于点K，根据平行线定理得，由角平分线的性质设，，再根据平行线的性质求得，，，，进而求得，，，进而求解即可； （3）由（1）得，，求得，再由角平分线求得，求得，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点D顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图，， ∴， 解得， 当旋转到如图所示时，，， 同理得，， 解得， 当，如图所示， ∵，， ∴， 同理得，，即， 解得， 当旋转到如图所示位置时， 同理得，， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，17.5，32.5，40． 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 18．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)①② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质定理和平角定义解答即可； （2）利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； （3）①在点G右侧作，利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； ②在点G右侧作，设，则，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：，理由： 由题意得：，， ∵， ， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴, ∴． （3）解：①在点G右侧作，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ②α与β之间的数量关系为．理由： 在点G右侧作，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 19．（25-26七年级上·福建泉州·期末）直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点． （i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系； （ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等． 【答案】(1) (2)（i）（ii）见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的计算，三角形面积的理解，掌握两直线平行，同位角相等、同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． （1）过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解； （2）（i）法一：先可求，，过点作，由平行线的性质可得，过B作，得到，进而可得；法二：先求得，继而得到，再在中，利用三角形内角和为进行求解即可； （ii）法一：通过证明，得到，再根据两直线平行，直线上任意一点到直线的距离相等即可求解；法二：通过证明，得到，再同法一即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（i）法一：∵且， ∴，， 过点作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 过B作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； 法二：∵且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， （ii）法一：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设三角形的面积为，三角形BFG的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为， ， 点到的距离相等，则， ∴，（或，∴）， 即三角形的面积与三角形的面积相等． 法二：∵，， ∴，， ∵， ∴设，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为， 三角形的面积为， ， 点到的距离相等，则， ∴，（或，∴） 即三角形的面积与三角形的面积相等． 20．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 题型七 三角形全等之截长补短模型（共5小题） 21．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 22．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 23．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，得到，进而推出，角的和差关系求出，即可得证； （2）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、周角为解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 在延长线上找一点，使得，连接， ， 又， ， 在和中，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 24．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且． (1)如图1，当，分别在线段，上时， ①填空：若设，则之间的数量关系是______； ②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明． 【答案】(1)①．②猜想：．证明见解析 (2)（1）②中猜想不成立，．证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①根据四边形内角和是求解即可； ②利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）在上截取，连接，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：（1）①四边形中，， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴. 故答案为：． ②猜想：． 证明：延长至点，使，连接． ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）解：（1）②中猜想不成立，． 证明：如图，在上截取， ， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． ． 在和中， ， ， ， ， ． 25．（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数． 【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键解决问题的关键． （1）如图1：延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此即可得出结论； （2）如图：延长到点，使，连接，先判定，进而得出，再判定可得出； （3）先根据四边形的内角和以及已知条件可求得的度数，如图3：在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定得出，最后根据，推导得到，即，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵，，， ∴， 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 题型八 三角形全等之一线三等角模型（共5小题） 26．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 27．（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． (1)如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． (2)如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由如下： (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）解：，理由如下： 同理可得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或。 28．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 29．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）不成立，；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论不成立，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 30．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 题型九 三角形全等之倍长中线模型（共5小题） 31．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 32．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 33．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 34．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 35．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．如图，，平分，，，．则下列结论：①，②平分，③，④．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由于，则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到；利用，可计算出，则，即平分；利用，可计算出，则；根据，而，可知④不正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴；所以①错误， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分，所以②正确； ∵， ∴， ∴， ∴；所以③正确； ∴， 而， ∴，所以④错误． 2．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 3．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得，，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 4．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据题目与的一条边平行，先确定线段的位置，再利用平行线和角平分线的性质求得对应角的度数求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵在中，，， ∴， 当时，①如图1所示： ， ∵， ∴， ∴； ②如图2所示： ， ∵， ∴， ∴； 当，如图3所示： ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 5．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 6．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：． 【类比探究】 (1)用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积、、的等量关系式是 ． 【应用】 (2)根据（1）所得的关系式，，，则 ． 【拓展】 (3)若x满足，求的值． 【知识迁移】 (4)如图（4），某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2)90 (3)5 (4)12 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案． （2）根据代数求解即可． （3）设，，根据求解即可． （4）设，，表示出种花区域的面积和以及种草区域的面积和，由此求解即可． 【详解】（1）解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， ∴阴影部分的面积为， ∴； （2） 解：． （3）解：设，， 则， 由题意知， 根据完全平方公式变形得：， ∴． （4）解：设，， ∵， ∴， 种花区域的面积和为：， 由题意得：，即， 种草区域的面积和为：， ∵， ∴，解得， 答：种草区域的面积和为12． 7．如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）点第一次运动到点时，路程为，即可得到时间；再根据三角形面积公式进行计算即可． （2）由题意可知，点运动的总时间为，点在、之间往返一次的时间为，点在上运动的时间为，分为当时，当时，当时，当时，当时几种情况进行分类讨论即可； （3）根据（2）得出的取值范围进行计算即可． 【详解】（1）解：； 点走的距离为， ， ； （2）解：由题意可知，点运动的总时间为， 点在、之间往返一次的时间为， 点在上运动的时间为， ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， 点到的距离为， ； ④当时，， 点到的距离为， ； ⑤当时，， 点到的距离为， ； 综上所述，； （3）解：当时，点到的距离为， 若，则， 解得，不符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 故当时，的值为或． 8．已知：中，，． (1)如图1，当点在线段上时，连接，在直线左侧作，且，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段上时，连接，在直线下方作，且，过点作于，连接交于，求的值； (3)当点在射线上时，连接，在直线左侧作，且，连接交直线于，若，请在备用图中画出图形，再直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，得到，证明，证明，则，得到，即可得到结论； （3）分两种情况：当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于M，作交的延长线于点，设，则， 证明及即可求出结论；点D在线段上，同理，即可求出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于M，作交的延长线于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，点D在线段上， 同理可证：， ， ， ， ，即， 设，则， ， ， ， 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $