培优专题03 二元一次方程组及其应用20大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解法技巧与实际应用，构建“解法-参数-应用”三层逻辑体系，通过20类题型系统培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法技巧|5类（换元/整体代入等）|换元法、整体代入法、轮转对称法|从基本解法到特殊技巧，逐步提升运算能力| |参数问题|4类（解求参数/同解等）|代入消元、方程思想|结合方程解的性质，深化推理意识| |应用问题|8类（行程/利润等）|建模分析、图表转化|联系生活实际，培养数据观念与应用意识| |创新题型|3类（新定义/材料阅读）|迁移应用、信息提取|通过新情境问题，发展创新思维|

专题03 二元一次方程组及其应用 题型1已知二元一次方程组的解求参数（常考点） 题型11与解二元一次方程组有关的新定义问题（难点） 题型2选用合适的方法解二元一次方程（常考点） 题型12与解二元一次方程组有关的材料阅读类问题（难点） 题型3解三元一次方程组（重点） 题型13二元一次方程组与行程问题 题型4换元法解二元一次方程组（难点） 题型14二元一次方程组与方案问题 题型5整体代入法解二元一次方程组（重点） 题型15二元一次方程组与分配问题 题型6轮转对称法解二元一次方程组（难点） 题型16二元一次方程组与销售利润问题（常考点） 题型7同解问题（常考点） 题型17二元一次方程组与和差倍分问题（常考点） 题型8构造二元一次方程组求解（重点） 题型18二元一次方程组与几何问题 题型9已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 题型19二元一次方程组与图表问题 题型10二元一次方程组的错解复原问题（常考点） 题型20二元一次方程组与古代问题 题型一 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】把代入到方程组中得到关于a、b的方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确计算是解题的关键． 2．（21-22七年级下·浙江丽水·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值． (2)求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入得关于a、b的方程组，解方程组可得a、b的值； （2）根据的解为，可得方程组的解为，化简即可解方程组． 【详解】（1）把代入得： 解得： （2）∵的解为 ∴方程组的解满足 解得 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，关键是掌握二元一次方程组的解能同时是两个方程成立，第二问把和看成一个整体是解题的关键，也可以代入（1）中的a、b的值后化简解新的二元一次方程组． 3．（20-21七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组，其中是实数． （1）若，求的值； （2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值； （3）求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 【答案】（1）；（2）-1；（3）k=6；定值为25． 【分析】（1）把a看做已知数，利用加减消元法求出解即可； （2）把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值； （3）将代数式x2-kxy+9y2的配方=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，即可求解． 【详解】解：（1）方程组， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为， 令， 解得； （2）把方程组代入方程得：， 解得：， 则； （3） ， 且代数式的值与的取值无关， 当时，代数式的值与的取值无关，定值为25． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型二 选用合适的方法解二元一次方程（共4小题） 4．（20-21七年级下·浙江台州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是解决问题的关键． （1）利用代入消元法解答即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的系数互为相反数，用加减消元法解即可； （2）两个方程系数既不相等也不相反，用代入消元法解即可． 【详解】（1）解：， ①②得，，即， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴这个方程组的解是； （2）解：， ，得，即， 把③代入②得，， ，即， ∴， 解得：， 将代入③得，， ∴这个方程组的解是． 6．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 7．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 题型三 解三元一次方程组（共3小题） 8．（21-22七年级下·辽宁营口·期末）解三元一次方程组 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法，根据题意将，解得，代入原方程得到，利用加减消元法求得解即可． 【详解】解：， ，得，则； 那么，， 解这个方程组，得， 因此． 9．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 10．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据加减消元法解方程组即可求解． 【详解】解： ①③得，④ ①②得，⑤ ④⑤得， 解得：， 将代入④得 解得： 将代入②得， 解得： ∴方程组的解为： 题型四 换元法解二元一次方程组（共3小题） 11．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 12．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段检测）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． (1)若方程组的解是，试求方程组的解； (2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，，则原方程组可化为，解出m，n，代入得到，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， ∴原方程组的解为． 13．（22-23七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 题型五 整体代入法解二元一次方程组（共3小题） 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 15．（23-24七年级下·云南德宏·期末）阅读下列材料： 小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组，小明发现如果把方程组中的看成一个整体，通过整体代入，可以快速求出这个方程组的解．以下是他的解题过程： 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得， 所以，这个方程组的解是， 我们把这种解法称为“整体代入法”． (1)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 (2)拓展运用：若关于a，b的二元一次方程组 的解满足，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的解，熟练掌握整体思想的运用是解本题的关键． （1）方程组整理后，仿照题干中的解法求解即可； （2）将方程组两式相加，得到，再根据，列出关于m的不等式，解之即可． 【详解】（1）解：由①变形，得 ， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得  ， 解得：， ∴这个方程组的解为 ； （2）解：， ，得， 即， 故， ∵， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 【答案】（1）（2）（3）15 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （2）先将①式进行变形，再利用整体代入法解方程组即可； （3）先将①式进行变形化简，再利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 则原方程组的解为； 故答案为：； （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得，解得， 则原方程组的解为； （3） 由①，得， 化简，得③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以． 题型六 轮转对称法解二元一次方程组（共2小题） 17．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）， ，得，即③，                 ，得④，                     ，得，解得，                     把代入③，得，                     ． 18．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 【答案】（1）；（2），；（4）① ，② 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行作答即可； （2）根据新定义，得到，进行求解即可； （4）仿照（3）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）方程的“对称二元一次方程”是； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； （4）①， ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； ② ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 题型七 同解问题（共3小题） 19．（21-22七年级下·四川资阳·期末）已知关于x、的方程组和有相同的解，求、的值． 【答案】 【分析】根据题意先联立，求得解后代入，再解方程组即可得出结果． 【详解】解：∵关于x、的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得， 将代入得， 解得． 20．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 21．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是理解同解方程组的定义． （1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组 和 的解相同， ∴， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． （2）∵由（1）得， ∴将代入得， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． ∴． 题型八 构造二元一次方程组求解（共3小题） 22．（20-21七年级下·江苏盐城·阶段检测）对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据题意列出方程组，求出x、y的值，是解题的关键．先根据，得出方程组，解方程组得出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以． 23．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，代数式求值，熟知相关知识是解题的关键． （1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b，然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是 ， 的立方根是3， ∴， ∴． ∵c是的整数部分， ， ∴． （2）∵ ∴ ∴的平方根是． 24．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值． 【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路． 思路一：设， 则， 比较系数得， 解得， ． 思路二：设（为一个整式）， 由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取， 代入可得：，故． 【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值． 【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值． 【答案】[模仿运用]；[迁移解决]， 【分析】本题考查了整式的乘法以及因式分解的应用，熟练掌握整式的乘法以及因式分解的关系是解题的关键； [模仿运用]根据题意计算，进而比较系数，即可求解； [迁移解决]根据题意将和代入多项式，得到方程组，解方程组，即可求解． 【详解】[模仿运用]解：∵， ， ∴； [迁移解决]解：已知多项式有两个因式分别是和， ∴时，， 当时，， 解得：，． 题型九 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共4小题） 25．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 27．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 第一种：我欣赏甲同学的思路， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得； 第二种：我欣赏乙同学的思路， 得， ∵， ∴， 解得 第三种：我欣赏丙同学的思路， 由题意得， 得：，解得， 把代入③得：，解得 ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 28．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值； （2）当含项为零时，取，代入可得固定的解． （3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值； 【详解】（1）由题意得：，解得， 把代入，解得； （2）， ∴当，时，， 即固定的解为：， （3）， 得：， ， ， 为整数， ∴，，， 且为自然数， ∴或或， 或或． 题型十 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 29．（21-22七年级下·河南南阳·阶段检测）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了6 (2) 【分析】（1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了6； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 30．（20-21七年级下·浙江·期末）（1）已知甲、乙二人解关于的方程组，甲正确地解出，而乙把抄错了，结果解得，求的值． （2）已知的积中不含有的二次项和一次项，求的值． 【答案】（1）a=0，b=-2，c=1；（2）a=3，b=9 【分析】（1）根据甲正确地解得，代入原方程组，根据乙仅因抄错了题中的c，解得，代入第一个方程，三个方程组成方程组即可得到结果． （2）先将多项式展开后合并同类项，然后含x的二次项和一次项的系数为0，解得a，b的值． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：c=1， 把代入方程组中第一个方程得：， 联立得：， 解得：， 则a=0，b=-2，c=1； （2）原式=x3+ax2+bx-3x2-3ax-3b =x3+ax2-3x2-3ax+bx-3b =x3+（a-3）x2-（3a-b）x-3b 由题意可知：a-3=0，3a-b=0， ∴a=3，b=9． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 31．（21-22七年级下·陕西商洛·阶段检测）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念以及代数式的求值， 二元一次方程组的解是能使方程组中每个方程都成立的未知数的值，这是解题的关键． 根据甲、乙两人看错方程的情况，分别将他们得到的解代入对应的方程，从而求出和的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：甲看错了方程②中的，但方程①中的是正确的， 所以将甲得到的解， 代入方程①中，可得：， 移项，得． 乙看错了方程①中的，但方程②中的是正确的， 所以将乙得到的解，代入方程②中， 可得：，解得． 所以 ． 题型十一 与解二元一次方程组有关的新定义问题（共3小题） 32．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 33．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 34．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）对于实数，定义新运算：，．若关于，的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，新定义，先根据新定义得到方程组，进而利用加减消元法求出，，再根据建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得方程组： ①②，得， 解得：， 把代入②中， 得， 解得：， ，满足方程， ， 解得：． 题型十二 与解二元一次方程组有关的材料阅读类问题（共3小题） 35．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案； （2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案； （3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数）， 则， ， ， 把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式， 可设（为常数）， 则， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，， 设， 则， ， ， ∴， ； （3）解：①根据题意得，时，， 把代入，得， ∴， ∴； ②根据题意得，和时， 把和代入得， ， 整理得：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解． 36．（19-20八年级上·重庆巴南·期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以，解之，得． 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． (1)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； (2)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是理解阅读材料内容，并会运用． （1）根据阅读材料内容进行拆分：由分母为，可设计算即可； （2）根据阅读材料进行拆分：由分母为，可设进行计算即可． 【详解】（1）解：由分母为，可设， 因为， 所以， ， ， ； （2）由分母为，可设， 因为 ， 所以， ， ， ． 37．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）根据完全平方公式化简即可； （2）用换元法解方程组； （3）用完全平方公式对分式化简变形，根据条件求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得：，即， ， ， ； （2）解：原方程组整理得， ， 令，， 则， 解得， ， 经检验，是原方程组的解； （3）解：， ， 即：， 为常数且为整数，为正整数， 为整数， ，， 为正整数， 或4． 题型十三 二元一次方程组与行程问题（共3小题） 38．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 39．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）甲地到乙地全程5.5km，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果上坡路的平均速度为2km/h，下坡路的平均速度为5km/h． （1）若小明走路从甲地到乙地需小时，从乙地走路到甲地需小时，来回走平路分别都用了小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程（请用方程组的方法解）． （2）若小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km．若小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同，求小明从乙地到甲地平路上走的平均速度（用含v的代数式表示）． 【答案】（1）上坡路路程为2km，下坡路的路程为2.5km；（2）km/h 【分析】（1）设从甲地到乙地上坡路长xkm，下坡路长ykm，然后根据路程，时间，速度之间的等量关系列方程组求解； （2）设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，然后根据小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同列方程求解． 【详解】解：（1）设从甲地到乙地上坡路长xkm，下坡路长ykm，根据题意可得： ， 解得：， 小明从甲地到乙地的上坡路路程为2km，下坡路的路程为2.5km； （2）小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为vkm/h，上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km， 从甲地到乙地的平路路程为km， 设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，根据题意可得： ， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意， 小明从乙地到甲地平路上走的平均速度为km/h． 【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，找准题目间的等量关系并准确计算是解题关键． 40．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为2小时． ①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米． 【答案】(1)， (2)①；②两车相遇时，离地72千米． 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出、的值； （2）①由已知可得，再由，可求、的值；②相遇时甲车行驶的时间为，乙离地的距离即为甲行驶的距离，（千米）． 本题考查了分式方程的应用；根据题意列出二元一次方程和分式方程，分别用路程相等和时间相等建立等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由已知甲车以两种速度行驶的路程相等， 甲车行驶的时间为，即 甲车行驶的总时间为小时， ， ∵， ，； 经检验：，是原分式方程的解 （2）解：①乙车以两种速度行驶的时间相等，且乙车行驶的总时间为2小时， ， ， ∵， ∴ ， ②相遇时甲车行驶的时间为， 乙离地的距离即为甲行驶的距离， （千米）． 两车相遇时，离地72千米． 题型十四 二元一次方程组与方案问题（共3小题） 41．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨 (3)共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运算防疫物资的质量； （2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨，根据第一、三次运输记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案． 【详解】（1）解：∵， ∴表格中被污渍盖住的数是（吨）， 故答案为：540． （2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨． （3）解：设使用m辆A货车，n辆B货车， 依题意得：， 整理得：， 又∵m、n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种可行的运输方案： 方案1：使用2辆A货车，10辆B货车； 方案2：使用5辆A货车，6辆B货车； 方案3：使用8辆A货车，2辆B货车． 42．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案？ 素材1 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售，若用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨． 素材2 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅． 素材3 型车每辆需租金300元/次，型车每辆需租金320元/次． 问题解决 任务一：分析数量关系 1辆型车和1辆型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 任务二：确定可行方案 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案． 任务三：选取最优方案 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 【答案】任务一：1辆型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货4吨，任务二：共有3中租车方案．分别是：方案1：租用A型车1辆，B型车8辆；方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；方案3：租用A型车9辆，B型车2辆．任务三：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确列出方程是解题的关键． 任务一：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物，一次可运货吨，用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨．据此列出方程组并解方程组即可得到； 任务二：依题意租用型车a辆，型车b辆得：根据杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅，据此列方程，求出租车方案的解即可； 任务三：求出方案1、方案2、方案3的费用，比较后即可得到答案． 【详解】任务一： 解：设1辆型车载满杨梅一次可运货吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货吨， 依题意得： 解得： 答：1辆型车载满杨梅一次可运货3吨，1辆型车载满杨梅，一次可运货4吨． 任务二： 解：依题意租用型车a辆，型车b辆得： ， ， ， 、都是正整数， 当或或 答：共有3中租车方案．分别是： 方案1：租用A型车1辆，B型车8辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车5辆； 方案3：租用A型车9辆，B型车2辆． 任务三： 解：方案1费用为：（元）； 方案2费用为：（元）： 方案3费用为：（元）； 选择方案1． 答：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元． 43．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛． 问题解决 任务1 求档和档门票的单价． 任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元． 任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】任务1：A档门票每张的价格为300元，B档门票每张的价格为200元；任务2：公司购买门票至少需要元；任务3：符合条件的购买方案有两种：方案一：购买A档门票4张，B档门票9张，C档门票13张；方案二：购买A档门票10张，B档门票2张，C档门票8张；见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用； 任务1：设A档门票每张的价格为x元，B档门票每张的价格为y元，根据“购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元”，列方程组求解即可； 任务2：赠送的档门票全部用完时，公司花费最少，据此列式计算即可； 任务3：设购买A档门票a张，B档门票b张，则C档门票张，根据“购买门票共花了4040元”列出二元一次方程，求出方程的整数解即可得出答案． 【详解】解：任务1： 设A档门票每张的价格为x元，B档门票每张的价格为y元， 由题意得：， 解得：， 答：A档门票每张的价格为300元，B档门票每张的价格为200元； 任务2： 因为每购买1张A档门票就赠送1张C档门票，且共有30名员工， 所以公司购买门票至少需要（元）； 任务3： 设购买A档门票a张，B档门票b张，则C档门票张， 由题意得：， 整理得：， ∵a，b均为非负整数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， ∴符合条件的购买方案有两种：方案一：购买A档门票4张，B档门票9张，C档门票13张；方案二：购买A档门票10张，B档门票2张，C档门票8张． 题型十五 二元一次方程组与分配问题（共3小题） 44．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 45．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）北仑的虾㢀年糕洁白如玉，柔软且有嚼劲．因其使用了当地甘甜清澈的虾㢀龙潭山泉水浸泡制作，故而取名虾㢀年糕．如今，虾㢀年糕的品牌越打越响，虾㢀年糕也从普通白年糕发展到艾草年糕、桂花年糕、番薯年糕．已知120元购买的白年糕比120元购买的艾草年糕重6斤，艾草年糕价格是白年糕价格的倍． (1)白年糕和艾草年糕的价格分别为多少元/斤？ (2)为提升品牌影响力，现将这两种年糕进行包装（5斤1盒），小甬用300元恰好购买这两种包装年糕共13盒．小甬购买白年糕和艾草年糕各多少盒？ 【答案】(1)白年糕价格为4元/斤，则艾草年糕的价格为5元/斤 (2)购买白年糕5盒，购买艾草年糕8盒 【分析】（1）根据题目所给出的条件，设白年糕价格为x元/斤，则艾草年糕的价格为元/斤，列出方程式解答即可； （2）根据（1）求出的每斤年糕的价格求出每盒的价格，白年糕价格为20元/盒，则艾草年糕的价格为25元/盒，再设购买白年糕a盒，购买艾草年糕b盒，列出二元一次方程组解答即可. 【详解】（1）解：设白年糕价格为x元/斤，则艾草年糕的价格为元/斤，由题意： ， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ， 答：白年糕价格为4元/斤，则艾草年糕的价格为5元/斤． （2）解：∵这两种年糕5斤1盒， ∴白年糕价格为20元/盒，则艾草年糕的价格为25元/盒， 设购买白年糕a盒，购买艾草年糕b盒，由题意： ， 解得：， 答：购买白年糕5盒，购买艾草年糕8盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程的运用，主要是通过实际问题来考查，要灵活运用. 46．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息1可得： 乙工厂每天加工数量为______件（请用的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 【答案】问题1：；问题2：50件；问题3：375件或1125件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用： 问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，可得乙工厂每天加工数量为件； 问题2：根据“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解； 问题3：设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工m件，则乙工厂加工件，其中，用m表示出平均加工费用为元，两工厂加工的时间之和为天，然后根据平均加工费用为整数和两工厂加工的时间之和不是整数，即可求解． 【详解】解：问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件， 结合信息1可得：乙工厂每天加工数量为件； 故答案为： 问题2：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：甲工厂每天能加工50件新产品； 问题3：设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意得： ， 解得：， 设甲工厂加工m件，则乙工厂加工件，其中，根据题意得： 总费用为元， 平均加工费用为元， ∵平均加工费用为整数， ∴m取375，750，1125， 两工厂加工的时间之和为天， ∵两工厂加工的时间之和不是整数． ∴m取375，1125， 答：交给甲工厂375件或1125件新产品进行加工． 题型十六 二元一次方程组与销售利润问题（共4小题） 47．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 48．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【答案】(1)个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元 (2)当机器狗的派送速度为米/分 【分析】本题考查分式方程的应用以及二元一次方程组的应用， （1）设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元，根据“一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟，利用“时间路程速度”，根据“当天派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】（1）解：设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：当机器狗的派送速度为米/分． 49．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 【答案】(1)羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个 (2)①甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元 ② 【分析】题目主要考查二元一次方程组的实际应用−销售问题，理解题意，列出方程是解题关键． （1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可； （2）①这一问考查学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系． 【详解】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙：     元， 答：甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元； ②由题意得：， 整理得：． 50．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 【答案】(1)成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． (2)该景区门票打8折销售． (3)小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解题关键． （1）设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设景区门票打m折，根据题意列出分式方程求解即可； （3）设小明购买了a张成人票，b张学生票，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． （2）解：设景区门票打m折， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，符合题意，且满足方程． 答：该景区门票打8折销售． （3）解：设小明购买了a张成人票，b张学生票，则． 即． 化简，得． ∵a， b均为正整数， ∴或． ∴小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 题型十七 二元一次方程组与和差倍分问题（共3小题） 51．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）植物园新开辟一块花园用地，计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量； (2)若植物园安排22人同时种植这两种花，每人每天能种植甲种花25棵或乙种花20棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花1800棵，乙种花1200棵 (2)应安排12人种植甲种花，10人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据“计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花1800棵，乙种花1200棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排12人种植甲种花，10人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 52．（21-22七年级下·浙江台州·期末）为增进学生体质健康，某校开展了“阳光大课间”活动，各班可自主购买运动器材．七年级有两个班级以相同的价格购买了一些跳绳和篮球，请根据对话解决下列问题： (1)求出跳绳和篮球的单价； (2)学校以相同的价格也购买了一些跳绳和篮球，已知学校购买跳绳的根数比购买篮球个数的2倍还多4，且篮球数量不少于50个，购买跳绳和篮球的总费用不超过3700元，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)10，50 (2)方案一：购买跳绳104根，篮球50个；方案二：购买跳绳106根，篮球51个；方案三：购买跳绳108根，篮球50 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个篮球需要y元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设篮球买了m个，由题意列出一元一次不等式组，计算即可． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个篮球需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：跳绳的单价为10元，篮球的单价为50元． （2）设购买篮球m个，则购买跳绳（2m+4）根， 依题意，得：， 解得：50≤m≤， ∵m为正整数， ∴m=50，51，52． 故有3种购买方案： 方案一：购买跳绳104根，篮球50个； 方案二：购买跳绳106根，篮球51个； 方案三：购买跳绳108根，篮球50． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 53．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 题型十八 二元一次方程组与几何问题（共3小题） 54．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1是由8个边长分别为，的小长方形拼成的大长方形． (1)请直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）． (2)将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放． ①用，的代数式表示大长方形的宽； ②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②27 【分析】本题主要考查对几何图形的整体分析、二元一次方程组的熟练运用，熟练掌握二元一次方程组与图形的关系是解题的关键． （1）根据图片中所给出的长与宽的关系分析即可． （2）①根据图中给出的与，的关系分析即可．②先利用平移的知识将图中阴影部分进行合并，再根据图中的等量关系列方程组求解即可． 【详解】（1）解：根据图中可知：． （2）①根据图中给出的与，的关系可知：． ②平移得： 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵三块阴影部分的面积之和为189， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9；15 (2)用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒 【分析】（1）根据题意进行解答即可； （2）设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：每张原材料板材可以裁得A型纸板（张）或裁得B型纸板（张）． 故答案为：9；15． （2）解：设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程组的解且符合题意 ∴能做纸盒数为：（个） 答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组． 56．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 题型十九 二元一次方程组与图表问题（共3小题） 57．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 58．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 59．（23-24八年级上·浙江·周测）污水处理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买1台A型号设备比购买3台B型号设备少3万元． (1)求a，b的值； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； (3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)， (2)有四种购买方案：①型设备1台，型设备11台；②型设备2台，型设备10台；③型设备3台，型设备9台；④型设备4台，型设备8台． (3)应选购型设备3台，型设备9台． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式（组）的应用：根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出不等式是解题的关键． （1）根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买1台A型号设备比购买3台B型号设备少3万元，再列出方程组求解即可求解． （2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据不等关系列出不等式，并不等式，根据取正整数，进而可求解； （3）根据不等关系列出不等式，根据取正整数，进而可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2）解：设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意得， ， ， 取正整数， 、2、3、4， 、10、9、8， 有四种购买方案： ①型设备1台，型设备11台； ②型设备2台，型设备10台； ③型设备3台，型设备9台； ④型设备4台，型设备8台． （3）解：由题意：， ， 又， ， 取正整数， 为3，4． 当时，购买资金为（万元）， 当时，购买资金为（万元）， ， 最省钱的方案是选购型设备3台，型设备9台． 题型二十 二元一次方程组与古代问题（共3小题） 60．（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 61．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 62．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组及其应用 题型1已知二元一次方程组的解求参数（常考点） 题型11与解二元一次方程组有关的新定义问题（难点） 题型2选用合适的方法解二元一次方程（常考点） 题型12与解二元一次方程组有关的材料阅读类问题（难点） 题型3解三元一次方程组（重点） 题型13二元一次方程组与行程问题 题型4换元法解二元一次方程组（难点） 题型14二元一次方程组与方案问题 题型5整体代入法解二元一次方程组（重点） 题型15二元一次方程组与分配问题 题型6轮转对称法解二元一次方程组（难点） 题型16二元一次方程组与销售利润问题（常考点） 题型7同解问题（常考点） 题型17二元一次方程组与和差倍分问题（常考点） 题型8构造二元一次方程组求解（重点） 题型18二元一次方程组与几何问题 题型9已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 题型19二元一次方程组与图表问题 题型10二元一次方程组的错解复原问题（常考点） 题型20二元一次方程组与古代问题 题型一 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值． 2．（21-22七年级下·浙江丽水·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值． (2)求方程组的解． 3．（20-21七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组，其中是实数． （1）若，求的值； （2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值； （3）求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 题型二 选用合适的方法解二元一次方程（共4小题） 4．（20-21七年级下·浙江台州·期末）解方程组： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： (1)． (2)． 7．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 题型三 解三元一次方程组（共3小题） 8．（21-22七年级下·辽宁营口·期末）解三元一次方程组 9．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组． 10．（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 题型四 换元法解二元一次方程组（共3小题） 11．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 12．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段检测）阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． (1)若方程组的解是，试求方程组的解； (2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 13．（22-23七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 题型五 整体代入法解二元一次方程组（共3小题） 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 15．（23-24七年级下·云南德宏·期末）阅读下列材料： 小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组，小明发现如果把方程组中的看成一个整体，通过整体代入，可以快速求出这个方程组的解．以下是他的解题过程： 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得， 所以，这个方程组的解是， 我们把这种解法称为“整体代入法”． (1)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 (2)拓展运用：若关于a，b的二元一次方程组 的解满足，请求出m的取值范围． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得， 所以原方程组的解是 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组： （3）已知满足方程组，求的值． 题型六 轮转对称法解二元一次方程组（共2小题） 17．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 18．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 题型七 同解问题（共3小题） 19．（21-22七年级下·四川资阳·期末）已知关于x、的方程组和有相同的解，求、的值． 20．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 21．（25-26七年级上·全国·期末）已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 题型八 构造二元一次方程组求解（共3小题） 22．（20-21七年级下·江苏盐城·阶段检测）对于任意的有理数，我们规定：，根据这一规定，解答以下问题：若同时满足，求的值． 23．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）已知的平方根是的立方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 24．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值． 【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路． 思路一：设， 则， 比较系数得，解得， ． 思路二：设（为一个整式）， 由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取， 代入可得：，故． 【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值． 【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值． 题型九 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共4小题） 25．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若方程组的解满足，求的值． 26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 27．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 28．（22-23七年级下·浙江·期末）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 题型十 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 29．（21-22七年级下·河南南阳·阶段检测）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么？ (2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 30．（20-21七年级下·浙江·期末）（1）已知甲、乙二人解关于的方程组，甲正确地解出，而乙把抄错了，结果解得，求的值． （2）已知的积中不含有的二次项和一次项，求的值． 31．（21-22七年级下·陕西商洛·阶段检测）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值． 题型十一 与解二元一次方程组有关的新定义问题（共3小题） 32．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 33．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 34．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）对于实数，定义新运算：，．若关于，的方程组的解也满足方程，求的值． 题型十二 与解二元一次方程组有关的材料阅读类问题（共3小题） 35．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 36．（19-20八年级上·重庆巴南·期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以，解之，得． 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． (1)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； (2)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 37．（24-25七年级下·安徽池州·期末）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解决问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：，，即，，． 根据材料解决问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组：； (3)已知为正整数，当分式等于（为不等于0的常数且为整数）时，求的值． 题型十三 二元一次方程组与行程问题（共3小题） 38．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 39．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）甲地到乙地全程5.5km，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．如果上坡路的平均速度为2km/h，下坡路的平均速度为5km/h． （1）若小明走路从甲地到乙地需小时，从乙地走路到甲地需小时，来回走平路分别都用了小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程（请用方程组的方法解）． （2）若小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km．若小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同，求小明从乙地到甲地平路上走的平均速度（用含v的代数式表示）． 40．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，两地相距150千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，相向而行，其终点分别为，两地．两车均先以每小时千米的速度行驶，再以每小时千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为2小时． ①求和的值；②求两车相遇时，离地多少千米． 题型十四 二元一次方程组与方案问题（共3小题） 41．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 42．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，探索完成任务： 如何设计租车方案？ 素材1 13度的甜，14度的鲜，兰溪杨梅以其独特的魅力，吸引着无数食客杨梅种植户欲将一批杨梅运往外地销售，若用3辆型车和2辆型车载满杨梅一次可运走17吨，用2辆型车和3辆型车载满杨梅一次可运走18吨． 素材2 杨梅种植户现有杨梅35吨，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满杨梅． 素材3 型车每辆需租金300元/次，型车每辆需租金320元/次． 问题解决 任务一：分析数量关系 1辆型车和1辆型车都载满杨梅，一次可分别运杨梅多少吨？ 任务二：确定可行方案 请你帮杨梅种植户设计35吨杨梅运输的租车方案． 任务三：选取最优方案 请你选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 43．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛． 问题解决 任务1 求档和档门票的单价． 任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元． 任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 题型十五 二元一次方程组与分配问题（共3小题） 44．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 45．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）北仑的虾㢀年糕洁白如玉，柔软且有嚼劲．因其使用了当地甘甜清澈的虾㢀龙潭山泉水浸泡制作，故而取名虾㢀年糕．如今，虾㢀年糕的品牌越打越响，虾㢀年糕也从普通白年糕发展到艾草年糕、桂花年糕、番薯年糕．已知120元购买的白年糕比120元购买的艾草年糕重6斤，艾草年糕价格是白年糕价格的倍． (1)白年糕和艾草年糕的价格分别为多少元/斤？ (2)为提升品牌影响力，现将这两种年糕进行包装（5斤1盒），小甬用300元恰好购买这两种包装年糕共13盒．小甬购买白年糕和艾草年糕各多少盒？ 46．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下信息，探索解决问题： 背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1500件新产品进行加工后再投放市场．每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息． 信息1 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍； 信息2 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息3 每天满工作量情况下，甲工厂加工1天，乙工厂加工2天共需要10000元；甲工厂加工2天，乙工厂加工3天共需要16100元． 问题解决 问题1 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息1可得： 乙工厂每天加工数量为______件（请用的代数式表示）． 问题2 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？ 问题3 公司将1500件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数．请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？ 题型十六 二元一次方程组与销售利润问题（共4小题） 47．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 48．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 49．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价． (2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）． ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系． 50．（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 题型十七 二元一次方程组与和差倍分问题（共3小题） 51．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）植物园新开辟一块花园用地，计划种植甲、乙两种花共3000棵，其中甲种花比乙种花的2倍少600棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量； (2)若植物园安排22人同时种植这两种花，每人每天能种植甲种花25棵或乙种花20棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 52．（21-22七年级下·浙江台州·期末）为增进学生体质健康，某校开展了“阳光大课间”活动，各班可自主购买运动器材．七年级有两个班级以相同的价格购买了一些跳绳和篮球，请根据对话解决下列问题： (1)求出跳绳和篮球的单价； (2)学校以相同的价格也购买了一些跳绳和篮球，已知学校购买跳绳的根数比购买篮球个数的2倍还多4，且篮球数量不少于50个，购买跳绳和篮球的总费用不超过3700元，则共有哪几种购买方案？ 53．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 题型十八 二元一次方程组与几何问题（共3小题） 54．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图1是由8个边长分别为，的小长方形拼成的大长方形． (1)请直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）． (2)将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放． ①用，的代数式表示大长方形的宽； ②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积． 55．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 56．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 题型十九 二元一次方程组与图表问题（共3小题） 57．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 58．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 59．（23-24八年级上·浙江·周测）污水处理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买1台A型号设备比购买3台B型号设备少3万元． (1)求a，b的值； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； (3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 题型二十 二元一次方程组与古代问题（共3小题） 60．（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 61．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 62．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $