期末培优：与实数相关的规律问题、与实数运算相关的新定义问题 专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦实数规律探究与新定义运算，通过"观察-归纳-迁移"三阶训练体系，培养抽象能力与推理意识，构建系统化解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |与实数相关的规律问题|3例+3变式|等式规律、数形结合规律|从具体等式到n的一般化表示，构建"特例观察-猜想验证-推广应用"的归纳推理链| |与实数运算相关的新定义问题|3例+3变式|根整数、对称数等概念创新|以实数性质为基础，通过定义解读-规则应用-综合运算，实现概念迁移与模型建构|

期末培优：与实数相关的规律问题、与实数运算相关的新定义问题专项训练 期末培优：与实数相关的规律问题、与实数运算相关的新定义问题专项训练 考点目录 与实数相关的规律问题 与实数运算相关的新定义问题 考点一 与实数相关的规律问题 例1．（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：由题目中的例子可知， 第6个等式为：； （2）解：； ； ； …… 用n（n为正整数）表示的等式为：． （3）解： ． 例2．（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)1；i (2) (3) 【分析】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可； （2）根据复数的运算法则进行计算即可； （3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可． 【详解】（1）解；； ； （2）解：原式； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果以i，，，1循环， ∵，， ∴原式． 例3．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）将已知等式进行整理可得，再根据题意可得，，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：． （2）解：， ， ． ，为有理数， ，， 解得，， ， ∴的立方根为． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 变式2．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2)2024 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 变式3．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 考点二 与实数运算相关的新定义问题 例1．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)6 (2)或或（答案不唯一，符合题意即可） (3) (4)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （4）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 例2．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 【答案】(1) (2)是关于7的对称数 【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可． （2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可． 【详解】（1）解：∵数与是关于的对称数， ∴， ． ∴． （2）解：是关于7的对称数，理由如下： ， ∵；， ∴， ∴与是关于7的对称数． 例3．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义，直接可得到答案； （2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解； （3）根据进行化简，即可求解． 【详解】（1），； （2）， ． ， ． （3）据材料，得， ． 变式1．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“青一区间”定义，通过平方数判断被开方数的范围即可； （2）先解出，的值，计算，再用平方数判断的区间，进而求出的“青一区间”； （3）通过两次区间条件列出的范围，取交集确定的值，再代入计算． 【详解】（1）解：， 的“青一区间”为， ， 的“青一区间”为， 的“青一区间”为． （2）解：， ，即， ， ， ， ， 的“青一区间”为． （3）解：的“青一区间”为， ，即， 的“青一区间”为， ，即， 为正整数，是无理数， ， ． 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 【答案】(1)； (2)； (3)与是关于的完美数． 【分析】（）根据“关于的完美数”列出方程，然后解方程即可； （）根据新定义可知，然后解方程即可； （）由，求得，，进而设与是关于的完美数，然后列方程求解即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据新定义可知，， 解得； （3）解：与是关于的完美数，理由： 由，得， 因为，是有理数， 所以，， 解得，， 所以，， 设与是关于的完美数，则， 解得， ∴与是关于的完美数． 变式3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）学校2026年科技节设置了“数智闯关”趣味赛事，赛事规则如下：对于给定的正整数，用符号表示不大于的最大整数，称为该数的“闯关步进值”；每次闯关都将当前持有的数字替换为它的闯关步进值，直到得到数字1即为闯关成功，替换的总次数为选手的闯关用时（次数越少排名越高）． 请结合上述规则完成下列问题： (1)若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为___________；若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为___________； (2)若某选手第一次计算得到的闯关步进值为2，请求出他抽到的参赛正整数的所有可能整数值； (3)若小宇抽到的参赛数字是137，求他的闯关用时为多少次？ 【答案】(1)4；7 (2)4，5，6，7，8 (3)3次 【分析】（1）估算出的取值范围，再根据定义求出的值即可得到第一空的答案；估算出的取值范围，再根据定义求出的值即可得到第二空的答案； （2）根据定义可得，则可推出，即，据此求出x的取值范围即可得到答案； （3）估算出的范围，根据定义求出的结果，若结果不为1，则估算的结果，进而求出的结果不为1，则继续上述过程，直至结果为1停止，统计对应的次数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为4； ∵， ∴， ∴， ∴若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为7； （2）解：∵某选手第一次计算得到的闯关步进值为2， ∴， ∴，即， ∴， ∴他抽到的参赛正整数的所有可能整数值为4，5，6，7，8； （3）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 答：他的闯关用时为3次． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：与实数相关的规律问题、与实数运算相关的新定义问题专项训练 期末培优：与实数相关的规律问题、与实数运算相关的新定义问题专项训练 考点目录 与实数相关的规律问题 与实数运算相关的新定义问题 考点一 与实数相关的规律问题 例1．（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 例2．（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 例3．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 变式2．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 变式3．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 考点二 与实数运算相关的新定义问题 例1．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 例2．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 例3．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 变式1．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 变式3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）学校2026年科技节设置了“数智闯关”趣味赛事，赛事规则如下：对于给定的正整数，用符号表示不大于的最大整数，称为该数的“闯关步进值”；每次闯关都将当前持有的数字替换为它的闯关步进值，直到得到数字1即为闯关成功，替换的总次数为选手的闯关用时（次数越少排名越高）． 请结合上述规则完成下列问题： (1)若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为___________；若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为___________； (2)若某选手第一次计算得到的闯关步进值为2，请求出他抽到的参赛正整数的所有可能整数值； (3)若小宇抽到的参赛数字是137，求他的闯关用时为多少次？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $