专题07 期末真题易错百练通关（期末复习专项训练+12大题型）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 聚焦期末高频易错点，以12大题型62题构建“易错识别-方法突破-逻辑梳理”训练体系，融合代数运算与几何推理，培养数学思维与应试能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式运算|5题|运算法则辨析|幂运算与整式加减的关联| |完全平方公式|5题|系数分类讨论|公式结构与方程思想结合| |平行线旋转|5题|动态位置分类|平行线性质与旋转多解逻辑| |三角形全等|5题|对应关系分析|全等判定与动点问题融合| |变量关系|5题|图象信息提取|实际情境与函数模型转化|

专题07 期末真题易错百练通关（62题12大易错题型） 选填易错 解答易错 题型1 整式运算易错 题型6 零指数、负指数幂的运算 题型2 求完全平方式中的字母系数 题型7 整式的化简求值 题型3 平行线中旋转多解问题 题型8 整式运算与图形面积 题型4 使三角形全等多解问题 题型9 完全平方公式变形求值 题型5 图象表示变量关系 题型10 利用三角形三边关系化简 题型11 三角形全等的性质和判定 题型12 利用关系式、图象表示变量之间的关系 题型一 整式运算易错（共5小题） 1．（25-26八年级上·河南信阳·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算．根据单项式除以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、幂的运算及单项式除法的相关法则，需依据各法则逐一判断选项运算的正确性，即可作答． 【详解】解：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，故A选项不符合题意； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B选项不符合题意； ∵积的乘方，需把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴，故C选项不符合题意； ∵单项式除法中，系数相除，同底数幂相除， ∴，故D选项符合题意； 故选：D 3．（25-26七年级上·上海·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算，单项式除以单项式的运算，积的乘方运算，合并同类项和负整数指数幂，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算、多项式乘法和除法，需运用指数法则和代数运算规则逐一验证选项，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括幂的乘方、同底数幂的乘除法等性质，需逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A： ，∴ A计算错误，不符合题意． B：，∴ B计算错误，不符合题意． C： ，∴ C计算错误，不符合题意． D： ，与右边相等，∴ D计算正确，符合题意． 故选：D． 题型二 求完全平方式中的字母系数（共5小题） 6．（25-26八年级上·广东湛江·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，熟记完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江西上饶·期末）若多项式是一个完全平方式，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得答案． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，且， ∴， ∴． 故答案为： 8．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若是完全平方式，则______． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知二次三项式是一个完全平方式，则______． 【答案】3或 【分析】根据完全平方公式的表现形式可得，解得m的值即可． 本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即， 解得：或， 故答案为：3或． 10．（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 【详解】解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 题型三 平行线中旋转多解问题（共5小题） 11．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知．若保持的一边与平行，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】根据题意，当，，三种情况，结合平行线的性质，折叠的性质解答即可． 本题考查了折叠，平行线的性质，角的计算，熟练掌握折叠性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置， ∴当时，经过折叠在上，不符题意， 当时，则， 根据折叠的性质，得； 当时，根据折叠的性质，得， 过点D作， 则， 故，， 故 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，将一副三角板的顶点按如图方式放在一起，点，，三点在同一直线上，其中，，，，则_____；现将三角板绕点顺时针转动度，在转动过程中，若三角板和三角板有一组边互相平行，则_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形板中角度的计算，利用平角的定义计算即可得出的度数，分两种情况：当时；当时；分别利用平行线的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：； 如图，当时，， ， 此时； 当时，， ， 此时，， 综上所述，三角板和三角板有一组边互相平行，则或， 故答案为：；或． 13．（24-25七年级下·山东临沂·期末）小华在数学实践课上将一个含有角的直角三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，他发现在旋转三角板的过程中，直线能与三角板的某条边平行．当三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当_____时，与三角板的边平行． 【答案】3或9或21 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键．根据题意，分3种情况讨论：当时，当时，当时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 【详解】解：如图，当时，与交于点O， 则， ， ， ； 如图，当时， ， ， ； 如图，当时， 则， ， ， ， 当时， 则， ， ， 边旋转了， （舍去） 故答案为：3或9或21 14．（24-25七年级下·江西上饶·期末）先将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，，，，再将三角板绕点A顺时针转动，直到边与在同一条直线上时，停止转动．在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据题意可分，，和四种情况，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴； 如图所示，当， ∴， ∴； 如图所示，当时， ∴； 如图所示，当， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 15．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，， ．若固定三角板，将三角板绕点A转动，当时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，分类讨论，是解题的关键． 过点A作，得，根据平行线性质,分两种情况，当在点A下方时，，，得； 当在点A上方时，，，得． 【详解】解：过点A作， ∵， ∴， 当在点A下方时， ，， ∴； 当在点A上方时， ，， ∴； ∴的度数为或． 故答案为：或． 题型四 使三角形全等多解问题（共5小题） 16．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在四边形中，，点 为线段的中点，点在线段 上，且以 的速度由点 向点 运动，同时，点在线段 上由点向点 运动．当点 的运动速度为_______时， 与 全等 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 17．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动________秒时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，即在上以及在上两种情况，根据全等三角形的性质结合题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当在上，在上时，如图 ∵ ∴ ∴ 解得： ∵运动到点需要的时间为， ∴当在上，在上时，如图，此时点已经停止运动，继续运动， ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，点运动或秒时， 故答案为：或． 18．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，，点是的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上由点向点运动，当点的运动速度为_________时，可以与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论；分与，利用全等三角形的性质求出点E运动时间，即可求得点F运动速度，从而完成求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵D为中点， ∴， 当时，则，， ∴E为中点， ∴， ∴点E运动时间为； ∵， ∴， ∴点F的运动速度为； 当时，则，, ∴， ∴点E的运动时间为：， ∵， ∴， ∴点F的运动速度为； 综上，当点F的运动速度为或时，可以与全等． 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为_________． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ，， ∴，， 解得，； ②当时， ，， ∴，， 解得，， 综上所述，的值是1或， 故答案为：1或． 20．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 题型五 图象表示变量关系（共5小题） 21．（24-25七年级下·陕西西安·期末）某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（   ）    A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升 C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象，由图象得出有用信息是解题的关键． 根据图象得出关键信息，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，时和时水深最高，故本选项不符合题意； B、由图象可知，时到时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意； C、由图象可知，时的水深，故本选项不符合题意； D、两次最高水深的时间间隔为小时，故本选项符合题意． 故选：． 22．（24-25七年级下·广东佛山·期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键． 【详解】解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 23．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（   ） A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B．该机器人在测试点乙处停留了 C．测试点乙与测试点丙之间的距离为 D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象正确获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．A根据时间=路程÷速度计算即可；B．根据A和图象计算即可；C．根据路程=速度×时间计算即可；D．根据速度=路程÷时间计算即可． 【详解】解：该机器人从测试点甲到测试点乙用了， ∴A正确，不符合题意； 该机器人在测试点乙处停留了， ∴B正确，不符合题意； 测试点乙与测试点丙之间的距离为， ∴C正确，不符合题意； 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 24．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的底面积大，故与的关系变为先慢后快． 【详解】解：根据题意和图形的形状， 可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先慢后快． 故选：D． 25．（24-25八年级下·北京东城·期末）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　) A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③① 【答案】C 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，充分理解两个量之间的关系是解题关键 先理解图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象 【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： 第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系； 第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系； 第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由0开始增大，再保持不变，最后减小到0，且起始值大于零，符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系； 第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系； 正确的排序是：①②④③ 故选：C． 题型六 零指数、负指数幂的运算（共5小题） 26．（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 27．（25-26八年级上·广东肇庆·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算即可． 【详解】解： ． 28．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则，分别先计算出各项，再算加减运算． 【详解】解：原式 ． 29．（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及正整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂的运算规则．关键是掌握相关运算法则，先分别计算各项的乘方、负指数幂、零指数幂，再进行乘法运算，最后按照从左到右的顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 30．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）计算： 【答案】5 【分析】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 题型七 整式的化简求值（共5小题） 31．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值． 先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 32．（25-26七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】本题考查了整式的化简求值和非负数的性质，解题的关键是先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式化简整式，再根据非负数的性质求出、的值代入计算． 【详解】解： ， ． 解得，， 代入化简式：． ∴化简结果为，求值结果为． 33．（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号里多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式，再由去括号法则化简，然后合并同类项化简括号内的运算，再由多项式除以单项式得到化简结果，然后由非负数和为零的条件求出，再将代入化简后的结果由有理数乘法及减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，且， ， 解得， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 34．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是熟练应用运算规则进行运算； 先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： 当时， 上式． 35．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握整式混合运算的运算法则是解题的关键． 先利用乘法公式展开并合并同类项，再计算多项式除以单项式化简原式，再代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 题型八 整式运算与图形面积（共5小题） 36．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； （2）解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 37．（25-26八年级上·陕西安康·期末）对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． (1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意表示出这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度和横向宽度是解题的关键． （1）根据题意求出地头的长，进而可求出左、右两边的边宽，再结合图形可得答案； （2）根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵天头和地头的长度之比为，且天头长为， ∴地头长为， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为； ∵左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的横向宽度为； （2）解： ， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的面积为． 38．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 39．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 40．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 题型九 完全平方公式变形求值（共5小题） 41．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 42．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 43．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 44．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：，，，， ，，得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)求代数式的最小值，并求出此时的，的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，得出，计算再把整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：， ， ， ， ． （3）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为2026， 此时，，解得：，． 当，时，有最小值，最小值为2026． 45．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值． ②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求． （2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ． 题型十 利用三角形三边关系化简（共5小题） 46．（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． (1)求p的值； (2)已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得，，，代入，求解即可； （2）根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 则，解得． （2）解：由（1）可知：，， 根据三边关系可知：，即， ∵x为整数， ∴x的最大值为6， ∴三角形周长的最大值为． 47．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 48．（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 49．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在； （2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数． 【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，， 分两种情况讨论： ①当为底边时，， ，， 符合三角形的三边关系，； ②当为腰时，，， ， 不符合三角形的三边关系； 综上所述，． （2）解：， ， ，． ，，是的三边长， ． 即， 是整数， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键． 50．（25-26八年级上·江西南昌·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是___________； (2)求的最小值： (3)已知的三边长、、，满足，求当时，的周长． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，配方法求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法求出最小值即可； （2）利用配方法求出最小值即可； （3）根据配方法及偶数次方的非负性求出a、b的值，再求三角形的周长即可． 【详解】（1）解： 的最小值是； （2）解： ， 的最小值为3； （3）解： ，， ，，且 边长为1，3.5，4的三条线段能构成三角形， 的周长为． 题型十一 三角形全等的性质和判定（共5小题） 51．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 52．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，为边上一点，连接与交于点，为外一点，满足，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）由可得，再根据全等三角形的判定定理得证； （2）由（1）可知，结合已知条件得到，利用三角形全等的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 53．（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3），，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 54．（25-26八年级上·广西贵港·期末）实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 【答案】（1）；（2）成立．理由见解析；（3），或， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先根据三角形外角性质，证明，即可证明，可得，，即得答案； （2）同（1）的方法，证明，可得，，即得答案； （3），则，， ①当时，则有，所以，，据此列方程求解即可； ②当时，则有，所以，，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 而， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． （2）成立； 理由：， 而， ， ，， ， ，， ； （3）依题意得，则，， ，， 与全等时，有两种情形： ①当时，则有， ，， 即，， ，； ②当时，则有， ，， ，， ，， 综上所述，当与全等时， ，或，． 55．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，已知直线，点A是直线上一个定点，点B在直线上，两平行线之间有一点P，连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)过P作的平分线交直线于点E，延长交直线于点D． （ⅰ）如图2，过B作，交于点F，若．求证：； （ⅱ）若，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），，， 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，分情况讨论数形结合是解题的关键； （1）过点P作，证得，，即可解答； （2）（ⅰ）证即可解答； （ⅱ）分点D在点A左侧或右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点P作， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴； （2）（ⅰ）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：（ⅱ）过点P作， ∵，， 是的平分线， ∴， 在上取一点，使四边形为正方形， 当点D在点A左侧时， 由（1）的结论可得， ∴， ∴； 当点D在点A右侧时， 由（1）的结论可得， ∴， ∴， ∴； ∴为，，，． 题型十二 利用关系式、图象表示变量之间的关系（共5小题） 56．（24-25七年级下·福建宁德·期末）全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”） 【答案】(1)，甲； (2)， (3) 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系： （1）观察图像即可； （2）根据路程时间速度即可求； （3）观察图像即可得到故障时间，速度即为图像陡的程度，根据图像比较速度大小即可． 【详解】（1）根据图像可知，本次比赛全程是， 机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为， 所以机器人甲先到终点； （2）根据图像可知，平均速度为：， 路程和时间的关系式是：； （3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了， ，同一时刻，越大，越大， 图像越为陡峭， 恢复运行后，乙的线比甲陡， 机器人乙的速度机器人甲的速度． 57．（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过，设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由； (2)求与之间的关系式； (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，y随x的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查用关系式和表格表示变量之间的关系，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1 ）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2 ）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3 ）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 则，不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 58．（24-25七年级下·广东深圳·期末）为确保首届“深圳市坪山区环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，充分展示坪山魅力，我区串联坪山核心地标，展现“创新坪山、未来之城”的城市形象、自然生态与人文底蕴，制定了详尽的比赛方案．你作为坪山区志愿者团队一员，也参与了活动组织与策划． 此类比赛一般分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始1小时后发车，以固定速度行驶，在比赛结束时行驶了7个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ． （2）某选手速度为时，收容车需在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和）． （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为 时，选手刚好能和2小时20分的赛会纪录持平． 【答案】收容车调度模型：（1）；（2）； 精英组冲奖分析：（1）（2）． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用中的行程问题，用关系式表示变量间的关系，通过条件或图象获取信息，列出方程或算式进行求解是解题的关系． 收容车调度模型： （1）根据路程、时间、速度关系求出速度与关系式； （2）追及过程中路程相等，可列方程，求出追上时间进而求出收容车需在距起点多远处接走他； 精英组冲奖分析： （1）分段计算时间（不同速度对应不同路段），然后相加计算即可； （2）求出最后所用时间，利用路程除以时间求出冲刺速度，注意单位一致． 【详解】解：收容车调度模型 （1） 由题意得，赛程，行驶小时，速度， 关系式 ， 故答案为：；； （2）解：设收容车行驶时间为th时接走了该选手，则该选手骑行了， 由题意得 ， 解得 ， 则 ， 答：收容车需在距起点 处接走选手； 【精英组冲奖分析】（1）由题意得， ； 答：骑行所需时间； （2）骑行前所用时间为，赛会记录为2小时20分小时， ， 故答案为：． 59．（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，2，1 (2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度． (3)不能，理由见详解 【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值． （2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可． （3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案． 【详解】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为， ∴乙位置坐标为：， 根据关系图可知， 当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动， 设乙的速度为：v， 故， 解得：． 根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行， ， 故答案为：10，2，1 （2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度， ， 解得：， 则， 即甲、乙第二次相距5个单位长度． （3）解：不能，理由如下： 甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走， 则甲到达乙的位置一共需要， 乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走， 则乙到达甲的位置一共需要， 则甲、乙不能同时到达对方最初的位置． 60．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)2100 (2)4 (3)2700 (4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由合并同类项、同底数幂相乘、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方分别进行化简，即可得到答案． 【详解】解：A、，A错误： B、，B错误： C、，C错误： D、，D正确． 2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 3．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是（    ） A．血药浓度在时达到最高 B．当血药浓度小于时，药物无效 C．每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位时，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象．根据函数图象提供的信息逐项判断即可． 【详解】解：A、血药浓度在时达到最高，本选项不符合题意； B、当血药浓度小于时，此时药物无效，本选项不符合题意； C、每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用，本选项不符合题意； D、由图象，首次服用该药物1单位时，血药浓度会增高，又首次服用该药物1单位时，血药浓度高于，故再次服用该药物1单位，血药浓度会高于，则会发生药物中毒，本选项符合题意； 故选：D． 4．将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，，若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的直角边与平行时，的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在直线上方，时，当点在直线下方，时，分别利用平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：当点在直线上方，时， 则， ∴； 当点在直线下方，时， 则， ∴； 综上所述，的度数为或． 5．已知多项式（为常数）是一个完全平方式，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 6．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得，，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别计算各项，再进行合并即可； （）利用同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则分别计算各项，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开整式，合并同类项化简原式，再根据平方和绝对值的非负性求出、的值，代入化简后的式子计算结果即可； 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 把，代入中， 原式． 9．为迎接五一劳动节，小艺计划在长为厘米，宽为厘米的长方形白纸上制作节日剪贴画．她用4张长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，3张边长为厘米的正方形纸片拼成“五一”字样，其余阴影部分为绘画区域，相关尺寸如图所示． (1)用含，的代数式表示绘画区域的面积（结果需化简）． (2)若，，求出绘画区域的面积． 【答案】(1)平方厘米 (2)232平方厘米 【分析】（1）用长方形白纸的面积减去4个长方形纸片的面积，再减去3个正方形纸片的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求，代入求值即可． 【详解】（1）解： 平方厘米， ∴绘画区域的面积为平方厘米； （2）解：当，时，原式， ∴绘画区域的面积为232平方厘米． 10．小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示． (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 【答案】(1)85米 (2)7分钟 【分析】（1）根据图象求出平路和上坡的速度，即可； （2）根据上坡所用时间占到，求出总时间，再乘以下坡所占的百分比即可． 【详解】（1）平路的速度为：（米/分）， 上坡的速度为（米/分）， （米）， 答：平路每分钟比上坡每分钟多行85米； （2）解：（分钟）， 答：小明骑自行车下坡用时7分钟． 11．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”．数形结合是数学研究的重要手段． (1)问题一： 当，，则________． (2)问题二：如图1所示，，，垂足为，垂足为，，，，，求：． (3)问题三：如图2所示，数轴上有A，B，C三点，分别对应数字，9，11．分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点，若两正方形面积和为13，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)29 (3) 【分析】（1）结合，以及，，则，再解出，即可作答． （2）证明，可得，，可得，结合进一步即可作答． （3）先得出，结合题意得，长方形的面积，令，则，长方形的面积，，把数值代入，得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 则； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴. （3）解：∵数轴上有，，三点，分别对应数字，9，11． ∴ ∵分别以，为边构造正方形和正方形，延长交于点， ∴正方形的面积为正方形的面积为 ∵两正方形面积和为13， ∴， 依题意，长方形的面积， 令， ∴，长方形的面积，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长方形的面积， 12．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）因为，所以可推出；又因为，所以可利用定理证明． （2）先由（1）的全等结论得到，结合的条件，可得；因为，所以可证明，得到；再根据，算出的长度，进而得到的长度，最后求出的长． （3）利用 ，， 面积关系，可计算的最终差值． 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ （）． （2）解：由全等得：，， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ （）， 得 ， ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 专题07期末真题易错百练通关(62题12大易错题型) 真题实战，百练通关 选填易错 解答易错 题型1 整式运算易错 题型6零指数、负指数幂的运算 题型2“求完全平方式中的字母系数 题型7整式的化简求值 题型3平行线中旋转多解问题 题型8整式运算与图形面积 题型4使三角形全等多解问题 题型9完全平方公式变形求值 题型5图象表示变量关系 题型10利用三角形三边关系化简 题型11三角形全等的性质和判定 题型12利用关系式、图象表示变量之间的关系 题型一整式运算易错（共5小题） 1.（25-26八年级上河南信阳·期末)下列运算正确的是（) A.(a)=a8 B.a2.a=a C.(-3a)=9a D.32a4b2÷8a2b2=4a2 2.(25-26八年级上湖南长沙.期末)下列运算正确的是() A.5x2+2x2=7x4 B.a2.a3=a6 C.(ab)=a'bs D.4a2b÷2a2=2b 3.(25-26七年级上·上海期末)下列计算正确的是() A.a2+a2=a B.2ab2.ab2=2a2b C.6a°÷2a2=3a D.(a'b)=-a'bo 4.(25-26八年级上·湖北随州期末)下列计算正确的是（) A.a2.a3=-a B.a6÷a2=a3 C.(x+1)x+2)=x2+2x+2 D.（m2-mn÷(-m)=-m+n 5.(25-26八年级上重庆九龙坡期末)下列运算正确的是() A.(3a2=9a5 B.n3.n3=n5 C.y8÷y4=y2 题型二求完全平方式中的字母系数（共5小题） 1/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上·广东湛江期末)若y2+my+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为 7.(25-26八年级上江西上饶期末)若多项式x2+axy+16y2是一个完全平方式，则a的值为· 8.(25-26八年级上·黑龙江伊春期末)若x2-2(m+3)x+16是完全平方式，则m=· 9.(24-25八年级下江苏泰州·期末)己知二次三项式x2-2(m-1)x+4是一个完全平方式，则m= 10.(25-26八年级上江西上饶期末)多项式x2+225添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单 项式可以是 (任写一个符合条件的即可)· 题型三平行线中旋转多解问题（共5小题） 11.(24-25七年级下·安徽铜陵期末)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形 BCDE的外部的位置，且A与点C在直线AB的异侧，折痕为DE,已知∠C=90°，∠A=36°，若保持 △A'DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数为 12.(24-25七年级下·湖北宜昌·期末)如图，将一副三角板的顶点C按如图方式放在一起，点B,C,D 三点在同一直线上，其中，∠B=∠D=90°，LA=30°，∠E=LECD=45°，则∠ACE=;现将三角板 CDE绕点C顺时针转动度(0°<α<90)，在转动过程中，若三角板CDE和三角板ABC有一组边互相平 行，则a=° 13.(24-25七年级下·山东临沂期末)小华在数学实践课上将一个含有60°角的直角三角板如图所示摆放， 直线BD与直线MN相交于点P,∠MPB=45°，他发现在旋转三角板的过程中，直线MN能与三角板的某 2/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 条边平行.当三角板ABC绕点A以每秒5°的速度逆时针旋转，设时间为t秒，且0≤1≤36，当t=时， MN与三角板的边平行. D 14.(24-25七年级下·江西上饶期末)先将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，LABC=LADE=90° ,LBAC=30°，∠DAE=45°，再将三角板ABC绕点A顺时针转动，直到边AB与AE在同一条直线上时， 停止转动.在转动的过程中，当两块三角板恰有两边平行时，∠CAE的度数为· D 15.(24-25七年级下·河南驻马店期末)一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中 ∠0=∠CAD=90°，∠0AB=∠B=45°，∠C=60°.若固定三角板A0B,将三角板ACD绕点A转动，当 CD∥OB时，∠BAD的度数为 题型四使三角形全等多解问题（共5小题） 16.24-25七年级下北京期末)如图，在四边形ABCD中，AB=6cm,BCcm,CD=7cm,☑B=∠C 点E为线段AB的中点，点M在线段BC上，且以三cm/S的速度由点B向点C运动，同时，点N在 线段CD上由点C向点D运动.当点N的运动速度为 cm/s时，△BME与aCMN全等 3/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D N B M 17.(24-25七年级下江西景德镇期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，4C=5cm,BC=10cm,一 直线I经过点C,动点M从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动，动点N从点B出发沿B→C→A路 径向终点A运动，点M，N分别以1cm/s和4cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能 停止运动，在某时刻，分别过点M,N作M,N作ME⊥I于点E,NF⊥I于点F那么点M运动 秒时，△MEC≌△CFN. 18.(24-25七年级下山西晋中.期末)如图，ABC中，AB=AC=16m,BC=20m,∠B=∠C,点D是 AB的中点，点E在边BC上以2m/s的速度由B点向C点运动，同时点F在边AC上由A点向C点运动， 当点F的运动速度为 m/s时，△DBE可以与△FCE全等. 19.(24-25七年级上山东烟台期末)如图AB=4cm,∠A=∠B=60°，AC=BD=3cm.点P在线段 AB上以Icm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动， 它们运动的时间为(S).若△ACP与BPQ全等，则x的值为 20.(24-25八年级上河北石家庄·期末)如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交 AN于点C.动点D,E同时从点A出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AV运动，动点D以1cm/s的 4/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 速度在直线AM上运动.己知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t(s.当动点D在直线AM上运动 时，若△ADB与BEC全等，则t的值为 M B 题型五图象表示变量关系（共5小题） 21.(24-25七年级下·陕西西安·期末)某海港某日0时到24时的水深ym随时间th)的变化如图所示， 下列从图象中得到的信息正确的是() 个ym) 10 4 510152025d) A.24时水深最高 B.0时到12时之间水深持续上升 C.12时的水深为8m D.两次最高水深的时间间隔为12小时 22.(24-25七年级下·广东佛山期末)下面四幅图象均表示变量之间的关系.按图象从左到右的顺序，选 择与之相近的情境，正确的顺序是() ①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与 时间的关系 ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A.①②④③ B.①③④② C.④③①② D.④②①③ 5/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 23.(24-25七年级下·广东深圳期末)如图1,2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办.某 研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点.该 机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后， 从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离ym)与离开测试点甲的时间xs之间的关系如图2所 示，下列说法错误的是() AY/m 30- 30 6075 111材於 图1 图2 A.该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s B.该机器人在测试点乙处停留了10s C.测试点乙与测试点丙之间的距离为60m D.该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s 24.(23-24七年级下·广东河源·期末)如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池 注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是() h 6/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25.(24-25八年级下，北京东城期末)以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系. ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系， ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系， 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是() A.①②③④B.①④③② C.①②④③ D.②（④③① 题型六零指数、负指数幂的运算（共5小题） 26.(25-26八年级上·四川泸州·期末)计算：（-1226-2×3+1° 2.(2526八年级上广东第庆期未)计第3+-×x-3- 28.(25-26八年级上安徽芜湖期末)计算：（-1)226+21-（元-3）°. 292526七年级上上海期末)计第：2-3)+2x个x-别 30. (25-26八年级上湖肩长沙期末)计第：-+9-(2026-x+习 题型七整式的化简求值（共5小题） 31.(25-26八年级上·四川宜宾期末)先化简，再求值： (2a+b)2-(a+b(a-b)-3a2÷(-2b),其中a=2,b=-1. 32.(25-26七年级上山东济南期末)先化简，再求值：[(a-b)2-a(3a+2b)+(a+b)(a-b)÷2a,其中 a-2+(b+12=0. 33.(25-26七年级上·重庆期末)先化简，再求值： 7/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 [(2m+n(m+8m)-(3m-2m)2+(m-2n(m+2m÷(-2m),其中(m-12+n-2=0, 34.(25-26八年级上湖北襄阳·期末)先化简，再求值：[(a-2b)+(a-2b)(a+2b)-2a(2a-b]÷2a,其 中a=-2,b=(-1)°. 35.(25-26九年级上湖南衡阳期末)先化简，再求值：[【(x-2y+(x+2川x-2y]÷2x,其中x=) y=-2. 题型八整式运算与图形面积（共5小题） 36.(25-26八年级上陕西商洛·期末)某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内 部挖去一个小长方形（如图）.其中大长方形的长为3a-5b)cm,宽为a-b)cm,小长方形的长为acm, 宽为a-2b)cm. 3a-5b a a-b a-2b (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 37.(25-26八年级上陕西安康·期末)对联是中华传统文化的瑰宝.如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度 为b,总长度为3b,对联上方留白称为天头，长为6，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为 3:2,左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的 10 卷轴宽b 天头 不天头长6a 卷 长 36 地头地头长 边宽 (1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为 ，横向宽度为 ;(用含a、b的代数 式表示，并将结果化为最简) (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积.（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 38.(25-26八年级上陕西榆林期末)书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹.现 有一本数学课本（如图1），其长为28cm、宽为20.5cm、厚为lcm.小军用一张长方形纸（如图2）包好 了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长 (xcm)即为折叠进去的宽度.请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） 20.5cm 数学 28cm 封面 封底 厚1cm 图1 图2 (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为 cm,宽为 cm: (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积， 39.(25-26八年级上·贵州黔西南期末)如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应 山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然 融为一体，如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m)· a+3b +2b b-20 -3a-b 2a+3b 2a+36 图1 图2 图3 (1)请用含字母a,b的代数式表示图3的面积， (2)若a=-2,b=4,此时图3的面积是多少平方米？ 40.(25-26八年级上·吉林长春期末)【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”， 通常的解题方法是：把x、y看作字母，α看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含 x项的系数为0，即原式=(a+3)x-6y+5,所以，则a=-3. 【理解应用】 (1)若关于x的多项式(2m-3)x+2的值与x的取值无关，则m的值为； (2)已知A=2x-1)(x+1+x(1-2y,B=-2x2+y-1,且A+B的值与x无关，求y的值 9/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 【能力提升】 (3)7张如图①的小长方形，长为a,宽为b,按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形 中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S,左下角的面积为S,,设AB=x,当AB 的长变化时，2S,-3S2的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系. B S2 D 图① 图② 题型九完全平方公式变形求值（共5小题） 41.(25-26八年级上江西赣州期末)已知x-y=2,y=3,利用乘法公式求下列各式的值： (1)x2+y2; (2)x+y. 42.(25-26七年级上·江苏无锡期末)已知Q和b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义 a*b=a2+2b,例如：4*5=42+2×5=26，请根据符号的意义解决下列问题： (1)2*3的值为 (2)若x*(kx+2)是一个完全平方式，则k= (3)已知x-y=1,且(x-3y)*3xy-4y2)=13,求y的值. 43.(25-26八年级上安徽阜阳·期末)拓展探究： 材料：我们知道(a+b)=a2+2ab+b2,(a-b)=a2-2ab+b2,两式相减可得：(a+b)2-(a-b=4ab, 由此可得公式：ab=a+b-(a-b)2 4 (1)已知a+b=7,a-b=3,求ab的值： (2)探究：已知a+b=m,a2+b2=n,求ab(用m、n表示)； (3)已知2025-a)(a-2024)=-1,求(2025-a2+(a-2024)的值. 44.(25-26八年级上湖南长沙期末)把完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2适当地变形，可解决很多数 学问题.例如：若a+b=5,ab=3,求a2+b的值. 10/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 解：a+b=5,ab=3,.(a+b)2=25,2ab=6, .a2+b2+2ab=25,2ab=6,得a2+b2=19. 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若x+y=6,x2+y2=20,求的值： (2②若，求x+的值： (3)求代数式a2-6a+b2-4b+2039的最小值，并求出此时的a,b的值. 45.(25-26八年级上湖南长沙期末)【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值. 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决. 解答：因为a+b=5,所以(a+b)2=52,即a2+2ab+b2=25. 因为ab=3,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=19. 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若x-y=-3,y=-2. ①x2+y2=; ②求(x+y)的值； (2)已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,求y与x2+y2的值. 题型十利用三角形三边关系化简（共5小题） 46.(25-26八年级上·河北邢台·期末)已知四条线段的长度为α，b,c,p(它们是从小到大的连续正整 数)，且p=a+b+c 2 (1)求p的值； (2)已知a,b,x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值. 47.(25-26八年级上·安徽合肥期末)已知ABC的三边长分别为a,b,C. (1)若a,b满足(a-3)2+b-5=0,求整数c的最小值 (2)化简：b+c-a+c-a-b-a-b+c. 48.(25-26八年级上·安徽期末)已知ABC的三边长分别为a,b,c. 11/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (1)化简：a-b-c-2b-c-d+la+b-c: (2)若a=6,b=3,且c为整数，求ABC周长的最大值及最小值， 49.(25-26八年级上·山东滨州期末)已知a,b,C为ABC的三边长. (1)若ABC为等腰三角形，且周长为13，己知a=3,求b,C的值； (2)若a,b满足a-1+b2-4b+4=0,且c是整数，求c的值. 50.(25-26八年级上江西南昌·期末)求代数式x2-4x+3的最小值时，我们通常运用“a2≥0”这个公式 对代数式进行配方来解决.比如x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2-1, :(x-22≥0，.(x-2)-1≥-1，：x2-4x+3的最小值是-1. 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：x2+6x+5的最小值是 (2)求x2+y2+2x-4y+8的最小值： (3)已知ABC的三边长a、b、C,满足a2+b2-2a=8b-17,求当c=3.5时，ABC的周长. 题型十一三角形全等的性质和判定（共5小题） 51.(25-26八年级上·江苏南通期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E,连接AE. B (I)求证：△ACD≌△CBE; (2)若AD=4,DE=3,求四边形ACBE的面积， 52.(24-25七年级下·陕西西安期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E为AC边上 一点，连接BE与AD交于点F,G为ABC外一点，满足∠ACG=∠ABE,∠FAG=∠BAC,连接EG. 12/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABF≌△ACG; (2)求证：BE=CG+EG. 53.(24-25七年级下·广东梅州期末)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中 线法. D B D 图(1) 图(2) 图(3) 【问题解决】 (1)如图I,AD是ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定全等的依据为：- 【问题应用】 (2)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD,试探究线段 AE与AD的数量关系. 【拓展延伸】 (3)如图3，AD是ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD与EF的 数量关系和位置关系，并加以说明 54.(25-26八年级上·广西贵港期末)实践与探究 已知，在ABC中，AB=AC,点D,A,E三点都在直线m上，LBDA=LAEC=∠BAC· 【初步感知】(I)如图①，若AB⊥AC,则BD,CE与DE的数量关系为· 【变式探究】(2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由. 【拓展应用】(3)如图③，将条件中“LBDA=∠AEC=∠BAC”改为“LBDA=∠AEC”.己知 BD=EF=7cm,DE=10cm,点A在线段DE上以2cms的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段 EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s.当△ABD与△EAC全等时，求出相应 的t与x的值. 13/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B DA 图① 图② 图③ 55.(25-26八年级上福建三明·期末)如图，己知直线MN∥GH,点A是直线MN上一个定点，点B在 直线GH上，两平行线之间有一点P,连接AP,BP. A A DN MA B H B H G H 图1 图2 备用图 备用图 (1)如图1，若∠NAP=17°，∠HBP=70°，求∠APB的度数； (②)过P作∠APB的平分线交直线GH于点E,延长EP交直线MN于点D. (i)如图2，过B作BF∥AP,交DE于点F,若BF=AP,求证：DF=EP; (i)若∠APB=90°，当∠ADP=20°时，直接写出∠PBH的值. 题型十二利用关系式、图像表示变量之间的关系（共5小题） 56.(24-25七年级下·福建宁德·期末)全球首次“人机共跑”半程马拉松于2025年4月19日在北京完赛， 经过2时40分42秒的奔跑，机器人“天工U1a”率先冲过终点拱门，夺得桂冠.受到该项赛事启发，某中 学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程s)和赛跑时间 t(min)之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： As/m 甲乙 800 700 600 500 400 300 200 100 0 123456789tmin (1)本次比赛全程是 m,机器人 先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是 m/min,其路程s和时间t的关系式是 (3)机器人乙由于故障在途中停留了 min,恢复运行后，机器人乙的速度 机器人甲 14/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 的速度.（填“>“=”或“<”） 57.(23-24七年级下·全国期末)春天来了，小颗要用总长为12m的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙 (墙长9m),另外三边是篱笆，其中BC不超过9m,设垂直于墙的两边AB,CD的长均为xm，长方形花圃 的面积为ym. B (1)判断x=1是否符合题意，并说明理由； (2)求y与x之间的关系式： (3)根据关系式补充表格： x/m 1.5 2.5 3.5 4.5 y/m2 … 13.5 16 17.5 17.5 13.5 观察表中数据，写出y随x变化的 一个特征： x(米) … 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y(米2) 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 … 58.(24-25七年级下·广东深圳·期末)为确保首届“深圳市坪山区环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，充 分展示坪山魅力，我区串联坪山核心地标，展现“创新坪山、未来之城”的城市形象、自然生态与人文底蕴， 制定了详尽的比赛方案.你作为坪山区志愿者团队一员，也参与了活动组织与策划 此类比赛一般分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速 相对较慢.比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点. 素材一： 收容车在起点等待比赛开始1小时后发车，以固定速度(kmh)行驶，在比赛结束时行 驶了7个小时，恰好抵达终点（赛程共100km)·选手被收容车追赶上时，收容车会强 制接走落后选手， 收容车调度模型： (1)收容车行驶速度为_，收容车行驶时间t(h)与行驶距离skm)的关系式为_ 15/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)某选手速度为v=12km/h时，收容车需在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图： Av(速度km/h) 60 50------- % 2 201 O102030405060708090100s(距离km) 精英组冲奖分析： (1)估算骑行50km所需时间（提示：分段计算时间并求和)· (2)若最后10km保持匀速冲刺，冲刺速度为_km/h时，选手刚好能和2小时20分的赛 会纪录持平. 59.(24-25六年级下·山东威海期末)甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为-10，速度为每秒2个单 位长度.甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续 前行.当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动.1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续 前行，若到达对方最初的位置则停止运动.甲、乙相距的距离y与甲、乙运动时间(s之间的关系如图， 根据图象回答： 甲 乙x -10 0 5-- c 0 5 A11 s (1)运动开始前乙位置坐标为 ；点c的值为 ；乙的速度为 (2)直接写出图中点A表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间t:若不能，请说明理由 60.(24-25七年级下·辽宁丹东·期末)2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26 16/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程.小华同学受此影 响，每天放学后都骑自行车锻炼身体.某天，他从家出发骑车到鸣绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一 段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥.已 知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象 回答下列问题： 距离/米 2100 1800 1500 1200 900 600 300 02456810121416时间/分 (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是 米； (2)小华在超市停留了 分钟： (3)本次骑行途中，小华一共行驶了米： (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度.通过计算说明： 在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 考题猜想·高分必刷 1.下列计算正确的是（) A.2a+3a=5a2 B.a2.a=a C.（a-b)2=a2-b D.（-2a2）3=-8a 2.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰ABC的周长为10，其 中一条边长是3，则它的“优美比”是() 4 B. 6 D.3或2 7 3 46 3.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化.如图为一 名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是() 17/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 血药浓度/(mg/L) 5a 不·最小中毒浓度(MTC) 4a-7 药峰 3a 浓度 安全范围 2a a .最低有效浓度(MEC) 0123456789时间/h A.血药浓度在1h时达到最高 B.当血药浓度小于mgL时，药物无效 C.每间隔4h服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用D.首次服用该药物1单位2h时，再 次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 4.将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中∠A=30°，∠DCE=45°，若三角尺 ABC不动，将三角尺DCE绕顶点C转动一周，当三角尺DCE的直角边DC与AB平行时，∠ACE的度数 为 B 5.已知多项式4x2-12x+m(m为常数)是一个完全平方式，则= 6.如图，ABC中，LACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线l经过点C且与边AB相交（不经过点 A,B)·动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终 点A运动.点P和点Q的速度分别为lcms和2cms,两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计 时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥1于点E,QF⊥1于点F,设运动时间为t秒，则当t= 秒时，△PEC与OFC全等（不考虑P、Q重合的情况）. 7.计算： 四-m+-314-+: (2)a2.a+-2a23+a°÷a2. 18/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.先化简，再求值. [0x*2-(3x+-y+3-5y]-号 其中(2x+1)2+y-2=0 9.为迎接五一劳动节，小艺计划在长为4a+3b)厘米，宽为(3a+b)厘米的长方形白纸上制作节日剪贴画.她 用4张长为2a厘米，宽为b厘米的长方形纸片，3张边长为b厘米的正方形纸片拼成“五一”字样，其余阴 影部分为绘画区域，相关尺寸如图所示。 2a 3a+b 正b 4a+3b (1)用含a,b的代数式表示绘画区域的面积（结果需化简）， (2)若a=4,b=2,求出绘画区域的面积. 10.小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图 书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示， 行程情况 上坡、平路、下坡时间分配统计图 路程（米） 2865 - 上坡 40% 平路 25% 1465 下坡 640--- 35% 8 13 时间（分） (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 11.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学研究的重要 手段。 F G D E B 9 11 图1 图2 (1)问题一： 19/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当a+b=4,a2+b2=9,则ab= (2)间题二：如图1所示，LACB=90°，AC=BC,AD⊥CD垂足为D,BE⊥CD垂足为E,AD=Q, CD=b,S。4cD=5,DE=3,求：a2+b2. (3)问题三：如图2所示，数轴上有A,B,C三点，分别对应数字x,9,11.分别以AB,AC为边构造正 方形ABED和正方形ACGF,延长DE交GC于点H,若两正方形面积和为I3,求长方形ADHC的面积. 12.如图，在△ABC中，LA=90°，AB=AC,点D是AB边上一动点，连接CD,∠DCE=90°， CD=CE,EF⊥AC于点F. E D D M B B 图1 图2 (1)如图1，求证：△ACD≌aFEC; (2)如图2，连接BE交AC于点G,若AB=12,AD=4,求AG的长； (3)在(2)的条件下，BE与CD交于点M,设aCBM的面积为S,四边形AGMD的面积为S2,求S,-S2的 值 20/20