精品解析：吉林油田第十二中学等校2025－2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试卷

八年下第三次检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是一次函数的是（） A. B. C. D. 2. [新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（ ） A. 飞船的质量 B. 飞船的飞行高度 C. 燃料的体积 D. 燃料的质量 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 4. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（ ） A. 27 B. 30 C. 32 D. 40 6. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 8. 已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 9. 如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 10. 如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是___． 11. 如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 已知与成正比例，且时． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 14. 已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 15. 若两个含有二次根式的代数式满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． （1）若与是互为“3相关代数式”，则______； （2）若（是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 16. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，求线段的长． 17. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 18. 阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． （1）若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； （2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 19. 随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示： 种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 50 80 设该体育用品商店老板购进甲健身器材件，购进这两种健身器材所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润． 20. 如图，在平行四边形纸片上，为边上一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图①，当点恰好落在边上时，四边形是______； （2）如图②，当为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当时，连接并延长，交边于点．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 21. 已知A，B两地相距100千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车行驶过程中的速度是_________千米/时，途中停车休息的时间为_________小时． （2）求甲车停车休息一段时间后到到达B地的过程中y与x的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） （3）甲车出发多少小时两车恰好相距15千米？ 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）______； （2）用含的代数式表示的长； （3）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （4）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，直接写出点的运动速度应为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年下第三次检测数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是一次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的定义为：形如（，是常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义，逐一判断各选项的函数类型，即可得到正确结果． 【详解】解：A．，不符合一次函数的形式，不是一次函数； B．，的次数为，不是一次函数； C．，其中，，满足且，符合一次函数定义，是一次函数； D．中不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数． 2. [新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（ ） A. 飞船的质量 B. 飞船的飞行高度 C. 燃料的体积 D. 燃料的质量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查自变量的概念，在一个变化过程中，主动变化的量称为自变量，只需根据题意判断变化过程中主动变化的量即可得到答案. 【详解】解：∵燃料的体积随飞船飞行高度的变化而变化，飞行高度是主动变化的量，燃料体积是随之变化的量，根据自变量的定义，可得自变量是飞船的飞行高度. 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知为的中位线，然后根据矩形的对角线相等且相互平分，求得，进而根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ， ， ，即点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ． 4. 如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正五边形和正方形的每个内角的度数，再求出大小即可． 【详解】解：正五边形的每个内角为，正方形的每个内角为， 由于边长相等的正方形、正五边形的一边重合， 则． 5. 如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（ ） A. 27 B. 30 C. 32 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和5， ∴正方形和正方形的边长分别为， ∴， ∴长方形的面积． 6. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数为非负数，得出，再根据分母不为即可确定的取值范围．本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为和二次根式的被开方数为非负数． 【详解】解：由题意得，， ， ， 且， 故答案为：且． 8. 已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数图象的性质．理解直线所在的位置与k的符号有直接的关系是解题的关键．当时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴，解得． 故答案为：． 9. 如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 10. 如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是___． 【答案】 【解析】 【分析】可以看作是函数的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为，这样即可得到不等式的解集． 【详解】根据题意得： ，即函数的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为， 不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，对于一次函数，当时对应自变量的取值范围为不等式的解集． 11. 如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质；根据勾股定理求得的长，进而根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 将沿方向平移得到，点是的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 已知与成正比例，且时． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例的定义可设，即，然后把时，代入可计算出，从而可确定与之间的函数关系式； （2）把代入（1）的解析式中解方程得出对应的值． 【小问1详解】 解：与成正比例， 设， ， 当时，， ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得：． 14. 已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出四边形是矩形，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 15. 若两个含有二次根式的代数式满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． （1）若与是互为“3相关代数式”，则______； （2）若（是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）由题意知 ，计算求解即可； （2）由题意知 ，计算求解即可． 【小问1详解】 解：与是互为“3相关代数式”， ， ； 【小问2详解】 解：（是有理数），，且与是互为“相关代数式”， ， 整理得， ， 是有理数， ，解得， ， 答：，． 16. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用平行四边形性质得出，，再利用勾股定理可得，求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ， 又，， ， ． 17. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 18. 阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． （1）若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； （2）根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 【答案】（1） （2）秋千的高度为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用： （1）根据即可求解； （2）过点作，利用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， 答：秋千的高度为． 19. 随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示： 种类 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 50 80 设该体育用品商店老板购进甲健身器材件，购进这两种健身器材所需的总费用为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润． 【答案】（1） （2）2600元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接建立函数关系式即可； （2）根据题意得出，然后求解计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得， 则． （元）， 售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润为2600元． 20. 如图，在平行四边形纸片上，为边上一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图①，当点恰好落在边上时，四边形是______； （2）如图②，当为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当时，连接并延长，交边于点．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】（1）平行四边形 （2）解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又为边的三等分点， ， 由折叠可知，，则， ， 由三角形外角性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，则， ； （3）的长为 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，，则， 由折叠可知：，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由折叠可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 如图，延长交于， 则， 四边形是平行四边形， ，，， ∴， ， 平行四边形的面积为24，，即， ，则， ． 21. 已知A，B两地相距100千米，甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先出发，途中停车休息一段时间，然后以原来的速度继续前进，两车离B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲车行驶过程中的速度是_________千米/时，途中停车休息的时间为_________小时． （2）求甲车停车休息一段时间后到到达B地的过程中y与x的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） （3）甲车出发多少小时两车恰好相距15千米？ 【答案】（1）50；0.5 （2） （3）甲出发小时或小时两车相距15千米 【解析】 【分析】（1）由图象可知，甲在前1小时走了50千米，计算速度即可；由于甲的速度未改变，故走完全程不休息需要2小时，而图象可知用了2.5小时，相减即可求出休息时间； （2）设甲休息后的解析式为，将图象上两点和代入即可求出解析式； （3）先算出乙路程与时间的关系式，再根据列出方程计算即可． 【小问1详解】 根据甲的图象可知前1小时走了千米，故甲的速度为； 甲走100千米需要小时，而他到达终点的时间是2.5小时，故休息了小时． 故答案为：50；0.5． 【小问2详解】 ， 设甲休息后，将和代入解析式，得 ， 解得． ； 【小问3详解】 设乙路程与时间的关系式为，将和代入， 得， 解得 ． 故． 当时，，此时两车相距千米， 故相距时间段为之间． 依题意得，， 解得，或． 故甲出发小时或小时两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图象找出图上点，由待定系数法求出解析式是解题关键． 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）______； （2）用含的代数式表示的长； （3）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （4）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，直接写出点的运动速度应为多少？ 【答案】（1）13 （2） （3）当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形 （4）点的运动速度应为 【解析】 【分析】（1）过点作，由、得矩形，故，，得；在中，由勾股定理得； （2）点速度为，在上运动时间为，分两段表示：当时，；当时，在上运动，； （3）只有点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （4）设的速度为，在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点G，如图， ∵，， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：∵点Q的速度为， 由（1）得，点Q在线段上运动的时间为，在上运动的时间为， ∴点Q运动总时间为， ∴当点Q在线段上运动时，即， 运动t秒时，， ∴， 当点Q在线段上运动时，即， 此时Q从C出发向D运动的路程为，即， 综上所述，； 【小问3详解】 解：当点Q在线段上运动时， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ， 只需即可， 由题意得，， ∴， 由（2）可得，， 解得； ②四边形是平行四边形，如图所示： ， 只需，四边形是平行四边形， ∵， 解得， 综上所述，当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； 【小问4详解】 解：设的速度为，由（3）可知，在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（3）可得，， 由（2）可得，， ， 解得， 当点的速度为时，四边形为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $