专题11.4.2 平面与平面垂直（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

本讲义聚焦平面与平面垂直核心知识点，先通过二面角定义、平面角三条件及直二面角概念奠定基础，再学习面面垂直的判定定理（线面垂直推面面垂直）和性质定理（面面垂直推线面垂直），构建从概念到定理应用的知识支架。 资料以“概念辨析—定理探究—题型突破”为主线，含折叠模型、补全条件等特色题型，培养学生空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维）。即学即练与例题变式强化符号语言表达（数学语言），课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升空间垂直关系转化能力。

专题11.4.2 平面与平面垂直 教学目标 1．理解二面角及其平面角的定义，掌握平面角的三个条件，会识别直二面角与面面垂直的概念。 2．掌握面面垂直的判定定理，能由线面垂直推导面面垂直，熟练使用文字与符号语言表述。 3．掌握面面垂直的性质定理，能由面面垂直推出线面垂直，会进行空间垂直关系的转化推理。 教学重难点 重点：二面角平面角的定义与判断；面面垂直的判定定理、性质定理的理解与应用。 难点：准确构造二面角的平面角；灵活运用定理实现线面垂直与面面垂直的相互转化。 知识点01 二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③______________， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 【即学即练】 1．（多选）在空间中，下面叙述正确的是（   ） A．若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B．若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C．若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D．若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 知识点02 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直 【即学即练】 2．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 知识点03 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面垂直 【即学即练】 3．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 题型01 面面垂直有关命题的判断 【例1】已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】已知直线平面，则过且与垂直的平面（   ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有无数个 D．不存在 【变式1-2】已知平面平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若直线平面，； B．若平面平面，则； C．若平面直线l，则； D．若直线直线，则. 【变式1-3】（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 判断面面垂直相关命题时，必须严格对照判定定理与性质定理的完整条件，重点核对“线面垂直”“线在面内”“垂直交线”等关键要素，不能仅凭部分条件下结论。同时牢记常见反例，如仅一平面内一条直线平行于另一平面、或仅线线垂直，均无法推出面面垂直，避免因条件缺失导致判断错误。 题型02 证明面面垂直 【例3】如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【例4】如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． 【变式2-1】如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； 【变式2-2】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 【变式2-3】在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； 证明面面垂直的核心方法是使用面面垂直判定定理，思路为“线面垂直→面面垂直”。解题时先在一个平面内找到一条直线，证明这条直线垂直于另一个平面，再说明这条直线在第一个平面内，即可直接推出两个平面互相垂直，整个过程必须清晰体现“线面垂直”这一关键步骤。 题型03 面面垂直证明线面垂直 【例5】如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 【例6】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； 【变式3-1】如图，在三棱锥内，侧面底面，且，，，，则______________，______________． 【变式3-2】如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【变式3-3】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 利用面面垂直证明线面垂直，需严格使用面面垂直性质定理。先确认两个平面垂直，再在其中一个平面内作一条直线垂直于两个平面的交线，满足“垂直交线、直线在面内、面面垂直”三个条件，就能直接推出这条直线垂直于另一个平面，是由面面垂直推导线面垂直的标准用法。 题型04 求空间二面角 【例7】如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【例8】如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且．若为的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为______． 【变式4-2】已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 【变式4-3】如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 求二面角的关键是找到并证明二面角的平面角，需满足三个条件：顶点在二面角的棱上、两边分别在两个半平面内、两边都垂直于棱。找到平面角后，将其放入三角形中，利用勾股定理、三角函数或余弦定理计算角度，注意二面角的平面角可为锐角、直角或钝角。 题型05 已知二面角求其他 【例9】如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则______. 【例10】如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 【变式5-1】2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________． 【变式5-2】如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为__________. 【变式5-3】如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 题型06 垂直中的折叠模型 【例11】如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.    (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【例12】如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q． (1)证明：Q是AC的中点； (2)证明：平面BEQ； (3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值． 【变式6-1】（多选）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【变式6-2】如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 【变式6-3】如图（1），在直角梯形中，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2） (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 解决折叠问题时，重点抓住折叠前后不变的垂直关系与长度，先分析折叠前的平面图形中的垂直条件，再确定折叠后哪些线段、角度保持不变，哪些发生变化。通常利用不变的垂直关系推导线面垂直，进而证明面面垂直或计算二面角，核心是区分“变”与“不变”的几何量。 题型07 补全面面垂直的条件 【例13】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【例14】如图所示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【变式7-2】如图，在正方体中，分别是棱的中点.    (1)求证：； (2)若点分别在上，且.求证：； (3)棱上是否存在点，使平面平面？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由. 【变式7-3】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 一、单选题 1．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 2．如图，已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（    ） A． B．45° C．60° D． 3．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 4．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．设P为多面体Ω的一个顶点，定义多面体Ω在顶点P处的离散曲率为，其中（，且）为多面体Ω的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面，平面为多面体Ω的所有以P为公共点的面.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，底面是正三角形，且平面平面，则点B处的离散曲率为（    ） A． B． C． D． 6．正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（   ） A． B． C． D．以上都不对 7．如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 二、多选题 8．已知平面平面，，点，则下列结论不正确的是（    ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 9．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 三、填空题 10．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 11．已知在大小为的二面角中，于点于点，且，则直线与所成角的余弦值为___________． 12．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，．若为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______． 13．某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为____________米；正四棱锥的侧面积为____________平方米． 四、解答题 14．在如图所示的几何体中，四边形为梯形，，四边形为正方形． (1)若，分别是，的中点，求证：平面； (2)若为的中点，平面平面，求证：平面． 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 16．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 17．矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4.2 平面与平面垂直 教学目标 1．理解二面角及其平面角的定义，掌握平面角的三个条件，会识别直二面角与面面垂直的概念。 2．掌握面面垂直的判定定理，能由线面垂直推导面面垂直，熟练使用文字与符号语言表述。 3．掌握面面垂直的性质定理，能由面面垂直推出线面垂直，会进行空间垂直关系的转化推理。 教学重难点 重点：二面角平面角的定义与判断；面面垂直的判定定理、性质定理的理解与应用。 难点：准确构造二面角的平面角；灵活运用定理实现线面垂直与面面垂直的相互转化。 知识点01 二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 【即学即练】 1．（多选）在空间中，下面叙述正确的是（   ） A．若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补 B．若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补 C．若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补 D．若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 【答案】AC 【详解】由等角定理可知：若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补，故A正确； 对于B，在正方体，的两边分别是和，的两边分别是和，，，满足两个角的两条边分别对应垂直，但是和既不相等也不互补，故B错误； 根据二面角的定义可知：若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补，故C正确； 对与D，在正方体，平面平面，平面平面， 二面角与二面角的两个半平面就是分别对应垂直的， 但是这两个二面角既不相等，也不互补，故D错误. 故选：AC 知识点02 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 【即学即练】 2．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 知识点03 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 【即学即练】 3．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，D是BC中点，∴， ∵底面侧面，交线为BC，平面， ∴侧面， 又∵侧面， ∴． 题型01 面面垂直有关命题的判断 【例1】已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【例2】已知是两条直线，是两个平面．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，由可得，又有，且是两个平面，故，即A正确； 对于B，如图，取，，且，则易得，但得不到，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，如图，设为长方体的两个相对的底面，是长方体的一条竖直和一条水平的棱， 显然满足，但得不到，故D错误. 【变式1-1】已知直线平面，则过且与垂直的平面（   ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有无数个 D．不存在 【答案】C 【详解】根据面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 又因为经过的平面有无数个，所以会有无数个平面垂直平面. 故选：C. 【变式1-2】已知平面平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若直线平面，； B．若平面平面，则； C．若平面直线l，则； D．若直线直线，则. 【答案】C 【详解】由平面平面，且， 对于A，若平面，可得或，所以A不正确； 对于B，若平面平面，则或与相交或与重合，所以B不正确； 对于C，若平面，且，所以，所以C正确； 对于D，如图所示，直线直线，则可能与相交或或，所以D不正确. 故选：C. 【变式1-3】（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交或异面但不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为，，所以，又，所以，所以B正确； 对于C，若，，则可能在平面内或与平面平行，所以C错误； 对于D，由，可得，又，所以，所以D正确． 判断面面垂直相关命题时，必须严格对照判定定理与性质定理的完整条件，重点核对“线面垂直”“线在面内”“垂直交线”等关键要素，不能仅凭部分条件下结论。同时牢记常见反例，如仅一平面内一条直线平行于另一平面、或仅线线垂直，均无法推出面面垂直，避免因条件缺失导致判断错误。 题型02 证明面面垂直 【例3】如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【例4】如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：延长，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，易知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）连接，作于，由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 故到平面的距离为的长． 易知，， 又，所以， 所以， 又，所以， 故， 所以点到平面的距离为. （3）存在外接球，设球心为，由对称性可知球心在直线上， 由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，下面为截面示意图： 设球半径为，在直角三角形中，由勾股定理知， 则，解得， 所以球表面积. 【变式2-1】如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1） 如图所示，取的中点，连接. ，. 又平面，平面，， ，平面，平面. 点为中点，，又，， ，是平行四边形，， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面，就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中，，，， . 平面，平面，， 在中，， ，， 平面，又平面，， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，，，且， 又知平面，平面，就是三棱锥的高， . 【变式2-2】如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2-3】在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又平面平面， ，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 证明面面垂直的核心方法是使用面面垂直判定定理，思路为“线面垂直→面面垂直”。解题时先在一个平面内找到一条直线，证明这条直线垂直于另一个平面，再说明这条直线在第一个平面内，即可直接推出两个平面互相垂直，整个过程必须清晰体现“线面垂直”这一关键步骤。 题型03 面面垂直证明线面垂直 【例5】如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【详解】过点作，使，连接， 则是异面直线和所成的角或其补角， 过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 在中，，由，得，， 所以，又，则， 由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为． 【例6】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得， 所以四点共面， 所以直线平面    （2）解：（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是.    （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为    【变式3-1】如图，在三棱锥内，侧面底面，且，，，，则______________，______________． 【答案】 【详解】∵侧面底面，交线为，（即），侧面， 平面，又平面， ， ， ． 故答案为：；. 【变式3-2】如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 利用面面垂直证明线面垂直，需严格使用面面垂直性质定理。先确认两个平面垂直，再在其中一个平面内作一条直线垂直于两个平面的交线，满足“垂直交线、直线在面内、面面垂直”三个条件，就能直接推出这条直线垂直于另一个平面，是由面面垂直推导线面垂直的标准用法。 题型04 求空间二面角 【例7】如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 【例8】如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求： (1)直线与的夹角的余弦值； (2)三棱锥的体积； (3)二面角的余弦值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）取中点，连接、. 由中位线性质，， 故为直线与的夹角（或其补角）. 在中，，，、为中点，故. 同理，，. 在中，由余弦定理： ， 故直线与夹角的余弦值为. （2）设底面正的中心为，连接，则平面. 底面正三角形的外接圆半径. 在中，. 底面的面积. 所以. （3）过作于，连接. 由正三棱锥对称性，，故，为二面角的平面角. 在中，，， 由余弦定理得， ， 故，同理. 在中，， 由余弦定理：， 故二面角的余弦值为. 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且．若为的中点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为______． 【答案】/ 【详解】如图，过点作的平行线与直线交于点，连接，得三棱柱． 分别取的中点，连接． 因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，故． 因为，，所以， 因为为的中点，故， 因为，平面，所以平面， 因为平面，故． 又显然，从而平面， 因为平面，故，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，故， 所以即为平面与平面所成锐二面角的平面角． 设，则，，， 所以． 故答案为：. 【变式4-2】已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角 的正弦值． 【答案】(1)连接，，则交于点P， 因为分别为，的中点，所以在中，， 因为平面， 平面，所以平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取中点，连接MC，， 因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以， 在直三棱柱中平面ABC，平面，所以 ， 而 ， 平面，所以平面， 因为 平面，所以 ，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以， 在中，，所以. 所以二面角 的正弦值为． 【变式4-3】如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，侧面是等边三角形，为的中点，且．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以， 又在等腰梯形中，为的中点，可知为等腰梯形的高，故， 又，，平面，所以平面，得． 因为，，且， 故， 又，，， 所以．    （2）在平面内，作于点，连接． 由（1）易知，从而为二面角的平面角． 易知，则， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． （3）设到平面的距离为． 易知，即， 即，解得． 设直线与平面所成的角为，则． 求二面角的关键是找到并证明二面角的平面角，需满足三个条件：顶点在二面角的棱上、两边分别在两个半平面内、两边都垂直于棱。找到平面角后，将其放入三角形中，利用勾股定理、三角函数或余弦定理计算角度，注意二面角的平面角可为锐角、直角或钝角。 题型05 已知二面角求其他 【例9】如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则______. 【答案】 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ，则，， ，平面， 故平面， 因为平面，则， 故. 故答案为： 【例10】如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 因为，，，所以， 因为， 所以在中，由余弦定理得，即， 所以，即， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）解：如图所示，过点作于，再过点作于，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面 所以平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 由二面角的余弦值为，即， 所以，． 因为，设，则， 由等面积法可得，， 又， 而为等腰直角三角形，所以， 所以，解得， 所以 【变式5-1】2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为________． 【答案】 【详解】正六棱锥，如图所示，为底面中心， 取的中点，连接、，因为为正六棱锥， 所以，， 所以为侧面与底面的夹角，所以， 又底面，底面，所以， 所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形， 所以，则， 所以， 所以， 所以六棱锥的体积为． 故答案为： 【变式5-2】如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为__________. 【答案】1 【详解】 取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又侧面是正方形，点是的中点， 所以，即为二面角的平面角，且大小为， 所以，由余弦定理可得，解得. 故答案为：1. 【变式5-3】如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 题型06 垂直中的折叠模型【例11】如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.    (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）在图1中连接交于，则， 所以在图2中，，因为为平面中的两条相交直线， 所以平面，又平面，所以；    （2）由（1）可知，为二面角的平面角， 在中，， 由余弦定理，得，因为， 所以，所以二面角的大小为. 【例12】如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q． (1)证明：Q是AC的中点； (2)证明：平面BEQ； (3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）在图①中过C作，则， 图②中，连接BD，CE， 又∵，∴，∴，∴且． ∴，∴， 在中，， ∴，又平面ACD，平面ACD， ∴平面ACD，平面平面， ∴，∴， 又R是CD的中点，∴Q是AC的中点； （2）如图，在直角梯形BCDE中，，∴ 中，，，∴ ∴，∴ 又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE， ∴平面BCDE，平面BCDE，∴， 又，平面ACE， 又平面ACE，∴， 在中，，，∴ ∴，又由（1）Q是AC的中点， ∴，，∴平面ACD， 又平面ACD，∴ 又∵，，∴平面ADE， ∴，又，∴平面BEQ； （3）如图，过M作，过H作于点G，连结MG， 则∠MGH为二面角的平面角，∴， 设，∴ 又，∴ 在中，， 由得，即， ∴，∴ 【变式6-1】（多选）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，所以，A正确. 对于B，因为，平面，平面， 则平面， 又，平面，平面， 则平面， 又，平面，所以平面平面，B正确. 对于C，因为，，则， 所以多面体不是三棱台，C错误. 对于D，延长，相交于点G， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则为直线与平面所成的角. 因为，所以， 解得，，， 则，D正确.    故选：ABD 【变式6-2】如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．    (1)证明：是的中点； (2)是上一点，已知二面角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）在图①中过C作，则，， 图②中，， 又∵，∴，∴，∴且． ∴，∴， 在中，，， ∴，又平面ACD，平面ACD， ∴平面ACD，平面平面， ∴，∴， 又是的中点，∴是的中点；    （2）如图， 过作交BE于H，过作于点，连结， 且，因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 则为二面角的平面角，∴， 设，∴， 又，∴， 在中，，, 由得，即，∴， ∴．    【变式6-3】如图（1），在直角梯形中，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2） (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由题可得，平面，平面， 所以平面. （2）由题知：，，分别是，的中点， 所以，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3）取中点，连接， 由题，所以为等边三角形，所以，且， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 如图，过作，且，过作，垂足为，连接， 所以，故四边形为矩形， 所以， 又，所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为平面，所以， 所以， 所以平面，故即为与平面所成角， 则 所以. 故与平面所成角的余弦值为. 解决折叠问题时，重点抓住折叠前后不变的垂直关系与长度，先分析折叠前的平面图形中的垂直条件，再确定折叠后哪些线段、角度保持不变，哪些发生变化。通常利用不变的垂直关系推导线面垂直，进而证明面面垂直或计算二面角，核心是区分“变”与“不变”的几何量。 题型07 补全面面垂直的条件 【例13】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 【例14】如图所示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.    (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当为中点时面面，证明见解析 【分析】 【详解】（1），为的中点． ，平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． （2）存在点，当为中点时，面面； 证明如下： 四边形是正方形，为的中点，则， 所以，又，所以 ， 由（1）知，平面，平面，， 又，平面，平面， 平面， 平面平面．    【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； （3）当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.    【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 【变式7-2】如图，在正方体中，分别是棱的中点.    (1)求证：； (2)若点分别在上，且.求证：； (3)棱上是否存在点，使平面平面？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，点P为棱CC1的中点 【分析】 【详解】（1）如图，    连接A1B，CD1 ∵正方体 ∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B， 又∵正方体，∴BC⊥平面， AB1⊂平面，所以BC⊥AB1， 又BC∩A1B＝B，平面 ∴所以AB1⊥平面A1D1CB，又∵D1E⊂平面A1D1CB， ∴AB1⊥D1E ； （2）如图，连接DE，CD1 在正方形ABCD中，E，F分别为棱的中点 ∴AD＝DC，DF＝EC，∠ADF＝∠DCE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE. ∵∠CDE+∠ADE=，所以∠DAF+∠ADE=， 即DE⊥AF. 又∵正方体中，DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴AF⊥DD1， ∵DD1∩DE＝D，D1D，DE⊂平面D1DE ∴AF⊥平面D1DE. 又∵D1E⊂平面D1DE，∴AF⊥D1E. 由（1）可知AB1⊥D1E 又∵AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F    ∴D1E⊥平面AB1F. 又∵，AB1//C1D ∴MN⊥AB1，又∵MN⊥AF  AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F 所以MN⊥平面B1AF， 所以. （3）存在.如图，当点P为棱CC1的中点时，平面平面. 连接FP，AP，∵点P，F分别为棱CC1，CD的中点∴FP∥C1D， ∵正方体，∴AD∥B1C1，∴， ∴C1D∥AB1，∴FP∥AB1 ，∴FP与AB1共面于平面AB1PF. 由（2）知D1E⊥平面B1AF，即D1E⊥平面AFP. 又因为D1E⊂平面CD1E. ∴平面平面. 【变式7-3】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 一、单选题 1．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 【答案】C 【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A， 由面面垂直的性质定理可知，， 假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行， 又因为都过点P，所以这两直线重合， 因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内， 2．如图，已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（    ） A． B．45° C．60° D． 【答案】B 【详解】由平面，平面，所以， 又，可知为二面角的平面角， 因为为正方形，所以， 所以二面角的大小是. 故选：B 3．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】如下图所示，直四棱柱的底面ABCD是正方形，结合直棱柱的结构特征， 易知平面平面，平面平面，平面平面，故A，B，C成立； 当且仅当直四棱柱为正方体时，平面平面，D不一定成立. 故选：D 4．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于选项A：若，则平行、相交或异面均有可能，故A错误； 对于选项B：若，则与不一定垂直，且，所以与不一定垂直，故B错误； 对于选项C：若，则可能有或，故C错误； 对于选项D：若，可知，且，所以，故D正确， 故选：D. 5．设P为多面体Ω的一个顶点，定义多面体Ω在顶点P处的离散曲率为，其中（，且）为多面体Ω的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面，平面为多面体Ω的所有以P为公共点的面.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，底面是正三角形，且平面平面，则点B处的离散曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为侧面是矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故. 所以点处的离散曲率为. 故选：C. 6．正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】设与的交点为，连接，则平面. 因为平面，所以，. 则即为侧棱与底面所成角. 过点作，交于，连接. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以， 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角，故. 设正四棱锥底面正方形边长为，则，. 在中，，所以，， 在中，， 又，所以. 7．如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 二、多选题 8．已知平面平面，，点，则下列结论不正确的是（    ） A．过和垂直的直线在内 B．过和垂直的直线在内 C．过和垂直的直线必与垂直 D．过和垂直的平面必与垂直 【答案】ACD 【详解】对于A、C，过与垂直的直线可能不在内；过和垂直的直线不一定垂直，故A、C错误， 对于B，过和垂直的直线一定在内，故B正确， 对于D，过和垂直的平面不一定与垂直，故D错误． 故选：ACD. 9．如图所示，在正方体中，为棱中点，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与是异面直线 B．存在点，使得为直角 C．若点是棱上的中点，则直线与所成的角为 D．平面平面 【答案】ACD 【详解】选项A，直线、直线，两直线不平行、无交点、不在同一平面， 符合异面直线定义，A正确； 选项B，若，则， 在正方体中平面，平面， 所以，此时，、平面， 则平面，又平面， 故当且仅当点与点重合时成立，此时有， 即点在点处，不符合题意，B错误； 选项C，为中点时，连接， 因为分别为的中点，所以， 在正方体中，所以有， 则的夹角可转化为的夹角， 因为为等边三角形，所以， 即的夹角为，C正确；    选项D，由正方体性质可得平面，又平面，则， 又，且都在平面内，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 又且都在平面内，故平面， 又平面，故平面平面，D正确.    三、填空题 10．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 11．已知在大小为的二面角中，于点于点，且，则直线与所成角的余弦值为___________． 【答案】 【详解】如下图所示，以、为邻边作正方形，连接， 则，又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为正方形，则， 所以在中，， 则， 因为，，所以， 又因为，，平面， 故平面， 因为平面，则， 故， 因为，所以就是异面直线与所成角或其补角， 由于， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 12．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，．若为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【详解】解法1：如图，取的中点，连接，分别取的中点，则， 所以只需求直线与平面所成角的正弦值． 由已知可得，， 又平面，平面，且， 所以平面，从而平面， 因为平面， 所以平面平面，且平面平面． 过点作交于点，则平面， 连结，即为直线与平面所成的角． 设，则，，． 由平面得， 所以， 所以，从而． 在中，由为的中点得，从而，故， 所以． 解法2：直线与平面所成角的正弦值为，其中表示点到平面的距离． 同解法1可得． 设表示点到平面的距离，表示点到平面的距离． 因为为的中点，， 所以． 同解法1可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：. 13．某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为____________米；正四棱锥的侧面积为____________平方米． 【答案】 【详解】设平面和平面交于过点的直线， 因为，平面，平面， 所以平面，平面，且平面平面， 所以， 取的中点，连结， ，，即，， 因为平面平面， 所以，且，， 所以， 所以点到的距离为； 正四棱锥的侧面积为. 故答案为：； 四、解答题 14．在如图所示的几何体中，四边形为梯形，，四边形为正方形． (1)若，分别是，的中点，求证：平面； (2)若为的中点，平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，因为四边形为正方形，是的中点，所以是的中点， 又是的中点，所以，又，所以， 又平面平面，所以平面. （2）因为，为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 又平面， 所以平面. 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，取的中点，连接，则． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 如图，过点作的垂线，垂足为点，连接． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以为平面与平面夹角的平面角． 设． 因为为的中点，，所以为的中点，所以． 又因为为的中点， 所以，，． 在中，， 所以． 在中，由等面积法，得， 则． 所以， 所以平面与平面夹角的正切值为． 16．已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 17．矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【分析】 【详解】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $