11.4.2 平面与平面垂直(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦平面与平面垂直核心内容，系统梳理二面角的定义、平面角概念及求法，衔接平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，构建从概念理解到定理应用的递进式学习支架。 资料以书页与桌面位置关系等现实问题导入，通过“想一想”和判断题引导学生深度思考，结合长方体、正三棱锥等实例，用“一作二证三求”等通性通法培养直观想象与数学运算素养。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾知识、强化练习，有效查漏补缺。

11.4.2　平面与平面垂直 1.理解二面角及其平面角的概念，会求简单的二面角的平面角（数学抽象、数学运算）. 2.掌握平面与平面垂直的判定定理、性质定理，能运用性质定理解决一些简单问题（直观想象）. 　　观察下面图形： 【问题】　（1）书页所在的平面与桌面有什么样的位置关系？ （2）如果书背与桌面不垂直，书页与桌面还垂直吗？ （3）怎么才能知道两个平面是否垂直呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 知识点一　二面角 1.定义：从一条直线出发的　　　　　　所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的　　　　，这两个半平面称为二面角的　　　　. 2.画法： 记法：二面角　　　　或二面角　　　　或二面角　　　　或二面角C-AB-D. 3.二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作　　　　于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.平面角是　　　　的二面角称为直二面角. 【想一想】 1.二面角与平面几何中的角相同吗？ 2.二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？ 　下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角. 其中正确的是　　　　 . 知识点二　平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 （1）定义：如果两个平面α与β所成角的大小为　　　　，则称这两个平面互相垂直，记作　　　　. （2）画法： 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 相互转化 判定 定理 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 线面垂直可得面面垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒a⊥β 面面垂直可得线面垂直 　　提醒：对面面垂直的判定定理的再理解：①该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”；②定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线；③线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握. 【想一想】 1.若性质定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？ 2.两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.（　　） （2）若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.（　　） （3）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.（　　） （4）两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（　　） 2.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（　　） A.平行 　　　　　　　　B.可能重合 C.相交且垂直 　 D.相交不垂直 3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则（　　） A.m∥β B.m⊂β C.m⊥β D.m与β相交但不一定垂直 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与面ABCD垂直的面有（　　） A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 题型一｜二面角大小的计算 【例1】　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝，则二面角A-BC-A1的大小是（　　） A.30°　　　　　　 B.45° C.60° D.90° 尝试解答 通性通法 求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”. 【跟踪训练】 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（　　） A. B. C.1 D. 题型二｜平面与平面垂直的判定 【例2】　如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 尝试解答 通性通法 证明面面垂直常用的方法 （1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 【跟踪训练】 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 题型三｜平面与平面垂直的性质 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：平面PAB⊥平面PBD. 尝试解答 通性通法 应用面面垂直的性质定理解决问题的策略 　　应用面面垂直的性质定理解决相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直. 【跟踪训练】 　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.求证：AM⊥平面EBC. 1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（　　） A.0个 B.1个 C.无数个 D.1个或无数个 2.已知不重合的直线l，m，n与不重合的平面α，β，则下列命题中正确的是（　　） A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β C.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D.若l⊥n，m⊥n，则l∥m 3.如图所示，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝　　　　. 4.如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 提示：完成课后作业　第十一章　11.4　11.4.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4.2　平面与平面垂直 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.两个半平面　棱　面 2.α-l-β　α-AB-β　C-l-D 3.垂直　直角 想一想 1.提示：不相同.平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.提示：无关. 自我诊断 　②　 解析：①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角. 知识点二 1.（1）90°　α⊥β 想一想 1.提示：相交或平行. 2.提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）√ 2.C　由面面垂直的判定定理，得α与β相交且垂直，故选C. 3.C　如图，∵α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β.故选C. 4.C　与面ABCD垂直的面有面ABB1A1，面BCC1B1，面CDD1C1，面DAA1D1，共4个. 【典例研析】 【例1】　A　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB⊥BC，B1B⊥BC，AB∩B1B＝B，AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1.因为A1B⊂平面ABB1A1，所以BC⊥A1B.又AB⊥BC，所以∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.因为AA1＝1，AB＝，AA1⊥AB，所以∠ABA1＝30°. 跟踪训练 D　设棱长为a，取BC的中点为E，连接A1E，AE（图略）.由正三棱柱ABC-A1B1C1中棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在△ABC中，AE＝a，所以tan∠A1EA＝＝＝.即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 【例2】　证明：法一（定义法）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 法二（定理法）　因为SA＝SB＝SC， 且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面SBC. 跟踪训练 证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC. 【例3】　证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB. 因为PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PA⊥PD. 又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 跟踪训练 证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE， ∴BC⊥AM. ∵四边形ACDE是正方形， ∴AM⊥CE. 又BC∩CE＝C， ∴AM⊥平面EBC. 随堂检测 1.D　当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个. 2.B　对于A，若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n或l与n异面，故A错误；对于B，若l∥β，则在β内存在一条直线n，使得l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∩β＝P或l∥β，故C错误；对于D，若l⊥n，m⊥n，则l∥m或l与m异面或l∩m＝P，故D错误. 3.　解 析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝. 4.证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC， 所以平面PAB⊥平面PBC. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $