11.4.2 平面与平面垂直(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦“平面与平面垂直”核心知识点，先通过二面角的定义、平面角概念搭建基础，再系统梳理面面垂直的定义、判定定理（线面垂直推面面垂直）及性质定理（面面垂直推线面垂直），形成从概念到应用的完整学习支架。 资料以“书页与桌面位置关系”等问题驱动引入，结合“想一想”互动环节深化理解，通过二面角计算、判定与性质应用等题型训练，培养数学眼光（抽象空间形式）、数学思维（逻辑推理与运算）。课中助力教师引导探究，课后辅助学生巩固知识、查漏补缺。

11.4.2　平面与平面垂直 课标要求 1.理解二面角及其平面角的概念，会求简单的二面角的平面角（数学抽象、数学运算）. 2.掌握平面与平面垂直的判定定理、性质定理，能运用性质定理解决一些简单问题（直观想象）. 　　观察下面图形： 【问题】　（1）书页所在的平面与桌面有什么样的位置关系？ （2）如果书背与桌面不垂直，书页与桌面还垂直吗？ （3）怎么才能知道两个平面是否垂直呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　二面角 1.定义：从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的　棱　，这两个半平面称为二面角的　面　. 2.画法： 记法：二面角　α-l-β　或二面角　α-AB-β　或二面角　C-l-D　或二面角C-AB-D. 3.二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作　垂直　于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.平面角是　直角　的二面角称为直二面角. 【想一想】 1.二面角与平面几何中的角相同吗？ 提示：不相同.平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？ 提示：无关. 　下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角. 其中正确的是② . 解析：①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角. 知识点二　平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 （1）定义：如果两个平面α与β所成角的大小为　90°　，则称这两个平面互相垂直，记作　α⊥β　. （2）画法： 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 相互转化 判 定定 理 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 线面垂直可得面面垂直 性 质定 理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒a⊥β 面面垂直 可得线面垂直 　　提醒：对面面垂直的判定定理的再理解：①该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”；②定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线；③线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握. 【想一想】 1.若性质定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？ 提示：相交或平行. 2.两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？ 提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.（　√　） （2）若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.（　×　） （3）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.（　√　） （4）两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（　√　） 2.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（　　） A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 　 D.相交不垂直 解析：C　由面面垂直的判定定理，得α与β相交且垂直，故选C. 3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则（　　） A.m∥β B.m⊂β C.m⊥β D.m与β相交但不一定垂直 解析：C　如图，∵α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β.故选C. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与面ABCD垂直的面有（　　） A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 解析：C　与面ABCD垂直的面有面ABB1A1，面BCC1B1，面CDD1C1，面DAA1D1，共4个. 题型一｜二面角大小的计算 【例1】　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝，则二面角A-BC-A1的大小是（　　） A.30°　　 　B.45° C.60°　　 　D.90° 解析：A　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB⊥BC，B1B⊥BC，AB∩B1B＝B，AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1.因为A1B⊂平面ABB1A1，所以BC⊥A1B.又AB⊥BC，所以∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.因为AA1＝1，AB＝，AA1⊥AB，所以∠ABA1＝30°. 通性通法 求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”. 【跟踪训练】 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（　　） A. B. C.1 D. 解析：D　设棱长为a，取BC的中点为E，连接A1E，AE（图略）.由正三棱柱ABC-A1B1C1中棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在△ABC中，AE＝a，所以tan∠A1EA＝＝＝.即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 题型二｜平面与平面垂直的判定 【例2】　如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 证明：法一（定义法）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 法二（定理法）　因为SA＝SB＝SC， 且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面SBC. 通性通法 证明面面垂直常用的方法 （1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 【跟踪训练】 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PBD， ∴平面PDB⊥平面PAC. 题型三｜平面与平面垂直的性质 【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：平面PAB⊥平面PBD. 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB. 因为PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PA⊥PD. 又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 通性通法 应用面面垂直的性质定理解决问题的策略 　　应用面面垂直的性质定理解决相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直. 【跟踪训练】 如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.求证：AM⊥平面EBC. 证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM. ∵四边形ACDE是正方形， ∴AM⊥CE. 又BC∩CE＝C， ∴AM⊥平面EBC. 1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（　　） A.0个 B.1个 C.无数个 D.1个或无数个 解析：D　当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个. 2.已知不重合的直线l，m，n与不重合的平面α，β，则下列命题中正确的是（　　） A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B.若l⊥α，l∥β，则α⊥β C.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D.若l⊥n，m⊥n，则l∥m 解析：B　对于A，若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n或l与n异面，故A错误；对于B，若l∥β，则在β内存在一条直线n，使得l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∩β＝P或l∥β，故C错误；对于D，若l⊥n，m⊥n，则l∥m或l与m异面或l∩m＝P，故D错误. 3.如图所示，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝. 解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，即PA⊥AC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝. 4.如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. 1.在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列结论正确的是（　　） A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC 解析：D　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC. 2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足.若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是（　　） A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定 解析：C　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°. 3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（　　） A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：C　因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β. 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则（　　） A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能 解析：A　∵ME⊂平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A，B）且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为（　　） A.60° B.30° C.45° D.15° 解析：C　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°. 6.〔多选〕如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B任一点，则下列结论中正确的是（　　） A.PB⊥AC B.PC⊥BC C.AC⊥平面PBC D.平面PAC⊥平面PBC 解析：BD　因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B任一点，所以AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC⊂平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误.故选B、D. 7.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是平行. 解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，所以m∥n. 8.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为3. 解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.在平行四边形ABCD中，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对. 9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝1. 解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝，所以BC＝ ＝1. 10.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：（1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC. 证明：（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点， 所以DE∥PA. 又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， 所以直线PA∥平面DEF. （2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 因为DF＝5， 所以DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA， 所以DE⊥AC. 因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又DE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC. 11.〔多选〕如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论成立的是（　　） A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC 解析：ABC　由题意，知BC∥DF，所以BC∥平面PDF，故结论A成立；易证BC⊥平面PAE，又BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立. 12.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为. 解析：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，因为AB＝AD＝BC＝CD＝1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以OA⊥平面BCD，所以OA⊥OC.又AB⊥AD，所以DB＝.取OB中点N，连接MN，CN，所以MN∥OA，所以MN⊥平面BCD.因为CN⊂平面BCD，所以MN⊥CN.因为CN2＝ON2＋OC2＝，MN2＝（ AO）2＝，所以CM＝＝. 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M为BC的中点. （1）取PB的中点H，连接AH，若平面AHC⊥平面PAB，求证：PB⊥AC； （2）已知AB＝AC＝PA＝1，AD＝，求平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值. 解：（1）证明：平面AHC⊥平面PAB，且交线为AH， 过B点作AH的垂线，垂足记为K，BK⊂平面PAB，则BK⊥平面AHC， 而AC⊂平面AHC，则BK⊥AC. 由PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得PA⊥AC， 又BK，PA是平面PAB内的相交直线，则AC⊥平面PAB， 而PB⊂平面PAB，所以AC⊥PB. （2）连接AM，PM，在▱ABCD中，BC＝AD＝，又AB＝AC＝1， 则AB2＋AC2＝2＝BC2，即AB⊥AC，由M为BC的中点，得AM⊥BC，AM＝BC＝. 由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PA⊥BC， 又PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，则BC⊥平面PAM， 而PM⊂平面PAM，则PM⊥BC， 故∠PMA是二面角P-BC-A的平面角， 又AM⊂平面ABCD，则PA⊥AM， 在Rt△PAM中，PM＝＝，cos∠PMA＝＝， 所以平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值为. 14.《九章算术》中记载了一种名为“刍甍”的空间几何体.如图，几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，△ADE和△BCF都是正三角形，则平面BCF与平面ABCD夹角的余弦值为（　　） A.　　 　 B. C.　　 　D. 解析：A　分别取AD，BC的中点为M，N，在平面EFNM内分别过E，F作MN的垂线，垂足分别为P，Q，如图.因为四边形ABCD为矩形，则AD∥BC且AD＝BC.又因为M，N分别为AD，BC的中点，则AM∥BN且AM＝BN，所以四边形ABNM为平行四边形，则MN∥AB且MN＝AB＝2.因为AB⊥BC，则MN⊥BC.因为EF∥AB，则EF∥MN，故E，F，N，M四点共面，在等边三角形BCF中，N为BC的中点，则FN⊥BC，同理可得ME⊥AD，所以∠FNQ为二面角F-BC-M的平面角.由等边三角形ADE与等边三角形BCF的边长都为1，且M，N分别为AD，BC的中点，则EM＝FN＝＝＝.在等腰梯形EFNM中，因为EP⊥MN，FQ⊥MN，EF∥MN，则四边形EFQP为矩形，则PQ＝EF＝1，EP＝FQ，在Rt△FNQ和Rt△EMP中，EP＝FQ，EM＝FN，所以Rt△FNQ≌Rt△EMP，则NQ＝MP＝＝＝.在Rt△FNQ中，cos∠FNQ＝＝，所以平面BCF与平面ABCD的夹角的余弦值为. 15.如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，点E是线段AM的中点. （1）求四棱锥D-ABCM的体积； （2）求证：平面BDE⊥平面ABCM； （3）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由. 解：（1）由已知DA＝DM，E是AM的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴DE⊥平面ABCM. 四棱锥D-ABCM的体积V＝S四边形ABCM·DE＝×××＝. （2）证明：由（1）可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB， ∴平面BDE⊥平面ABCM. （3）过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD. 理由如下： 在平面ABCM中，过点B作直线l（图略），使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM， 平面ABCM∩平面ADM＝AM， ∴l⊥平面ADM， ∴l⊥AD. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $