期末解答题突破训练 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册

**基本信息** 聚焦八年级下册核心几何与函数模块，通过分层典例构建知识逻辑链，强化推理与模型应用能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四边形|5题|判定证明与计算综合|从平行四边形到特殊四边形性质判定的递进推导| |平面直角坐标系|5题|坐标确定与图形变换|坐标概念到图形平移的空间观念构建| |一次函数|5题|表达式与实际应用|函数建模与图像性质的应用拓展| |反比例函数|5题|图像性质与综合应用|反比例关系与一次函数结合的问题解决|

期末解答题突破训练2025-2026学年沪教版 （五四制）八年级下册 板块一：四边形 1．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．求证：四边形是矩形． 2．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 3.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． （1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． （2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 4.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 5.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 板块二：平面直角坐标系 1.为让每个农村孩子都能上学，国家实施了“农村中小学寄宿制学校建设工程”，如图是某寄宿制学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．    (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (3)写出食堂、图书馆的坐标． 2.在平面直角坐标系中，点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标． 3.如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，，请按下列要求操作： (1)请在图中画出 (2)将向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，在图中画出，并直接写出的坐标 4．如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点A、B、C的坐标分别为， ，． （1）请写出点D、E、F、G的坐标； （2）求图中阴影部分（多边形）的面积． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A．B的坐标分别为，，且， 点C的坐标为． （1）直接写出a，b的值及； （2）若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 板块三：一次函数 1.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 2.在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 3．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市规定用水收费标准：每户每月的用水量不超过6吨时，水费按每吨m元收费，超过6吨时，不超过部分仍按每吨m元收费，超出部分按每吨n元收费．该市某户今年9，10月份的用水量和所缴水费如下表所示，设该户每月用水量为x吨，应缴水费y元． 月份 用水量/吨 水费/元 9 5 10 10 7 16 (1)求m、n的值； (2)写出y关于x的函数关系式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)若该户11月份用水10吨，求11月份应缴水费． 4.为保证学生每天一小时体育运动，某班计划购买一批体育用品，用于开展“阳光体育动起来”为主题的课外运动．经调查，了解到甲、乙两个体育用品店的优惠活动如下，甲店：所有体育用品按原价8折出售；乙店：一次购买体育用品总额不超过元的按原价出售，超过元的部分打6折． (1)以（单位：元）表示体育用品原价，（单位：元）表示购买总额，分别就两家体育用品店的优惠方式写出关于的函数解析式； (2)如何选择这两家体育用品店去购买体育用品更省钱？ 5.如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 板块四：反比例函数 1.已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 2.在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围； (3)当，且时，求的取值范围． 3.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； (2)求出图中a的值； (3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 4.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】 期末解答题突破训练2025-2026学年沪教版 （五四制）八年级下册 板块一：四边形 1．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 2．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC=EF； （2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 3.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． （1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． （2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 【答案】 解：（1）四边形ACBD是矩形， 证明：∵CD平行MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵CD＝OC+OD， AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴四边形ACBD是矩形； （2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形， 证明：由（1）得四边形ACBD是矩形， ∵CB＝BD， ∴四边形ACBD是正方形． 4.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 5.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 【答案】（1） 略（2）6 【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD． ∵EG⊥CD，EH⊥BC， ∴EG＝EH， ∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EGCH是矩形， ∴∠GEH＝90°． ∵四边形DEFM是矩形， ∴∠DEF＝90°． ∴∠DEG＝∠FEH． ∵∠EGD＝∠EHF＝90°， ∴△EGD≌△EHF（ASA）， ∴ED＝EF． ∴矩形DEFM是正方形； （2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°． ∴∠ADE＝∠CDM． ∴△ADE≌△CDM（SAS）， ∴AE＝CM． ∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6． 板块二：平面直角坐标系 1.为让每个农村孩子都能上学，国家实施了“农村中小学寄宿制学校建设工程”，如图是某寄宿制学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．    (1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； (3)写出食堂、图书馆的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)食堂，图书馆 【详解】（1）该学校平面示意图所在的坐标系如图所示，    （2）办公楼和教学楼的位置如图所示， （3）食堂、图书馆的坐标分别为、． 2.在平面直角坐标系中，点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：在轴上， ，解得． （2）解：点到轴的距离为8， 或，解得或． 当时，； 当时，． 点的标为或． 3.如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，，请按下列要求操作： (1)请在图中画出 (2)将向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，在图中画出，并直接写出的坐标 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，，， 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 由图可知：，，． 4．如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点A、B、C的坐标分别为， ，． （1）请写出点D、E、F、G的坐标； （2）求图中阴影部分（多边形）的面积． 【答案】（1）点D、E、F、G的坐标分别为：、、、；（2）46.5． 【解析】解：（1）点D、E、F、G的坐标分别为：、、、； （2）阴影部分（多边形）的面积为： ． ∴阴影部分（多边形）的面积为46.5． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，点A．B的坐标分别为，，且， 点C的坐标为． （1）直接写出a，b的值及； （2）若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】（1），，；（2）M的坐标为或． 【解析】解：（1）由，可知，，， ∴，， ∴点，点． 又∵点， ∴，， ∴． （2）设点M的坐标为，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故点M的坐标为或． 板块三：一次函数 1.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 【答案】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2）， 把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2）， 解得：k＝2． 则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5； （2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5 解得m＝﹣2． 2.在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 3．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市规定用水收费标准：每户每月的用水量不超过6吨时，水费按每吨m元收费，超过6吨时，不超过部分仍按每吨m元收费，超出部分按每吨n元收费．该市某户今年9，10月份的用水量和所缴水费如下表所示，设该户每月用水量为x吨，应缴水费y元． 月份 用水量/吨 水费/元 9 5 10 10 7 16 (1)求m、n的值； (2)写出y关于x的函数关系式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)若该户11月份用水10吨，求11月份应缴水费． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)28元 【详解】（1）解：根据题意，得（元），（元）， ∴m的值是2元，n的值是4元； （2）解：设某户每月用水量x吨，应交水费y元，根据题意，得 ； 画出函数图象如答图． （3）解：∵， ∴元， ∴11月份应交水费28元． 4.为保证学生每天一小时体育运动，某班计划购买一批体育用品，用于开展“阳光体育动起来”为主题的课外运动．经调查，了解到甲、乙两个体育用品店的优惠活动如下，甲店：所有体育用品按原价8折出售；乙店：一次购买体育用品总额不超过元的按原价出售，超过元的部分打6折． (1)以（单位：元）表示体育用品原价，（单位：元）表示购买总额，分别就两家体育用品店的优惠方式写出关于的函数解析式； (2)如何选择这两家体育用品店去购买体育用品更省钱？ 【答案】(1) (2)当0≤x＜400时，选择甲店更省钱；当x＝400时，甲、乙两店所需费用相同；当x＞400，选择乙店更省钱 【详解】（1）解：由题意可得，； 乙店：当时，； 当时，， ∴ （2）当，有：，即 画出图形如下，由图可知： ①当时，到甲店购买体育用品更省钱； ②当时，甲、乙两店所需费用相同； ③当时，到乙店购买体育用品更省钱. 综上所述：当时，选择甲店更省钱；当时，甲、乙两店所需费用相同；当，选择乙店更省钱． 5.如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标、和 【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点， 设直线：，将、代入得 ，解得， 直线 的解析式； （2）解：存在， 根据题意，分三种情况讨论：①；②；③； 当时，如图所示： 点的坐标是； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 综上所述，点的坐标、和． 板块四：反比例函数 1.已知是关于的反比例函数，当时，． (1)求此函数的表达式； (2)当时，函数值是，求的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入反比例函数解析式，可得：， ∴反比例函数解析式为． （2）解：由（1）可得：， ∵当时，函数值是， 又∵当时，， ∴， 解得：． 2.在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围； (3)当，且时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）根据函数图象，直接可得结论； （3）根据函数图象，直接可得结论； 【详解】（1）解：当时， （2）如图所示，当时， （3）当，且时，或 3.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： (1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； (2)求出图中a的值； (3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 【答案】（1） 当0≤x≤8时，设y＝k1x+b， 将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得， 解得k1＝10，b＝20． ∴当0≤x≤8时，y＝10x+20． 当8＜x≤a时，设y＝， 将（8，100）的坐标代入y＝， 得k2＝800 ∴当8＜x≤a时，y＝． 综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝． （2） 将y＝20代入y＝， 解得x＝40， 即a＝40； （3） 当y＝40时，x＝＝20． ∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20， 即李老师要在7：38到7：50之间接水． 4.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】(1)y关于x的关系式为； (2)每台空调的定价为2750元． 【详解】（1）解：∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； （2）解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为(元)． 答：每台空调的定价为2750元． 5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 设一次函数的表达式为，将，代入， 得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：如解图， 作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长， ∵与关于y轴对称， ∴， 又∵， ∴直线的表达式为． 令，得， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $