4 线段的垂直平分线（课件）2025-2026学年北师大八年级数学下册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定，以“三小区建购物中心”情境导入，通过知识回顾（定义、轴对称性）搭建支架，引导学生经历“探索—发现—猜想—证明”过程，衔接前后知识。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过性质定理证明（SAS全等）和判定定理分类讨论（点在线段上/外）发展推理能力（数学思维），规范应用格式强化数学语言。典例与分层练习助学生提升应用能力，教师可依托结构化流程高效教学。

第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 1.4 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明及其应用 学习目标 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，掌握综合法证明的方法，发展推理能力； 2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线性质定理的逆定理，能运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决问题. 情境导入 问题引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识回顾 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90°． 　　 又 AC =CB，PC =PC， 　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　 ∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 P A B l C 应用格式： ∵点P 在AB 的垂直平分线上 ， ∴ PA =PB． 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 典例精析 C 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 （1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线， 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 总结归纳 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 例2：已知：如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 你还有其他证明方法吗？ 利用三角形的全等证明 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 证明：延长AO交BC于点D. ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO. ∵AB=AC， ∴AD⊥BC，BD＝CD. ∴直线AD，即AO垂直平分线段BC. 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴∠COE=∠DOE,∠OCE=∠ODE=90°. 又∵OE=OE， ∴△COE=△DOE（AAS）. OC=OD，EC=ED. ∴ OE是CD的垂直平分线. 新知探究 探究点二：线段垂直平分线的判定 课堂小结 当堂反馈 1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是( ) A．AB垂直平分CD B ．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ ACB Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种. 无数 3.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 当堂反馈 4.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm. 16 5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O， ∴ AO=BO. 当堂反馈 作业与预习 基础达标作业：课本34页第1、2题 拓展提升作业：课本37页 预习：课本第34、35、36页 观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 活动探究 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 新知探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 $