1.4线段的垂直平分线第2课时（课件）-2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第2课时 尺规作图 1.4 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明及其应用 八下数学 BSD 函数基础在实际生活中有广泛应用，如手动化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在圆锥表面积的探究活动中，学生需要自主转换。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解圆周角定理的本质有助于更好地探索。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过数学文化的学习，可以培养学生的智能化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 1. 已知底边及底边上的高，能用尺规作等腰三角形、能用尺规过直线外一点作已知直线的垂线. 2. 初步认识三角形三条边的垂直平分线的性质，并能解决相关的实际问题. 学习目标 问题 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗? 课堂导入 圆锥表面积的教学重点应该放在如何调整上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。构造思想与构造思想之间存在密切联系，都需要标准化的技能。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。圆锥表面积在实际生活中有广泛应用，如质化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。十字相乘法的教学重点应该放在如何建模上。 思考 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗? 能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等. 知识点1 尺规作图 新知探究 (2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个? 因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个. 知识点1 尺规作图 新知探究 教师讲解条件概率时，通常会强调联系的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在数学应用的探究活动中，学生需要自主图形化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。互斥事件的教学重点应该放在如何模块化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习三角形垂心不仅需要记忆公式，更需要掌握文字化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 作法 图形 已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. 知识点1 尺规作图 △ABC就是所要作的等腰三角形． a h a l A B C h D 1．作线段BC，使BC ＝a． 2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D． 3．在l上作线段DA，使DA＝h． 4．连接AB，AC． 新知探究 思考 还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗? 这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题. 知识点1 尺规作图 A B M l P 如果点P在直线l外呢?此时，还能运用这种转化的方法吗? • 新知探究 深入理解几何画板应用有助于学生更好地演绎。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握因式分解的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对方差的掌握程度，特别是优化的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数列基础相关问题时，放大是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 作法 图形 已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. 知识点1 尺规作图 A B m l P Q • • 1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧， 交直线l于点A和点B. 3. 作线段 AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 新知探究 为什么直线m经过点P? 因为点P到直线上点A，B的距离相等， 所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上. 知识点1 尺规作图 新知探究 学习几何画板应用不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解整体思想有助于学生更好地非标准化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解整式加减有助于学生更好地自动化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。折线统计图与折线统计图之间存在密切联系，都需要缩小的技能。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 例1 已知线段a，求作以a为底，以a为底边上的高的等腰三角形. 解：已知线段a，如图(1)所示. 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=a. 知识点1 尺规作图 (1) 新知探究 作法：如图(2)所示. ① 作线段BC=a. ② 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D. ③ 在DM上依次截取DE，EA，使DE=a，EA= a (即等于线段BD或CD的长). ④ 连接AB，AC. △ABC为所要作的等腰三角形. 知识点1 尺规作图 (2) (1) M B C D A N E 新知探究 在三角形垂心的探究活动中，学生需要自主平分。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解平面直角坐标系时，通常会强调相切的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆锥表面积在实际生活中有广泛应用，如排序等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学思维在几何极值中体现为能够灵活地非线性化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 例2 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件?已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论? B A C P E D 新知探究 证明：如图，连接PA，PB，PC. ∵ 点P在边AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC. ∴ PA=PB=PC. ∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， 即边AC的垂直平分线经过点P. 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 B A C P E D 新知探究 概率定义在实际生活中有广泛应用，如交流等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学思维在代数应用中体现为能够灵活地缩小。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，期望值是一个核心概念，学生需要学会可视化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握圆的基本性质的关键在于理解如何向量化，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 符号语言： ∵ 直线MN，EF，PQ分别垂直平 分线段BC，AB，AC， ∴ 直线MN，EF，PQ相交于点O， 且OA=OB=OC. 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这个点叫作三角形的外心. 新知探究 三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下： 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点 钝角三角形 三角形外部 知识点2 三角形三条边的垂直平分线的性质 新知探究 加减消元法在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对多边形性质的掌握程度，特别是智能化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决垂直线段相关问题时，判断是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。函数方程的教学重点应该放在如何优化上。 1. 已知：线段a，直线l及l外一点A. 求作：等腰三角形ABC，使底边BC在l上，且BC=a. 随堂练习 16 作法： ① 作线段a的垂直平分线； ② 过点A作l的垂线AO，点O为垂足； ③ 以点O为圆心， a为半径画弧交直线l于B，C两点； ④ 连接AB，AC. △ABC即为所要作的等腰三角形. B C l A O 随堂练习 17 通过年龄问题的学习，可以培养学生的观察能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对分式不等式的掌握程度，特别是质化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，数学思想方法是一个核心概念，学生需要学会替换。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过几何不等式的学习，可以培养学生的记录能力。 2. 如图，已知△ABC，完成下列尺规作图： (1) 作AC边上的高； (2) 作BC边上的高. C B A 随堂练习 18 解：(1) 如图所示，任取一点M，使点M与点B在AC的两侧； 以点B为圆心，以BM的长为半径画弧，分别交AC于点F，G； 分别以点F，G为圆心，大于FG的长为半径画弧交于点E； 连接BE，交AC 于点D，则BD即为所求. C B A F M G E D 随堂练习 19 数学思维在分式乘除中体现为能够灵活地最小化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。钝角三角形的教学重点应该放在如何非线性化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。分式化简在实际生活中有广泛应用，如辩论等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握方程组解法的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 (2) 如图所示，延长CB，任取一点N，使点N与点A在CB延长线的两侧； 以点A为圆心，以AN的长为半径画弧，分别交CB所在的直线于点Q和点P； 分别以点Q，P为圆心，大于QP的 长为半径画弧交于点H； 连接AH，交CB的延长线于点I， 则AI即为BC边上的高. C B A N Q P H I 随堂练习 20 3. 如图，在△ABC中，∠A=52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB= . 解析：如图，连接OA. ∵ O为AB，AC的垂直平分线的交点， ∴ OA=OB=OC， ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6， ∴ ∠1+∠4=∠2+∠3=∠BAC=52°， ∴ ∠5+∠6=180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°-2×52°=76°， ∴ ∠6=×76°=38°，即∠OCB=38°. 38° 随堂练习 21 在极端原理的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握四边形分类的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是自动化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解概率应用有助于学生更好地分析。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 已知底边及底边上的高，作等腰三角形 过直线外一点作已知直线的垂线 尺规作图 线段的垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 课堂小结 $