1.5　角平分线 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.5　角平分线 第1课时　角平分线的性质与判定 1.(新教材P40引例)如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证： PD＝PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠1＝∠2. 又∵OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD＝PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言：如图， ∵________________， 　__________， 　__________， ∴__________． AP平分∠BAC PB⊥AB PC⊥AC PB＝PC 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵D是BC中点，∴BD＝CD. ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴BE＝CF. 2. (新教材P44T1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF. 3.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于点D，BC⊥OA于点E.求证：AC＝BC. 证明：∵OC是∠AOB的平分线， AC⊥OB，BC⊥OA， ∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90°. 又∵∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD(ASA). ∴AC＝BC. 4.(新教材P40尝试·思考)如图，P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：OP平分AOB. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°. ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). ∴∠1＝∠2. ∴OP平分∠AOB. 角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上． 几何语言：如图， ∵_____________， 　_____________， 　_____________， ∴AP平分∠BAC. PB＝PC PB⊥AB PC⊥AC 5. (新教材P41例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长． 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴AD平分∠BAC. ∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°. 在Rt△AED中， ∠AED＝90°，∠EAD＝30°， ∴DE＝ AD＝ ×10＝5. 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE＝CF. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 又∵BE＝CF， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL). ∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 7.(2025·韶关期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CD＝3，则DE的长为 ( )  A. 1.5 B．3 C．4 D．6 B 8.(2025·深圳期末)如图，点F在射线OA上，∠EFA＝30°，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，EC＝4.如果EF∥OC，那么△OFE的面积是 ( ) A. 4 B．8 C．16 D．18 C 9.如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D.若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠DEC＝∠DFB＝90°. 又∵∠CDE＝∠BDF，CD＝BD， ∴△DEC≌△DFB(AAS). ∴DE＝DF. 又∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴AD平分∠BAC. 10.(新教材P44T2)已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．求证：BD＝2CD. 证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD. 在Rt△BDE中，∠B＝30°， ∴BD＝2DE.∴BD＝2CD. 解：当AD与EF满足AD垂直平分EF时， AD是△ABC的角平分线．理由如下： 如图，设AD与EF相交于点G. ∵AD垂直平分EF， ∴∠EGD＝∠FGD＝90°，EG＝FG. 11.(新教材P45T6)如图，在△ABC中，点D在BC上，DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AD，EF.当AD与EF满足什么条件时，AD是△ABC的角平分线？为什么？ 又∵GD＝GD， ∴△EGD≌△FGD(SAS). ∴ED＝FD. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠BAC的平分线上． ∴AD是△ABC的角平分线． 证明：(1)∵OP平分∠AOB， PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°. 又∵OP＝OP， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL). ∴OC＝OD. 12.(新教材P44T4)如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证： (1)OC＝OD； 证明：(2)由(1)得PC＝PD，OC＝OD， ∴点O，P在CD的垂直平分线上． ∴OP是CD的垂直平分线． (2)OP是CD的垂直平分线． 第2课时　三角形中角平分线的性质 1.填空： 几何语言：如图， ∵AP平分∠BAC，PB⊥AB， PC⊥AC， ∴___________． PB＝PC 2.填空： 几何语言：如图， ∵PB＝PC，PB⊥AB， PC⊥AC， ∴_______________________． 点P在∠BAC的平分线上 3. (新教材P43T1改编)如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F. (1)求证：PD＝PE＝PF. (1)证明：∵BP平分∠ABC， PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD＝PE. 同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF. (2)解：点P在∠BAC的平分线上．理由如下： 由(1)得PD＝PF. 又∵PD⊥AB，PF⊥AC， ∴点P在∠BAC的平分线上． (2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由． 证明：如图，过P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F. ∵BP平分∠CBN，PD⊥AB，PF⊥BC， ∴PD＝PF. 同理PE＝PF.∴PD＝PE. 又∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴点P在∠CAB的平分线上，即AP平分∠BAC. 4.如图，CP，BP分别是△ABC的外角∠BCM，∠CBN的平分线．求证：AP平分∠BAC. 5. (新教材P45T8)如图，在∠AOB内部作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等． 解：如图，点P即为所求． 解：(1)如图，点P即为所求． (2)如图，过点P作PD⊥AB于点D. ∵AP平分∠CAB，∠C＝90°， ∴PD＝PC. 在Rt△ADP和Rt△ACP中， 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在边BC上找一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等． (1)找出点P的位置(用尺规作图)； (2)求BP的长． ∴Rt△ADP≌Rt△ACP(HL).∴AD＝AC＝3. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝5， ∴BD＝5－3＝2. 设PC＝x，则PD＝x，BP＝4－x. 在Rt△BDP中，由勾股定理，得(4－x)2＝x2＋22， 解得x＝1.5， ∴BP＝4－1.5＝2.5. 7.如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为 ( ) A. 5 B．6 C．7 D．8 B 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F 为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D.若∠B＝∠CAD，则BD的长为____． 4 证明：如图，过点F分别作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FG⊥AC于点G. ∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN. 同理FG＝FN.∴FM＝FG. 又∵FM⊥AB，FG⊥AC， ∴点F在∠DAE的平分线上． 9.(新教材P44T3)已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上． 10.(2025·广州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8. (1)尺规作图：作∠BAC的平分线AD交BC于D；(不写作法，保留作图痕迹)； 解：(1)如图，AD即为所求． 解：(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， ∴CD＝ED. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 (2)求CD的长． AB＝ ＝10. ∵S△ACB＝S△ACD＋S△ABD， ∴ AC·BC＝ CD·AC＋ AB·ED. ∴ ×6×8＝ CD·6＋ ×10CD， 解得CD＝3. 11.(新教材P43T1改编)【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N. 【思考说理】(1)求证：FE＝FD. (1)证明：如图1，连接BF. ∵F是△ABC的角平分线的交点，∴BF是角平分线． ∵FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠ABC＝60°， ∴∠ECA＝ ∠ACB＝45°，∠BAC＝30°. 在△DNF和△EMF中， ∴∠CEA＝105°，∠DAC＝ ∠BAC＝15°. ∴∠MEF＝75°，∠CDA＝75°. ∴△DNF≌△EMF(AAS).∴FE＝FD. (2)解：小强的发现正确．证明如下： 如图2，连接BF.由(1)得BF是角平分线． ∵FM⊥AB，FN⊥BC， ∴FM＝FN，∠BNF＝∠BMF＝90°. ∵∠ABC＝60°, ∠ABC＋∠BNF＋∠BMF＋∠NFM＝360°， ∴∠NFM＝120°，∠ACB＋∠BAC＝120°. 【反思提升】(2)爱思考的小强尝试将条件“∠ACB＝90°”去掉，其他条件不变，观察发现(1)中结论(即FE＝FD)仍成立，你认为小强的发现正确吗？如果不正确，请举例说明；如果正确，请就图2给出证明． 在△DNF和△EMF中， ∴∠ACE＝ ∠ACB，∠CAD＝ ∠BAC. ∴∠DFE＝120°＝∠NFM.∴∠DFN＝∠EFM. ∴∠CFA＝180°－∠ACF－∠CAF ＝180°－ (∠ACB＋∠BAC)＝120°. ∴△DNF≌△EMF(ASA).∴FE＝FD. ∵AD，CE是角平分线， $