专题04 三角形（6大考点）（辽宁专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 汇编2026年辽宁各地二模三角形专题试题，覆盖角平分线、等腰三角形等6大考点，融合糖画非遗、手机支架等真实情境，适配中考复习的基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|角平分线性质、平行线判定、相似三角形性质|结合试鞋镜反射、光的折射等跨学科情境| |填空|8题|直角三角形斜边中线、角平分线作图|融入菱形、矩形等图形变换综合考查| |解答|10题|等腰三角形证明、解直角三角形应用|设计“问题初探-类比分析-拓展延伸”梯度，如飞机机翼金属条计算、桥梁形变测量等项目化问题|

动学科网 www.zxxk.com 让教与 专题04三角形 考点01 角、角平分线 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.c 7.6 4343 8. 3/3 5 9. 考点02 相交线与平行线 1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.8 7.110 考点03 等腰三角形的性质与判定 1.A 2.B 3.C 4.B 1/3 更高效 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 5. 48 6.(1)∠ABC=∠CFD ②085.@30 7.(I)△CAE≌△ABD (2BG=GH 3)04H=62 ②S6cw=27 84)@2.5°，②BF=8G,(20<CMD=2∠BcD:246 9.(1)140° 92 (2)2 (3)4 直角三角形的性质与判定 考点04 1.B 2.D 3.B 4.A 四 7137 6.2/2 4π√3 7.3 8.(1)△ABC是直角三角形 ∠AOC=2∠OPg (2) 2/3 西学科网 16 (3)(i)10,(i)4或4 9)5 √7 (2)①2；②FB'=FA 相似与全等 考点05 1.c 2.2 3.A 4.D 5.D 6.D 7.C 8.B 9.A 10.3 1.5或5 2432 2 12.50.4 13.(1)60 ② ' 3 4.@sAS:②，；(2)C3C 15.(1)△AFD≌AGCA www.zxxk.com 让 (3) 3-2 3/3 及与学更高效 命学科网 www.zxxk.com (2)FG+2AE=DF 5 (3) 锐角三角函数及其应用 考点06 1.B 2.7 3.29 4.17 5.3 6.①)3-5 x+1 (②x+2 7.△ABD的面积约为200 8.倾斜板GH的长为0.5m 9.14.2m 10.(1)BF段墙的长度约为11.2米 (2)20米 11.(1)三角形具有稳定性 (2)73.5mm (3)62.0mm 12.71cm 13.(1)A (2)6.8cm 4/3 改与学更高效 专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·辽宁锦州·二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再用外角解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．（2026·辽宁阜新·二模）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵，，． ∴． 故选：D． 3．（2026·辽宁本溪·二模）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，另一个顶点恰好落在直线上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由平行线的判定与性质得到，，再由得出计算即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， ，则． 4．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的概念，平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由角平分线得到，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴． 故选：D． 5．（2026·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是先根据平角的定义求出∠3，再根据“两直线平行，同位角相等”即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵三角板的直角顶点落在直尺的一边上，， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴． 故选：C． 6．（2026·辽宁丹东·二模）糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，利用角平分线的定义求出 的度数，在 中求出 的度数，最后根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求出 的度数． 【详解】解： ， ， ∵， ， 平分 ， ， 在 中， ， ， ． 7．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，过点作于点，由角平分线的性质得，再由勾股定理求出，进而证明得，设，则，然后在中，由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， 故答案为：． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，过点B作，连接，，交于点E，且恰好是的平分线．若，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】先利用勾股定理求得，如图1，分别过点E，A作，，垂足分别为F，G，利用角平分线的性质定理可得，，证明求得，，设，则，利用勾股定理和等腰三角形的性质求得，，，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 如图1，分别过点E，A作，，垂足分别为F，G， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，解得， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【一题多解法】 解法二思路：如图2，过点A分别作，，的垂线，交的延长线于点F，交于点P，交于点G，先证，得，再证，得，通过线段数量关系得的长，即得与的长，结合勾股定理求出的长，证明，即可求解． 解法三思路：如图3，过点A作的垂线，交于点G，延长交于点H，易得为的中位线，即得、、的长，由等角转换得，即得的长，从而得的长，通过可求的长，结合勾股定理即可求解． 解法四思路：如图4，过点A作于点G，过点C作的垂线，交的延长线于点H，由等角转换得，即得的长，通过可求的长，即可得的长，通过可得的长，结合勾股定理即可求解． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，设，则，由勾股定理得，从而列出方程，求出x的值，再代入，即可求解． 【详解】解：如图，过作于， 由作法得：平分，垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ∵， ， 解得：． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·辽宁锦州·二模）如图，直线于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意得出，然后代入已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选A． 2．（2026·辽宁营口·二模）如图，入射光线平行于主光轴，经凸透镜折射后，其折射光线为，光线经过光心，其折射光线为（此时，，三点共线），与光线交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，则，利用平行线的性质求出，即可解答． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图为小帆在试鞋镜前试鞋的画面，为水平地面，四边形为试鞋镜，其中为平面镜，与分别为入射光线和反射光线，为法线（过入射点垂直于平面镜的直线），若，，则入射角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据法线垂直于平面镜得到，再进行角度的运算可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵（法线垂直于平面镜）， ∴， ∴． 4．（2026·辽宁丹东·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A．30° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角；由互补关系可分别求得；再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 5．（2026·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，，与相交于点O，，若的面积为2，则的面积为______． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等，先证明，即可得到，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 7．（2026·辽宁大连·二模）如图，直线，直线与，分别相交于点G，H，以点G为圆心，的长为半径画弧，与直线相交于点P，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得出，根据作图可得，最后利用邻补角的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， 由尺规作图可知，， ∴， ∴． 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·辽宁营口·二模）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理． 根据作图可知平分，根据等腰三角形三线合一得到，继而根据直角三角形斜边中线定理得到． 【详解】解：由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 2．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用及等腰直角三角形的性质和判定，熟知性质定理、准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，证明，，即可求解． 【详解】解：连接并延长，交于， 为的高， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求， ， ， 故答案为：B． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，根据平行线的性质得出的度数，再由作图可知，根据等边对等角得出的度数，最后用减去与即可得到结果，解题的关键是要根据作图过程得到． 【详解】解：如图； ，， ， 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点， ， ， ， ． 故选：C． 4．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 5．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在中，点在边上，连接，．点在边上，若平分，，，则边与之间的距离为_____ 【答案】 【分析】先由角平分线定义、平行四边形性质证得，过点作，在等腰中，由三线合一性质及勾股定理求出，过点作，由等面积法得到，代入边长计算即可． 【详解】解：平分， ， 在中，，则， ， ， 又，， ∴ 过点作，如图所示： 在等腰中，，，则是边上的中线， ， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作，如图所示： 由得，解得． 6．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． (1)如图，求证：； (2)已知平分，． ①如图，若，求的长； ②如图，过点作于点，连接．若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，② 【分析】（1）先由同角的余角相等得到，再由等腰三角形得到，等量代换即可得证； （2）①过点作于点，过点作于点，先证得，由全等性质得到相关边与角度的相等关系，在中，解直角三角形得出相关边的关系，进而由平行线的性质得出，设，表示出相应线段长度，由列方程求出即可得到答案； ②先证得，再由平行线分线段成比例得到，从而得到相关线段关系及，设，，表示出相关线段，即可得到，在中，由勾股定理列方程求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分， ， ，且由（1）知， ， ，，， 在中，，，则， ，则由勾股定理可得， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ； ②如图所示： ，， ， 由（1）知，由①知， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，则，即， ， ， 的面积是． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）如图1，在中，，点F是边上一点，连接，在上取一点E，使得，连接，在上截取，连接． (1)求证：； (2)如图2，沿作对称，得到，与的延长线交于点H，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作，与、的交点分别为M、N，若，． ①求的长； ②求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）先利用三角形的外角性质得到，再利用证明结论即可； （2）先证明，再证明，利用相似三角形的性质得到，进而可得结论； （3）证明得到，则，再证明得到，则，由折叠性质，得，进而可求解； ②如图，过点C作交于点K，先利用平行线分线段成比例得到，则，，证明求得，，进而求得，，，设，，利用勾股定理列方程求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①由（2）得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，由折叠性质，得， ∵， ∴； ②如图，过点C作交于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴，， 由（3）①可知，， ∴，， ∴， 设，， 在中，，则， 在中，，则， ∴． 解得， ∴， ∴． 8．（2026·辽宁阜新·二模）【方法初探】 （1）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，，，，过点分别作，，，为垂足． ①如图1，当点在边上（点，重合）时，请直接写出的度数； ②如图2，当点在内部时，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在四边形中，，对角线，交于点，，，． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①根据垂直的定义及等边对等角求出，再根据三角形的内角和与等边对等角求出，然后根据等边对等角与三角形外角即可得出答案； ②设，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得出，根据垂直的定义得出，利用证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）①过点作于点，根据垂直的定义及平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质即可得证； ②过点作，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接，由①可得，，利用易证，再根据全等三角形的性质及垂直平分线的性质可得出，然后两次利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：（1）①，点，重合， ， ， ， ， ； ②， ， 设， ， ， ． ， ． ，， ． 在和中， ． ． （2）①过点作于点， ． ， ． ， ． ． ， ． ． ， ． ②过点作，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接， 由①得，，， ． ． ， ，， ． ，． ． ， ． 垂直平分， ． ． ， ． ． ． 设， ，． 在中，根据勾股定理得：， ． 解得，（舍）， 在中，根据勾股定理得：， ． 答：的长为． 9．（2026·辽宁营口·二模）【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，已知等腰三角形中，，，在三角形内取一点，使得，，求的度数． 同学们通过挖掘已知条件，获得，线段，根据图形特征，果断地在上截取，构造出全等三角形，从而问题便得以解决． (1)请按照上述的思路完成解答，求出的度数． 【类比分析】 老师发现同学们都用了构造法，将边角关系转化到新构造的三角形中进行求解．为了能帮助学生更好地掌握构造转化思想，老师又提出下面的问题，请你解答． (2)如图2，在中，，，射线于点．若点分别是射线，边上的动点，且，连接，，当取得最小值时，求与的面积之和． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，点是边上一点，且满足，连接．若，，当图中存在时，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）根据等边对等角求出，，则可判断，在上取一点E，使，连接，证明，得出，，则，设，则，∠，根据可求出，即可求解； （2）过点C作直线，在直线l上截取，连接，，证明得出，则，故最小值为，然后在中，根据勾股定理求出，最后结合求解即可； （3）延长到点M，使，连接，证明，得出，延长到点N，使，连接，证明，得出，设设，则， ，在中，由勾股定理得，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上取一点E，使，连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 设，则，∠， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图：过点C作直线，在直线l上截取，连接， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴最小值为 在中， ∵ 此时． （3）解：延长到点M，使，连接， ∴ 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 延长到点N，使，连接 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，， 设 ∴ 在中，由勾股定理得， 即 ∴，（不合题意，舍去） ∴的长为4． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】先根据正方形的面积求出边长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 点M是斜边的中点， ， 在中，由勾股定理得：． 2．（2026·辽宁丹东·二模）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故选：． 3．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 4．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 【答案】A 【分析】根据折叠得到，垂直平分，可判定D选项；设，则，由中位线的判定和性质得到，设，则，证明，，可判定A，C选项；根据锐角三角函数的计算可得，结合折叠的性质可判定B选项，由此即可求解． 【详解】解：在中，，为上的中线， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分，则，但不平分，故D选项错误，不符合题意， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∵点分别是中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴，故A选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，不符合题意； 若，则， 根据上述计算，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵折叠，，， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 故选：A ． 5．（2026·辽宁盘锦·二模）如图，菱形中，对角线、相交于点，点为边的中点，连接，已知，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， 故答案为：． 6．（2026·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决的关键是证明．根据矩形的性质证明，得，证明，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 7．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，已知，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F；以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点M；画射线，交于点N；以点N为圆心，长为半径画弧，交于点P，则的长为______． 【答案】 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、以及弧长的计算等知识点．准确理解并运用作图步骤是解题的关键．先根据作图过程得出，然后确定所在圆的半径和圆心角，再利用弧长公式（其中l为弧长，n为圆心角度数，r为半径）计算弧长． 【详解】解：根据作图可知， ， 根据作图可知平分， ，， ，， 过点D作于点R， ， 在中，， ， 连接，由作图可知， ， 的长为， 故答案为：． 8．（2026·辽宁盘锦·二模）已知中，是边的中点，且满足． (1)如图①，判断的形状，并说明理由； (2)如图②，点在线段的垂直平分线上，且位于直线下方，连接、，以、为邻边作平行四边形，求证：； (3)若、、是线段的垂直平分线上的动点，且均位于直线下方，其余条件同（2）． （i）如图③，当四边形是正方形时，在图③中画出，若的面积，求的面积； （ii）当四边形是矩形，四边形是菱形时，且满足，直接写出的值． 【答案】(1)△是直角三角形，见解析 (2)见解析 (3)（i）10，（ii）或 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理得到即可求解； （2）延长交于M，如图②，先判定垂直平分，然后利用等腰三角形的三线合一得到，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，进而可得结论； （3）（i）设，延长交于M，由正方形的性质和勾股定理求得，,证明得到，进而可求解； （ii）设，，则，分当在线段上时和当在线段上时两种情况，画出相应图形，利用矩形和菱形的性质，结合相似三角形的性质和直角三角形的性质得到a、b的关系，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵是边的中点，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则是直角三角形； （2）证明：延长交于M，如图②， ∵，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， 即； （3）解：（i）如图③，设，延长交于M， 由（2）知，， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，, 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积， ∴； （ii）设，， ∵， ∴， 当在线段上时，如图④，则， ∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴，， ∴，即， 由（i）知， ∴； 当在线段上时，如图⑤，过B作于N，则， 则，又， ∴， ∴，则； ∵， ∴， 解得， 由得，即， 由（i）知， ∴， 综上，的值为或． 9.（2026·辽宁鞍山·二模）如图1，矩形中，，点E是边上一点，连接，以为对称轴将翻折，若点B的对称点是对角线的中点. (1)求n的值； (2)将沿射线的方向平移到，以为对称轴，将四边形沿翻折，点A，B的对称点分别为，. ①如图2，若，点M是边中点，求的长； ②如图3，点N在延长线上，点M在边上，且，与交于点F，判断，的数量关系，并证明. 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质结合直角三角形斜边中线的性质可得，再根据折叠的性质得到，易证是等边三角形，推出，再利用正切的定义得到，即可解答； （2）①解：过点作交延长线于点H，由（1）知，解直角三角形求出，，由题意得，由平移的性质得：，求出，，，，由对称的性质得：，，解直角三角形求出，，再求出，利用勾股定理即可求解； ②延长至点，使得，连接，证明，推出，再证明，推出，进而证明，点三点共线，证是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质即可得出结论. 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）①解：过点作交延长线于点H， 由（1）知， ∵， ∴，， ∵点M是边中点， ∴， 由平移的性质得：， ∴，， ∴，， 由对称的性质得：，， 在中，，， ∴， 在中，； ②，证明如下： 延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线， 由折叠的性质得：， ∴是直角三角形， ∵，即点是的中点， ∴. 相似与全等 考点05 1．（2026·辽宁营口·二模）如图，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·辽宁本溪·二模）如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作，由得到，再由平行线分线段成比例得到，得到即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ，则， ， ， 由平行线分线段成比例可知， ， ． 3．（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 【详解】解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由相似三角形的判定得到，进而得到，过点分别作于点于点，进而得到，进而求出，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 过点分别作于点于点，如图所示： 平分， ， ， 四边形为正方形， ， ，， ， ，即， ， 在中，，，， 由勾股定理得． 5.（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在矩形中，点是边的中点，且，连接，线段的垂直平分线恰好经过点，则矩形的边的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】连接，根据题意易得，故，再根据垂直平分线的性质可得，然后在中，由勾股定理解得的长度，结合即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点是边的中点，且， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作，证明四边形是矩形，得出，从而得，证出，在截取，得出，证明，得出，再证明，得出，，勾股定理求出，得出，，根据等腰三角形的性质得出，结合，得出，证明，再证明，从而证出，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在截取， ∵平分，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用矩形的性质和相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，， ∴在中， ， ， ， ， ． 8．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再根据相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵，是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，的坐标分别为，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（2026·辽宁营口·二模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，点，的对应点分别为点，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，再由求解即可． 【详解】解：连接交于点，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简进行，即可作答． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 11．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，，的顶点A，B分别在射线和射线上，点C与点O在的同侧，D为边的中点，，．若与相似时，则的长_____． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的性质求出的长，确定为直角三角形，由可知为直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，为边的中点，， ，， 在中，， ， ， 若与相似，分两种情况： 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的长为或． 12．（2026·辽宁阜新·二模）美术课上，聪聪用一块边长为2的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图①）．慧慧用聪聪做的七巧板拼成了如图②所示的美术作品，则图中______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，理解图形的含义是解本题的关键． 根据题意得：，图中的三角形均为等腰直角三角形，，图②中，，再根据，可求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，图中的三角形均为等腰直角三角形， ∴， 图②中，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为： 13．（2026·辽宁沈阳·二模）在中，点D为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边（点，按逆时针方向排序），连接． (1)当时，如图①，求的度数； (2)当时，如图②，求线段的长； (3)当时，求线段长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，最后求出结果即可； （2）在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，证明，得出，，解直角三角形得出，，求出，根据勾股定理得出即可； （3）在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，证明，得出，即，求出，设，则，设，则，，设，则，，，根据勾股定理得出，证明，得出，即，求出，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 设，则，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 得：， 由③得：， 把代入得：， 整理得：， ∵ ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 14．（2026·辽宁铁岭·二模）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）线段由顺时针旋转得到，故是等腰直角三角形，得，．根据同角的余角相等，得到，利用等腰得到，用判定； （2）构造辅助线拆分为，分别证明和．过作交于，则；因，故和均为等腰直角三角形，得，因此，证明，得，因，代入和，故； （3）利用前两问结论求基础线段长度，再通过相似三角形求关键线段(、)，最后用面积公式计算．由，得；又，故，是等腰直角三角形，然后求和的长度，用相似求的长度，最后计算的面积． 【详解】（1）证明：线段是由旋转得到的， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点，则． ， 和都是等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ； （3）解：由（1）可知， ，∴， 是等腰直角三角形． ， ． 由（2）可知， ． ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，即，解得， ． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·辽宁丹东·二模）如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2026·辽宁锦州·二模）小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 【答案】7 【分析】过点C作于点D，则，进而求出，，在中，，，在中，，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D，则， 根据题意得，，，，， ∴，， 在中，， ， 在中，，， ∴， ∴， 即小明家与小亮家的距离约为． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图为某桥的桥塔，点B，D，C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，测得，，垂足为D，求桥塔的高度约____（结果精确到．参考数据：）． 【答案】29 【分析】设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解；设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴桥塔的高度约为． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在花坛前方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为，再到花坛后方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为已知花坛的宽，则教学楼的高度约为______（点，，在同一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到，参考数据）． 【答案】 【分析】在中，得出，在中，得出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学楼的高度约为． 5．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，建筑物上有一杆．从与相距10的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度约为_____（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】3 【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，， 则， ∴()， 故答案为3． 6．（2026·辽宁朝阳·二模）计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（2026·辽宁本溪·二模）如图，中，，，，将线段边绕点逆时针旋转得到线段，求的面积．（参考数据：，，≈） 【答案】的面积约为 【分析】过点作于点，在中，由正弦函数定义求出，再由旋转性质得到相关角度与边长，在中，由正弦函数定义求出，最后由三角形面积公式代入边长计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在中，，，则， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在中，，，则， ， ， ， 答：的面积约为． 8．（2026·辽宁大连·二模）图1是某公交站台的遮雨棚，遮雨棚的截面示意图如图2所示．两根立柱与分别垂直于地面，且水平距离为，遮雨棚由水平板，和倾斜板三部分组成，其中，，，倾斜板与水平板形成的，求倾斜板的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】倾斜板的长为 【分析】过作延长线于，由得．设，结合、，推出．在中，利用列方程，解得． 【详解】解：过点G作的延长线于M，延长至于点I，如图， ∵， ∴， 设，根据题意， ∵，， ∴，， ∵，且与分别垂直于， ∴， 又∵， ∴四边形和都为矩形， ∴， ∴ ， 在中，， ∴ 解得， ∴倾斜板的长为． 9．（2026·辽宁朝阳·二模）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 10．（2026·辽宁丹东·二模）丹东草莓品质优良，果肉饱满香甜，深受大众喜爱．当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园．已知农户计划借助自家院内，两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园，，，．（参考数据：，，） (1)如图1，若栅栏的长为10米，求此时段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在边上留一个2米宽的门，若农户想要采摘园面积最大，求此时的长．（结果精确到1米） 【答案】(1)段墙的长度约为米 (2)20米 【分析】（1）过B作于M，根据矩形的判定与性质求出，，则，然后在中根据余弦的定义求解即可； （2）设，采摘园的面积为S，过B作于M，根据矩形的判定与性质求出，，则，然后在中根据正切的定义求解，如果根据梯形面积公式求，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过B作于M， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即段墙的长度约为米； （2）解：设，采摘园的面积为S，则， 过B作于M， 同（1）可求，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，S取最大值， 即采摘园面积最大，的长为20米． 11．（2026.辽宁沈阳·二模）图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报． (1)如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依据是什么? (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供至之间的五个角度挡位． 图3为该手机支架位于角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板和底板形成的，和的长度均为，挡位点位于底板中点处，此时支撑板与底板形成的，求支撑板的长． (3)如图5，当该手机支架位于角度挡位时，支撑板底端卡在点处，手机固定板和支撑板的长度不变，手机固定板和底板形成的，点A和点到的距离分别为， 的长，手机固定板顶端由点A的位置变化到点的位置，高度差记为，求h的值．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性，可得到结论； （2）利用勾股定理求出长，在中利用三角函数求出，即可得到结果； （3）根据题意，结合图形，在中求出，在中求出，即可得到结果． 【详解】（1）解：三角形具有稳定性． （2）解：由题意可知． 过点O作， ∴． ∵，点为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴支撑板的长约为． （3）解：如图，在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 12．（2026·辽宁沈阳·二模）某学校航模社团计划制作一架飞机模型，下面是制作一片机翼时加装金属条的研究报告： 研究问题 确定飞机模型一片机翼加装金属条的总长度 问题说明 如图，四边形是飞机模型一片机翼的设计图，现在需要在，，边加装金属条固定机翼． 解决方案 根据研究报告中的相关数据及所学数学知识，通过计算得出四边形边，的长度，确定加装金属条的总长度（即线段，，长度的和）． 机翼设计图 相关数据 如图，，，，，． 参考数据 ，，，． 请根据以上信息，求飞机模型一片机翼加装金属条的总长度（结果精确到） 【答案】 【分析】过点作于点，构造与；先在中，利用和，通过三角函数求出、；再在中，利用和，求出、；接着结合推出，再由三角形内角和推出，得为等腰三角形，；最后将（）、、相加，得到加装金属条的总长度． 【详解】解：如图，过作于点 又 所以加装金属条的总长度约为． 13．（2026·辽宁营口·二模）桥梁是交通的重要组成部分，试验监测可保障其安全运行．某实践小组对自制桥梁模型承重开展探究，方案如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 学生完整参与项目化学习，在真实情境中主动发现问题，并能将实际问题转化为规范、合理的数学问题． 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度． 方案设计 工具 桥梁模型，量角器，卷尺，水桶，水杯，绳子，挂钩等． 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水）          说明：为的中点． … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： (1)该实践小组在搭建桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是________． A．三角形具有稳定性    B．两点确定一条直线    C．两点之间线段最短 (2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)A (2) 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）设，由题意得，，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性；A； （2）解：如图： 根据题意知，， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ， 即， 解得， ∴此时水桶下降的高度约为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·辽宁锦州·二模）一副三角板按如图所示的方式摆放，顶点A，E，C，F在同一条直线上，，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁阜新·二模）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁本溪·二模）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，另一个顶点恰好落在直线上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁营口·二模）如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁丹东·二模）糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长为______． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，过点B作，连接，，交于点E，且恰好是的平分线．若，，则的长为______． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·辽宁锦州·二模）如图，直线于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁营口·二模）如图，入射光线平行于主光轴，经凸透镜折射后，其折射光线为，光线经过光心，其折射光线为（此时，，三点共线），与光线交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图为小帆在试鞋镜前试鞋的画面，为水平地面，四边形为试鞋镜，其中为平面镜，与分别为入射光线和反射光线，为法线（过入射点垂直于平面镜的直线），若，，则入射角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁丹东·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A．30° B．50° C．60° D．70° 5．（2026·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，，与相交于点O，，若的面积为2，则的面积为______． 7．（2026·辽宁大连·二模）如图，直线，直线与，分别相交于点G，H，以点G为圆心，的长为半径画弧，与直线相交于点P，连接．若，则的度数为_______． 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·辽宁营口·二模）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 5．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在中，点在边上，连接，．点在边上，若平分，，，则边与之间的距离为_____ 6．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． (1)如图，求证：； (2)已知平分，． ①如图，若，求的长； ②如图，过点作于点，连接．若，求的面积． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）如图1，在中，，点F是边上一点，连接，在上取一点E，使得，连接，在上截取，连接． (1)求证：； (2)如图2，沿作对称，得到，与的延长线交于点H，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作，与、的交点分别为M、N，若，． ①求的长； ②求的面积． 8．（2026·辽宁阜新·二模）【方法初探】 （1）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，，，，过点分别作，，，为垂足． ①如图1，当点在边上（点，重合）时，请直接写出的度数； ②如图2，当点在内部时，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在四边形中，，对角线，交于点，，，． ①求证：； ②若，求的长． 9．（2026·辽宁营口·二模）【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，已知等腰三角形中，，，在三角形内取一点，使得，，求的度数． 同学们通过挖掘已知条件，获得，线段，根据图形特征，果断地在上截取，构造出全等三角形，从而问题便得以解决． (1)请按照上述的思路完成解答，求出的度数． 【类比分析】 老师发现同学们都用了构造法，将边角关系转化到新构造的三角形中进行求解．为了能帮助学生更好地掌握构造转化思想，老师又提出下面的问题，请你解答． (2)如图2，在中，，，射线于点．若点分别是射线，边上的动点，且，连接，，当取得最小值时，求与的面积之和． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，点是边上一点，且满足，连接．若，，当图中存在时，求的长度． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 2．（2026·辽宁丹东·二模）如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C．只有 D． 3．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 5．（2026·辽宁盘锦·二模）如图，菱形中，对角线、相交于点，点为边的中点，连接，已知，则的长为___________． 6．（2026·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为_____． 7．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，已知，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F；以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线；分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点M；画射线，交于点N；以点N为圆心，长为半径画弧，交于点P，则的长为______． 8．（2026·辽宁盘锦·二模）已知中，是边的中点，且满足． (1)如图①，判断的形状，并说明理由； (2)如图②，点在线段的垂直平分线上，且位于直线下方，连接、，以、为邻边作平行四边形，求证：； (3)若、、是线段的垂直平分线上的动点，且均位于直线下方，其余条件同（2）． （i）如图③，当四边形是正方形时，在图③中画出，若的面积，求的面积； （ii）当四边形是矩形，四边形是菱形时，且满足，直接写出的值． 9.（2026·辽宁鞍山·二模）如图1，矩形中，，点E是边上一点，连接，以为对称轴将翻折，若点B的对称点是对角线的中点. (1)求n的值； (2)将沿射线的方向平移到，以为对称轴，将四边形沿翻折，点A，B的对称点分别为，. ①如图2，若，点M是边中点，求的长； ②如图3，点N在延长线上，点M在边上，且，与交于点F，判断，的数量关系，并证明. 相似与全等 考点05 1．（2026·辽宁营口·二模）如图，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁本溪·二模）如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 3．（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在矩形中，点是边的中点，且，连接，线段的垂直平分线恰好经过点，则矩形的边的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁营口·二模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，点，的对应点分别为点，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 11．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，，的顶点A，B分别在射线和射线上，点C与点O在的同侧，D为边的中点，，．若与相似时，则的长_____． 12．（2026·辽宁阜新·二模）美术课上，聪聪用一块边长为2的正方形的厚纸板，做了一套七巧板（如图①）．慧慧用聪聪做的七巧板拼成了如图②所示的美术作品，则图中______． 13．（2026·辽宁沈阳·二模）在中，点D为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边（点，按逆时针方向排序），连接． (1)当时，如图①，求的度数； (2)当时，如图②，求线段的长； (3)当时，求线段长． 14．（2026·辽宁铁岭·二模）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 15.（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·辽宁丹东·二模）如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁锦州·二模）小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图为某桥的桥塔，点B，D，C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，测得，，垂足为D，求桥塔的高度约____（结果精确到．参考数据：）． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在花坛前方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为，再到花坛后方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为已知花坛的宽，则教学楼的高度约为______（点，，在同一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到，参考数据）． 5．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，建筑物上有一杆．从与相距10的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度约为_____（结果取整数，参考数据：，，）． 6．（2026·辽宁朝阳·二模）计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 7．（2026·辽宁本溪·二模）如图，中，，，，将线段边绕点逆时针旋转得到线段，求的面积．（参考数据：，，≈） 8．（2026·辽宁大连·二模）图1是某公交站台的遮雨棚，遮雨棚的截面示意图如图2所示．两根立柱与分别垂直于地面，且水平距离为，遮雨棚由水平板，和倾斜板三部分组成，其中，，，倾斜板与水平板形成的，求倾斜板的长．（结果精确到．参考数据：，，） 9．（2026·辽宁朝阳·二模）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 10．（2026·辽宁丹东·二模）丹东草莓品质优良，果肉饱满香甜，深受大众喜爱．当地一农户为拓宽收入渠道，打算利用自家闲置土地，修建草莓采摘园．已知农户计划借助自家院内，两面墙（墙足够长），用栅栏围一块直角梯形的采摘园，，，．（参考数据：，，） (1)如图1，若栅栏的长为10米，求此时段墙的长度；（结果精确到0.1米） (2)如图2，该农户计划用48米的栅栏进行围建采摘园，并在边上留一个2米宽的门，若农户想要采摘园面积最大，求此时的长．（结果精确到1米） 11．（2026.辽宁沈阳·二模）图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报． (1)如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依据是什么? (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供至之间的五个角度挡位． 图3为该手机支架位于角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板和底板形成的，和的长度均为，挡位点位于底板中点处，此时支撑板与底板形成的，求支撑板的长． (3)如图5，当该手机支架位于角度挡位时，支撑板底端卡在点处，手机固定板和支撑板的长度不变，手机固定板和底板形成的，点A和点到的距离分别为， 的长，手机固定板顶端由点A的位置变化到点的位置，高度差记为，求h的值．（结果精确到，参考数据：，，） 12．（2026·辽宁沈阳·二模）某学校航模社团计划制作一架飞机模型，下面是制作一片机翼时加装金属条的研究报告： 研究问题 确定飞机模型一片机翼加装金属条的总长度 问题说明 如图，四边形是飞机模型一片机翼的设计图，现在需要在，，边加装金属条固定机翼． 解决方案 根据研究报告中的相关数据及所学数学知识，通过计算得出四边形边，的长度，确定加装金属条的总长度（即线段，，长度的和）． 机翼设计图 相关数据 如图，，，，，． 参考数据 ，，，． 请根据以上信息，求飞机模型一片机翼加装金属条的总长度（结果精确到） 13．（2026·辽宁营口·二模）桥梁是交通的重要组成部分，试验监测可保障其安全运行．某实践小组对自制桥梁模型承重开展探究，方案如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 学生完整参与项目化学习，在真实情境中主动发现问题，并能将实际问题转化为规范、合理的数学问题． 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度． 方案设计 工具 桥梁模型，量角器，卷尺，水桶，水杯，绳子，挂钩等． 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水）          说明：为的中点． … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： (1)该实践小组在搭建桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是________． A．三角形具有稳定性    B．两点确定一条直线    C．两点之间线段最短 (2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $