专题03 函数（5大考点）（辽宁专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 辽宁各地2026年二模函数专题汇编，涵盖平面直角坐标系等5大考点，以几何图形与函数结合、运动问题及实际应用为特色，适配中考二模复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题型|平面直角坐标系、一次/反比例/二次函数|二次函数结合足球射门、喷泉设计等实际情境，反比例函数与矩形折叠、位似图形结合，注重数形结合与动态分析|

命学科网 www.zxxk.com 让教 专题03函数 考点01 平面直角坐标系 1.C 2.C 3.B 4.B 5.a<-3 6.3 7.4 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1. 2.B 3.A 4.B 6.54 考点03 一次函数的图像、性质及应用 1.C 2.A 3.D 4.D 5.-2<k<1/1>k>-2 6.,3或33 .〔 8.(1)k=-2 3/3 学更高效 的学科网 www.zxxk.com (2)1>-2 9.(1)a=2,m=4 (2)6 10.(1)-3,2 (2)-2 11.(1)y=-4x+20 x+ 31 3 (2)3s 12.(1)∠ACB=90 (2)点D的坐标为1,4】 13.(1)BC是∠0BD的角平分线 (2m=2+3 2 14.(1)y=- t*4 e号 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 6.-6 8.8 9.-8 10.(①)反比例函数的表达式为y= 二，一次函数的表达式为y (2)x<-2或0<x<1 (3)AC=AD 2/3 让教与 x+1 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.0y=-6 (2)2.5 同点坐标为04或或0回可或号》 考点05 二次函数的图像、性质及应用 1.A 2.D 3.4 4.3 5.4w2 6.(1) y=x2-2x-1 (2) (,-) (3) (m2-2m+1(m≤0) m2(m21) 7.(1)抛物线的函数表达式为y=- 12x-22+3 (2)的取值范围为4.4<n<5 8.(1b=1,3 60'c=2 11 (2) -m 9.Q)函数y=6+x(1≤x≤5)的最优虹桥值”为6 (2)c=3 10.(1)(1,3) (2)①1= 2r-10+16-1≤1<2》，②n=6或10<m515:®3 .13 2t2-6t+8(2<t≤4) 11.(1)y=x2-2x-3 3/3 命学科网 www.zxxk.com -x2+2x+3(x<- (2①y={x2-2x-3(-1≤x≤3)； ②SAPMO量大=器 -x2+2x+3x>3) 3 (3)-3<k<-1或k=- 4 12.0抛物线的表达式为y弓口-4：n子 2 (2)四边形PACB是平行四边形，证明见解析： (③0点P的坐标为(-1孕：②EG+FG的最小值为5 4 1 ②D这棵小树MN的最大可能高度是2 2 10 8m:②3<m< 18 3 14r- 2 3 (2)P(5,6 ③-1-5E<m<1且m-4 -<m< 2 15.(1)①1；②y2=x2-3x+2(x>1 (2)5 (3)n≤-1 ④3+v5或3-v5或9-87 2 2 2 2/3 致与学更高效 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的纵坐标是3，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 5．（2026·辽宁铁岭·二模）已知点P（1－a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是______． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 7．（2026·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是_____． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·辽宁锦州·二模）如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁锦州·二模）物体的动能（单位：J）与物体的质量（单位：）和运动速度（单位：）有关，三者的关系为．当时，该物体的运动速度的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．（2026·辽宁沈阳·二模）如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（    ）    A．5 B．4 C． D． 4．（2026·辽宁沈阳·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 5．（2026·辽宁阜新·二模）函数中，自变量x的取值范围是______． 6．（2026·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为_________． 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·辽宁本溪·二模）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（2026·辽宁朝阳·二模）已知是一次函数图象上两个不同的点，以下判断正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 4．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是______. 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为___________． 7．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为________． 8．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求k的值； (2)若直线与直线的交点在x轴的上方，求t的取值范围． 9．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交一次函数的图象于点，点在一次函数的图象上，横坐标为，过点作轴的平行线交一次函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求与的值； (2)求四边形周长的最小值． 10．（2026·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与经过点，的直线相交于点． (1)求点的坐标． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 11．（2026·辽宁铁岭·二模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 12.（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线绕点C逆时针旋转，得到直线，若在直线上有一点． (1)求的度数； (2)D是线段上一点，连接交于点E，若，求点D的坐标． 13．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，过点C作轴交直线于点D． (1)求证：是的角平分线； (2)点在y轴上，且点M在点B的上方，点N在线段上，，当面积最大时，求m的值． 14．（2026·辽宁鞍山·二模）将一个放置在平面直角坐标系中，其中，点的坐标为，点在边上（不与点，重合），作直线交轴于点，点关于直线的对应点为，连接，． (1)如图1，当四边形是菱形时，求直线的解析式； (2)如图2，当点落在轴上时，求的面积． 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·辽宁盘锦·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，在函数的图象上，点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．直线沿轴方向平移，当四边形与直线有交点时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁锦州·二模）科技小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，图1是密度计浸在某种液体中的示意图．已知该密度计竖直漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图2所示（）．当此密度计浸在某种液体中的高度为时，该液体的密度为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过的顶点，点在轴的负半轴上，若点的坐标是，，则的值为_________． 7．（2026·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（，）的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为______． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，点在第一象限，，，若点在反比例函数图象上，则的值为_____． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，点，分别为，的中点，连接，，，若的面积为，则的值为_________． 10.（2026·辽宁大连·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段与y轴相交于点D，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)求证：． 11．（2026·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·辽宁鞍山·二模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 4．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 5．（2026·辽宁营口·二模）如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围． 8．（2026·辽宁丹东·二模）综合实践： 【问题背景】某市体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．小李同学为了在体育考试实心球项目取得满分进行投掷实心球训练． 【建系分析】若实心球的运行路线近似看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，他某次投掷实心球的路线为抛物线的一部分，x（单位：m）为实心球运行时距离抛出点A的水平距离，y（单位：m）为实心球运行时距离地面的高度，已知抛出点A距离地面高度（即的长）为，实心球落地点距离抛出点的水平距离（即的长度）为． 【问题解决】 (1)求b，c的值； (2)小李同学为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高抛出点来提高成绩（抛出的实心球运行路线的形状和对称轴都完全不变）．若小李同学刚好能得到满分，则求此时抛出点距地面的高度． 9．（2026·辽宁本溪·二模）【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 (1)求函数的“最优虹桥值”； (2)若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 10．（2026·辽宁营口·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的3倍，我们称这个点为“映射点”，例如：就是“映射点”；若二次函数图象的顶点为“映射点”，则称这个二次函数为“映射二次函数”，例如：二次函数就是“映射二次函数”． (1)求直线上的“映射点”坐标． (2)若二次函数是“映射二次函数”，点，是平面直角坐标系中的两点，连接，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，且不与点重合，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围； ③当时，这个“映射二次函数”的最大值和最小值的差为5，求的值． 11．（2026·辽宁铁岭·二模）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3)在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 12．（2026·辽宁鞍山·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的表达式及的值； (2)若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 13．（2026·辽宁朝阳·二模）周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，）．现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为____________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 14．（2026·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，点P是二次函数的图象上一点，且在对称轴右侧，在直线上方，点D是点B关于y轴的对称点，连接交二次函数图象的对称轴于点E，当时，求点P的坐标； (3)如图2，将二次函数的图象沿着射线的方向平移，平移后的二次函数图象与x轴的两个交点中，右边的交点为点F，连接，．设平移后的二次函数图象的对称轴为直线，当点F不与点A重合，且时，请直接写出m的取值范围． 15．（2026·辽宁丹东·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（，为常数）的图像记为，二次函数（，为常数）的图像记为，图像和图像组成新图像． (1)若点在图像上． ①的值为________； ②求函数表达式； (2)若，如图，求时图像的最高点与最低点对应的纵坐标的差； (3)当时，若点，点，点为图像上的3个点，设点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，在图像上，两点之间的部分任取一点，在，两点之间的部分任取一点（点，点均不与端点重合），若点的纵坐标总小于点的纵坐标，求的取值范围； (4)当时，图像与轴交于点，与轴交于点，连接，过点作的垂线交直线于点，直线与轴交于点，与图像交于点，若，直接写出的值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的纵坐标是3，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵点A在直线上，若点A的纵坐标是3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，证明四边形是矩形，故有，，通过勾股定理得，则有，从而求出顶点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：． 3．（2026·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的性质求点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴与的位似比为，且B的坐标为， ∴点D的坐标为，即． 4．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 5．（2026·辽宁铁岭·二模）已知点P（1－a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】a＜﹣3 【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可． 【详解】∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限， ∴， 解得a＜﹣3． 故答案为：a＜﹣3． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【详解】解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 7．（2026·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，正方形的对角线相等且互相垂直平分，据此可得． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵正方形的对角线，分别在轴和轴上， ∴， 故答案为：． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·辽宁锦州·二模）如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数与几何图形相结合的变换，勾股定理，合理从图中获取相关信息是解题的关键． 从图形变化中获取和的长，连接，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法列式运算即可． 【详解】由题图①可知，当时，，此时点与点重合， ∴， ∵是底边的中点， ∴， ∵当时，此时点E与点C重合， ∴， ∴， 如图，连接AD，则， ∴， ∴， 由题图②可知，m为函数的最小值， ∴点到的距离为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（2026·辽宁锦州·二模）物体的动能（单位：J）与物体的质量（单位：）和运动速度（单位：）有关，三者的关系为．当时，该物体的运动速度的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，熟练掌握无理数估算大小的方法是解题关键． 首先根据题意代入数值得，然后利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：当时， 代入得 （负值舍去）， ∵， ∴， ∴该物体的运动速度的值在4和5之间． 故选：B． 3．（2026·辽宁沈阳·二模）如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（    ）    A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据点P运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点P运动，可得， 设与间的距离是d， 当点P在上时，， 解得， 故选：A． 4．（2026·辽宁沈阳·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质以及解直角三角形．利用的正弦值得到的长，的正切值得到菱形对角线的一半的长是解决本题的难点．当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，即可得到的长，易得，则，当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，进而可得的长，则可得的长，根据的正切值可得和的长，则可菱形对角线的长，那么可得菱形的面积． 【详解】解：当时，，，如图： 作于点，则， ， ， ， 解得：， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 当时，点在上，运动的路程长，，如图： 作于点，则， ， ， 解得：， ， 解得：， ， 设为 ，则， ， 解得：， ， ，， ，， 菱形的面积为， 故选：B． 5．（2026·辽宁阜新·二模）函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为∶． 6．（2026·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为_________． 【答案】 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·辽宁本溪·二模）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质判断出函数的增减性是解答本题的关键．根据一次函数的性质判断出增减性即可解答． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而减小， ∵ ， ∴， 故选：C． 2．（2026·辽宁朝阳·二模）已知是一次函数图象上两个不同的点，以下判断正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合是一次函数图象上两个不同的点，可得出与异号，进而可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵是一次函数图象上两个不同的点， ∴当时，；当时，， ∴与异号，， ∴． 故选：A． 3．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积等知识，根据题意列出方程求出m的值是解题的关键．先表示出点A的坐标，继而表示出正方形的边长，求出点B的坐标从而待定系数法求出的解析式，再令，求出点E的坐标，从而得出并表示出直线与围成的阴影三角形的面积，继而列出方程解出m，从而判断，求出AE，继而求出的面积，从而判断C，继而得解． 【详解】解：依题意得：，， 当时，， ∴， ∴在正方形中，， ∴， 设直线的解析是， 将点B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析是 当时，， 即：， ∴， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为：， 解得：(舍去)， ∴m的值为2，正方形的边长是2，直线的解析式是，， ∴， ∴的面积是， ∴选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．过点作于点，求得，，，证明，求得，，利用勾股定理列式，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作于点， 将代入一次函数解析式得，， ∴点A的坐标为， 同理可得，点B的坐标为， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点C的坐标为 故选：D． 5．（2026·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是______. 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，利用与y轴正半轴相交可以判断常数项，列出一元一次不等式组，求解从而确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 故答案为：． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，坐标系中两点距离计算公式，取，过点C作交线段于D，则，可求出，，则，据此可证明的面积等于，则，故点Q在线段上（不包括端点），设，再分，三种情况利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，取，过点C作交线段于D，则 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且面积为， ∴的面积等于， ∴， ∴点Q在线段上（不包括端点）， 设， ∴，， 当时，则，解得， ∴此时点Q的坐标为； 当时，则，解得（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或， 故答案为：或． 7．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了几何作图、垂直平分线的性质、正切、坐标与图形，熟练掌握几何作图的一般步骤是解题的关键．由作图可知，，为的垂直平分线，设，结合正切值可求出点C的坐标，再根据垂直平分线的性质可求出点B的坐标，直线所在直线为，设直线解析式为，利用待定系数法可求出解析式，联立两直线求解即可得出答案． 【详解】解：由作图可知，，为的垂直平分线， ， ， 设， ， ，， ，， ， ，直线所在直线为， 设直线解析式为， ， 解得：， ， 联立， ， 点的坐标为． 故答案为：． 8．（2026·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求k的值； (2)若直线与直线的交点在x轴的上方，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一次函数的图象过点，直接将点P坐标代入即可求解； （2）由（1）可知直线的函数表达式，联立直线与直线的函数表达式解出交点坐标，再根据交点在x轴的上方即可求解出t的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象过点， ， 解得：； （2）由（1）可知：直线的表达式为：， 联立， 解得：， 直线与直线的交点坐标为， 直线与直线的交点在x轴的上方， ， , 则t的取值范围为． 9．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交一次函数的图象于点，点在一次函数的图象上，横坐标为，过点作轴的平行线交一次函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求与的值； (2)求四边形周长的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，接着求出点的坐标，代入中求出即可； （2）设，表示出点坐标，求出，，表示出四边形的周长，再根据的取值范围计算即可； 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， ， 把点代入中， ， ． （2）由（1）可得：， 轴，轴，轴，点在上，点在上， 设， 点的纵坐标为，横坐标为， ， ，， ， ， 当时，四边形的周长最小， 四边形的最小周长为． 10．（2026·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与经过点，的直线相交于点． (1)求点的坐标． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，将、代入，求得直线解析式为；联立两直线方程，解方程组得交点坐标为； （2）由点在线段上，得；根据点在直线上，分别表示，，化简得．根据，可得随着m的增大而增大，故时取最小值． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴E点坐标为； （2）解：当时，代入得， ∴B点坐标为， ∵点在线段上， ， ∵点在直线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴的值随着m的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最小值， 的最小值为． 11．（2026·辽宁铁岭·二模）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 12.（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线绕点C逆时针旋转，得到直线，若在直线上有一点． (1)求的度数； (2)D是线段上一点，连接交于点E，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 【分析】（1）解法一：如图1，过点A作轴于点M，先求得，，则，分别求得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形得到，进而可得； 解法二：如图1，连接，利用两点坐标距离公式得到，利用勾股定理的逆定理可得； （2）解法一：先求得直线表达式为．如图2，过点E作轴于点F，则，求得，利用锐角三角函数得到，结合已知得到．设，则，进而求得即可解答； 解法二：设C到边上的高为h，由已知得，则，易得直线表达式为，设，则，将点E的坐标代入中求得即可解答； 解法三：如图4，过点D作轴，交于点H，易得直线的表达式为，设，则，证明，由可得，进而求得即可解答． 【详解】（1）解法一：如图1，过点A作轴于点M， ∵与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点A的坐标， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． [一题多解法] 解法二：如图1，连接，易求，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且； （2）解法一：由题意，直线经过点A、点C， 设直线表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线表达式为． 如图2，过点E作轴于点F，则，由（1）知是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，∴． 设，则， 解得（负值已舍去），代入得， ∴点D的坐标为． [一题多解法] 解法二：设C到边上的高为h， ∵， ∴， ∴， ∴， 易得直线表达式为， 设，则， 将点E的坐标代入中，得，解得， ∴点D的坐标为． 解法三：如图4，过点D作轴，交于点H， 易得直线的表达式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴点D的坐标为． 13．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，过点C作轴交直线于点D． (1)求证：是的角平分线； (2)点在y轴上，且点M在点B的上方，点N在线段上，，当面积最大时，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，证明，即可求得，即可解答； （2）根据题意可得，，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， 当时，， ， 当时，， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 点在的平分线上，即是的角平分线； （2）解：根据题意可得， ， ， ， 点N在线段上， ，解得， ∴当时，取到最大值． 14．（2026·辽宁鞍山·二模）将一个放置在平面直角坐标系中，其中，点的坐标为，点在边上（不与点，重合），作直线交轴于点，点关于直线的对应点为，连接，． (1)如图1，当四边形是菱形时，求直线的解析式； (2)如图2，当点落在轴上时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，进而得到∴，求出点坐标，则待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线的解析式，设，根据列方程求出，则面积可求. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，即：，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∴解得：， 即：； （2）解：设， ∵， ∴解得：， ∴， ∵点在上， ∴设， ∵点关于直线的对应点为，点落在轴上， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴即：， 解得：， 即：， ∴. 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·辽宁盘锦·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数和一次函数图象的特点，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； B、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项错误； C、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项正确； D、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； 故选：C． 2．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点，在函数的图象上，点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．直线沿轴方向平移，当四边形与直线有交点时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点坐标求出和值，进一步发现当四边形与直线有交点，通过两个极端值为即可求出的取值范围． 【详解】点在反比例函数上，， ，， ， ， ， 当四边形与直线有交点时，两个极端值为， 把点，点代入得， ， ， ， ， 则的取值范围是． 3．（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标，折叠的性质等知识，由矩形的性质得到，，，由的图象经过点，求出点，得到，由折叠可得，，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵的图象经过点， ∴当时，， ∴点， ∴， 由折叠可得：，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴点， 故选：C． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入反比例函数解析式可求出的值，确定反比例函数表达式．因为矩形对角线互相平分，点是中点，所以利用中点坐标公式可求出平移前点的坐标．因为矩形向左平移时点的纵坐标不变，将纵坐标代入反比例函数解析式求出平移后点的横坐标．根据平移距离等于平移前点的横坐标减去平移后点的横坐标，计算即可． 【详解】反比例函数过点，代入得， ∴反比例函数为． ∵矩形对角线互相平分， ∴E是的中点，，的坐标分别为，． ∴点E的横坐标为：，纵坐标为：． 矩形向左平移时，点的纵坐标不变，仍为． 将代入反比例函数， ∴平移后的横坐标． 平移距离． 5．（2026·辽宁锦州·二模）科技小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，图1是密度计浸在某种液体中的示意图．已知该密度计竖直漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图2所示（）．当此密度计浸在某种液体中的高度为时，该液体的密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出h与ρ之间的函数关系式，再将代入计算即可． 【详解】解：设h与ρ之间的函数关系式为（k为常数，且）， 将坐标代入上式，得，解得， 与ρ之间的函数关系式为， 当时，． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过的顶点，点在轴的负半轴上，若点的坐标是，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由题意易得，点到轴的距离为，到轴的距离为，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标是， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，即， ∵在反比例函数图象上， ∴． 7．（2026·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（，）的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】作轴，轴，根据题意证明，然后根据正方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，垂足分别为，． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形． ∴设，，， ∵， ∴， 解得：． ∴， ∴A点坐标为， 将代入， 得． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，点在第一象限，，，若点在反比例函数图象上，则的值为_____． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作交的延长线于点，证明，则，又，所以，，求出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点， 设点的坐标为， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由得，代入得， 解得，经检验是原方程的解， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，点，分别为，的中点，连接，，，若的面积为，则的值为_________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据轴、轴，可得、，结合、是中点，可得、、、，用割补法可得的面积，根据的面积为3建立方程，求解即可． 【详解】解：由图可知，在第四象限， 设点坐标为，则，， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10.（2026·辽宁大连·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段与y轴相交于点D，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)求证：． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）将点代入，得，故反比例函数为；再代入得，即．将、代入一次函数，列方程组解得，，得表达式； （2）不等式的解集，对应反比例函数图象在一次函数上方的范围．结合交点、，得解集为或； （3）点右移4个单位得，由轴得，再求出和即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点和点代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将点向右平移个单位长度后得到点，且点， ∴点的坐标为，即， ∵线段与轴相交于点，且点，点， ∴平行于轴， ∴点的纵坐标与、的纵坐标相同，为，横坐标为，即， ∴；， ∴． 11．（2026·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Р的坐标为或或或 【分析】（1）把点坐标代入求得值即可； （2）根据（1）中反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，设一次函数与轴交于点，求得，最后利用即可得到答案； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时，利用两点坐标求两点距离的公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； 设一次函数与轴交于点，如图， 对于，当时，， ， ， ，， 的面积为． （3）解：点在轴上， ①当时，如图所示， ， ， ， 点的坐标为或； ②当时，如图所示， 设点， ，由①可知， ， 解得或（不合题意，舍去） 点的坐标为； ③当时，如图所示， 设点， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点Р的坐标为或或或． 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·辽宁鞍山·二模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质、反比例函数的图象及性质、二次函数的图象及性质，掌握这些函数的图象及性质是解题的关键． 利用关于轴对称，判定选项A和C是错误的；利用，得出在轴的左边，随的增大而减小，判定选项B是错误的；从而得出正确的选项是D． 【详解】解： ，， ∴关于轴对称， ∵，在同一个函数图象上， ∴该函数图象关于轴对称，因此选项A和C是错误的； ∵，在同一个函数图象上，且， ∴在轴的左边，随的增大而减小，因此选项B是错误的； 正确的选项是D． 故选：D． 3．（2026·辽宁大连·二模）当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 4．（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 5．（2026·辽宁营口·二模）如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 【详解】解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由、重合可得，解得，再将代入到抛物线的表达式即可求解； （3）利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴和顶点坐标，由抛物线的顶点在图象上，可得出图象的最低点的纵坐标，再分两种情况讨论：①点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，②点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，表示出对应的最高点的纵坐标，即可求出与之间的关系式． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴将，代入到抛物线得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵、重合， ∴， 解得， ∴， 将代入到抛物线的表达式得， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在图象上， ∴图象的最低点的纵坐标为，且点、在抛物线的对称轴的两侧， ①若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ②若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ∴与之间的关系式为． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据题意，先得出对应的顶点坐标和点坐标，由顶点式即可得出结果； （2）先得出移动后的函数表达式，由点，坐标即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可判断，抛物线顶点坐标为，， 令抛物线的函数表达式为， 将点代入 ， 得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：令移动米后得抛物线表达式为， 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 综上，的取值范围为． 8．（2026·辽宁丹东·二模）综合实践： 【问题背景】某市体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．小李同学为了在体育考试实心球项目取得满分进行投掷实心球训练． 【建系分析】若实心球的运行路线近似看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，他某次投掷实心球的路线为抛物线的一部分，x（单位：m）为实心球运行时距离抛出点A的水平距离，y（单位：m）为实心球运行时距离地面的高度，已知抛出点A距离地面高度（即的长）为，实心球落地点距离抛出点的水平距离（即的长度）为． 【问题解决】 (1)求b，c的值； (2)小李同学为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高抛出点来提高成绩（抛出的实心球运行路线的形状和对称轴都完全不变）．若小李同学刚好能得到满分，则求此时抛出点距地面的高度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出点A，B坐标，利用待定系数法求解； （2）由（1）中结论得出原抛物线的解析式，化为顶点式，根据新路线的形状和对称轴都完全不变，设出新抛物线解析式，求出新抛物线与y轴的交点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 代入得：， 解得； （2）解：由（1）中结论得，原抛物线的解析式为， 抛出的实心球运行路线的形状和对称轴都完全不变， 设新抛物线解析式为， 若小李同学刚好能得到满分，则抛物线经过点， 将代入，得：， 解得， 新抛物线解析式为， 当时，， 即此时抛出点距地面的高度为． 9．（2026·辽宁本溪·二模）【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 (1)求函数的“最优虹桥值”； (2)若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 【答案】(1)函数（）的“最优虹桥值”为 (2) 【分析】（1）设函数的“虹桥值”为，求出，再结合反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）设二次函数的“虹桥值”为，求出，再结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设函数的“虹桥值”为， ∴． ， ∴当时，随的增大而减小． ， 当，最大， 函数的“最优虹桥值”为． （2）解：设二次函数的“虹桥值”为， ∴ ， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小， ， 当时，最大， ． 10．（2026·辽宁营口·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的3倍，我们称这个点为“映射点”，例如：就是“映射点”；若二次函数图象的顶点为“映射点”，则称这个二次函数为“映射二次函数”，例如：二次函数就是“映射二次函数”． (1)求直线上的“映射点”坐标． (2)若二次函数是“映射二次函数”，点，是平面直角坐标系中的两点，连接，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，且不与点重合，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围； ③当时，这个“映射二次函数”的最大值和最小值的差为5，求的值． 【答案】(1)(1,3) (2)①；②或；③或 【分析】（1）设直线的“映射点”坐标为，代入解析式，即可求解； （2）①根据新定义可得顶点坐标为，依据“映射点”的定义得，根据解析式求得顶点，设，且，则，分别求得，根据，分类讨论表示出，即可求解； ②分两种情况讨论，当在上时，可得；分别计算，时的函数值，即可得出的范围； ③分三种情况讨论，(Ⅰ)当时；(Ⅱ)当时；(Ⅲ)当时，根据最大值和最小值的差为5，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设直线的“映射点”坐标为 把代入中，得   “映射点”坐标为； （2）解：二次函数是“映射二次函数”，且顶点坐标为， 依据“映射点”的定义得：，解得：， ∴该二次函数的表达式为， ①点，，当时，得：，， 抛物线的对称轴为直线与交于点； ， 设，且，则， ，， ， 当时，； 当时，； 综上所述，； ②依题意，为：，， ∵， ∴抛物线的顶点为， 情形一：当在上时，，此时线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点 情形二：当时，，当时，， ∴当线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点时，． 综上所述，或． ③∵“映射二次函数”，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， (Ⅰ)当时， 时，取得最小值，时，取得最大值， ∴  ， ∴符合题意； (Ⅱ)当时， 时，取得最大值，时，取得最小值， ， 符合题意， (Ⅲ)当时， 最小值， 若，时，取得最大值， ∴， ， (两个值均不合题意，舍去)， 若，时，取得最大值， ∴， ，  (两个值均不合题意，舍去)， 综上所述，的值为或． 11．（2026·辽宁铁岭·二模）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3)在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）先求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意和翻折性质求解即可； ②先求得，再求得直线的表达式，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，，则，可得，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得“上翻折函数”的表达式为，可画出草图，分别求得临界点时的 k值，根据图形可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴点，点，， 将点A、B、C坐标代入中， 得，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：①当，“下翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为． 根据x的取值，得到不同范围下，“下翻折函数”的表达式 综上所述，“下翻折函数”的表达式为； ②∵，且即， ∴将代入中，得， ∴， 设直线的表达式，则，解得， ∴直线的表达式， 如图2，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，， 则， 又∵点N在直线上， ∴将代入， 可得， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：或． 如图2，画出草图，当时，“上翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，点，点， 设二次函数的表达式为，得，解得， ∴二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为； ∴“上翻折函数”的表达式为， ①当与“第2段”相切时有两个交点，联立， 整理，得， 则，解得，此时直线与段也有一个交点； ②当与点C重合时，仅有一个交点，将点代入中，解得； ③当经过点时，解得，此时恰好也过点，与图象有三个交点． 综上所述，或． 12．（2026·辽宁鞍山·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的表达式及的值； (2)若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 【答案】(1)抛物线的表达式为；； (2)四边形是平行四边形，证明见解析； (3)①点P的坐标为；②的最小值为． 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式，代入点求解a，再展开为一般式；再将点代入表达式求n． （2）先求点B、C的坐标，计算四边形各边长度，通过对边相等判定平行四边形． （3）①设点，利用距离公式表示和，根据列方程求解m． ②利用中位线定理将转化为，作点C关于对称轴的对称点，当B、P、共线时，最小． 【详解】（1）设抛物线的顶点式为（因顶点为）． 将点代入得：； 化简得，解得． 因此，抛物线的表达式为，展开为． 点在抛物线上， 将代入得：． （2）由（1）知抛物线解析式为． 当时，，故； 当时，，故． ， ， ， ． 因为且， 所以四边形是平行四边形． （3）①设， 由得，即：； 解得． 因此，点P的坐标为． ②因为E，F，G分别是，，的中点， 所以，， 所以． 作点关于对称轴的对称点， 连接交对称轴于点P，如图， 此时最小，最小值为的长． 所以； 因此，的最小值为． 13．（2026·辽宁朝阳·二模）周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，）．现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为____________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；② 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②可证明四边形是平行四边形，则，即直线与抛物线要有两个不同的交点，求出直线恰好经过点P和直线与抛物线恰好只有一个交点时点N的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即直线与抛物线要有两个不同的交点， ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 在中， 当时，， ∴， 当直线恰好经过点时， 则， 解得， ∴此时设直线的解析式为， 联立 得， 解得或， ∴此时点N的横坐标为； 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 联立 得， 即， ∴， 解得， ∴方程 即为方程， 解得， ∴此时点N的横坐标为； 综上所述，． 14．（2026·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，点P是二次函数的图象上一点，且在对称轴右侧，在直线上方，点D是点B关于y轴的对称点，连接交二次函数图象的对称轴于点E，当时，求点P的坐标； (3)如图2，将二次函数的图象沿着射线的方向平移，平移后的二次函数图象与x轴的两个交点中，右边的交点为点F，连接，．设平移后的二次函数图象的对称轴为直线，当点F不与点A重合，且时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）将、代入求解即可； （2）令，求出，根据轴对称的性质得到，求出二次函数对称轴，可知E点横坐标为1，根据可知P、D关于点E对称，设，根据中点坐标公式计算即可； （3）先求出原二次函数顶点及对称轴，得到顶点横坐标平移的单位，根据，得到直线上点的平移规律，可知顶点纵坐标平移的单位，进而可知平移后抛物线的顶点式为：，求出右交点的坐标为，令，根据可知，进而求出，设，则，，得到，求出，则，进而得到，再根据不与重合得到即可． 【详解】（1）解：将、代入得， 解得：， ∴因此二次函数表达式为：； （2）解：令，则，解得：， ∴， ∵点D是点B关于y轴的对称点， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴E点横坐标为1， ∵， ∴P、D关于点E对称， 设， 则， 解得， ∴， 即； （3）解：原二次函数配方得顶点式：，即原顶点为，原对称轴为直线， ∵平移后的二次函数图象的对称轴为直线， ∴平移后顶点横坐标为m， ∴顶点横坐标平移了个单位， ∵，， ∴B向左平移3个单位，向下平移个单位得到点C， 即在直线上，点每向左平移1个单位，向下平移个单位， ∵沿着射线的方向平移， ∴顶点纵坐标平移了个单位， 即平移后顶点纵坐标为， ∴平移后抛物线的顶点式为：， 令， 即， ∵要存在两个交点， ∴， 解得， 解得， 即右交点的坐标为， 令 ∵，，、都在轴上， ∴， ∵， ∴， 即， 可知， 设， 则，， ∴ 解得，则； 解得（舍去）或； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不与重合， ∴， 解得：（舍去），， 即， ∴， 即， 综上所述，且． 15．（2026·辽宁丹东·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（，为常数）的图像记为，二次函数（，为常数）的图像记为，图像和图像组成新图像． (1)若点在图像上． ①的值为________； ②求函数表达式； (2)若，如图，求时图像的最高点与最低点对应的纵坐标的差； (3)当时，若点，点，点为图像上的3个点，设点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，在图像上，两点之间的部分任取一点，在，两点之间的部分任取一点（点，点均不与端点重合），若点的纵坐标总小于点的纵坐标，求的取值范围； (4)当时，图像与轴交于点，与轴交于点，连接，过点作的垂线交直线于点，直线与轴交于点，与图像交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4)或或 【分析】（1）①将点代入即可求出；②将代入即可求出的解析式； （2）先将当时，与的解析式求出，结合图象找到当时图像的最高点与最低点即可； （3）先将当时，的解析式求出，因为图像开口朝下，所以横坐标越靠近直线，对应的纵坐标就越大，当点也在直线左侧时，全部符合题意，当点在直线右侧时，此时只需要让点到直线的距离小于等于点到直线的距离即可； （4）先根据题意求出，，，，，过点作轴，可证明，得出，从而求出，当点在轴下方时，，；当点在轴上方时，，，两种情况都利用，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在图像上， 将点代入得：， ∴； ②当时，， ∴． （2）解：当时，， ， ∴关于直线对称， 关于直线对称， 又∵， ∴当时图像的最高点与最低点，如图所示： 当时，，即为图像的最高点， 当时，，即为图像的最低点， ∴图像的最高点与最低点对应的纵坐标的差为． （3）解：当时，， ∴关于直线对称， ∵点，点，点为图像上的3个点，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，即， ∴， ∴点，点在直线的左侧， ∵图像开口朝下， ∴横坐标越靠近直线，对应的纵坐标就越大， 当点也在直线左侧时，即，解得：，如图所示： 此时在，两点之间的部分离直线更近，可以使得点的纵坐标总小于点的纵坐标， ∴符合题意， 当点在直线右侧时，即，解得：， 此时只需要让点到直线的距离小于等于点到直线的距离即可，如图所示： ∴，解得：， 综上：． （4）解：∵， ∴令，得：，解得：或， ∵， ∴， ∴， 令，得：， ∴， ∵直线与轴交于点，与图像交于点， ∴，， 过点作轴， ∵点在直线上， ∴点横坐标为，即， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 当点在轴下方时，如图所示： ∴，， ∵， ∴，整理得：，解得：或， 当点在轴上方时，如图所示： ∴，， ∵， ∴，整理得：，解得：（舍去）或， 综上：的值为或或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $