专题02 方程（组）与不等式（组）（4大考点）（辽宁专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 以方程与不等式为核心，融合《九章算术》等传统文化素材与航天、新能源等现实情境，精选辽宁多地2026年二模试题，注重数学建模与实际应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择|20+|一次方程（组）解法、一元二次方程根的判别式|古代数学问题（如“河上荡杯”）与现代生活（如节能汽车费用）结合| |填空|8+|分式方程求解、不等式组解集|融入二阶行列式等创新形式| |解答|12+|方程（组）应用题、不等式组实际应用|综合题（如校园手工社团人员安排、航天纪念品销售）考查建模能力|

专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一次方程（组）及其解法及应用 考点02一元二次方程及其解法及应用 考点03分式方程（组）及其解法及应用 考点04一元一次不等式（组）及其解法及应用 一次方程（组）及其解法及应用 考点01 1．（2026·辽宁丹东·二模）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出三种碗的数量，根据总碗数为65只列出方程即可． 【详解】解：∵设来了位客人， 又∵客人每两位合用一只饭碗， 饭碗总数为只； ∵每三位合用一只汤碗， 汤碗总数为只； ∵每四位合用一只肉碗， 肉碗总数为只； ∵总碗数是65只，即三种碗的数量和为65， 可列方程 ． 2．（2026·辽宁阜新·二模）《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设人数为，根据每人出钱，会多4钱可得琎石的价格为元，根据每人出钱，又差3钱可得琎石的价格为元，据此列出方程即可得到答案． 【详解】解：设人数为， 由题意得，， 故选：A． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）《九章算术》卷七“盈不足”中（一四）题：“今有大器五，小器一容三斛；大器一，小器五容二斛，问大，小器各容几何？”其译文是：“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛．问大容器，小容器的容积各是多少？”如果设大容器容积为斛，小容器容积为斛，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组，理解题意找准等量关系是解题关键． 【详解】解：设大容器容积为斛，小容器容积为斛， ∵ 5个大容器，1个小容器总容量为3斛， ∴ ， ∵ 1个大容器，5个小容器总容量为2斛， ∴ ， 因此可得方程组． 4．（2026·辽宁沈阳·二模）《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合绳子折成三等份、四等份时与井深的数量关系，找出两个等量关系来列方程组即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺， ∵将绳子折成三等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多4尺， ∴， ∵将绳子折成四等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多1尺， ∴， ∴可列方程组为． 5．（2026·辽宁营口·二模）某段旋律由若干个四分音符和八分音符构成，每个四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为16拍，其中四分音符的个数比八分音符的个数多1．设该段旋律中四分音符的个数为，八分音符的个数为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四分音符的个数为x，八分音符的个数为y． 由题意得． 6．（2026·辽宁朝阳·二模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 8．（2026·辽宁锦州·二模）我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为__________． 【答案】1 【分析】根据二阶行列式的运算法则，将已知等式转化为关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解： 根据运算法则可得 化简得 合并同类项得 系数化为得． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 【答案】(1)应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结 (2)至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务 【分析】（1）设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人，根据“两种中国结同时完成”列分式方程求解即可； （2）设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结，先列方程求得完成A种中国结任务的学生人数m，再根据题意，得到n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人， 根据题意，可列，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴编制B种中国结的有（人）， 答：应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结； （2）解：设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结， 老师的编制速度为A种每人每小时2个，B种每人每小时4个， A种任务：，整理得，解得， 即16位同学参与A种任务，剩余位同学参与B种任务； B种任务：n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个， 则，整理得，解得， 答：至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务． 10．（2026·辽宁本溪·二模）某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)款纪念品每件元，款纪念品每件元 (2)共有种购买方案 【分析】（1）设款纪念品每件元，则款纪念品每件元，根据题意，列分式方程求解即可； （2）设购买种纪念品件，购买种纪念品件，根据题意，列二元一次方程讨论求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品每件元，则款纪念品每件元， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：款纪念品每件元，款纪念品每件元； （2）解：设购买种纪念品件，购买种纪念品件， ， ， ，是正整数， 或或， 答：共有种购买方案． 11．（2026·辽宁锦州·二模）综合与实践 项目主题 均衡膳食  科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 (1)若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； (2)维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 【答案】(1)这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份 (2)共有2种运动方案，方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼；方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼 【分析】（1）设这份早餐中蛋清x份，燕麦y份，列方程组解答即可； （2）设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼，根据题意列方程，然后写出所有符合题意的结果即可． 【详解】（1）解：设这份早餐需要蛋清x份，燕麦y份． 根据题意，得 解得： 答：这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份． （2）解：设用a组开合跳，b组仰卧起坐来进行日常锻炼， 根据题意，得 ． ， a，b均为正整数， 或， 共有2种运动方案， 方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼； 方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼． 一元二次方程及其解法及应用 考点02 1．（2026·辽宁大连·二模）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ， ∴， ∴方程无实数根． 2．（2026·辽宁鞍山·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 3．（2026·辽宁锦州·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，根据，即可判断根的情况． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．（2026·辽宁阜新·二模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得． 故选：D． 5．（2026·辽宁沈阳·二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：A、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； B、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意； C、∵，∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、∵，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意． 故选：C． 6．（2026·辽宁本溪·二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 7．（2026·辽宁鞍山·二模）若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】13 【分析】根据方程的根的定义，将代入原方程可得的值，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴， ∴． 8．（2026·辽宁丹东·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为9． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【详解】由题意可知：， ∴， ∵， ∴且， 故答案为：且． 10．（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【详解】（1）解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 11．（2026·辽宁沈阳·二模）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； (2)不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 分式方程（组）及其解法及应用 考点03 1．（2026·辽宁铁岭·二模）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以即可求解． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ． 故选D． 2．（2026·辽宁沈阳·二模）解分式方程时，去分母后变形为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程， 两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1）， 故选D． 3．（2026·辽宁大连·二模）九年级师生去距学校的某红色教育基地参观学习，一部分师生乘慢车先走，过了后，其余师生乘快车出发，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度．设慢车的速度为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出慢车和快车走完全程的时间，再根据两车的时间差列出方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）我国古代数学著作《九章算术》里有“猎犬逐兔”问题：今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？其大意是：现有一只兔子先走了100步，一只狗随后开始追兔子，追了250步没有追到兔子，在距离兔子30步远的地方停了下来，请问，如果狗不停下来，那么需要再跑多少步可以追到兔子？设狗再跑x步就能追上兔子，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，根据相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定列方程即可． 【详解】解：∵相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定， ∴狗跑250步时，兔子跑了步，因此速度比为， 设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，因此速度比也可表示为， ∴可列方程． 5．（2026·辽宁阜新·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）分式方程的解是_________． 【答案】 【分析】按照解分式方程的步骤，先将原分式方程去分母化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为得 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 7．（2026·辽宁营口·二模）若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为，得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解： 去分母得， 解得： 依题意，，且 ∴且 8．（2026·辽宁沈阳·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样同样加工个零件就少用小时．求采用新工艺后每小时加工多少个零件？ 【答案】采用新工艺后每小时加工39个零件． 【分析】设采用新工艺前每小时加工个零件，则新工艺后每小时加工个零件，根据加工相同数量零件的时间差为10小时，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工个零件，则采用新工艺后每小时加工个零件． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，符合题意， 则， 答：采用新工艺后每小时加工39个零件． 9．（2026·辽宁朝阳·二模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． (1)求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ (2)某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 【答案】(1)完全用电行驶每千米的费用是元 (2)汽车至少需要完全用电行驶千米 【分析】（1）设完全用电行驶每千米的费用是元，则完全用油行驶每千米的费用是元，根据相同路程下用油的费用为元，用电的费用为元建立方程求解即可； （2）求出甲地与乙地的距离为千米，设用电行驶千米，则用油行驶千米，再根据总费用不超过元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设完全用电行驶每千米的费用是元，则完全用油行驶每千米的费用是元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，，且符合题意， 是原方程的解， 答：完全用电行驶每千米的费用是元； （2）解：（千米）， 甲地到乙地的距离为千米， 设用电行驶千米，则用油行驶千米， 由题意得，， ， 汽车至少需要用电行驶82千米． 10．（2026·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验． （1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过80天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设计划每天挖掘米，根据题意，得 ，， 解得． 经检验是原方程的根． 实际每天挖掘为米． 答：实际每天挖掘6米． （2）解：设每天应多挖掘米，根据题意得， 解得． 答：至少每天应多挖掘2米． 一元一次不等式（组）及其解法及应用 考点04 1．（2026·辽宁锦州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B． C．   D． 【答案】B 【分析】此题考查的是不等式的解集在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线； 掌握其方法是解决此题的关键； 求得不等式的解集，将不等式的解集在数轴上表示出来就可判定答案了． 【详解】解：解不等式 得，， 将它的解集在数轴上表示如下： ， 故答案为：B． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识，正确解该不等式组是解题关键．分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后将其表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， ∴该不等式的解集为 ， 将其表示在数轴上如图所示： 故选：B． 3．（2026·辽宁本溪·二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解不等式和在数轴上表示不等式的解集，求出不等式的解集，把解集表示在数轴上即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解集在数轴上表示如图， 故选A． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点、不包含用空心点是解题的关键． 根据不等式的解集即可解答． 【详解】 解：在数轴上表示不等式的解集为． 故选：A． 5．（2026·辽宁大连·二模）不等式组的解集为_______ 【答案】 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 所以不等式组的解集为． 6．（2026·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为_________． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 7．（2026·辽宁本溪·二模）计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算零指数幂、立方根、特殊角的三角函数值、去绝对值，再由二次根式乘法及加减运算计算即可； （2）先分别解不等式组中的各个不等式，再由大小小大取中间即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得； 解不等式②得， 将不等式①②的解集在数轴上表示如下： ∴原不等式组的解集为． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）某玩具店销售甲、乙两种汽车模型，该玩具店两次采购汽车模型情况如下： 次数 购进数量 采购费用 甲种汽车模型 乙种汽车模型 第一次 4件 5件 620 第二次 2件 6件 520 (1)求甲、乙两种汽车模型的采购单价； (2)该玩具店准备了1400元用于再采购这两种汽车模型共20件，求甲种汽车模型最多能采购多少件？ 【答案】(1)甲种汽车模型采购单价为80元，乙种汽车模型采购单价为60元． (2)甲种汽车模型最多能采购10件． 【分析】（1）设甲种汽车模型采购单价为元，乙种汽车模型采购单价为元，根据表格列出方程组并解方程组即可； （2）设甲种汽车模型能采购件，则乙种汽车模型能采购件，根据玩具店准备了1400元用于再采购这两种汽车模型共20件列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种汽车模型采购单价为元，乙种汽车模型采购单价为元，则 解得 答：甲种汽车模型采购单价为80元，乙种汽车模型采购单价为60元． （2）设甲种汽车模型能采购件，则乙种汽车模型能采购件， 则． 解得 即甲种汽车模型最多能采购10件． 9．（2026·辽宁丹东·二模）为丰富校园文化生活，落实阳光体育教育，增强全体学生体能，某校开展特色大课间活动．学校需要统一购买一批排球和跳绳作为运动设备，已知购进1个排球和3根跳绳共花费60元，购进2个排球和1根跳绳共花费70元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)学校现需购进这两种运动设备共100个，并且购买费用不超过2200元，则最多购买多少个排球？ 【答案】(1)排球单价为30元，跳绳单价为10元 (2)最多购买60个排球 【分析】（1）设出排球和跳绳的单价，根据题干给出的两种购买花费列出二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设出购买排球的数量，结合总数量和总费用的限制列出一元一次不等式，求解得到最大整数解即可得到结果． 【详解】（1）解：设排球单价为元，跳绳单价为元 根据题意可得 解得 答：排球单价为30元，跳绳单价为10元； （2）解：设购买排球个，则购买跳绳个 根据题意可得， 解得 答：最多购买60个排球． 10．（2026·辽宁大连·二模）某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． (1)求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ (2)若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 【答案】(1)A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元 (2)该公司至少要采购5台A型电脑 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用．解题关键在于准确找出题目中的等量关系和不等关系，通过合理设未知数，列出方程组和不等式，进而求解得出答案． （1）已知两种不同的采购组合及对应的花费，通过设未知数，利用这两个等量关系列出二元一次方程组．方程组中表示“1台型电脑和2台型电脑花费万元” ，表示“3台型电脑和1台型电脑花费万元” ．然后通过解方程组得出、两种型号电脑的单价． （2）已知要采购两种电脑共台，设采购型电脑台，则采购型电脑台．根据“总费用不超过万元”这一不等关系列出一元一次不等式．不等式左边表示采购、两种电脑的总费用，通过解不等式得出的取值范围，进而得到型电脑最少的采购数量． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电脑每台的售价分别为万元和万元． 解得． 答：A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元． （2）解：设该公司要采购A型电脑a台． ． 解得． 答：该公司至少要采购5台A型电脑． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 一次方程（组）及其解法及应用 考点01 1．A 2．A 3．A 4．A 5．C 6．A 7．A 8．1 9．(1)应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结 (2)至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务 10．(1)款纪念品每件元，款纪念品每件元 (2)共有种购买方案 11．(1)这份早餐需要蛋清2份，燕麦1份 (2)共有2种运动方案，方案1：用5组开合跳，10组仰卧起坐来进行日常锻炼；方案2：用10组开合跳，4组仰卧起坐来进行日常锻炼 一元二次方程及其解法及应用 考点02 1．D 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．13 8．9 9．且 10．(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 11．(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； (2)不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 分式方程（组）及其解法及应用 考点03 1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6． 7．且 8．采用新工艺后每小时加工39个零件． 9．(1)完全用电行驶每千米的费用是元 (2)汽车至少需要完全用电行驶千米 10．(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 一元一次不等式（组）及其解法及应用 考点04 1．B 2．B 3．A 4．A 5． 6． 7．(1) (2) 8．(1)甲种汽车模型采购单价为80元，乙种汽车模型采购单价为60元． (2)甲种汽车模型最多能采购10件． 9．(1)排球单价为30元，跳绳单价为10元 (2)最多购买60个排球 10．(1)A、B两种型号电脑每台的售价分别为0.32万元和0.5万元 (2)该公司至少要采购5台A型电脑 2/3 3/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一次方程（组）及其解法及应用 考点02一元二次方程及其解法及应用 考点03分式方程（组）及其解法及应用 考点04一元一次不等式（组）及其解法及应用 一次方程（组）及其解法及应用 考点01 1．（2026·辽宁丹东·二模）中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁阜新·二模）《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱，问人数和进价各是多少？设人数为，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）《九章算术》卷七“盈不足”中（一四）题：“今有大器五，小器一容三斛；大器一，小器五容二斛，问大，小器各容几何？”其译文是：“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛．问大容器，小容器的容积各是多少？”如果设大容器容积为斛，小容器容积为斛，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁沈阳·二模）《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁营口·二模）某段旋律由若干个四分音符和八分音符构成，每个四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为16拍，其中四分音符的个数比八分音符的个数多1．设该段旋律中四分音符的个数为，八分音符的个数为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁朝阳·二模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁铁岭·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁锦州·二模）我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为__________． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 10．（2026·辽宁本溪·二模）某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 11．（2026·辽宁锦州·二模）综合与实践 项目主题 均衡膳食  科学运动 项目背景 健康生活，既要均衡膳食，也要坚持运动．某校数学兴趣小组的同学们计划查阅资料，利用所学知识，为同学们提供科学的膳食搭配参考与合理的运动建议． 项目资料1 表1：食材营养含量表 食材 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 项目资料2 表2：常见运动热量消耗 运动项目 热量消耗 1组开合跳 30千卡 1组仰卧起坐 25千卡 项目任务 (1)若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）制成．其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共．求这份早餐需要的蛋清和燕麦的份数； (2)维持身体热量平衡，合理饮食与适量运动缺一不可．结合青少年健康成长规律，初中生除日常基础消耗外，还需要通过运动消耗400千卡热量．若用开合跳和仰卧起坐两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和仰卧起坐两种运动） 一元二次方程及其解法及应用 考点02 1．（2026·辽宁大连·二模）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．（2026·辽宁鞍山·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 3．（2026·辽宁锦州·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（2026·辽宁阜新·二模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁沈阳·二模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁本溪·二模）南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁鞍山·二模）若是方程的一个根，则的值为__________． 8．（2026·辽宁丹东·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 9．（2026·辽宁铁岭·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 10．（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 11．（2026·辽宁沈阳·二模）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 分式方程（组）及其解法及应用 考点03 1．（2026·辽宁铁岭·二模）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁沈阳·二模）解分式方程时，去分母后变形为 A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·二模）九年级师生去距学校的某红色教育基地参观学习，一部分师生乘慢车先走，过了后，其余师生乘快车出发，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度．设慢车的速度为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）我国古代数学著作《九章算术》里有“猎犬逐兔”问题：今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？其大意是：现有一只兔子先走了100步，一只狗随后开始追兔子，追了250步没有追到兔子，在距离兔子30步远的地方停了下来，请问，如果狗不停下来，那么需要再跑多少步可以追到兔子？设狗再跑x步就能追上兔子，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁阜新·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁铁岭·二模）分式方程的解是_________． 7．（2026·辽宁营口·二模）若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 8．（2026·辽宁沈阳·二模）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样同样加工个零件就少用小时．求采用新工艺后每小时加工多少个零件？ 9．（2026·辽宁朝阳·二模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以完全用油动力行驶，也可以完全用电动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油动力行驶则费用为91元；若完全用电动力行驶，则费用为21元，已知用油行驶每千米的费用比用电行驶的费用多0.5元． (1)求完全用电行驶每千米的费用是多少元？ (2)某司机采用油电混合动力从甲地行驶到乙地，若所需费用不超过50元，则汽车至少需要用电行驶多少千米？ 10．（2026·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 一元一次不等式（组）及其解法及应用 考点04 1．（2026·辽宁锦州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B． C．   D． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁本溪·二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁鞍山·二模）在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁大连·二模）不等式组的解集为_______ 6．（2026·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为_________． 7．（2026·辽宁本溪·二模）计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）某玩具店销售甲、乙两种汽车模型，该玩具店两次采购汽车模型情况如下： 次数 购进数量 采购费用 甲种汽车模型 乙种汽车模型 第一次 4件 5件 620 第二次 2件 6件 520 (1)求甲、乙两种汽车模型的采购单价； (2)该玩具店准备了1400元用于再采购这两种汽车模型共20件，求甲种汽车模型最多能采购多少件？ 9．（2026·辽宁丹东·二模）为丰富校园文化生活，落实阳光体育教育，增强全体学生体能，某校开展特色大课间活动．学校需要统一购买一批排球和跳绳作为运动设备，已知购进1个排球和3根跳绳共花费60元，购进2个排球和1根跳绳共花费70元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)学校现需购进这两种运动设备共100个，并且购买费用不超过2200元，则最多购买多少个排球？ 10．（2026·辽宁大连·二模）某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元． (1)求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ (2)若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $