1.2 等腰三角形 课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形“等边对等角”“三线合一”及等边三角形性质，通过埃及金字塔等现实情境导入，回顾旧知后引导证明，搭建“探索—发现—猜想—证明”的学习支架，衔接从具体到抽象的认知脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实，通过作中线、平分线构造全等培养推理能力，典例用方程思想求角，反馈题分类讨论等腰三角形角的情况，发展模型意识。助力学生提升推理与应用能力，为教师提供系统教学流程与实例支撑。

第1课时 等腰三角形、等边三角形的性质 1.2 等腰三角形 第一章 三角形的证明及其应用 学习目标 1.证明等腰三角形的性质定理，探索并证明等边三角形的性质定理. 2.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，进一步体会证明的必要性，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 情境导入 问题 图中有哪些图形?它们有什么共同特点? 斜拉桥梁 埃及金字塔 体育观看台架 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 定理:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 问题引入 A B C 已知：△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？ 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作底边的中线AD，则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中， 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中， 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高线 . A B C D 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 证明后的结论,以后可以直接运用. 总结归纳 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 A C B D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 在△ABC中, 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 总结归纳 A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 典例精析 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 归纳 例2 如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC. 图① 图② A B D E C A B D E C F 新知探究 探究点一： 等腰三角形的性质 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形有什么特征呢？ 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一定理了？ 新知探究 探究点二： 等边三角形的性质 定理证明 已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A C B 证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 新知探究 探究点二： 等边三角形的性质 B C D A E 例3：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. 解： ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°. 新知探究 探究点二： 等边三角形的性质 课堂小结 A C B D E 1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm. 12 当堂反馈 当堂反馈 2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°,30° 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° 4.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM.求证：AN=BM. 证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴CA＝CM，CB＝CN， ∠1＝∠3＝60°， ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2， 即∠ACN＝∠MCB. ∵△CAN≌△CMB(SAS)， ∴AN＝BM. 当堂反馈 5.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A、O、D三点共线， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 当堂反馈 变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB的大小吗？ D C A B E O 方法与前面相同，∠AEB=60°. 当堂反馈 作业与预习 基础达标作业：课本15页第1、2题 拓展提升作业：课本21页、配套练习10、11页 预习：课本第16、17页 情境导入 问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理? 等腰三角形的“三线合一”. 思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？ $