1.3 直角三角形(2) 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明及其应用 1.3 直角三角形(2) 01 课前预习 02 例题精讲 目录 03 课堂检测 目录 直角三角形全等的判定定理 (1) 和 分别相等的两个直角三角形全等(简 述为“斜边、直角边”或“HL”)． 斜边 一条直角边 (2)几何语言： 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF( )． HL   直角三角形全等的判定 ⁠ 例1 (北师八下P28尝试交流改编)如图，已知线段a，b.求作： Rt△ABC，使∠ABC＝90°，AC＝b，BC＝a.(不写作法，保留作图 痕迹) 解：如图，Rt△ABC即为所求． 例2 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD. 求证：BC＝BD. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)． ∴BC＝BD. 1. (北师八下P31习题T3改编)如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE. 求证：AB＝AC. 证明：∵D是△ABC的边BC的中点，∴BD＝CD. ∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴∠BFD＝∠CED＝90°. 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)． ∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC.   直角三角形全等的性质与判定的应用 ⁠ 例3 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯 水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小 有什么关系？ 解：∠ABC＋∠DFE＝90°.理由如下： 依题意，知BC＝EF，AC＝DF，∠BAC＝∠EDF＝90°. ∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL)．∴∠ACB＝∠DFE. ∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠DFE＝90°. 2. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，AB，AC是伞骨， DM，EM是连接弹簧M和伞骨的支架，支架等长，且与伞骨垂直，垂 足分别为D，E，试证明点D，E到伞骨顶端A的距离相等． 证明：由题意，得∠ADM＝∠AEM＝90°，DM＝EM. 又∵AM＝AM，∴Rt△ADM≌Rt△AEM(HL)． ∴AD＝AE. ∴点D，E到伞骨顶端A的距离相等． 1． 下列条件中，不能确定一个直角三角形的是(　B　) A. 已知两条直角边 B． 已知两个锐角 C. 已知一边和一个锐角 D． 已知一条直角边和斜边 B 2． 如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，∠ABC＝40°，则 ∠BAD＝(　A　) A. 40° B. 50° C. 60° D. 75° A 3． (北师八下P31习题T4改编)如图，点E，F在线段BD上， AF⊥BD于点F，CE⊥BD于点E，AD＝CB，DE＝BF. (1)求证：AF＝CE； 证明：(1)∵DE＝BF，∴DE＋EF＝BF＋EF，即DF＝BE. ∵AF⊥BD，CE⊥BD，∴∠AFD＝∠CEB＝90°. 在Rt△ADF和Rt△CBE中， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL)．∴AF＝CE. (2)求证：AD∥BC. (2)由(1)知，Rt△ADF≌Rt△CBE. ∴∠D＝∠B. ∴AD∥BC. 4． 如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM＝ ON，BM与AN相交于点P. (1)求证：PM＝PN； (1)证明：如图，连接OP. ∵AN⊥OB，BM⊥OA，∴∠ONP＝∠OMP＝90°. 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)．∴PM＝PN. (2)若∠AOB＝30°，AN＝2，求OM的长． (2)解：∵∠AOB＝30°，AN＝2，AN⊥OB， ∴OA＝2AN＝4.∴ON＝ ＝ ＝2 . ∴OM＝ON＝2 . $