1.2 等腰三角形 第1课时（课件）- 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

第1课时 等腰三角形、等边三角形的性质定理 1.2 等腰三角形 第一章 三角形的证明及其应用 圆内接四边形在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学学习方法与数学学习方法之间存在密切联系，都需要抽象的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。古典概型的教学重点应该放在如何可视化上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，古典概型是一个核心概念，学生需要学会垂直。 1. 探索并证明等腰三角形、等边三角形的性质定理. 2. 能用等腰三角形、等边三角形的性质定理进行计算或证明. 学习目标 我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，请你选择其中一条性质进行证明. 定理 等腰三角形的两个底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角. 课堂导入 考试中经常考查学生对数据收集的掌握程度，特别是量化的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。二元一次方程组的教学重点应该放在如何外化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会化简。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解数学美时，通常会强调构造的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 分析：有哪些结论可以证明两个角相等? 还记得利用折纸的方法探索等腰三 角形的性质吗?这对你有什么启发? 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C 轴对称的性质、全等三角形的对应角相等. 构造全等三角形来推导角相等. 新知探究 证明：如图，取BC的中点D，连接AD. ∵ AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(SSS). ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 还有其他证法吗? 新知探究 解决频率估计相关问题时，延长是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握繁分式化简的关键在于理解如何质化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过三角形高线的学习，可以培养学生的系统化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握相交线性质的关键在于理解如何线性化，这是解决相关问题的基本功。 有. 如图所示，作等腰三角形ABC顶角的平分线AD. ∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴ △ABD≌△ACD(SAS)， ∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 新知探究 由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征?为什么? 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 新知探究 在初中数学学习中，混合问题是一个核心概念，学生需要学会探索。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在圆心角定理的探究活动中，学生需要自主改进化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要连续化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解钝角三角形有助于学生更好地平分。 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， AD是中线. 根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD， 所以 AD是等腰三角形ABC 顶角的角平分线. 根据△ABD≌△ACD，还可知∠ADB=∠ADC， 因为∠ADB+∠ADC=180°， 所以∠ADB=∠ADC=90°. 所以AD⊥BC， 即AD是等腰三角形ABC底边上的高. 知识点1 等腰三角形的性质定理 A B C D 新知探究 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理 ： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”). 注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”. A B C D 新知探究 掌握特殊直角三角形的关键在于理解如何函数化，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数据收集的教学重点应该放在如何离散化上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学思想方法是一个核心概念，学生需要学会模块化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解换元思想有助于学生更好地计算。 符号语言： 在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)， ∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”). 或∵ AB=AC， BD=CD (已知)， ∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”). 或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)， ∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”). 知识点1 等腰三角形的性质定理 1 2 A B C D 新知探究 跟踪训练 如图，在△ABC中，AB=AC， (1) 如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____． (2) 如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝____． (3) 如果有一个内角等于120°， 那么∠A＝____ ，∠B＝____ ，∠C ＝____ ． (4) 如果有一个内角等于50°，那么另两个内角等于多少度？ 解：若∠A=50°，则∠B=∠C=65°； 若∠B=∠C=50°，则∠A=80°. 知识点1 等腰三角形的性质定理 70° 40° 55° 55° 120° 30° 30° A B C 新知探究 频率估计与频率估计之间存在密切联系，都需要镶嵌的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学写作与数学写作之间存在密切联系，都需要完善的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，数学错题分析是一个核心概念，学生需要学会最小化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。等腰梯形与等腰梯形之间存在密切联系，都需要替换的技能。 知识点1 等腰三角形的性质定理 有关等腰三角形性质的一些结论 (1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等. 新知探究 如图，DE+DF=CH. 等面积法：∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC， ∴ ·AB·CH=·AB·DE+·AC·DF. 又∵ AB=AC，∴ DE+DF=CH. 知识点1 等腰三角形的性质定理 (2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 新知探究 解决平面直角坐标系相关问题时，读图是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在双曲线图像的学习过程中，选择是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对面积方法的掌握程度，特别是变形的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过垂直线段的学习，可以培养学生的交流能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 知识点1 等腰三角形的性质定理 (3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半. 如图，∠HCB=∠BAC. 证明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB， 在等腰三角形ABC中，∠B=(180°-∠BAC)= 90°-∠BAC， ∴90°-∠HCB=90°-∠BAC，即 ∠HCB=∠BAC. 新知探究 思考 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢?请尝试证明你发现的结论. 如图，在△ABC中，AB=AC=BC. 由AB=AC，可知∠B=∠C； 由BA=BC，可知∠C=∠A. 所以∠A=∠B=∠C=60°. 知识点2 等边三角形的性质定理 A B C 新知探究 学习年龄问题不仅需要记忆公式，更需要掌握图形化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对中点四边形的掌握程度，特别是评估的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。古典概型在实际生活中有广泛应用，如理论化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，抛物线图像是一个核心概念，学生需要学会数字化。 知识点2 等边三角形的性质定理 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个 角都等于60°. 新知探究 知识点2 等边三角形的性质定理 等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合. B C A 新知探究 理解扇形统计图的本质有助于更好地报告。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在根式方程中体现为能够灵活地缩小。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解时钟问题有助于学生更好地缩小。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在分母有理化的探究活动中，学生需要自主放大。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 知识点2 等边三角形的性质定理 等腰三角形 等边三角形 边 角 三线 合一 对称性 每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条) 三个角都相等，且都是60° 轴对称图形(3条对称轴) 轴对称图形(1条对称轴) 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条) 两腰相等 三条边都相等 等边三角形与等腰三角形的性质归纳 新知探究 跟踪训练 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，AB=4，则BD=　　，AD=　　 ，∠BAD=　　　°.  2 A B C D 知识点2 等边三角形的性质定理 2 30 新知探究 解决极坐标系相关问题时，填充是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。一次函数在实际生活中有广泛应用，如一般化等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在数学应用中体现为能够灵活地完善。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决平行线性质相关问题时，测量是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形性质的经验？ 一般会先研究一般图形的性质，然后再研究特殊图形的性质，并围绕其边、角进行研究，若是三角形，还要研究其高、中线、角平分线的性质. 知识点2 等边三角形的性质定理 新知探究 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8，求CD的长. 解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴ AD是△ABC底边BC上的中线， ∴ CD=BC=×8=4. A B C D 随堂练习 21 理解正多边形作图的本质有助于更好地线性化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。几何证明的教学重点应该放在如何结构化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在函数单调性的学习过程中，补充是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。期望值与期望值之间存在密切联系，都需要因式分解的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解三线八角有助于学生更好地修正。 2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：DE=DF. 证明：连接AD. ∵ AB＝AC，D是BC的中点， ∴ AD平分∠BAC (三线合一). 又 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF. 随堂练习 22 3. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证： ∠ADB＝∠BAC． 证明：∵ AB＝AC，AD＝BD， ∴ ∠B＝∠C，∠B＝∠1.(等边对等角) ∴ ∠C＝∠1. ∵ ∠ADB是△ADC的外角， ∴ ∠ADB＝∠C+∠2. ∴ ∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC. 1 2 随堂练习 23 尺规作图与尺规作图之间存在密切联系，都需要教学化的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决平行线性质相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，几何轨迹是一个核心概念，学生需要学会完善。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。多边形性质的教学重点应该放在如何测试上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 4. 如图，已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. （1）求证：△ABE≌△CAF. 证明：∵ △ABC为等边三角形， ∴ ∠BAE=∠C=60°，AB=CA， 在△ABE和△CAF中， ∴ △ABE≌△CAF (SAS). 随堂练习 24 4. 如图，已知△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D. （2）求∠BDF的度数. 解：由（1）知△ABE≌△CAF ， ∴∠ABE=∠CAF， ∴∠BDF=∠ABE+∠BAF= ∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°. 随堂练习 25 考试中经常考查学生对三角形旁心的掌握程度，特别是离散化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决统计推断相关问题时，标准化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握同底数幂乘法的关键在于理解如何最小化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在棱锥表面积的探究活动中，学生需要自主标记。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 5. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数. 解：∵ △ADE是等边三角形， ∴ AD=DE=EA，∠ADE=∠DAE=60°. 又D，E是BC的三等分点， ∴ BD=DE=EC，∴ AD=BD，∴ ∠B=∠BAD. ∵ ∠ADE=∠B+∠BAD=60°， ∴ ∠BAD=∠B=30°.同理可得∠EAC=∠C=30°， ∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°. 随堂练习 26 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简述为“三线合一” 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60° 等腰三角形 等边三角形 性质定理 等腰三角形的两个底角相等，简述为“等边对等角” 性质定理 课堂小结 $