第六章 三角形中的最值与范围问题（11类题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过表格化目录系统梳理了三角形中最值与范围问题的11类核心题型，从基础的周长、面积问题到进阶的四心、费马点等，按知识难度递进呈现，清晰展现各题型内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如题型1周长问题结合锐角三角形条件，通过正弦定理转化角范围求取值，培养数学思维中的推理能力。每种题型配套多维度例题，基础题巩固方法，综合题提升创新意识，助力学生精准突破，也为教师实施分层教学提供优质资源。

第六章 三角形中的最值与范围问题 目录 题型1：周长问题 2 题型2：面积问题 3 题型3：边长与高问题 4 题型4：转化为角范围问题 5 题型5：平方和最值 6 题型6：角平分线问题 6 题型7：中线问题 7 题型8：四心问题 8 题型9：坐标法 9 题型10：托勒密定理 10 题型11：费马点与拿破仑点 11 题型1：周长问题 【例1.1.】 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【例1.2.】 在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【例1.3.】 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【例1.5.】 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【例1.6.】 已知、、分别为内角的对边，已知且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)求周长的取值范围． 题型2：面积问题 【例2.1.】 在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 问题：已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，___________. (1)求角A的大小； (2)求面积的最大值. 【例2.2.】 已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【例2.3.】 在中，角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若为锐角三角形，且，求面积的范围． 【例2.4.】 在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 【例2.5.】 已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 【例2.6.】 在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【例2.7.】 在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 题型3：边长与高问题 【例3.1.】 已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【例3.2.】 记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 【例3.3.】 在中，平分，则的最小值为______． 【例3.4.】 在中，角、、的对边为、、，已知，，. (1)求边上的高； (2)若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 【例3.5.】 如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 【例3.7.】 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 【例3.8.】 在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.9.】 在中，角的平分线交于点，. (1)若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. (2)若，求的最小值. 题型4：转化为角范围问题 【例4.1.】 钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【例4.2.】 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5：平方和最值 【例5.1.】 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【例5.2.】 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【例5.3.】 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，为线段上一点（包含端点），则的最小值为________． 题型6：角平分线问题 【例6.1.】 已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 【例6.2.】 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【例6.3.】 在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【例6.4.】 在中，角的对边分别为，且 (1)求角； (2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值. 题型7：中线问题 【例7.1.】 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【例7.2.】 已知面积为1，边AC，AB上的中线为BD，CE，且，则边AB长度的最小值为_______. 【例7.3.】 在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【例7.4.】 三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 【例7.5.】 在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【例7.6.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 题型8：四心问题 【例8.1.】 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【例8.2.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角的大小； (2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值． 【例8.3.】 已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为的内心，求的取值范围. 【例8.4.】 （多选）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 【例8.5.】 如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＋b＝5，，且. (1)求b边的长度； (2)求△ABC的面积； (3)设点G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别交于点E，F（都不与端点重合），当△AEF的面积最小时，求的值. 【例8.6.】 已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8.7.】 若O是的外心，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 【例8.8.】 在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 【例8.9.】 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c． (1)已知，求； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围； (3)若，令，试求t的最大值． 题型9：坐标法 【例9.1.】 在△ABC中，，，，则______；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为______． 【例9.2.】 在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例9.3.】 如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，.则的最大值______. 【例9.4.】 在中，，，，在边的中线上，则的最小值为________． 【例9.5.】 如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，点为边（含端点）上一个动点，则的最小值为___． 题型10：托勒密定理 【例10.1.】 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【例10.2.】 克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例10.3.】 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． (1)当时，求四边形的周长； (2)克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． (3)当为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值． 题型11：费马点与拿破仑点 【例11.1.】 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，求的最小值. 【例11.2.】 设中，，，且点P为的费马点（即满足最小的点），当的内角均小于时，费马点P满足，则______． 【例11.3.】 “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点． (1)求； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 【例11.4.】 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若，，且点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求的最小值． 【例11.5.】 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【例11.6.】 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形， ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 【例11.7.】 德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今．已知任意的内部必存在点，使得（或），则称为的布洛卡点，（或）称为布洛卡角．一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合．已知点为的一个布洛卡点，且．则__________；当，且时，的面积的最大值为__________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 三角形中的最值与范围问题 目录 题型1：周长问题 2 题型2：面积问题 9 题型3：边长与高问题 18 题型4：转化为角范围问题 28 题型5：平方和最值 32 题型6：角平分线问题 36 题型7：中线问题 41 题型8：四心问题 49 题型9：坐标法 62 题型10：托勒密定理 68 题型11：费马点与拿破仑点 71 题型1：周长问题 【例1.1.】 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.5 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 【例1.2.】 在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.48 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简得到，从而求出，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 【例1.3.】 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 【例1.4.】 在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.54 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据同角三角函数关系、诱导公式及两角和正弦公式化简求解即可. （2）根据正弦定理及三角恒等变换得到，结合锐角三角形得到，利用正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，所以，， 则 ， 因为，，所以， 则，所以， 所以，则，即. 【例1.5.】 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据正弦定理，结合锐角三角形的性质进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合锐角三角形的性质、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入已知，得． 因为，，得，即． 又为锐角三角形，所以； （2）由正弦定理得，所以，． 因为，所以，即， 因为是锐角三角形，所以解得． 周长． ． 由于，则，从而， ， 所以周长的取值范围是． 【例1.6.】 已知、、分别为内角的对边，已知且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解； （2）由面积公式得，再根据余弦定理求的值； （3）根据，，将周长化为三角函数求最值． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 所以， ，则，所以，即， ，则，故，因此，． （2）由三角形的面积公式可得， ，由余弦定理可得： ， 即 因此． （3）由正弦定理可得， 故， 所以， 所以 ， ，所以，则，所以， 所以， 因此，的周长的取值范围是． 题型2：面积问题 【例2.1.】 在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 问题：已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，___________. (1)求角A的大小； (2)求面积的最大值. 【答案】(1)选①：；选②：；选③：； (2)选①：；选②：；选③： 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）选①：由正弦定理边角互化得，进而得； 选②：由正弦定理边角互化得，进而得，故； 选③：由余弦定理得，再根据正弦定理边角互化结合和角公式得，故 （2）选①：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为. 选②：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为. 选③：结合（1）和余弦定理得，再根据基本不等式得，进而根据三角形面积公式得面积的最大值为. 【详解】（1）解：选①：因为， 所以，即， 又因为，所以 选②：因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以，即， 因为，所以 选③：因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 因为，所以 （2）解：选①：因为由（1）得，， 所以，即， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以面积 所以面积的最大值为. 选②：因为由（1）得， 所以，即， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以 所以面积 所以面积的最大值为. 选③：因为由（1）得， 所以，即， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以 所以面积 所以面积的最大值为. 【例2.2.】 已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 【例2.3.】 在中，角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若为锐角三角形，且，求面积的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.59 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理化简即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求出的值以及的值，结合余弦定理可得出关于的等式，解之即可； （3）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【详解】（1）由，可得， 由于，故， （2）由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得 （3）在中， 由正弦定理得， 于是得， 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，则， 从而得， 所以面积的取值范围是 【例2.4.】 在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】在和中由余弦定理表示出，可得，再求出凸四边形ABCD面积，由此求出的面积的最大值，进而求出的最大值. 【详解】连接，在和中，， ，所以， 设凸四边形ABCD面积为，所以， 所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 【例2.5.】 已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)证明见解析. (2)最小值，无最大值. (3). 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可. (2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值. (3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围. 【详解】（1）因为， ， 两式相加得，得证. （2）当时，，满足. 令，，故无最大值， 因为 ， ， 则， ， ， 则或， 由，有，则. ①时，，时取等号， ②时， ， 时取等号， 因为，则的最小值是， 综上，有最小值，无最大值. （3）①时，， 则. ②时， 在中，由正弦定理有，则，， 则， 由函数在上单调递减，有， ∴ 综上，的面积的取值范围是. 【例2.6.】 在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A； （2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注意定义域. 【详解】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 【例2.7.】 在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)证明：由及正弦定理，得， 所以． 因为，所以， 所以或，解得或（舍）． (2) (3) 【难度】0.34 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换证明； （2）先根据正弦定理和三角恒等变换求出 ，再根据三角形的面积公式求； （3）分别在与中运用正弦定理求出，再应用三角形的面积公式求最值． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以 ， 又，所以，即． 因为，所以． 因为， 所以的面积 ，解得． （3）由，得，即， 又，所以． 不妨设在线段上，设，则． 在中， ，所以， 即． 在中， ， 所以， 即． 所以的面积． 令， 因为，所以， ， 所以当时，取到最大值， 所以， 即的面积的最小值为． 题型3：边长与高问题 【例3.1.】 已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 【例3.2.】 记的内角的对边分别为．已知，，且为锐角三角形． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由辅助角公式即可求解； （2）由三角形为锐角三角形确定范围，再结合正弦定理得到，由正切函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，代入 ， 得 ， 即 得 ，即 ， 因为是三角形内角，所以， 所以 （2）由（1），三角形内角和得：，即， 因为为锐角三角形， 三个内角均小于： ， 由正弦定理，， 得： ， 展开 ， 代入化简得： 因此，则 则， 所以的取值范围为 . 【例3.3.】 在中，平分，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形 【分析】记，利用余弦定理得、，再由平分，得到或，分时，求出；当时结合基本不等式求得结果可得答案． 【详解】如图，记， 在中，，则， 在中，，则， ∵平分，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴或， 当时，为等腰三角形，∴，， ∴； 当时，，即， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立. ∵，∴的最小值为． 故答案为：． 【例3.4.】 在中，角、、的对边为、、，已知，，. (1)求边上的高； (2)若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.51 【知识点】基本不等式求和的最小值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据半角公式计算得到，在中，通过余弦定理即可求解； （2）根据三角形面积公式得到边长关系，根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，因此，， 由余弦定理，，则， 解得或， 当时，边上的高， 当时，边上的高. （2）当时，为锐角三角形， ，， 设，，则，则 在中根据余弦定理，， 由基本不等式，当且仅当时，取得最小值， 则. 【例3.5.】 如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.54 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 【例3.6.】 在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，即可得出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，其中，，且为锐角，利用正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理，可得， 其中， 所以， 所以， 因为、，则， 所以，则，得. （2）若，由正弦定理，， 所以，， 由（1）知，，则， 所以， ，其中，，且为锐角， 因为，则，所以， 当时，即时，取得最大值. 【例3.7.】 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】对勾函数求最值、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据余弦定理对题目条件进行化简，求出边长的关系，进而根据余弦值的范围列出不等式，再构造函数，根据函数单调性，判定自变量的范围，求出结果. 【详解】由题意可知，化简得， 即， 因为，即， 将代入得，化简得， 设函数， 根据对勾函数可知，当时，单调递减，当时，单调递增， 可知，所以当时，， 即，解得，即. 所以a的取值范围是. 【例3.8.】 在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.6 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 【例3.9.】 在中，角的平分线交于点，. (1)若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. (2)若，求的最小值. 【答案】(1)①；② (2) 【难度】0.62 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出角，然后由正弦定理结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理得出外接圆的半径即可； （2）根据三角形的面积公式得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ①因为，角的平分线交于点，所以，， 所以，， 由正弦定理得，即， 代入数据得， 所以. ②设的外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以， 则的外接圆的周长. （2） 由，所以，， 根据三角形的面积可得，即， 代入数据并化简得， 由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 因此，当是等腰三角形时，的最小值为. 题型4：转化为角范围问题 【例4.1.】 钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 【例4.2.】 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，从而，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 则， 所以，解得，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：D． 【例4.3.】 的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理边角互化的应用、解余弦不等式 【分析】结合条件利用余弦定理得，然后利用余弦定理和基本不等式求解，然后根据余弦函数的单调性求解即可． 【详解】的内角，，所对的边分别是，，，已知， 则，整理得． 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以，又，故，即的取值范围是. 故选：A 【例4.4.】 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果. 【详解】依题意，由正弦定理可得，即； 所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 又，且， 可得，； 易知 ； 显然，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以可得. 故选：D 【例4.5.】 在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可. 【详解】在中，因为， 所以，，所以 因为， 由正弦定理得, 所以，即， 所以, 由，解得 所以， 所以的范围是. 故选：B. 题型5：平方和最值 【例5.1.】 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）直接由正弦定理边化角计算可得； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形中边的关系可得，从而可得结果. 【详解】（1）在中，，由正弦定理得， 即，因为，且， 所以，因此. （2）由（1）知，且，由余弦定理得， 由基本不等式当且仅当时等号成立， 所以，解得（当且仅当时等号成立） 又由三角形中两边之和大于第三边，所以， 两边平方，再将代入得，即 综上所述，. 故的取值范围为. 【例5.2.】 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用三角形面积公式与题目给定的面积表达式建立等式，结合余弦定理 ，推导出，再根据的取值范围求值； （2）由正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合降幂公式与三角恒等变换，将化简为关于角的三角函数，再根据锐角三角形的条件确定的取值范围，最终求出 的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以，所以， 即，由，所以； （2）因为，所以，， 所以 又，所以， 所以 因为是锐角三角形，所以，得， 所以，， 所以 【例5.3.】 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，为线段上一点（包含端点），则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.3 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、坐标计算向量的模 【分析】由二倍角公式可得，结合三角形内角和范围知，故可得，再利用余弦定理可得，然后利用反证法可得，从而可求得各边长和各角的正弦值和余弦值，建立平面直角坐标系，利用坐标运算即可求解. 【详解】，整理得， ，，则， ，，则， ， 由正弦定理边角互化可得，，， 若，则， ，，， 又三角形中至多一个钝角，，， 、、均为锐角， 又，则，因为正弦函数在上单调递增， 则，. 从而，这与矛盾，所以， 从而，，，， ，解得， 因为，所以，， 所以，，， ，， ，， 以为原点，如图所示建立平面直角坐标系， 则，，，设，，则， 则，， ， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 题型6：角平分线问题 【例6.1.】 已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】利用正弦面积公式表示出：，化简可得，即，再结合基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】如图，为角平分线，， 即， 化简得，则， 当且仅当时取等号，故最小值为4. 【例6.2.】 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】（1） ； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 【例6.3.】 在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.55 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 【例6.4.】 在中，角的对边分别为，且 (1)求角； (2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、辅助角公式 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合辅助角公式即可求解； （2）由，得到，再由正弦定理得到，，代入结合辅助角公式得到，令，由，求解即可. 【详解】（1）， ， ，又， ， 所以， 即， ，，. （2）由于， ， ， .. 由正弦定理：，， 因为，所以， 则 令，则，， ， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以 ， 即长度的最大值为. 题型7：中线问题 【例7.1.】 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.6 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 【例7.2.】 已知面积为1，边AC，AB上的中线为BD，CE，且，则边AB长度的最小值为_______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，依题意，为的重心， 由，设，， 则，， ， 又， 则，即，由余弦定理知 ， 令， 则，解得， 而，则，因此，解得，， 所以的最小值为. 故答案为： 【例7.3.】 在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式化简求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围，再利用向量数量积的运算律求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 于是，而，，则， 所以. （2）由（1）及余弦定理，得， 当且仅当时取等号， 因此，由为边上中线，得， 则， 所以边上中线的范围是. 【例7.4.】 三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解. （2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，. 因为,，所以， 所以，即， 又，，则， 所以. （2）由（1）得，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 当且仅当，即，时，等号成立，    此时， 故. 【例7.5.】 在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式及诱导公式得，根据，即可得出，进而求解； （2）由余弦定理得，根据平面向量的线性运算得，进而得出，根据正弦定理，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式得出，结合，正弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 由正弦定理得， 又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以． （2）由余弦定理可得， 又，所以 ， 由正弦定理可得，所以， ， 所以， 由题意得解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为． 【例7.6.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 【答案】(1); (2); (3). 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可. （3）由（1）得利用基本不等式求得，再根据D为的中点， 得，平方并利用向量数量积的运算律得，即可求得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即 ， 因为，所以. （2）由（1）得，且 由正弦定理得：， . ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是. （3）因为，所以 所以，当且仅当时，等号成立. 即 因为D为的中点，所以, 所以， 即. 所以. 故AD的最小值为. 题型8：四心问题 【例8.1.】 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）方法一：由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围；方法二：同法求得，设，，由余弦定理得，利用基本不等式即可求得的范围，即得周长范围. 【详解】（1）由可得： ， 化简得， 由正弦定理， ， 又由余弦定理，，因，则． （2） 方法一：如图，因内心为，则和分别平分和， 则，则． 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理，， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为． 方法二：与方法一同法求得，设，， 在中，由余弦定理可得，， 即，则， 因为，所以，即， 且，可得，即， 当且仅当时，即时等号成立． 综上的周长范围为． 【例8.2.】 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角的大小； (2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）用正弦定理结合三角函数诱导公式求得结果； （2）设，则，由正弦定理得, 将的周长表示成关于的三角函数，化简求其最大值. 【详解】（1）由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，即， 所以，故． （2）   由（1）知，，有， 而与的平分线交于点，即有，于是， 设，则，且， 在中，由正弦定理得，， 所以， 所以的周长为 ，由，得， 则当，即时，的周长取得最大值， 所以周长的最大值为． 【例8.3.】 已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为的内心，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦定理与正余弦两角和差公式得，从而求解. （2）结合（1）及的内心作出图像，求得，并利用正弦定理得，从而求解. 【详解】（1）由及正弦定理，得： 即：，所以：， 又：，所以：， 又：，所以：， 所以：. （2）因为，所以， 如图，连接，因为为的内心，所以：， 所以：， 设，则. 在中，由正弦定理得:， 所以：， 所以：， 其中：， 因为，所以不妨取， 又，所以，其中， 当时，取得最大值. 因为，所以， 又，所以， 综上，的取值范围是.    【例8.4.】 （多选）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【详解】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 【例8.5.】 如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＋b＝5，，且. (1)求b边的长度； (2)求△ABC的面积； (3)设点G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别交于点E，F（都不与端点重合），当△AEF的面积最小时，求的值. 【答案】(1)4 (2) (3)1 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，然后由已知条件求解； （2）利用平方后转化为数量积运算求得，再转化为正弦，然后由三角形面积公式计算； （3）设，，用两种方法表示出（为基底），由向量基本定理得出关系，从而把用表示，由已知确定出范围，然后由三角形面积公式求得三角形面积，结合基本不等式得最小值，确定的值，然后根据数量积的定义求解. 【详解】（1）∵. 由正弦定理：， 由余弦定理：， ∵，∴. （2）由（1）得， ∵D为中点，∴，设 ， ∴， 解得，易得，∴的面积为. （3）设，， ∵E，F，G共线，∴可设，则， 又， 由平面向量基本定理得，∴， 由与， 则 ∴当且仅当，即时取等，此时，， ∴，即与方向相同. ∴ . 【例8.6.】 已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果. 【详解】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 【例8.7.】 若O是的外心，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】柯西不等式、用定义求向量的数量积、正弦定理边角互化的应用 【分析】将向量全部转化为三角形边角的关系，结合柯西不等式求解即可. 【详解】如图所示：    设，， ，， 由， 得 化简得，由是的外心可知， 是三边中垂线交点，得，代入上式得 ，所以， 根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，. 所以， 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 所以，当且仅当“”时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. 【例8.8.】 在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及两角和正弦公式，求得，得到，即可求解； （2）①当，得到等边三角形，进而求得其面积； ②由，求得和，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理，可得， 又因为，可得， 代入上式，可得， 因为，可得，所以， 又因为，所以． （2）①若，则即是高线又是角平分线，且， 所以等边三角形， 如图：延长交于. 因为为的垂心，所以也是的外心和重心. 因为，可得，，所以，所以. 所以的面积为. ②如图：延长交于，连接并延长交于. 因为为垂心，所以，. 又因为，所以，. 因为，且，则，， 又因为，， 则， 因为，可得， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以取得最大值. 所以的取值范围为. 【例8.9.】 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c． (1)已知，求； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围； (3)若，令，试求t的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.43 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）通过同角三角函数关系与正弦定理将已知等式转化为边的关系，再用余弦定理求出角C； （2）设，利用三角形垂心的性质与直角三角形的边角关系表示出，再通过三角恒等变换化简目标表达式，结合的范围求取值范围； （3）利用正弦定理、三角恒等变换化简的表达式，再通过余弦定理将其转化为边的关系，最后利用二次函数性质求最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，由正弦定理，得， 即，由余弦定理，得，因为，所以； （2）延长交于，延长交于，设，，所以， 在中，，在中，，，所以， 在中，，同理可得在中，， 所以 ，因为，所以， 所以，所以，即的取值范围为； （3）由余弦定理，可得，所以， 由，可得， 所以， 故， 所以，当且仅当时等号成立，即，时，． 题型9：坐标法 【例9.1.】 在△ABC中，，，，则______；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为______． 【答案】 / /-0.25 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律 【分析】根据，得到D为AB的中点，再由，利用数量积运算得到，然后利用数量积的几何意义求解；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】解：如图所示： 因为， 所以D为AB的中点，又，且， 所以， ， 则， 所以，则； 建立如图所示平面直角坐标系： 则， 设， 所以，， 则， 所以， ， 当，时，取得最小值， 故答案为：， 【例9.2.】 在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】先求出三角形内切圆半径，再求出，结合已知条件运用几何法和坐标法，求出的取值范围． 【详解】已知三角形边长，，设内切圆半径为，三角形面积为， 则， 解得，即，则： ， 点在三角形三条边上运动，则为内切圆半径， 为到三角形顶点的距离最大值，即为，以为坐标原点建立坐标系， 则， ， 的取值范围为． 【例9.3.】 如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，.则的最大值______. 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、辅助角公式、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，设的边长为，，，利用表示出，求出，最后利用三角函数求出最值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为四边形是平行四边形，，则， 设的边长为，显然，，， 设，，则， 故，则， 因为，所以， 设，由，， 所以 ， 因为，所以， 显然当，即时，取得最大值，最大值为4. 所以的最大值为2. 【例9.4.】 在中，，，，在边的中线上，则的最小值为________． 【答案】/ 【难度】0.62 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可设，则，求其最值. 【详解】依题意，以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 所以直线的方程为， 因为点在边的中线上，所以可设， 所以，， 所以， 当时，取得最小值． 【例9.5.】 如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，点为边（含端点）上一个动点，则的最小值为___． 【答案】45 【难度】0.44 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】根据题意利用余弦定理算出，进而得到是边长等于的等边三角形，然后以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，推导出用表示点的坐标的式子，从而得出关于的二次函数表达式，结合二次函数的性质得出答案. 【详解】以为坐标原点，AD、EB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，连接， 因为， 所以，可得， 所以，可得，， 结合，所以 因为中，，所以是边长等于的等边三角形， 由， 可得，所以， 设，即 可得，所以， 即， 由此可得， 所以， 由二次函数的性质，可知时，有最小值，最小值为. 题型10：托勒密定理 【例10.1.】 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】由圆的性质及正弦边角关系得，从而设，结合题设得到且，最后应用三角形面积公式及基本不等式求面积的最大值. 【详解】由题意，则， 所以，即， 设，又，由题意， 所以，故， 又，故，则， 所以， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为. 故选：C 【例10.2.】 克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】记，利用余弦定理表示出，然后根据题中结论可得. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理得， 由题知，，即， 所以，当且仅当四点共圆时取等号， 所以的最大值为. 故选：D    【例10.3.】 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． (1)当时，求四边形的周长； (2)克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． (3)当为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为． 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）用余弦定理计算边长，再算周长； （2）运用，且为等边三角形，，，所以，所以，则最大时，，则，两次运用余弦定理即可求解； （3）通过三角形边角互化知识，将四边形的面积转化为的三角函数，用三角函数最值来解即可. 【详解】（1）中，，，， 由余弦定理得， 即，于是四边形OACB的周长为． （2）因为，且为等边三角形，，， 所以，所以， 即OC的最大值为6，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以． （3）在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形OACB的面积为 ， 当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为， 所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为． 题型11：费马点与拿破仑点 【例11.1.】 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据正弦定理，可得三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理可得角. （2）根据费马点的概念可分别表示，再利用，结合三角形面积公式，即可求出所需要的结果. （3）结合费马点的概念及勾股定理，可得. 设，，再利用基本不等式，可求的最小值，即为所求. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理可得，所以是以角为直角的直角三角形. 所以. （2）因为为的费马点， 所以， 所以，，. 又， 所以， 所以. （3）因为为的费马点， 所以. 由余弦定理，，，. 又，所以. 设，，. 则，又，当且仅当时取等号. 所以 ， 由，所以. 即的最小值为，当且仅当时取等号. 【例11.2.】 设中，，，且点P为的费马点（即满足最小的点），当的内角均小于时，费马点P满足，则______． 【答案】 【难度】0.52 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用三角形面积公式，将大三角形分割成三个小三角形，面积之和等于大三角形面积，得到三边乘积之和的关系，再分别在三个小三角形中用余弦定理，得到三边平方与交叉项的三个方程，通过联立求解，最终得到三边之和的平方，开方即得结果. 【详解】由余弦定理得，由，所以，所以的内角均小于. 设，，，由， 得，即． 在中，由余弦定理得，整理得， 同理可得，， 三式相加得，即， 所以，所以，即． 【例11.3.】 “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点． (1)求； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用定义求向量的数量积 【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角关系，再利用辅助角公式求解即可； （2），由向量的数量积可得，由三角形的面积可得结果； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为， 代入整理可得， 且，则，可得， 整理可得， 且，则， 可得，所以. （2）设， 则， 即， 所以的面积为. （3）由正弦定理可得， 可得， 则周长为， 又因为，则， 可得，， 所以周长的取值范围为. 【例11.4.】 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求； (2)若，，且点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知应用向量数量积的运算律有，即可得； （2）由（1）及题设的定义知，设，，，应用等面积法有，应用向量数量积的定义求解； （3）由题设，设，，，，，，由已知得，再应用余弦定理及得，最后应用基本不等式求最值. 【详解】（1），则， ， ，故. （2）由（1）知，所以的三个角都小于， 由费马点定义知， 设，，，由， 整理得，整理得， 则. （3）因为点为的费马点，所以， 设，，，，，， 由，得． 由余弦定理得， ， ， 由，得， ，又，，所以， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，所以，解得或（舍去）， 故的最小值为． 【例11.5.】 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）过作于，结合题意即可求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，根据基本不等式求解范围即可． 【详解】（1）因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图：    过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且，    设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． 【例11.6.】 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形， ①若，求的值； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.28 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形 【分析】（1）在中，由内角和得，结合正弦定理得，整理得，代入数值计算得结果； （2）①利用三角形中正弦定理及三角恒等变换得化简得原式等于，代入得结果；②可证，由，将转化为关于的函数，结合锐角三角形得到的范围，换元用对勾函数求得的值域，再取倒数得到的范围. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理可得，所以. （2）①由（1），同理可得， 又在中，，可得， 同理可得， 所以 ； ②由前可知，且，所以， 下面将简记作，则， 由正弦定理可得，即， 所以， 整理可得 ，记，则 已知，故，又为锐角三角形，因此，，且，因此： ， 令，由得，化简得：， 整理得： 换元，，化简得：， 由对勾函数性质， 在的最小值为（时取得），端点值趋近， 因此： ，所以. 【例11.7.】 德国数学家克雷尔于1816年发现了三角形的布洛卡点，法国军官布洛卡于1875年将此特殊点重新发现，并以他的名字命名至今．已知任意的内部必存在点，使得（或），则称为的布洛卡点，（或）称为布洛卡角．一般地，对于任意三角形均有两个布洛卡点及两个布洛卡角，当三角形为正三角形时，两个布洛卡点重合．已知点为的一个布洛卡点，且．则__________；当，且时，的面积的最大值为__________． 【答案】 1 【难度】0.15 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据布洛卡点的定义，将转化为求解即可.②利用正弦定理求出，再用余弦定理得到，用面积公式求得面积最大. 【详解】因为点为的一个布洛卡点，且，， 即，故应填（或）； 同理可知， 不妨记， 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 由①②两式作商，可得， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 又，故, 所以 所以，即， 三角形的面积为:， 易知当时取等号， 即的面积最大值为1． 故答案为：，1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $