第05讲 三角形中的范围与最值问题（6大重难点题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理了三角形中范围与最值问题的知识体系，将五种解题技巧（利用基本不等式、三角函数、三角形不等关系、解的个数、二次函数）与三类常见题型（角的最值、边和周长的范围、面积的范围）按“技巧-题型”对应关系组织，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型-技巧-变式”的三阶练习设计，如题型四“边量范围转化为内角范围分析题型”，通过例10利用面积公式建立边角关系，引导学生将边的范围转化为内角范围，培养数学思维中的推理能力。每个题型配有基础例题和拓展变式，基础薄弱学生可掌握转化方法，优秀学生能深化逻辑分析，为教师实施分层教学提供系统素材，助力学生提升用数学语言表达问题的能力。

第05讲 三角形中的范围与最值问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、范围与最值的五种解题技巧 3 知识点二、解三角形中的范围与最值问题常见题型 3 03 重难点题型 4 题型一：围绕三角形周长展开计算类问题 4 题型二：以三角形面积为考点的求解问题 6 题型三：边长、边长和的取值范围与最值求解 10 题型四：边量范围转化为内角范围分析题型 15 题型五：限定锐角三角形前提下的最值与范围 19 题型六：题干含二倍角条件的解三角形问题 23 04 过关检测 27 知识点一、范围与最值的五种解题技巧 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 知识点二、解三角形中的范围与最值问题常见题型 （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 题型一：围绕三角形周长展开计算类问题 例1．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 例2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 例3．（25-26高一下·山东泰安·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长． (3)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）， 由正弦定理得， ， 即， ，， 又，则，， ，. （2）由，则， 由余弦定理，得，即， 则的周长为. （3）根据正弦定理得，所以， 又因为，所以， 所以三角形周长为 ， 因为，所以，则， 所以， 所以周长的取值范围为. 题型二：以三角形面积为考点的求解问题 例4．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【解析】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 例5．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 【解析】（1）为等边三角形． 因为，所以， 所以， 在中， 由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为为等边三角形，，所以， 又，所以，故． （2）①证明：因为,所以，所以, ，即； 因为,所以，所以 在中，，即． 所以，由正弦定理得：． 因为，所以，即． ②由可得．在中，由余弦定理得，. 因为，所以，所以． 由三角形的面积公式可得：， 所以． 令，则，是关于x的方程的两个根， 所以且，解得． 因为且，所以，解得 又因为，所以． ， 对称轴，所以当时，， 所以．故最大值为. 例6．（25-26高一下·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【解析】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 变式1．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 【解析】（1）， 由正弦定理得 ， 在中， （2）由余弦定理可得：， 即 ， ， ，当且仅当时取等号 又 ∴当时，取到最小值为 题型三：边长、边长和的取值范围与最值求解 例7．（25-26高一下·重庆渝北·期中）记中，角，，的对边分别为，，，． (1)求的大小； (2)若，的周长为6，求的面积； (3)若，求的最大值． 【解析】（1）因为， 所以由射影定理得，得到， 则，则， 而，得到，解得. （2）因为， 的周长为6，所以， 由余弦定理得，则， 即，解得，则. （3）由已知得，则由余弦定理得， 则，即，令， 可得，即，由基本不等式得， 当且仅当时取等，则，解得. 例8．（24-25高一下·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【解析】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 例9．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，，，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为． 变式2．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题结合正弦定理可得：， 因为，所以， ，为钝角，. ，，由爪型定理可得 两边平方可得： ， ，， 当时，取得最小值，即最小值为. 变式3．（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 【解析】（1） 得到 得到，，， 又，. （2）由得， 得， 化简得，即，         所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值，     此时，面积为． 变式4．（25-26高一下·福建厦门·期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. (1)求出两种符合条件的三角形的面积. (2)如图，在平面凸四边形中. ①连接当大小变化时，试用和来表示四边形面积并求的最大值. ②当时所在平面内是否存在点使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 【解析】（1）由三角形两边之和大于第三边，结合题意可得， 能构成的三角形的三边长为或. 当三角形的三边长为时，该三角形为等腰三角形，其底边上的高为，所以其面积为； 当三角形的三边长为时，该三角形为等腰三角形，其底边上的高为，所以其面积为. 因此两种符合条件的三角形的面积为和. （2）①四边形面积. 由图可得， 所以. 所以. 所以当，时，取得最大值，最大值为. 所以的最大值为. 此时，所以，即. 因此当时，取得最大值，最大值为. ②当时,因为，所以. 如图所示，将绕点逆时针旋转，到. 则，， 所以为正三角形，所以， 所以. 当四点共线时，最小，最小值为. 中，，， 所以， 所以. 因此所在平面内存在点使得达到最小，最小值为. 题型四：边量范围转化为内角范围分析题型 例10．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且. (1)证明：； (2)若，求； (3)求的取值范围. 【解析】（1）由，得， 所以，得. （2）因为是锐角三角形，且， 所以，解得，. 若，由正弦定理得，又， 所以，即， 所以， 所以，得， 又为锐角，所以. （3）由正弦定理， 因为是锐角三角形， 所以，且， 解得或（舍去）， 令，设， 当时，单调递增，故， 又，所以， 所以的取值范围为. 例11．（25-26高一下·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）中，，所以. 由得，， 整理得. 又，所以，则，所以. 由三角形面积公式得，所以. 由余弦定理得， 所以，所以. 故的周长为. （2） . 由（1）得，，因为为锐角三角形，所以， 所以，则， 所以，解得，则. 又在上单调递增，所以. 故的取值范围为. 例12．（25-26高一下·山东淄博·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由题意， 在锐角中，， 由余弦定理，， ∴，即， 由正弦定理，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为锐角三角形， ∴，即， ∴ ， ，解得， ∴， ∴， 在中， ，开口向上，对称轴， 若函数存在最小值，则，解得， ∴若存在最小值，则实数的取值范围是. 变式5．（25-26高一下·宁夏·期中）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为， ，所以； 由于为锐角三角形且，因此， 又因为 所以， 因为，所以，所以， 则. 题型五：限定锐角三角形前提下的最值与范围 例13．（25-26高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若边中线长为，求的面积； (3)当时，的面积为，周长为，求的取值范围. 【解析】（1）在锐角中，由，得， 即， 由，得，，所以. （2）由是边上的中线，得， 则，而， 于是，由余弦定理得， 又，则，联立解得，经验证为锐角三角形， 所以的面积为. （3）由正弦定理得，则， 而，令，则，由锐角，得， 因此 ，由，得，， 所以的取值范围是. 例14．（25-26高一下·山东菏泽·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求的取值范围. 【解析】（1）， 则， 即，又，故， 则，即，又，故； （2）由余弦定理，可得， 即，解得（负值舍去）， 故； （3）由正弦定理可得， 则，， 故 ， 由，可得，则， 则，即. 例15．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 【解析】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 变式6．（25-26高一下·四川达州·期中）在中，角的对边分别是，且，. (1)求角的大小； (2)若边上的中线，求的面积. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【解析】（1）由有， ，即， ，，又，故． （2）由平方得， 所以，即，所以， 又由余弦定理得，所以， 所以的面积为. （3）由题意得，又， ， 又为锐角三角形，则有，得， 所以，所以，故． 变式7．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】设，则，由得 因为锐角三角形，故，，： ，代入得，解得； ，代入得，解得； ，代入得，对恒成立， 综上，，即，. 故答案为：. 题型六：题干含二倍角条件的解三角形问题 例16．（25-26高一下·安徽·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】由余弦定理，和， 可得，化简得， 因，即，由正弦定理，（*）， 因， 代入（*）化简得：，即， 因，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由 ， 令，因函数 在上单调递增， 则，故的取值范围是． 例17．（23-24高一下·河南商丘·期末）在锐角中，记角的对边分别为，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】在中，由，由余弦定理得， 整理得，又，则， 由正弦定理得，则， 由为锐角三角形，得为锐角，则，即， 由，得，则， 因此 . 所以的取值范围是. 故答案为： 例18．（多选题）（25-26高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【解析】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 2．（多选题）（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对应边分别为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有两解 B．面积的最大值为 C．的平分线长度的取值范围是 D．的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A，因角为锐角，且，故角为锐角，即有唯一解，故A错误； 对于B，由余弦定理，，即， 因，即，当且仅当时取等， 此时面积，故B正确； 对于C，设的平分线，由面积相等可得， 化简得，由可得，因，解得， 设，则， 因函数在上单调递增，故，则，故C正确； 对于D，由正弦定理，，则， 于是 ，其中为锐角，且满足， 故当时，的最大值为，故D正确. 3．（25-26高一下·天津静海·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 的最小值为. 4．（25-26高一下·河南洛阳·期中）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由已知，由余弦定理得， 整理得，结合 ， 解得（为锐角，舍去），故. 为锐角三角形，故，且 ， 得，因此. 化简 ， 令，由，可得， 则随增大而增大，当时：， 当时：，故， 所以，代入原式得 由基本不等式可得， 当且仅当即时取最小值. 验证端点值：，，故. 综上，取值范围是. 5．（24-25高一下·北京东城·期末）在锐角中，若，则_____；的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为， 所以由正弦定理得， 因为 所以，又为锐角三角形，所以， ， 因为为锐角三角形， 所以，则，得， 所以， 所以， 综上，，的取值范围是. 故答案为：； 6．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 7．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【解析】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 8．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【解析】（1）在中，因为，结合正弦定理边化角可得： ，所以， 因为，，所以，则； 因为的面积为，所以，可得， 又由余弦定理可得 解得，所以周长为 （2）由正弦定理可得， 则，， 由， 因为为锐角三角形，则，，所以， 即，则， 故， 所以周长的取值范围为. 9．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【解析】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 10．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； （2）， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 11．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）由， 根据正弦定理，得， 即， 在中，，则， 又，所以或． （2）因为为锐角三角形，所以， 由正弦定理：，即， 则 ． 又，解得， 则，即，所以． 12．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图半圆的直径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形.设. (1)当时，求； (2)求四边形面积的最大值； (3)求面积的最大值. 【解析】（1）当时 在中，. 由余弦定理得. 由正弦定理得， 故（锐角），则，即. 因此. （2）在中，由余弦定理得 四边形面积 ，所以当时，取得最大值为. （3）在中，. 在中，由余弦定理. 在中，由正弦定理， 所以 因为， 代入得 ， ，所以当时，取得最大值为. 13．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． (1)求角C； (2)已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理得， 即有，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. （2）①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得，即，即， 由①知，所以有，即， 所以，因此三角形的周长为． 14．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 【解析】（1）因为 由正弦定理，为外接圆半径. 所以，即， 所以， 又，所以． （2）（ⅰ），解得． 由余弦定理，得，所以， 所以的周长为． （ⅱ）设，，，，， 所以，则， 所以， 同理可得，所以: ， 当且仅当，即，时等号成立，所以． 又在中，， 在，， 所以． 15．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，求的最小值. 【解析】（1）因为， 根据正弦定理可得，所以是以角为直角的直角三角形. 所以. （2）因为为的费马点， 所以， 所以，，. 又， 所以， 所以. （3）因为为的费马点， 所以. 由余弦定理，，，. 又，所以. 设，，. 则，又，当且仅当时取等号. 所以 ， 由，所以. 即的最小值为，当且仅当时取等号. 16．（2026·山东泰安·模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，为中点，求的最大值． 【解析】（1）， ， ， ， ，，即， ，，，解得. （2）， 由余弦定理，，即. 由基本不等式，， 即， 当且仅当时，等号成立 解法一，两边取平方，可得： ， ， 当且仅当时，等号成立，取得最大值为. 解法二：,, 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 解法三：， 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 17．（25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； （2）由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 18．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 【解析】（1）已知，由正弦定理边化角得： ， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）由是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. （3）由余弦定理得：， 因为是锐角三角形，由余弦定理得： ， ， 故，则周长， 易知在上单调递增，得， 因此周长的取值范围为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 三角形中的范围与最值问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、范围与最值的五种解题技巧 3 知识点二、解三角形中的范围与最值问题常见题型 3 03 重难点题型 4 题型一：围绕三角形周长展开计算类问题 4 题型二：以三角形面积为考点的求解问题 4 题型三：边长、边长和的取值范围与最值求解 5 题型四：边量范围转化为内角范围分析题型 7 题型五：限定锐角三角形前提下的最值与范围 8 题型六：题干含二倍角条件的解三角形问题 9 04 过关检测 10 知识点一、范围与最值的五种解题技巧 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 知识点二、解三角形中的范围与最值问题常见题型 （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 题型一：围绕三角形周长展开计算类问题 例1．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 例3．（25-26高一下·山东泰安·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长． (3)若，求周长的取值范围. 题型二：以三角形面积为考点的求解问题 例4．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 例5．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 例6．（25-26高一下·浙江·期中）在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 变式1．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 题型三：边长、边长和的取值范围与最值求解 例7．（25-26高一下·重庆渝北·期中）记中，角，，的对边分别为，，，． (1)求的大小； (2)若，的周长为6，求的面积； (3)若，求的最大值． 例8．（24-25高一下·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 例9．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 变式2．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 变式4．（25-26高一下·福建厦门·期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. (1)求出两种符合条件的三角形的面积. (2)如图，在平面凸四边形中. ①连接当大小变化时，试用和来表示四边形面积并求的最大值. ②当时所在平面内是否存在点使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 题型四：边量范围转化为内角范围分析题型 例10．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且. (1)证明：； (2)若，求； (3)求的取值范围. 例11．（25-26高一下·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 例12．（25-26高一下·山东淄博·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 变式5．（25-26高一下·宁夏·期中）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 题型五：限定锐角三角形前提下的最值与范围 例13．（25-26高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若边中线长为，求的面积； (3)当时，的面积为，周长为，求的取值范围. 例14．（25-26高一下·山东菏泽·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求的取值范围. 例15．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 变式6．（25-26高一下·四川达州·期中）在中，角的对边分别是，且，. (1)求角的大小； (2)若边上的中线，求的面积. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 变式7．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为________. 题型六：题干含二倍角条件的解三角形问题 例16．（25-26高一下·安徽·期中）在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 例17．（23-24高一下·河南商丘·期末）在锐角中，记角的对边分别为，且，则的取值范围是_________． 例18．（多选题）（25-26高一下·江苏盐城·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对应边分别为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有两解 B．面积的最大值为 C．的平分线长度的取值范围是 D．的最大值为 3．（25-26高一下·天津静海·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 4．（25-26高一下·河南洛阳·期中）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________． 5．（24-25高一下·北京东城·期末）在锐角中，若，则_____；的取值范围是_____. 6．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 7．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 8．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 9．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 10．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 11．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 12．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图半圆的直径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形.设. (1)当时，求； (2)求四边形面积的最大值； (3)求面积的最大值. 13．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． (1)求角C； (2)已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 14．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 15．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，求的最小值. 16．（2026·山东泰安·模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，为中点，求的最大值． 17．（25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 18．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $