第03讲 等式与不等式（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦等式与不等式高考核心考点，涵盖性质应用、各类不等式求解及恒成立问题，按知识解构-题型破译-真题溯源逻辑架构，通过考向研判、框架搭建、技巧归纳、真题训练环节，系统突破基础与综合难点。 资料创新采用分层题型突破策略，如分式不等式“移项通分等价变形”模板，培养数学思维与运算能力。设置基础到综合分层训练，配合易错分析与秒杀技巧，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第03讲 等式与不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式与不等式的性质 知识点2 不等式求解 题型破译 (含超链接） 题型1 一元二次不等式求解（基础必考·填空高频） 题型2 分式不等式求解（2025-2026连年必考） 题型3 绝对值不等式求解（新考向重点） 题型4 高次不等式（穿针引线法） 题型5 含参一元二次不等式（解答小问） 题型6 一元二次不等式恒成立与存在性问题（综合高频） 题型7 不等式比大小（选择逻辑题） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不等式性质 春考第14题 / 春考第13题 解一元二次不等式 / / 秋考第3题 春考第9题 分式不等式 春考第2题 秋考第2题 春考第2题 / 考情分析 等式与不等式为基础必考模块，属中低档送分 + 中档工具题，无难题。 选择、填空题为主（核心），偶尔嵌入解答题（与函数、数列、解析几何综合）；春考更基础，侧重直接解不等式；秋考重综合，含含参讨论、恒成立 / 存在性问题。 复习目标 1. 公式性质全覆盖掌握：熟练背诵并精准运用等式、不等式八大核心性质，掌握实数大小比较的三种基础方法，无概念混淆、性质误用问题，可快速判断不等式变形、比大小题型的正误，适配高考选择、填空基础考点。 2. 各类不等式满分求解：熟练掌握一元二次、分式、绝对值、高次不等式的标准解法，牢记“大于取两边、小于取中间”“奇穿偶回”等核心口诀，严格规避分母为零、定义域遗漏等基础错误，做到基础解不等式题型100%正确率。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式与不等式的性质 1.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 2.不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 3.熟练应用两个倒数性质 (1)a<0<b⇒<； (2)ab>0，a>b⇒<. 4.牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则：(1)<；(2)>(b－m>0)；(3)>；(4)<(b－m>0). 自主检测（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 不等式求解 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 4.谨防三个易误点 (1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏. (2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. (3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅. 自主检测（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 题●型●破●译 题型1一元二次不等式求解（基础必考·填空高频） 例1-1（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 例1-2（2026·上海黄浦·二模）若，，则______． 例1-3设全集为，集合，则_______． 方法技巧 ✅ 标准解题模板：二次项化正 → 判断Δ → 求解方程根 → 口诀写解集 ✅ 秒杀技巧：a>0时，遵循「大于取两边，小于取中间」；重根题型：>/<挖空零点，≥/≤包含零点。 ✅ 适配场景：高考基础填空、函数定义域、基础参数范围计算。 易错分析 ❌ 高频易错点1：未化正二次项系数 错误根源：直接套用口诀，忽略二次项系数为负，导致解集完全颠倒。 避坑口诀：二次不等先化正，口诀通用不翻车。 ❌ 高频易错点2：忽略Δ特殊情况 错误根源：默认有两个不等实根，遗漏Δ=0、Δ<0特殊情况，填空题易漏解。 核心提醒：遇二次不等式，先判Δ，再定解集，杜绝惯性解题。 【变式训练1-1】已知，则不等式的解集为______． 【变式训练1-2】（2025·上海静安·一模）已知全集是实数集R，集合，则集合的补集___________． 【变式训练1-3】已知全集，集合，则______． 题型2 分式不等式求解（2025-2026连年必考） 例2-1（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 例2-2（2026·上海·一模）不等式的解集为__________. 方法技巧 ✅ 核心解题原则：全程等价变形，绝不随意交叉相乘 ✅ 标准解题步骤：移项通分 → 右侧化为0 → 转化整式乘积 → 剔除分母零点 → 书写解集 ✅ 秒杀口诀：分式化整式，零点单独判，等号不含分母端 易错分析 ❌ 高频易错点1：盲目交叉相乘 错误根源：未判断分母正负，直接交叉相乘，破坏不等式等价关系。 ❌ 高频易错点2：含等号遗漏分母不为0 错误根源：≤/≥题型，只考虑分子为0，忽略分母恒不为0，多出无效端点。 避坑铁律：分式不等绝不乘，移项通分保等价，分母零点必剔除。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________． 【变式训练2-2】（2025·上海闵行·一模）不等式的解集为________ 【变式训练2-3】（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________． 题型3 绝对值不等式求解（新考向重点） 例3-1（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为___________． 例3-2（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 例3-3（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 方法技巧 1. 单绝对值公式：|f(x)|<g(x)⟺−g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x)⟺f(x)>g(x)或f(x)<−g(x)。 2. 多绝对值复合：零点分段法（找零点→分区间→去绝对值→求解→合并解集）。 3. 最值题型：活用三角不等式|a|−|b|≤|a±b|≤|a|+|b|快速求值。 易错分析 ❌ 高频易错点1：绝对值模型记反 错误根源：混淆|f(x)|>a与|f(x)|<a解集，漏写单侧范围，导致解集残缺。 必背模型：|x|<a(a>0)⟺−a<x<a；|x|>a(a>0)⟺ x<−a或x>a。 ❌ 高频易错点2：零点分段不完整 错误根源：零点遗漏、区间重叠/空缺、分段化简出错，最终解集合并错误。 规范要求：严格按步骤解题，区间划分不重不漏，杜绝跳步计算。 【变式训练3-1】（2026·上海金山·二模）不等式的解集为__________． 【变式训练3-2】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 【变式训练3-3】若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 题型4 高次不等式（穿针引线法） 例4-1关于的不等式的解集为______. 例4-2若x满足，则x的取值范围为__________． 方法技巧 ✅ 标准解题流程：最高次系数化正 → 因式分解为一次式 → 标注零点 → 奇穿偶回 → 数轴上下定符号 易错分析 ❌ 高频易错点：奇穿偶回规则误用 错误根源：偶次重根零点强行穿线，或未化正最高次系数直接穿线，解集完全错误。 核心口诀：遇零看次数，奇穿偶不穿，上线大于零，下线小于零。 【变式训练4-1】关于实数x的不等式的解集是________． 【变式训练4-2】分式不等式的解集为______ 【变式训练4-3】不等式的解集为__________. 题型5 含参一元二次不等式（解答小问） 例5-1解关于x的不等式：． 例5-2已知集合,集合,若,求实数a的取值范围. 例5-3已知函数 (1)若关于的不等式的解集是.求实数的值； (2)若是关于的方程的两个根，求的最小值； (3)若，解关于的不等式 方法技巧 ✅ 固定讨论顺序（不重不漏）：二次项系数（a=0/a>0/a<0）→ 判别式Δ → 两根大小比较 易错分析 ❌ 高频易错点1：分类讨论不全面 错误根源：遗漏a=0（一次不等式）、a<0的情况，仅讨论a>0，逻辑残缺。 核心要求：含参二次不等式，必须按固定顺序完整分类，杜绝跳讨。 ❌ 高频易错点2：两根大小不讨论 错误根源：因式分解后两根含参数，未比大小直接写解集，范围颠倒出错。 典型场景：(x−1)(x−a)<0，必须分a>1、a=1、a<1三种情况求解。 【变式训练5-1】已知，关于x的不等式的解集为开区间A． (1)若，求a、b的值； (2)若，求A． 【变式训练5-2】（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【变式训练5-3】设(常数)，且已知是方程的根． （1）求函数的值域； （2）设常数，解关于x的不等式： 【变式训练5-4】已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)若不等式的解集为，且，求的取值范围. 题型6 一元二次不等式恒成立与存在性问题（综合高频） 例6-1已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 例6-2（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 例6-3已知函数. （1）求的最小正周期和值域； （2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围. 方法技巧 ✅ 万能解题模型（直接背诵） 1. ∀x,f(x)≥k恒成立⟺k≤f(x)min 2. ∀x,f(x)≤k恒成立 ⟺k≥f(x)max 3. ∃x,f(x)≥k能成立 ⟺k≤f(x)max 4. ∃x,f(x)≤k能成立 ⟺k≥f(x)min ✅ 最优解法：优先分离参数法，规避复杂分类讨论；无法分离则用二次函数图像分析。 易错分析 ❌ 高频易错点1：恒成立/存在性最值颠倒 错误表现：恒成立取最大值、存在性取最小值，直接整题失分，是综合题核心扣分点。 ❌ 高频易错点2：忽略定义域限制 错误根源：分离参数后，未结合题干x的取值范围求最值，默认全体实数求解，参数范围偏差。 【变式训练6-1】已知R，函数. （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【变式训练6-2】设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【变式训练6-3】（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 题型7 不等式比大小（选择逻辑题） 例7-1（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例7-2（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 例7-3（2025·上海奉贤·一模）设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C．时， D． 方法技巧 ✅ 解题技巧 1. 通用题型：优先作差法，零失误、适用性最强； 2. 正实数题型：作商法，对比比值与1的大小； 3. 指对混合题型：0、1中间量搭桥，快速分级无需计算。 易错分析 ❌ 高频易错点：乱用不等式性质 致命误区：牢记「可同向可加、正数同向可乘」，严禁同向相减、同向相除。 避坑方法：拒绝直觉判断，复杂比大小统一用作差法。 【变式训练7-1】（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·上海·高考真题）不等式的解集为______． 5．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 6．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 7．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 8．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 9．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 三、解答题 10．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 二、填空题 4．函数的最小值是______. 5．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 三、解答题 6．解不等式. 7． 解不等式． 8．（1）设、均为正实数，试比较和的大小. （2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海崇明·二模）不等式的解为________． 4．不等式的解集为__________. 5．不等式的解集为______． 6．（2025·上海虹口·一模）函数的定义域为___________ 7．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 重难·创新演练 1．（24-25高三下·上海·月考）已知全集，集合，，则集合可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海黄浦·一模）已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 4．已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 5．已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 6.已知. (1)当时，解关于的不等式； (2)若有两个零点，求的值； (3)若对任意，总有成立，求的取值范围. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式与不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等式与不等式的性质 知识点2 不等式求解 题型破译 (含超链接） 题型1 一元二次不等式求解（基础必考·填空高频） 题型2 分式不等式求解（2025-2026连年必考） 题型3 绝对值不等式求解（新考向重点） 题型4 高次不等式（穿针引线法） 题型5 含参一元二次不等式（解答小问） 题型6 一元二次不等式恒成立与存在性问题（综合高频） 题型7 不等式比大小（选择逻辑题） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 不等式性质 春考第14题 / 春考第13题 解一元二次不等式 / / 秋考第3题 春考第9题 分式不等式 春考第2题 秋考第2题 春考第2题 / 考情分析 等式与不等式为基础必考模块，属中低档送分 + 中档工具题，无难题。 选择、填空题为主（核心），偶尔嵌入解答题（与函数、数列、解析几何综合）；春考更基础，侧重直接解不等式；秋考重综合，含含参讨论、恒成立 / 存在性问题。 复习目标 1. 公式性质全覆盖掌握：熟练背诵并精准运用等式、不等式八大核心性质，掌握实数大小比较的三种基础方法，无概念混淆、性质误用问题，可快速判断不等式变形、比大小题型的正误，适配高考选择、填空基础考点。 2. 各类不等式满分求解：熟练掌握一元二次、分式、绝对值、高次不等式的标准解法，牢记“大于取两边、小于取中间”“奇穿偶回”等核心口诀，严格规避分母为零、定义域遗漏等基础错误，做到基础解不等式题型100%正确率。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等式与不等式的性质 1.等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 2.不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 3.熟练应用两个倒数性质 (1)a<0<b⇒<； (2)ab>0，a>b⇒<. 4.牢记四个常用不等式 若a>b>0，m>0，则：(1)<；(2)>(b－m>0)；(3)>；(4)<(b－m>0). 自主检测（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 知识点2 不等式求解 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 4.谨防三个易误点 (1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏. (2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. (3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅. 自主检测（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 题●型●破●译 题型1一元二次不等式求解（基础必考·填空高频） 例1-1（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【答案】 【详解】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 例1-2（2026·上海黄浦·二模）若，，则______． 【答案】 【详解】由题意可知：集合， 且集合，所以. 例1-3设全集为，集合，则_______． 【答案】 【详解】由， 则． 故答案为：. 方法技巧 ✅ 标准解题模板：二次项化正 → 判断Δ → 求解方程根 → 口诀写解集 ✅ 秒杀技巧：a>0时，遵循「大于取两边，小于取中间」；重根题型：>/<挖空零点，≥/≤包含零点。 ✅ 适配场景：高考基础填空、函数定义域、基础参数范围计算。 易错分析 ❌ 高频易错点1：未化正二次项系数 错误根源：直接套用口诀，忽略二次项系数为负，导致解集完全颠倒。 避坑口诀：二次不等先化正，口诀通用不翻车。 ❌ 高频易错点2：忽略Δ特殊情况 错误根源：默认有两个不等实根，遗漏Δ=0、Δ<0特殊情况，填空题易漏解。 核心提醒：遇二次不等式，先判Δ，再定解集，杜绝惯性解题。 【变式训练1-1】已知，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式训练1-2】（2025·上海静安·一模）已知全集是实数集R，集合，则集合的补集___________． 【答案】 【详解】由已知,或， 所以. 故答案为： 【变式训练1-3】已知全集，集合，则______． 【答案】 【详解】解得， 所以的解集为，即， 所以. 故答案为：. 题型2 分式不等式求解（2025-2026连年必考） 例2-1（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】因为，所以，即，所以解集为 例2-2（2026·上海·一模）不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】当时，则有，满足题意； 当时，则，由可得，解得. 故原不等式的解集为. 方法技巧 ✅ 核心解题原则：全程等价变形，绝不随意交叉相乘 ✅ 标准解题步骤：移项通分 → 右侧化为0 → 转化整式乘积 → 剔除分母零点 → 书写解集 ✅ 秒杀口诀：分式化整式，零点单独判，等号不含分母端 易错分析 ❌ 高频易错点1：盲目交叉相乘 错误根源：未判断分母正负，直接交叉相乘，破坏不等式等价关系。 ❌ 高频易错点2：含等号遗漏分母不为0 错误根源：≤/≥题型，只考虑分子为0，忽略分母恒不为0，多出无效端点。 避坑铁律：分式不等绝不乘，移项通分保等价，分母零点必剔除。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 由，化简得，解得：； 由，化简，解得； 取交集得： 【变式训练2-2】（2025·上海闵行·一模）不等式的解集为________ 【答案】 【详解】不等式等价于， 的解集为. 故答案为：. 【变式训练2-3】（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________． 【答案】 【详解】由，得，解得或， 又，所以，则. 题型3 绝对值不等式求解（新考向重点） 例3-1（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】原不等式等价于，即， 故原不等式的解集为. 例3-2（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 【答案】 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 例3-3（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 方法技巧 1. 单绝对值公式：|f(x)|<g(x)⟺−g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x)⟺f(x)>g(x)或f(x)<−g(x)。 2. 多绝对值复合：零点分段法（找零点→分区间→去绝对值→求解→合并解集）。 3. 最值题型：活用三角不等式|a|−|b|≤|a±b|≤|a|+|b|快速求值。 易错分析 ❌ 高频易错点1：绝对值模型记反 错误根源：混淆|f(x)|>a与|f(x)|<a解集，漏写单侧范围，导致解集残缺。 必背模型：|x|<a(a>0)⟺−a<x<a；|x|>a(a>0)⟺ x<−a或x>a。 ❌ 高频易错点2：零点分段不完整 错误根源：零点遗漏、区间重叠/空缺、分段化简出错，最终解集合并错误。 规范要求：严格按步骤解题，区间划分不重不漏，杜绝跳步计算。 【变式训练3-1】（2026·上海金山·二模）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】由. 所以原不等式的解集为. 【变式训练3-2】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ________． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，即取等号， 又，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练3-3】若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【详解】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 题型4 高次不等式（穿针引线法） 例4-1关于的不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为 所以. 由图可知：    . 故答案为： 例4-2若x满足，则x的取值范围为__________． 【答案】或 【详解】由，得或， 解，得，解，得， 所以x的取值范围为或. 故答案为：或 方法技巧 ✅ 标准解题流程：最高次系数化正 → 因式分解为一次式 → 标注零点 → 奇穿偶回 → 数轴上下定符号 易错分析 ❌ 高频易错点：奇穿偶回规则误用 错误根源：偶次重根零点强行穿线，或未化正最高次系数直接穿线，解集完全错误。 核心口诀：遇零看次数，奇穿偶不穿，上线大于零，下线小于零。 【变式训练4-1】关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 【变式训练4-2】分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【详解】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 【变式训练4-3】不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】， 令，因为，所以恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型5 含参一元二次不等式（解答小问） 例5-1解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 例5-2已知集合,集合,若,求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】∵，即，∵，∴， 即 ∵，即，∴，解得， 即， ∵，∴，即， 即. 例5-3已知函数 (1)若关于的不等式的解集是.求实数的值； (2)若是关于的方程的两个根，求的最小值； (3)若，解关于的不等式 【详解】（1）由题意：方程的两根为，且 所以. 所以. （2）由韦达定理可得：， 所以. 因为，所以，（当且仅当时取“=”）. 又当时，方程为，因为，所以方程有两个根. 所以的最小值为4. （3）当时，由可化为：. 因为，若，则原不等式可化为：； 若， 当时，的两根为 ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 综上可知： ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； ④当时，原不等式的解集为； 方法技巧 ✅ 固定讨论顺序（不重不漏）：二次项系数（a=0/a>0/a<0）→ 判别式Δ → 两根大小比较 易错分析 ❌ 高频易错点1：分类讨论不全面 错误根源：遗漏a=0（一次不等式）、a<0的情况，仅讨论a>0，逻辑残缺。 核心要求：含参二次不等式，必须按固定顺序完整分类，杜绝跳讨。 ❌ 高频易错点2：两根大小不讨论 错误根源：因式分解后两根含参数，未比大小直接写解集，范围颠倒出错。 典型场景：(x−1)(x−a)<0，必须分a>1、a=1、a<1三种情况求解。 【变式训练5-1】已知，关于x的不等式的解集为开区间A． (1)若，求a、b的值； (2)若，求A． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）由已知是的两个根，则； （2）由，可得， 所以不等式与不等式解集相同， 所以，所以. 【变式训练5-2】（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 【变式训练5-3】设(常数)，且已知是方程的根． （1）求函数的值域； （2）设常数，解关于x的不等式： 【详解】（1）将代入方程，解得 故 令，则，因为 所以 即的值域为 （2）() () 即() 1）当时，不等式的解集为； 2）当时，不等式的解集为； 3）当时，不等式的解集为． 4）当时，不等式的解集为． 【变式训练5-4】已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)若不等式的解集为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，函数的图象是开口向上的抛物线. 要使不等式的解集为，须满足， 整理可得，即， 解得或，又因为，所以. 所以的取值范围是； （2）由可得，即. 由可得，则上式可化为①. 因为方程的两根为， 又因为，所以可得，所以①式可解得或. 所以不等式的解集为； （3）不等式可得， 因为不等式的解集为，且， 所以当时，恒成立，即恒成立. 因为，所以在时恒成立. 设，则. 因为（当且仅当时取等号），所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 题型6 一元二次不等式恒成立与存在性问题（综合高频） 例6-1已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 例6-2（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 例6-3已知函数. （1）求的最小正周期和值域； （2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期，值域为；（2）. 【详解】解：（1） ∴的为最小正周期， 值域为； （2）记，则， 由恒成立， 知恒成立，即恒成立， ∵∴. ∵在时单调递增 ∴k的取值范围是 方法技巧 ✅ 万能解题模型（直接背诵） 1. ∀x,f(x)≥k恒成立⟺k≤f(x)min 2. ∀x,f(x)≤k恒成立 ⟺k≥f(x)max 3. ∃x,f(x)≥k能成立 ⟺k≤f(x)max 4. ∃x,f(x)≤k能成立 ⟺k≥f(x)min ✅ 最优解法：优先分离参数法，规避复杂分类讨论；无法分离则用二次函数图像分析。 易错分析 ❌ 高频易错点1：恒成立/存在性最值颠倒 错误表现：恒成立取最大值、存在性取最小值，直接整题失分，是综合题核心扣分点。 ❌ 高频易错点2：忽略定义域限制 错误根源：分离参数后，未结合题干x的取值范围求最值，默认全体实数求解，参数范围偏差。 【变式训练6-1】已知R，函数. （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）当时，，所以 ①若，则变为，或， 所以； ②若，则变为，， 所以 由①②可得，的解集为. （2）， 即其中 令，其中， 对于任意的､且， 则 由于， 所以，，， 所以 所以，故， 所以函数在区间上是增函数 所以， 即，故 (说明的单调性可以用定义也可以求导证明，不写过程扣2分) 【变式训练6-2】设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【详解】（1）不等式. 即对一切实数恒成立， 当时，， 即不等式仅对成立，不满足题意， 当时，要使对一切实数恒成立. 则，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）当时，解得. 当时，. ①若，的解为； ②若，当即时，解得. 当时，，的解为或. 当时，，的解为或. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 【变式训练6-3】（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 【详解】（1）当，，时，， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）， 若，当时的二次项系数为负导致当时，， 当时，，均不满足恒成立，故， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. （3）必要性：对于，取， 因为函数在上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在上是严格增函数. 题型7 不等式比大小（选择逻辑题） 例7-1（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 例7-2（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 例7-3（2025·上海奉贤·一模）设、为实数，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C．时， D． 【答案】D 【详解】因为、为实数，且， 当，，A选项错误； 当，，B选项错误； 当时，，C选项错误； 当，所以，D选项正确； 故选：D. 方法技巧 ✅ 解题技巧 1. 通用题型：优先作差法，零失误、适用性最强； 2. 正实数题型：作商法，对比比值与1的大小； 3. 指对混合题型：0、1中间量搭桥，快速分级无需计算。 易错分析 ❌ 高频易错点：乱用不等式性质 致命误区：牢记「可同向可加、正数同向可乘」，严禁同向相减、同向相除。 避坑方法：拒绝直觉判断，复杂比大小统一用作差法。 【变式训练7-1】（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 【变式训练7-2】（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件； B.当满足，不满足，所以B不是充分条件； C.若，又因为，所以，所以C是充分条件； D.，，满足，不满足，故D不是充分条件. 故选：C 【变式训练7-3】（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 3．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 二、填空题 4．（2023·上海·高考真题）不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由得，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 6．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 7．（2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 9．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 10．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 【详解】（1）由题设，甲变化为，则， ∴，解得. （2）由题设，，又， ∴， 当，即时，则，恒成立； 当，即时，则，解得：或. 综上，不等式解集为. （3）由题设，，则， ，则， ∵当成立，在上单调递增， ∴， ∴对于任意总存在成立， ∴在R上单调递增，得证 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将不等式移项得，通分得，即， 等价于，解得，故C正确. 2．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 3．高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 【答案】C 【详解】令， 对于A：不等式变为，解得，但，所以n不存在，故原不等式解集为，所以A正确 对于B：由，即，所以满足的整数或或. 若，则；若，则；若，则. 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：因为，所以或或或. 而恒成立，即对恒成立，不等式变形为， 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以要对恒成立，得，故C不正确； 对于D：因为不等式的解集为，即时满足，时不满足. 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即. 综上所述，得，故D正确. 故选：C 二、填空题 4．函数的最小值是______. 【答案】 【详解】因为（当即时取等号）. 故答案为：2 5．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由; 结合绝对值三角不等式得到； 因为对任意的，不等式恒成立； 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 6．解不等式. 【答案】或 【详解】原不等式等价于   由①，得，或，∴，或. 由②，得，∴. 如图所示，原不等式的解集为或. 7．解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 8．（1）设、均为正实数，试比较和的大小. （2）已知、为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 【详解】（1）， 当时，，则， 当时，， 当时，，则. （2）由三角不等式有：， 当且仅当取等号， 同理， 当且仅当取等号， 两式相加， 当且仅当取等号， 即：，当且仅当取等号. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解不等式，得或， 所以不等式的解集为或. 2．（2024·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故A正确； 对于B：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故C错误； 对于D：因为函数在上单调递减， 所以当时，，故D错误； 故选：A 3．（2026·上海崇明·二模）不等式的解为________． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【详解】解：， ，解得， 故不等式的解为． 4．不等式的解集为__________. 【答案】或. 【详解】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 5．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果. 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 6．（2025·上海虹口·一模）函数的定义域为___________ 【答案】 【详解】由题意得，即，解得或， 所以定义域为. 故答案为： 7．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)严格单调增区间为 和 ，严格单调减区间为 和 . (2) 【详解】（1）， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. （2），即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 重难·创新演练 1．（24-25高三下·上海·月考）已知全集，集合，，则集合可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：集合M表示为椭圆上点的横坐标的取值范围， ，即且 ，解得：， 所以集合， 则或 ， 而，则有，解得； 所以集合, 所以. 故选：B. 2．（2025·上海黄浦·一模）已知点，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则. 因为，所以. 所以. 所以. 所以. 其中当与同时取最大值时，即与时，取得最大值，最大值为.此时，点重合，坐标为或. 当与同时取最小值时，即与时，取得最小值，最小值为.此时，点的坐标分别为或. 所以的取值范围是. 故选：B. 3．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 4．已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或； (2) 【详解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， 又或， 所以或或； （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 又且， 当时，，满足题意， 当时，， 所以或，结合解得，， 当时，， 所以，得. 综上，实数的取值范围为. 5．已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 【详解】（1）因为， 所以， 令， 因为，两个根为， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极值，所以有两个极值点； 由， 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为：. （2）由， 设， 则， ， 所以， 所以当时，. 6.已知. (1)当时，解关于的不等式； (2)若有两个零点，求的值； (3)若对任意，总有成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得或，则， 所以不等式的解集为. （2）函数， 当时，的对称轴为， 当时，的对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而有两个零点，则，即， 所以. （3）依题意，当时，， 当时，函数在上单调递增， ，解得，矛盾； 当时，即时，， ，则，解得，因此； 当，即时，， ，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $