第5章概率（期末复习讲义）高一数学下学期湘教版

第5章 概率（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 样本空间与事件的表示 题型二 事件的关系与运算 题型三 互斥事件与对立事件 题型四 概率的基本性质 题型五 概率的加法公式应用 题型六 古典概型——列举法 题型七 古典概型——组合数法 题型八 事件的相互独立性判断 题型九 独立事件的概率计算 题型十 概率综合应用 题型十一 频率与概率、随机模拟 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 本章是湘教版必修第二册的重要章节，也是高考的必考内容。概率部分主要研究随机现象的规律性，包括随机事件、古典概型、事件的独立性与概率计算。期末分值占比约10%~15%，选择题、填空题、解答题均有涉及，常与统计知识交汇考查。 核心考点 复习目标 考情规律 随机试验与样本空间 理解随机试验三要素，能正确写出样本空间 基础考点，掌握列举样本点的方法 事件的关系与运算 理解事件的包含、相等、并、交、互斥、对立关系 核心考点，是概率计算的逻辑基础 概率的基本性质 掌握概率的6条基本性质，会利用性质求概率 高频考点，常与互斥对立事件结合 古典概型 理解古典概型的两个特征，掌握概率计算公式 必考内容，选择填空解答均有考查 互斥事件的概率加法公式 掌握 核心考点，注意与一般加法公式区分 对立事件的概率 掌握 必考内容，"正难则反"的重要工具 列举法求概率 掌握列表法和树状图法，做到不重不漏 考查重点，常与组合数法交替使用 事件的相互独立性 理解独立事件的定义，会用公式 核心考点，注意与互斥事件的区分 独立事件概率计算 能计算独立事件同时发生、至少一个发生等概率 高频考点，常与互斥事件综合考查 频率与概率 理解频率的稳定性和概率的确定性含义 基础概念，理解大数定律思想 随机模拟 了解随机数的产生方法，会用模拟法估计概率 了解层面，偶有选择题考查 考情总结：本章分值占比约10%~15%，是期末考试的重点得分章节。 易错点集中在： ① 互斥事件与独立事件的概念混淆（互斥→不能同时发生，独立→互不影响）； ② 古典概型中样本点列举不重不漏（常用列表法或树状图）； ③ 概率加法公式忘记减去交事件概率（非互斥时； ④ 独立事件同时发生用乘法，互斥事件至少一个发生用加法。 知识点01 随机事件与样本空间 1. 随机试验的三要素： ① 试验可以在相同条件下重复进行；② 所有可能结果是明确可知的，且不止一个；③ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 2. 样本空间与样本点 概念 定义 示例（掷一颗骰子） 样本点 随机试验中每种可能的结果 1, 2, 3, 4, 5, 6 样本空间Ω 所有样本点构成的集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 随机事件 样本空间的子集 A="点数大于4"={5, 6} 必然事件 一定会发生的事件，Ω本身 点数≤6 不可能事件 一定不会发生的事件，∅ 点数=7 易错点：① 样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果；② 注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合；③ 在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 知识点02 事件的关系和运算 关系/运算 定义 符号 文氏图 包含关系 事件A发生则事件B一定发生 A⊆B A在B内部 相等关系 A⊆B且B⊆A A=B 两事件重合 并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B A和B的并集 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 A∩B（或AB） A和B的交集 互斥事件 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=∅ A和B无交集 对立事件 A∪B=Ω且A∩B=∅ B=Ā 互补关系 易错点：① 互斥不一定对立，但对立一定互斥；② 两个互斥事件也有可能都不发生，但对立事件必有一个发生；③ "至少有一个"对应并事件，"同时发生"对应交事件。 知识点03 概率的基本性质 性质 内容 性质1（非负性） 对任意事件A，有P(A) ≥ 0 性质2（规范性） P(Ω)=1，P(∅)=0 性质3（互斥加法） 若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B) 性质4（对立） P(Ā)=1-P(A) 性质5（单调性） 若A⊆B，则P(A) ≤ P(B) 性质6（一般加法） P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 注意：性质3仅适用于互斥事件；性质6是通用公式，对任意事件都成立。当A、B互斥时，P(AB)=0，性质6退化为性质3。 知识点04 古典概型 1. 古典概型的两个特征： ① 有限性：样本空间包含有限个样本点； ② 等可能性：每个样本点出现的可能性相等。 2. 古典概型的概率公式： 3. 古典概型的解题步骤： ① 判断是否为古典概型（有限性+等可能性）； ② 计算样本点总数n； ③ 计算事件A包含的样本点个数k； ④ 代入公式P。 易错点：① 确认是否"等可能"——如骰子应质地均匀、抽签应随机；② 区分"有序"和"无序"——放回抽样有序，不放回抽样一般不考虑顺序；③ 列举样本点时用列表法或树状图确保不重不漏。 知识点05 事件的相互独立性 1. 独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立。 2. 独立事件的性质： ① 若A与B相互独立，则A与B̄、Ā与B、Ā与B̄也相互独立； ② 独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)； ③ 独立事件至少一个发生的概率：P(A∪B)=1-P(Ā)P(B̄)。 3. 互斥事件与独立事件的区分： 互斥事件 独立事件 定义 不能同时发生 发生互不影响 公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) 关系 若P(A)>0，P(B)>0，则互斥一定不独立 独立一定不互斥（除非有零概率事件） 易错点：① 不要混淆互斥和独立——互斥是"不能同时发生"，独立是"互不影响"；② 有放回抽样是独立事件，无放回抽样不是独立事件；③ "至少一个发生"常用"1-都不发生"来计算。 知识点06 频率与概率 概念 区别 联系 频率 随试验次数变化，是随机变量 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 概率 确定的常数，不随试验次数变化 概率是频率的稳定值（大数定律思想） 注意：① 频率并不等于概率，只是概率的估计；② 试验次数越多，频率一般越接近概率；③ 随机模拟（蒙特卡洛方法）就是利用大量随机数模拟试验来逼近概率。 题型一　样本空间与事件的表示 解｜题｜技｜巧 写样本空间的关键是"不重不漏"。可用列举法、列表法或树状图。 易｜错｜点｜拨 1. 写样本空间容易遗漏样本点、重复计数，必须按顺序列举，不重不漏； 1. 分不清有序和无序试验，如掷多枚硬币、先后取球是有序，组合取数是无序； 1. 混淆样本点（单个结果元素）和样本空间（所有结果构成的集合）； 1. 随机事件是样本空间的子集，不能写成单个元素而非集合形式。 【典例1】选择合适的表示方法，写出下列试验的样本空间： （1）种下一粒种子，观察是否发芽，则该试验的样本空间　　； （2）甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果，则该试验的样本空间　　． 变式1：连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上． ①写出这个试验的所有样本点； ②求这个试验的样本点的总数； ③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？ 变式2：1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中一次任取两球． （1）写出这个试验的样本空间； （2）求这个试验的样本点的总数； （3）写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件中所包含的样本点． 题型二　事件的关系与运算 解｜题｜技｜巧 "至少有一个"→并集(∪)；"同时发生"→交集(∩)；"都不发生"→各事件对立事件的交集。准确用符号表示事件是概率运算的前提。 易｜错｜点｜拨 1. 文字语言转符号易出错：至少一个对应并事件，同时发生对应交事件，都不发生是对立事件的交； 1. 混淆“恰有一个” “至少一个” “至多一个”的事件表达式，乱用并、交、对立符号； 1. 多个事件运算时漏加括号，逻辑层次混乱； 1. 不会用对立事件简化“都不发生” “至多”类表述。 【典例2】 向上抛掷一枚骰子，设事件 “点数为2或4”，事件 “点数为2或6”，事件 “点数为偶数”，则事件与，的运算关系是 　　． 变式1：设，，分别表示甲、乙、丙击中目标，用三个随机事件，，及其运算关系式表示下列各事件： （1）三人都击中目标； （2）至少有一人没击中目标； （3）恰有一人击中目标； （4）至少有一人击中目标． 变式2：一工人生产了四件产品，以表示他生产的第件产品是正品，2，3，，试用事件，2，3，的运算关系表示下列事件： （1）没有一件产品是次品； （2）至少有一件产品是次品； （3）恰有一件产品是次品； （4）至少有两件产品不是次品； （5）最多有一件次品． 题型三　互斥事件与对立事件 解｜题｜技｜巧 判断互斥：两事件能否同时发生。不能→互斥(A∩B=∅)。判断对立：互斥 + A∪B=Ω。对立⊂互斥，互斥不一定对立。互斥用加法P(A∪B)=P(A)+P(B)，对立用P(Ā)=1-P(A)。 易｜错｜点｜拨 1. 核心误区：认为互斥就是对立，记住：对立一定互斥，互斥不一定对立； 1. 互斥事件只是不能同时发生，可以都不发生；对立事件必有且只有一个发生； 1. 判断时不验证，只看无交集就判定对立； 1. 含概率数值时，忽略时互斥必不独立的结论。 【典例3】一个正八面体，8个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件A＝“数字为奇数”，事件B＝“数字为2或5”，则A与B的关系是（　　） A．互斥且相互独立 B．互斥但不相互独立 C．相互独立但不互斥 D．既不相互独立也不互斥 变式1：袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件 “第一次摸到白球”，事件 “第二次摸到白球”，事件 “第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是　　 A．事件与为互斥事件 B．事件与为对立事件 C．事件与为非相互独立事件 D．事件与为相互独立事件 变式2：抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： “点数为奇数”， “点数为偶数”， “点数大于2”， “点数不大于2”， “点数为1”．则下列结论不正确的是　　 A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 题型四　概率的基本性质 解｜题｜技｜巧 6条性质：非负性P(A)≥0、规范性P(Ω)=1、互斥加法、对立P(Ā)=1-P(A)、单调性A⊆B⇒P(A)≤P(B)、一般加法P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。"至少有一个"常用"1-都不发生"即"正难则反"。 易｜错｜点｜拨 1. 乱用加法公式，非互斥事件直接用，忘记减； 1. 忽略概率范围：任意事件概率满足，计算出负数或大于1不检验； 1. 不会用单调性：，做范围题易出错； 1. 对立事件公式使用场景混淆，分不清互斥对立。 【典例4】下列说法正确的是　　 ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为（A），则（A）． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 变式1：下列结论正确的是　　 A．事件的概率（A）的值满足（A） B．若（A），则为必然事件 C．一批灯泡的合格率是，从这批灯泡中任取一个，是合格品的可能性是 D．若（A），则为不可能事件 变式2：下列说法正确的是　　 A．任何事件的概率总是在之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 题型五　概率的加法公式应用 解｜题｜技｜巧 互斥时：P(A∪B)=P(A)+P(B)。非互斥时：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。关键在于判断事件是否互斥，以及正确计算P(AB)。 易｜错｜点｜拨 1. 不先判断事件是否互斥，直接套用互斥加法公式； 1. 求“能被2或3整除”这类题型，忘记减去重复交集（能被6整除）的概率； 1. 一般加法公式记忆不全，漏减交事件； 1. 把“或”直接等同于互斥，默认无交集导致计算偏大。 【典例5】已知随机事件和互斥，且，（B），则等于　　 A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2 变式1：已知随机事件和互斥，和对立，且，（B），则（C）　　 A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 变式2：若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且（A），（B），则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 题型六　古典概型——列举法 解｜题｜技｜巧 适用条件：样本点总数较少，可枚举。方法：列表法、树状图法、直接穷举。步骤：判断古典型→列举样本空间Ω→数k→P(A)=k/n。 易｜错｜点｜拨 1. 不先判断古典概型两大特征：有限性、等可能性，非等可能问题乱用古典概型公式； 1. 列举样本点无序乱列，出现重复、遗漏，不用列表/树状图规范列举； 1. 有序、无序混淆：不放回取数当作有序，放回抽样当作无序； 1. 计算事件包含样本点个数时，多算或少算符合条件的结果。 【典例6】若，，0，1，，则函数有零点的概率为　　 A． B． C． D． 变式1：如果关于的一元二次方程中，是投掷骰子所得的数字，2，3，4，5，，则该二次方程有两个不等实数根的概率　　 A． B． C． D． 变式2：从，这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和大于的概率为　　 A． B． C． D． 题型七　古典概型——组合数法 解｜题｜技｜巧 适用条件：样本点较多，无法枚举。用排列组合计数：n=总选取方式数，k=满足条件的方式数。不放回抽样用组合C(n,m)；放回抽样有顺序用乘积。 易｜错｜点｜拨 1. 分不清排列与组合：无顺序选取用组合，有顺序用排列； 1. 总基本事件数和符合条件事件数计数标准不统一（一个有序一个无序）； 1. “至少、至多”问题直接正面计数，情况多易算错，不会用正难则反求对立； 1. 男生女生、正品次品抽样时，分层组合计算漏项、错项。 【典例7】新高考按照“”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为　　 A． B． C． D． 变式1：已知A，B两个盒子中均有除颜色外其它完全相同的3个红球和3个白球，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（　　） A． B． C． D． 变式2：江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为　　 A． B． C． D． 题型八　事件的相互独立性判断 解｜题｜技｜巧 独立性定义：P(AB)=P(A)P(B)。判断途径：①有放回抽样一般独立；②不同试验结果一般独立；③用定义计算验证。注意：若P(A)>0,P(B)>0且A、B互斥，则A、B一定不独立。 易｜错｜点｜拨 1. 概念混淆：把互斥当成独立，互斥是不能同时发生，独立是发生互不影响； 1. 凭主观感觉判独立，不用定义验证； 1. 误认为无放回抽样事件独立，实际只有有放回抽样才相互独立； 1. 忽略结论：时，互斥事件一定不独立。 【典例8】有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件． （1）试判断，是否为相互独立事件，并说明理由； （2）求． 变式1：一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件．试判断是否为相互独立事件． 变式2：一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球． （1）“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球“记为事件． （2）“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件．试分别判断（1）（2）中的，是否为相互独立事件． 题型九　独立事件的概率计算 解｜题｜技｜巧 同时发生：P(AB)=P(A)P(B)。至少一个：P(A∪B)=1-P(Ā)P(B̄)。多个独立事件：P(A₁A₂…Aₙ)=∏P(Aᵢ)。 易｜错｜点｜拨 1. 独立事件同时发生乱用加法，应该用乘法； 1. “至少一个发生”直接正面计算，不会用简化； 1. 多个独立事件恰有k个发生，漏乘组合数； 1. 混淆“恰有一个” “至少一个” “都发生” “都不发生”的计算公式。 【典例9】 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从到这部分电路畅通的概率为　　 A． B． C． D． 变式1：为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮比赛中，甲和乙猜对与互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为　　 A． B． C． D． 变式2：公司要求甲、乙、丙3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少2人在规定时间内完成任务的概率为 　　． 【解析】3个人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3人中恰有2人完成 题型十　概率综合应用 解｜题｜技｜巧 复杂问题先理清事件关系：区分互斥与独立、有序与无序。同一试验事件用加法和列举；不同试验事件用乘法。"至多""至少"优先考虑对立事件。 易｜错｜点｜拨 1. 综合题分不清同一次试验（用加法、互斥对立）和不同试验（用乘法、独立）； 1. 至少两人通过、恰两人通过等复杂事件，分类遗漏情况； 1. 独立与互斥混杂题型，乱用公式，不先梳理事件关系； 1. 计算小数概率时，四舍五入出错，分步计算中间值不保留精度。 【典例10】 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和．求： （1）两个人都译出密码的概率； （2）两个人都译不出密码的概率； （3）恰有一个人译出密码的概率； （4）至多有一个人译出密码的概率； （5）至少有一个人译出密码的概率． 变式1：在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在处击中目标得3分，在，处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在处击中目标的概率为，在，处击中目标的概率均为，该同学依次在，，处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分的概率； （2）该同学得分不超过3分的概率． 变式2：在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件 “与地面接触的面上的数字为奇数”，事件 “与地面接触的面上的数字不大于4” （1）判断事件与是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； （2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 题型十一　频率与概率、随机模拟 解｜题｜技｜巧 频率是概率的估计值，试验次数越大频率越接近概率（大数定律）。随机模拟：按比例用数字代表不同结果来模拟试验，通过大量模拟估算概率。 易｜错｜点｜拨 1. 错误认为频率就是概率，频率是随机变化值，概率是固定常数； 1. 不理解大数定律：试验次数越少，频率离概率偏差越大； 1. 随机模拟时，数字区间划分错误，对错命中、不命中的编码标准； 1. 统计模拟组数时，数错符合条件的组数，导致频率估计概率出错； 1. 混淆随机模拟是估计概率，不是精确计算概率。 【典例11】 下列说法正确的是　　 ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为（A），则（A）． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 变式1：下列说法正确的是　　 A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是 变式2：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天降雨的概率约为　　． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 2．已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A． B． C． D． 4．袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 5．有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是__________；从第3个盒子中取到白球的概率是__________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） 2．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 3．(多选）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 4．(多选）已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 5．某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值以及自习时间在内的学生人数； (2)估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 2．小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 3．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 4．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 概率（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 样本空间与事件的表示 题型二 事件的关系与运算 题型三 互斥事件与对立事件 题型四 概率的基本性质 题型五 概率的加法公式应用 题型六 古典概型——列举法 题型七 古典概型——组合数法 题型八 事件的相互独立性判断 题型九 独立事件的概率计算 题型十 概率综合应用 题型十一 频率与概率、随机模拟 过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效 本章是湘教版必修第二册的重要章节，也是高考的必考内容。概率部分主要研究随机现象的规律性，包括随机事件、古典概型、事件的独立性与概率计算。期末分值占比约10%~15%，选择题、填空题、解答题均有涉及，常与统计知识交汇考查。 核心考点 复习目标 考情规律 随机试验与样本空间 理解随机试验三要素，能正确写出样本空间 基础考点，掌握列举样本点的方法 事件的关系与运算 理解事件的包含、相等、并、交、互斥、对立关系 核心考点，是概率计算的逻辑基础 概率的基本性质 掌握概率的6条基本性质，会利用性质求概率 高频考点，常与互斥对立事件结合 古典概型 理解古典概型的两个特征，掌握概率计算公式 必考内容，选择填空解答均有考查 互斥事件的概率加法公式 掌握 核心考点，注意与一般加法公式区分 对立事件的概率 掌握 必考内容，"正难则反"的重要工具 列举法求概率 掌握列表法和树状图法，做到不重不漏 考查重点，常与组合数法交替使用 事件的相互独立性 理解独立事件的定义，会用公式 核心考点，注意与互斥事件的区分 独立事件概率计算 能计算独立事件同时发生、至少一个发生等概率 高频考点，常与互斥事件综合考查 频率与概率 理解频率的稳定性和概率的确定性含义 基础概念，理解大数定律思想 随机模拟 了解随机数的产生方法，会用模拟法估计概率 了解层面，偶有选择题考查 考情总结：本章分值占比约10%~15%，是期末考试的重点得分章节。 易错点集中在： ① 互斥事件与独立事件的概念混淆（互斥→不能同时发生，独立→互不影响）； ② 古典概型中样本点列举不重不漏（常用列表法或树状图）； ③ 概率加法公式忘记减去交事件概率（非互斥时； ④ 独立事件同时发生用乘法，互斥事件至少一个发生用加法。 知识点01 随机事件与样本空间 1. 随机试验的三要素： ① 试验可以在相同条件下重复进行；② 所有可能结果是明确可知的，且不止一个；③ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 2. 样本空间与样本点 概念 定义 示例（掷一颗骰子） 样本点 随机试验中每种可能的结果 1, 2, 3, 4, 5, 6 样本空间Ω 所有样本点构成的集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 随机事件 样本空间的子集 A="点数大于4"={5, 6} 必然事件 一定会发生的事件，Ω本身 点数≤6 不可能事件 一定不会发生的事件，∅ 点数=7 易错点：① 样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果；② 注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合；③ 在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 知识点02 事件的关系和运算 关系/运算 定义 符号 文氏图 包含关系 事件A发生则事件B一定发生 A⊆B A在B内部 相等关系 A⊆B且B⊆A A=B 两事件重合 并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B A和B的并集 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 A∩B（或AB） A和B的交集 互斥事件 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=∅ A和B无交集 对立事件 A∪B=Ω且A∩B=∅ B=Ā 互补关系 易错点：① 互斥不一定对立，但对立一定互斥；② 两个互斥事件也有可能都不发生，但对立事件必有一个发生；③ "至少有一个"对应并事件，"同时发生"对应交事件。 知识点03 概率的基本性质 性质 内容 性质1（非负性） 对任意事件A，有P(A) ≥ 0 性质2（规范性） P(Ω)=1，P(∅)=0 性质3（互斥加法） 若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B) 性质4（对立） P(Ā)=1-P(A) 性质5（单调性） 若A⊆B，则P(A) ≤ P(B) 性质6（一般加法） P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 注意：性质3仅适用于互斥事件；性质6是通用公式，对任意事件都成立。当A、B互斥时，P(AB)=0，性质6退化为性质3。 知识点04 古典概型 1. 古典概型的两个特征： ① 有限性：样本空间包含有限个样本点； ② 等可能性：每个样本点出现的可能性相等。 2. 古典概型的概率公式： 3. 古典概型的解题步骤： ① 判断是否为古典概型（有限性+等可能性）； ② 计算样本点总数n； ③ 计算事件A包含的样本点个数k； ④ 代入公式P。 易错点：① 确认是否"等可能"——如骰子应质地均匀、抽签应随机；② 区分"有序"和"无序"——放回抽样有序，不放回抽样一般不考虑顺序；③ 列举样本点时用列表法或树状图确保不重不漏。 知识点05 事件的相互独立性 1. 独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立。 2. 独立事件的性质： ① 若A与B相互独立，则A与B̄、Ā与B、Ā与B̄也相互独立； ② 独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)； ③ 独立事件至少一个发生的概率：P(A∪B)=1-P(Ā)P(B̄)。 3. 互斥事件与独立事件的区分： 互斥事件 独立事件 定义 不能同时发生 发生互不影响 公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) 关系 若P(A)>0，P(B)>0，则互斥一定不独立 独立一定不互斥（除非有零概率事件） 易错点：① 不要混淆互斥和独立——互斥是"不能同时发生"，独立是"互不影响"；② 有放回抽样是独立事件，无放回抽样不是独立事件；③ "至少一个发生"常用"1-都不发生"来计算。 知识点06 频率与概率 概念 区别 联系 频率 随试验次数变化，是随机变量 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 概率 确定的常数，不随试验次数变化 概率是频率的稳定值（大数定律思想） 注意：① 频率并不等于概率，只是概率的估计；② 试验次数越多，频率一般越接近概率；③ 随机模拟（蒙特卡洛方法）就是利用大量随机数模拟试验来逼近概率。 题型一　样本空间与事件的表示 解｜题｜技｜巧 写样本空间的关键是"不重不漏"。可用列举法、列表法或树状图。 易｜错｜点｜拨 1. 写样本空间容易遗漏样本点、重复计数，必须按顺序列举，不重不漏； 1. 分不清有序和无序试验，如掷多枚硬币、先后取球是有序，组合取数是无序； 1. 混淆样本点（单个结果元素）和样本空间（所有结果构成的集合）； 1. 随机事件是样本空间的子集，不能写成单个元素而非集合形式。 【典例1】选择合适的表示方法，写出下列试验的样本空间： （1）种下一粒种子，观察是否发芽，则该试验的样本空间　　； （2）甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果，则该试验的样本空间　　． 【解析】（1）种下一粒种子，观察是否发芽，则该试验的样本空间种子发芽，种子不发芽．（2）甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果，则该试验的样本空间甲胜，甲负，平局．故答案为：（1）种子发芽，种子不发芽；（2）甲胜，甲负，平局． 变式1：连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上． ①写出这个试验的所有样本点； ②求这个试验的样本点的总数； ③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？ 【解析】①根据题意得这个试验的所有样本点为（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）； ②由①罗列情况可得样本点总数为8； ③从①中可找出“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含的样本点为（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）． 变式2：1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中一次任取两球． （1）写出这个试验的样本空间； （2）求这个试验的样本点的总数； （3）写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件中所包含的样本点． 【解析】（1）这个试验对应的样本空间为，13，14，15，23，24，25，34，35，． （2）由（1）知试验的样本点的总数为10． （3）取出的两球上的数字之和是6这一事件中所包含的样本点为15，24，51，42． 题型二　事件的关系与运算 解｜题｜技｜巧 "至少有一个"→并集(∪)；"同时发生"→交集(∩)；"都不发生"→各事件对立事件的交集。准确用符号表示事件是概率运算的前提。 易｜错｜点｜拨 1. 文字语言转符号易出错：至少一个对应并事件，同时发生对应交事件，都不发生是对立事件的交； 1. 混淆“恰有一个” “至少一个” “至多一个”的事件表达式，乱用并、交、对立符号； 1. 多个事件运算时漏加括号，逻辑层次混乱； 1. 不会用对立事件简化“都不发生” “至多”类表述。 【典例2】 向上抛掷一枚骰子，设事件 “点数为2或4”，事件 “点数为2或6”，事件 “点数为偶数”，则事件与，的运算关系是 　　． 【解析】由题意可知，事件 “点数为偶数” “点数为2或4或6”， ，故答案为：． 变式1：设，，分别表示甲、乙、丙击中目标，用三个随机事件，，及其运算关系式表示下列各事件： （1）三人都击中目标； （2）至少有一人没击中目标； （3）恰有一人击中目标； （4）至少有一人击中目标． 【解析】（1），，分别表示甲、乙、丙击中目标，三人都击中目标为：； （2），，分别表示甲、乙、丙击中目标，至少有一人没击中目标为：； （3），，分别表示甲、乙、丙击中目标，恰有一人击中目标为：； （4），，分别表示甲、乙、丙击中目标，至少有一人击中目标为：． 变式2：一工人生产了四件产品，以表示他生产的第件产品是正品，2，3，，试用事件，2，3，的运算关系表示下列事件： （1）没有一件产品是次品； （2）至少有一件产品是次品； （3）恰有一件产品是次品； （4）至少有两件产品不是次品； （5）最多有一件次品． 【解析】（1）没有一件产品是次品表示为：； （2）至少有一件产品是次品表示为：； （3）恰有一件产品是次品表示为：； （4）至少有两件产品不是次品表示为：； （5）最多有一件次品表示为：． 题型三　互斥事件与对立事件 解｜题｜技｜巧 判断互斥：两事件能否同时发生。不能→互斥(A∩B=∅)。判断对立：互斥 + A∪B=Ω。对立⊂互斥，互斥不一定对立。互斥用加法P(A∪B)=P(A)+P(B)，对立用P(Ā)=1-P(A)。 易｜错｜点｜拨 1. 核心误区：认为互斥就是对立，记住：对立一定互斥，互斥不一定对立； 1. 互斥事件只是不能同时发生，可以都不发生；对立事件必有且只有一个发生； 1. 判断时不验证，只看无交集就判定对立； 1. 含概率数值时，忽略时互斥必不独立的结论。 【典例3】一个正八面体，8个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件A＝“数字为奇数”，事件B＝“数字为2或5”，则A与B的关系是（　　） A．互斥且相互独立 B．互斥但不相互独立 C．相互独立但不互斥 D．既不相互独立也不互斥 【解析】事件A与事件B的交事件为“数字5”，∴事件A与事件B不互斥， P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝， 则P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A与事件B相互独立但不互斥．故选：C． 变式1：袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件 “第一次摸到白球”，事件 “第二次摸到白球”，事件 “第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是　　 A．事件与为互斥事件 B．事件与为对立事件 C．事件与为非相互独立事件 D．事件与为相互独立事件 【解析】与可以同时发生，但是不放回的摸球第一次对第二次有影响， 事件与不为互斥，也不是相互独立事件，故错误，正确； 事件与事件能同时发生，不是对立事件，故错误； 事件与事件，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生， 不是相互独立事件，故错误．故选：． 变式2：抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件： “点数为奇数”， “点数为偶数”， “点数大于2”， “点数不大于2”， “点数为1”．则下列结论不正确的是　　 A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子， 点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，即，为对立事件，正确；点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，即，为对立事件，错误；点数为奇数与点数大于2可能同时发生，即，不是互斥事件，正确； 点数大于2与点数为1不可能同时发生，即，是互斥事件，正确．故选：． 题型四　概率的基本性质 解｜题｜技｜巧 6条性质：非负性P(A)≥0、规范性P(Ω)=1、互斥加法、对立P(Ā)=1-P(A)、单调性A⊆B⇒P(A)≤P(B)、一般加法P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。"至少有一个"常用"1-都不发生"即"正难则反"。 易｜错｜点｜拨 1. 乱用加法公式，非互斥事件直接用，忘记减； 1. 忽略概率范围：任意事件概率满足，计算出负数或大于1不检验； 1. 不会用单调性：，做范围题易出错； 1. 对立事件公式使用场景混淆，分不清互斥对立。 【典例4】下列说法正确的是　　 ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为（A），则（A）． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【解析】对于①，如果，，那么“”是必然事件，故①错误； 对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概率，但不一定等于概率，故②错误； 对于③，如果一事件发生的概率为，那么只能说明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说是必然事件，故③错误； 对于④，确定事件也有概率，故④错误； 对于⑤，若事件发生的概率为（A），由概率的性质可知（A）．故⑤正确． 故选：． 变式1：下列结论正确的是　　 A．事件的概率（A）的值满足（A） B．若（A），则为必然事件 C．一批灯泡的合格率是，从这批灯泡中任取一个，是合格品的可能性是 D．若（A），则为不可能事件 【解析】对于，任何事件的概率是区间，上的一个确定的数，故错误； 对于，概率接近于1，表明事件经常发生，但不代表一定发生，故错误； 对于，概率度量某事件发生的可能性大小，故正确； 对于，概率接近于0，表明事件很少发生，但不代表一定不发生，故错误． 故选：． 变式2：下列说法正确的是　　 A．任何事件的概率总是在之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 【解析】由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故不正确． 频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故、不正确． 频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值， 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故正确． 故选：． 题型五　概率的加法公式应用 解｜题｜技｜巧 互斥时：P(A∪B)=P(A)+P(B)。非互斥时：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。关键在于判断事件是否互斥，以及正确计算P(AB)。 易｜错｜点｜拨 1. 不先判断事件是否互斥，直接套用互斥加法公式； 1. 求“能被2或3整除”这类题型，忘记减去重复交集（能被6整除）的概率； 1. 一般加法公式记忆不全，漏减交事件； 1. 把“或”直接等同于互斥，默认无交集导致计算偏大。 【典例5】已知随机事件和互斥，且，（B），则等于　　 A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【解析】因为随机事件和互斥，且，（B）， 所以（A）（B）， 故（A）．故选：． 变式1：已知随机事件和互斥，和对立，且，（B），则（C）　　 A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【解析】因为随机事件和互斥且，（B）， 则（A），又和对立，则（C）（A）．故选：． 变式2：若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且（A），（B），则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且（A），（B）， 则，即，解得， 故实数的取值范围是，．故选：． 题型六　古典概型——列举法 解｜题｜技｜巧 适用条件：样本点总数较少，可枚举。方法：列表法、树状图法、直接穷举。步骤：判断古典型→列举样本空间Ω→数k→P(A)=k/n。 易｜错｜点｜拨 1. 不先判断古典概型两大特征：有限性、等可能性，非等可能问题乱用古典概型公式； 1. 列举样本点无序乱列，出现重复、遗漏，不用列表/树状图规范列举； 1. 有序、无序混淆：不放回取数当作有序，放回抽样当作无序； 1. 计算事件包含样本点个数时，多算或少算符合条件的结果。 【典例6】若，，0，1，，则函数有零点的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】，，0，1，， 列举可得总的方法种数为：，，，，，，，，，，，，，，，共16个，其中满足有零点的为：，，，，，，，，，，，，共13个所求概率故选：． 变式1：如果关于的一元二次方程中，是投掷骰子所得的数字，2，3，4，5，，则该二次方程有两个不等实数根的概率　　 A． B． C． D． 【解析】关于的一元二次方程中， 是投掷骰子所得的数字，2，3，4，5，， 该二次方程有两个不等实数根， △，解得或（舍， 满足条件的的值有3，4，5，6， 该二次方程有两个不等实数根的概率．故选：． 变式2：从，这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和大于的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】从，，，，这五个分数中任选两个数，则有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种情况， 其中这两个数的和大于的有，，，，，，，，共4种情况， 故这两个数的和大于的概率为．故选：． 题型七　古典概型——组合数法 解｜题｜技｜巧 适用条件：样本点较多，无法枚举。用排列组合计数：n=总选取方式数，k=满足条件的方式数。不放回抽样用组合C(n,m)；放回抽样有顺序用乘积。 易｜错｜点｜拨 1. 分不清排列与组合：无顺序选取用组合，有顺序用排列； 1. 总基本事件数和符合条件事件数计数标准不统一（一个有序一个无序）； 1. “至少、至多”问题直接正面计数，情况多易算错，不会用正难则反求对立； 1. 男生女生、正品次品抽样时，分层组合计算漏项、错项。 【典例7】新高考按照“”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，从物理、历史是选择1门，从化学、生物、政治、地理中选择2门， 所有的可能有如下12种： 物理，化学，生物；物理，化学，政治；物理，化学，地理；物理，生物，政治； 物理，生物，地理；物理，政治，地理；历史，化学，生物；历史，化学，政治； 历史，化学，生物；历史，生物，政治；历史，生物，地理；历史，政治，地理． 若甲先选，则甲有12种选法，乙只有1种选法， 若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为： ．故选：． 变式1：已知A，B两个盒子中均有除颜色外其它完全相同的3个红球和3个白球，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次均为甲胜， 若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为：， 则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球， 第二次取同色球为取到红球或取到白球，概率为， 盒子A中有8个球的概率为， 同理若第一次取球甲、乙都取到白球，且两次取球后盒子A中有8个球的概率为， 故盒子A中恰有8个球的概率为．故选：C． 变式2：江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况， 只选一个苏州古镇的概率为．故选：． 题型八　事件的相互独立性判断 解｜题｜技｜巧 独立性定义：P(AB)=P(A)P(B)。判断途径：①有放回抽样一般独立；②不同试验结果一般独立；③用定义计算验证。注意：若P(A)>0,P(B)>0且A、B互斥，则A、B一定不独立。 易｜错｜点｜拨 1. 概念混淆：把互斥当成独立，互斥是不能同时发生，独立是发生互不影响； 1. 凭主观感觉判独立，不用定义验证； 1. 误认为无放回抽样事件独立，实际只有有放回抽样才相互独立； 1. 忽略结论：时，互斥事件一定不独立。 【典例8】有8个相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，“从中任取一个小球，球的数字是奇数”记为事件，“从中任取一个小球，球的数字是3的倍数”记为事件． （1）试判断，是否为相互独立事件，并说明理由； （2）求． 【解析】（1），是否为相互独立事件． 证明：由题意，，（A），（B）， （A）（B），所以，是否为相互独立事件； （2）（A）（B）． 变式1：一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件．试判断是否为相互独立事件． 【解析】已知样本空间为：，2，3，4，5，6，7，8，， ，4，，，2，3，4，5，，，， 所以，，， 即（A）（B）．因此，两者为相互独立事件． 变式2：一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球． （1）“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球“记为事件． （2）“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件．试分别判断（1）（2）中的，是否为相互独立事件． 【解析】（1）记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3， 此时，，，，，，，，， ，，，，，． 若发生，则发生的概率为；若不发生，则发生的概率为， 所以事件发生与否不影响事件发生的概率，故，相互独立； （2）记红、黄．蓝色球的号码分别为1，2，3， 此时，，，，，．，，，， 若发生，则发生的概率为；若不发生，则发生的概率为， 则事件发生与否影响事件发生的概率，故，不相互独立． 题型九　独立事件的概率计算 解｜题｜技｜巧 同时发生：P(AB)=P(A)P(B)。至少一个：P(A∪B)=1-P(Ā)P(B̄)。多个独立事件：P(A₁A₂…Aₙ)=∏P(Aᵢ)。 易｜错｜点｜拨 1. 独立事件同时发生乱用加法，应该用乘法； 1. “至少一个发生”直接正面计算，不会用简化； 1. 多个独立事件恰有k个发生，漏乘组合数； 1. 混淆“恰有一个” “至少一个” “都发生” “都不发生”的计算公式。 【典例9】 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从到这部分电路畅通的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】上半部分电路畅通的概率为：， 下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联， 畅通的概率为：．故选：． 变式1：为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮比赛中，甲和乙猜对与互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】设事件 “甲猜对”， “乙猜对”， “‘几何队’至少猜对一个成语”， 所以，，，， 则，由事件的独立性与互斥性得： （C）（A）（B）（A）（B）（A）（B）．故选：． 变式2：公司要求甲、乙、丙3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少2人在规定时间内完成任务的概率为 　　． 【解析】3个人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3人中恰有2人完成任务或3人都完成任务， 所以概率为．故答案为：． 题型十　概率综合应用 解｜题｜技｜巧 复杂问题先理清事件关系：区分互斥与独立、有序与无序。同一试验事件用加法和列举；不同试验事件用乘法。"至多""至少"优先考虑对立事件。 易｜错｜点｜拨 1. 综合题分不清同一次试验（用加法、互斥对立）和不同试验（用乘法、独立）； 1. 至少两人通过、恰两人通过等复杂事件，分类遗漏情况； 1. 独立与互斥混杂题型，乱用公式，不先梳理事件关系； 1. 计算小数概率时，四舍五入出错，分步计算中间值不保留精度。 【典例10】 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和．求： （1）两个人都译出密码的概率； （2）两个人都译不出密码的概率； （3）恰有一个人译出密码的概率； （4）至多有一个人译出密码的概率； （5）至少有一个人译出密码的概率． 【解析】记甲独立译出密码为事件，乙独立译出密码为事件， 且，为相互独立事件，且（A），（B）， 则（1）（A）（B）． （2）． （3）（B）（A）． （4）． （5）． 变式1：在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在处击中目标得3分，在，处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在处击中目标的概率为，在，处击中目标的概率均为，该同学依次在，，处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （1）该同学得4分的概率； （2）该同学得分不超过3分的概率． 【解析】（1）设该同学在处击中目标为事件，在处击中目标为事件， 在处击中目标为事件，事件，，相互独立， 依题意， 则该同学得4分的概率为． （2）该同学得分不超过的情况为得0分、2分，3分， 该同学得0分的概率为； 得2分的概率为； 得3分的概率为； 则该同学得分不超过3分的概率为． 变式2：在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件 “与地面接触的面上的数字为奇数”，事件 “与地面接触的面上的数字不大于4” （1）判断事件与是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； （2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 【解析】（1）依题意，得样本空间为，2，3，4，5，6，7，， 所以，3，5，，，2，3，，则，， 故，，，所以事件，相互独立． （2）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记，2，为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生1次的概率为 ． 题型十一　频率与概率、随机模拟 解｜题｜技｜巧 频率是概率的估计值，试验次数越大频率越接近概率（大数定律）。随机模拟：按比例用数字代表不同结果来模拟试验，通过大量模拟估算概率。 易｜错｜点｜拨 1. 错误认为频率就是概率，频率是随机变化值，概率是固定常数； 1. 不理解大数定律：试验次数越少，频率离概率偏差越大； 1. 随机模拟时，数字区间划分错误，对错命中、不命中的编码标准； 1. 统计模拟组数时，数错符合条件的组数，导致频率估计概率出错； 1. 混淆随机模拟是估计概率，不是精确计算概率。 【典例11】 下列说法正确的是　　 ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为（A），则（A）． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【解析】对于①，如果，，那么“”是必然事件，故①错误； 对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概率，但不一定等于概率，故②错误； 对于③，如果一事件发生的概率为，那么只能说明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说是必然事件，故③错误； 对于④，确定事件也有概率，故④错误； 对于⑤，若事件发生的概率为（A），由概率的性质可知（A）．故⑤正确． 故选：． 变式1：下列说法正确的是　　 A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是 【解析】在中，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲不一定胜3场，故错误； 在中，某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈， 则第10个病人能治愈的可能性是，故错误； 在中，随机试验的频率与概率不相等，故错误； 在中，天气预报中，预报明天降水概率为， 由概率定义知是指降水的可能性是，故正确．故选：． 变式2：天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天降雨的概率约为　　． 【解析】在20组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有：191，271，932，812，393，共5个，这三天中恰有两天降雨的概率约为．故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】D 【解析】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 2．已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若互斥，则 【答案】C 【解析】若，则，，故AB选项的内容都是正确的； 若互斥，则，，所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的. 故选：C 3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为，选B． 4．袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 【答案】 【解析】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号， 若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里面只剩1号球； 若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中有1，2号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中有1，2，3号球，若让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 综上，袋中剩下2个小球的概率为. 故答案为： 5．有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是__________；从第3个盒子中取到白球的概率是__________． 【答案】 【解析】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 故答案为：； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 2．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【解析】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的；若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 3．(多选）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 【答案】ABD 【解析】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 4．(多选）已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 5．某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值以及自习时间在内的学生人数； (2)估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】(1)；；(2)105小时；(3) 【解析】（1）由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； （2）该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； （3）一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出. 2．小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 3．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. （2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 4．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1)(2)(3)不变 【解析】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 学科网（北京）股份有限公司 $