第5章 概率 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

章末综合提升 素养一　数学抽象 　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养.在本章中，主要表现在互斥事件，对立事件与相互独立事件的判断和概率与频率的概念等. 题型一　互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断 (1)(多选)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　) A.至少有1个红球与都是红球 B.至少有1个红球与至少有1个白球 C.恰有1个红球与恰有2个红球 D.至多有1个红球与恰有2个红球 (2)(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是(　　 ) A.掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点” B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D.一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨” 答案：(1)CD　(2)ABD 解析：(1)根据互斥事件与对立事件的定义判断. A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件； B中两事件能同时发生，如“恰有1个红球和2个白球”，故不是互斥事件； C中两事件是互斥而不对立事件； D中至多有1个红球，即有0个或1个红球，与恰有2个红球互斥，除此还有3个都是红球的情况，因此它们不对立，D符合题意.故选CD. (2)在A中，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件MN＝{6}， 所以P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(MN)＝×＝， 即P(MN)＝P(M)P(N)，故事件M与N相互独立，A正确； 在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确； 在C中，由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误； 在D中，从9个水果中任意取出1个，取出的是苹果与把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨，这两个事件发生与否没有影响，是相互独立事件，D正确. 故选ABD. 学生用书⬇第150页 题型二　概率与频率 对一批U盘进行抽检，结果如下表： 抽出件数a 50 100 200 300 400 500 次品件数b 3 4 5 5 8 9 次品频率 (1)计算表中次品的频率； (2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？ (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？ 解：(1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘. 素养二　数学运算 　　数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基础.在本章中，数学运算主要体现在概率计算中. 题型三　古典概型 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标 (x，y，z) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品. ①用产品编号列出所有可能的结果； ②设事件B为“在取出的2 件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率. 解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6. (2)①在该样本的一等品中，随机抽取2 件产品，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)}共15个样本点. ②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A5，A7)共6个样本点.所以P(B)＝＝. 题型四　事件的相互独立性 在某校年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终A，B，C，D四个班级的球队闯入半决赛.在半决赛中，对阵形式为：A对阵C，B对阵D，获胜球队进入决赛争夺冠、亚军，失利球队争夺三、四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示： － A B C D A获胜概率 0.3 0.4 0.8 B获胜概率 0.7 0.7 0.5 C获胜概率 0.6 0.3 0.3 D获胜概率 0.2 0.5 0.7 则A队最终获得冠军的概率为　　　　. 答案：0.22 解析：A胜C的概率为0.4， B胜D且A胜B的概率为0.5×0.3＝0.15， D胜B且A胜D的概率为0.5×0.8＝0.4， 故A队最终获得冠军的概率为0.4×0.15＋0.4×0.4＝0.22. 学生用书⬇第151页 题型五　概率与统计的综合应用 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图. (注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]) (1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男生、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5 人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率. 解：(1)由题意可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3. 设抽取的5 人分别为A，B，C，D，E，其中A，B为男生，C，D，E为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)(A，D)(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10个样本点. 事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P＝，即选取的2人中至少有一名男生的概率为. 素养三　数学建模 　　数学建模主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.在本章中，数学建模主要体现在实际问题的概率求解中. 题型六　概率的实际应用 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理如表.规定：数据≥60，体质健康为合格. 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 [90，100] 5 91.2 2 91 良好 [80，89] 4 83.8 4 84.2 及格 [60，79] 8 70 11 70.2 不及格 60以下 3 49.6 3 49 总计 － 20 75.0 20 71.9 (1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率； (2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率. 解：(1)样本中合格的学生数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40， 所以从样本中随机选取一名学生，这名学生体质健康合格的概率为＝. (2)设事件A为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，P(A)＝＝. 事件B为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，P(B)＝＝. 因为A，B为相互独立事件，所以所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝. 学生用书⬇第152页 (2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为　　　　. 答案： 解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3－2，5－4，7－6，1－8.若甲的总得分为2，有以下三类情况：第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3－2，5－4，1－6，7－8；第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3种组合；第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7种组合.综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1＝24(种)，所以甲的总得分不小于2的概率P＝＝. (2024·全国甲卷理)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球，设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为　　　　. 答案： 解析：设3次取出的球上的数字依次为a，b，c，则无放回地随机取3 次球的取法有＝120(种)，则｜m－n｜＝＝≤，可得｜a＋b－2c｜≤3.当c＝1时，a，b需要满足“3≤a＋b≤5”，所有可能情况为(2，3)，(3，2)，共2种.当c＝2时，a，b需要满足“3≤a＋b≤7”，所有可能情况为(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，(5，1)，(6，1)，共10种.当c＝3时，a，b需要满足“3≤a＋b≤9”，所有可能情况为(1，2)，(2，1)，(1，4)，(4，1)，(1，5)，(5，1)，(1，6)，(6，1)，(2，4)，(4，2)，(2，5)，(5，2)，(2，6)，(6，2)，(4，5)，(5，4)，共16种.当c＝4时，a，b需要满足“5≤a＋b≤11”，所有可能情况为(1，5)，(5，1)，(1，6)，(6，1)，(2，3)，(3，2)，(2，5)，(5，2)，(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(3，6)，(6，3)，(5，6)，(6，5)，共16种.当c＝5时，a，b需要满足“7≤a＋b≤13”，所有可能情况为(1，6)，(6，1)，(2，6)，(6，2)，(3，4)，(4，3)，(3，6)，(6，3)，(4，6)，(6，4)，共10种.当c＝6时，a，b需要满足“9≤a＋b≤15”，所有可能情况为(4，5)，(5，4)，共2种.故共有2＋10＋16＋16＋10＋2 ＝56(种)可能情况，所以所求概率P＝＝. 溯源：(湘教必修第二册习题5.2P226T4)抛掷两枚质地均匀的骰子，试计算下列事件的概率： (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子的点数之和是6； (3)两枚骰子的点数之和不是6； (4)至少一枚骰子的点数是3. 点评：以上两道高考试题都是考查古典概型的计算，与教材习题基本类似，解题方法一致，但难度较高. (多选)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β (0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).(　　) A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D.当0＜α＜0.5 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 答案：ABD 解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为 1 的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件的和，它们互斥，由选项B知，所求的概率为β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，单次传输发送0，则译码为0的概率P'＝1－α，而0＜α＜0.5，因此P－P'＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)＞0，即P＞P'，故D正确.故选ABD. (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案：B 解析：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，两点数和为7的所有可能为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝＝，P(丁)＝＝，A：P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，B：P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，C：P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，D：P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，故选B. 溯源：(湘教必修第二册P235例1)假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两 学生用书⬇第153页 种情形，讨论事件A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩. 点评：以上两道高考试题都是考查事件独立性的判断与独立事件概率的计算问题，与教材例题类型相同，解法一致. (2023·全国甲卷)某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝.故选D. (2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：法一：从2至8的7个整数中任取两个数共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为＝. 法二：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)共7种，故所求概率P＝＝.故选D. (2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝()4＝. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，丙上场后连胜三场的概率为，故需要进行五场比赛的概率为：P＝1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，，故丙最终获胜的概率P＝＋＋＋＝. 溯源：(湘教必修第二册复习题五P246T19)2022年4月16日“神舟十三号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功.在太空停留期间，航天员们组织了两次“天宫课堂”，进行太空授课，这极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某班组织了一次“航天知识答题竞赛”，竞赛规则是共设四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知小楠同学能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否回答正确互不影响. (1)求小楠同学进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求小楠同学至多进入第三轮考核的概率. 点评：该高考题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题，与教材复习题题型一致，解法相同. 学科网（北京）股份有限公司 $