专题03 图形的变换20大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题03 图形的变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 生活中的平移问题 题型02 利用平移的性质求解 题型03 利用平移解决实际问题 题型04 平移作图 题型05 轴对称图形 题型06 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 题型07 台球桌面上的轴对称问题 题型08 轴对称中的光线反射问题 题型09 镜面对称 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 题型11 对称轴问题 题型12 折叠问题 题型13 生活中的旋转现象 题型14 找旋转中心、旋转角、对应点 题型15 根据旋转的性质求解 题型16 利用旋转设计图案 题型17 画已知图形关于某点对称的图形 题型18 中心对称图形 题型19 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型20 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平移现象 识别平移现象，理解平移特征，能判断、画图并运用平移解决简单问题。 基础考点，一般在选择题考查，2分 平移的性质 理解平移基本性质，掌握对应点、线段、角的关系，能运用性质解题作图。 重要考点，一般在小题中考查，分值在3分左右 利用平移解决问题 掌握平移转化思路，巧用平移简化图形计算，灵活解决周长、面积类习题。 基础考点，要会根据实际情况，难度不大，分值在3分左右 平移作图 掌握平移作图步骤与方法，按要求画图，准确确定对应点位置。 核心考点，要保留作图痕迹，分值在5分左右 轴对称图形 认识轴对称图形与对称轴，能准确判断轴对称图形、找出对称轴，理解对应点、对应线段、对应角的关系，会画简单轴对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 轴对称的性质 理解轴对称图形性质，明确对应点、线段、角关系，会运用性质解题识图。 核心考点，重点抓住轴对称的边、角关系，分值在5分左右 垂直平分线 理解线段垂直平分线的定义与性质，掌握 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，能运用性质进行计算、证明和作图。 重要考点，一般在解答题中出现，注意和其他知识点一起考查，3分左右 折叠问题 利用轴对称性质分析折叠等量关系，推理边角数据，规范解答折叠类题型。 核心考点，所有题型均可能考查，分值在6分左右，难度较大 旋转现象 认识旋转的三要素（旋转中心、方向、角度），能判断生活中的旋转现象，知道旋转不改变图形的形状和大小。 基础考点，一般在选择题考查，2分 旋转性质 掌握旋转性质：旋转前后图形形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应角相等，旋转角相等，能运用性质进行判断与计算。 核心考点，掌握旋转过程中的对应边、对应角和旋转中心，分值5分左右 中心对称图形 理解中心对称图形的概念，能准确识别常见中心对称图形，明确其对称中心及性质，会判断图形是否为中心对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 中心对称的性质 理解中心对称性质，找准对称点，利用边角、线段等量关系分析解题。 核心考点，一般在解答题中出现，3分左右 知识点01 有理数的概念 知识点01 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 知识点02 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 知识点03 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点04 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 知识点05 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点06 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 题型一 生活中的平移问题 易｜错｜点｜拨 1、把转动、摆动当成平移，忽略平移 “方向不变、沿直线移动” 的特点。 2、判断平移时只看位置，忽略形状、大小、方向都不变。 3、数平移格数时只数间隔，不数对应点之间的格数，多数或少数。 4、混淆 “平移了几格” 和 “两图之间空几格”，导致距离判断错误。 5、简单认为只要移动就是平移，忽略必须沿直线、不翻转这一关键。 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）生活中下列现象可以看作平移的是（    ） A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动 C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张纸对折 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）把左边如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期末）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它历史久远、博大精深，如图①，“马”走一步可到达A、B、C、D、E、F、G、H中的某一个位置，俗称“马走日”．在如图②所示的象棋盘中，“马”至少走______步才能到达“帅”的位置．    4．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    题型二 利用平移的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、忽略平移只变位置、不变形状大小，乱改边长、角度。 2、找不对对应线段、对应角，导致相等关系用错。 3、求平移距离时，不找对应点，直接估测或数错格数。 4、用平移转化周长、面积时，线段拼接出错，漏算或多算边长。 5、混淆平移与旋转、轴对称，性质混用导致解题错误。 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，将沿直线向右平移，得到，若的周长是，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将此三角形向右平移得到，此时边与边相交于点D，连接． (1)若，则 ． (2)若落在边的中点处，且， 求四边形 的面积． (3)已知点P在的内部，平移到的位置后，点P的对应点为点 ，连接．若的周长为m，四边形的周长为，则_______． 题型三 利用平移解决实际问题 易｜错｜点｜拨 1、不会把不规则图形通过平移转化为规则图形，直接硬算导致复杂易错。 2、平移转化周长时，容易漏算或多算线段长度，忽略平移后线段相等。 3、找不准对应点和平移方向、距离，导致列式错误。 4、忽略平移不改变图形形状大小，随意改变边长、角度计算。 5、题目有多个平移步骤时，思路混乱，前后条件不对应。 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 11．（25-26七年级下·福建南平·期末）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则______． 12．（25-26七年级下·江西上饶·期末）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 题型四 平移作图 易｜错｜点｜拨 1、找不准图形的关键点，漏点导致图形变形。 2、平移方向或距离出错，对应点没有按同一方向、相同距离移动。 3、只移点不连线，或连线混乱、线段不对应。 4、平移后图形形状、大小改变，违背平移性质。 5、数格子时粗心，多数、少数一格造成位置偏差。 13．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 14．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点的位置如下图所示．现将平移，使点A的对应点为D，点B，C的对应点分别是E，F． (1)请画出平移后的； (2)过点C作的平行线； (3)连接，则这两条线段之间的关系是______________． 15．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的； (2)线段与的关系是_______； (3)求平移前后线段扫过的面积． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图：方格纸中每个小正方形的边长都为，的顶点都在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段的关系是 ； (3)利用网格，过点作的高线； (4)平移的过程中扫过区域的面积为 ． 题型五 轴对称图形 易｜错｜点｜拨 1、把中心对称图形当成轴对称图形，混淆两种对称。 2、找对称轴时漏画、多画，或认为只有一条对称轴。 3、对折后不能完全重合的图形，误判为轴对称图形。 4、汉字、字母、数字类图形，忽略细节笔画是否对称。 5、画图时对应点到对称轴距离不相等，导致图形不对称。 17．（25-26七年级下·江苏南京·期中）以下四款人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 19．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形________轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有________种． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 题型六 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 24．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 题型七 台球桌面上的轴对称问题 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 27．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 28．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 题型八 轴对称中的光线反射问题 29．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 30．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 31．（2025·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 32．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 题型九 镜面对称 易｜错｜点｜拨 混淆镜面成像与轴对称，忽略左右相反、上下不变的特点。 看镜子里的数字、时钟时，直接按原数读取，不会左右翻转判断。 忽略物体与镜像到镜面距离相等，对应点连线垂直于镜面。 复杂图形镜像判断时，细节部分忘记翻转，导致判断错误。 33．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 34．（25-26七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 35．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为___________． 36．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．    题型十 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 37．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 38．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形内有一点， (1)将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (2)连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (3)直接写出折痕与的位置关系_______． 39．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，利用网格画图并回答问题： (1)选定四边形的两个内角，分别画它们的平分线，设这两条角平分线相交于点； (2)观察点是否在另两个内角的平分线上； (3)把四边形的顶点向右平移格，再向下平移格，还存在与上面相同的结论吗？ 40．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 题型十一 对称轴问题 41．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）解决下列问题： (1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的； (2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线． 42．（25-26七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    43．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是_________________． 44．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 题型十二 折叠问题 45．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级上·山东临沂·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 48．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过P点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点，折痕为，第二次折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)证明：； 迁移探究 再次折叠得到，又能提出哪些问题呢？ (2)如图4，将沿过点A的某射线折叠得到，与边交于F． ①作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小； 高阶探究 过点P能折一个角等于已知角吗？ (3)如图5，如何过点P折出一条折痕，使得？请画出折叠的示意图并简要描述折叠过程，无需证明． 题型十三 生活中的旋转现象 49．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 50．（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 51．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 52．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    题型十四 找旋转中心、旋转角、对应点 53．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 54．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____． 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 56．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度． (1)画出线段关于直线对称的线段； (2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段； (3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心． 题型十五 根据旋转的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、混淆旋转与平移、轴对称，乱用对应边、对应角的相等关系。 2、忽略对应点到旋转中心的距离相等，找错对应点导致计算错误。 3、不清楚旋转角都相等，把旋转角找成其他角度。 4、只记得形状大小不变，忘记旋转会改变图形方向。 5、复杂图形中分不清旋转中心、旋转方向与角度，推理出错。 57．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1， 已知与摆放在一起， 点A、C、E在同一直线上，其中，，． 如图2， 固定， 将绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角 ． (1)当时， (2)在旋转过程中，试探究与间的关系； ①当时， ， ②当时， ， ③当  时， (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数． 58．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为，点的对应点恰好落在上． (1)在图中画图：延长线段，交于点； (2)判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 59．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在该角的内部引两条射线，若该角是这两条射线所成角的倍（为正整数），则这两条射线叫做该角的“倍分线”． (1)如图1，，射线是的“2倍分线”，且，则____________°； (2)如图2，，射线重合，绕点顺时针旋转，旋转的角度为． ①若，是的“4倍分线”，求的度数； ②若，在绕点顺时针旋转一周的过程中，射线中，存在两条射线是另两条射线所成的角的“3倍分线”，则满足条件的旋转的角度的度数为___________°． 60．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 题型十六 利用旋转设计图案 61．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 62．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将 向右平移8个单位长度后的 ； (2)画出将 以点O为旋转中心、顺时针旋转后的 ； (3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴． 63．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 64．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）实践与操作 （1）如图，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形被称为格点三角形，在数学活动课上，老师要求学生在的正方形网格中画出与成轴对称的格点三角形．你也试试． （2）如图，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． ①请在方格纸中画出旋转中心； ②旋转角为______． 题型十七 画已知图形关于某点对称的图形 65．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出关于直线轴对称的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)在直线上找一点，使的周长最小． 66．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点都在边长为个单位长度的正方形网格的格点上，点为外一点． (1)将向右平移个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点顺时针旋转度得到，作出旋转后的图形； (3)与成中心对称吗？如果是，画出对称中心． 67．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，方格纸中，有一个和一点，的顶点和点均与小正方形的顶点重合． (1)在方格纸中，已知与关于点成中心对称，请画出； (2)在方格纸中，将绕点C顺时针旋转得到请画出． 68．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形网格中有，直线，互相垂直，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心（保留作图痕迹）；若不是，说明理由． 题型十八 中心对称图形 69．（2026·江苏盐城·一模）下列分别是古算诗词题“圆中方形”，“方形圆径”，“圆材藏壁”，“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 70．（2026·江苏泰州·模拟预测）刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆的面积．设圆的半径为R，其内接正n边形的面积记为．下列选项中，中心对称图形个数最多的一组是（    ） A．正三角形、正方形 B．正方形、正五边形 C．正五边形、正八边形 D．正方形、正八边形 71．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 72．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 题型十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 易｜错｜点｜拨 1、混淆中心对称与轴对称，错把 “对称中心” 当 “对称轴”。 2、忘记对称点的连线必过对称中心且被它平分，做题时不会用这个等量关系。 3、对应线段只记得相等，忽略通常还互相平行，导致几何推理漏条件。 4、把 “中心对称” 和 “中心对称图形” 概念混用，答题表述不规范。 5、解题时找错对应点、对应角，导致角度、边长计算出错。 73．（25-26八年级下·山西运城·期中）一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 74．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 75．（24-25八年级下·江西宜春·期末）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 76．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．    (1)将绕点P逆时针旋转90°得到，请画出； (2)将绕点O旋转180°得到，请画出点O和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段； (4)在线段上找一点M，使得，请画出点M． 题型二十 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 77．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； (2)在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 78．图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 79．（25-26九年级上·吉林松原·期中）作图题． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 80．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（2026·江苏连云港·二模）2026年3月30日是第31个江苏小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．当心淹溺 B．当心落水 C．禁止翻越 D．急救站 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿方向平移到，若，，则A，D之间的距离为（     ） A．2 B．4 C．3 D．1 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列生活现象中，最适合用平移变换描述的是（　　） A．柳树在河水中的倒影 B．风力发动机的叶片在风的作用下绕轴运动 C．下雨天汽车雨刷的运动 D．传送带上的物体的移动 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．（2026·江苏无锡·二模）请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起，将簸箕绕点顺时针旋转，点落在点处，使其平放在地面，箕面绕点旋转的度数为_____． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，将沿向右平移至，若，，则的长为__________． 9．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则_______． 11．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)的度数是__________； (2)尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 13．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）示例：将一张正方形纸片按下图方式对折、画图、剪纸、展开． 仿照：请在下面的虚线框中画出对折、画图、剪纸的过程． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（2026·江苏无锡·二模）如图，点A、B、C、D、E、F、G都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若经过点C的直线平行于，则可能经过的点是（     ）    A．点D B．点E C．点F D．点G 17．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·重庆荣昌·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．36 C．42 D．57 20．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________________． 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 23．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在C，D上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为_______． 24．（25-26七年级下·江苏南京·期中）将一张正方形纸片折叠，点分别在上，沿着和折叠，其中和是折痕，点和点折叠后的对应点分别是点和点，设锐角，则______．（用含的代数式表示） 25．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，，E，F分别是边，上的点，连接，将沿着折叠，得到，当所在直线与垂直时，的度数是________． 26．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)将平移，使点移动到点，平移后得到，点、分别是点A、B的对应点．画出平移后的图形，则线段扫过的图形的面积为______； (2)画出关于直线对称的三角形，点D、E、F分别是点A、B、C的对应点． 27．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到，请在图中画出； (2)请画出以点D为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心O；若不是，说明理由． 28．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 29．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． (1)图①中， °； (2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 30．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式，图形的变换有助于我们从运动的角度来研究几何问题． (1)如图1所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1，与关于直线对称，与关于直线对称，与关于直线对称，则可以看作是绕点O顺时针旋转得到的，旋转角为______度（旋转角）可以看作是向右平移得到，平移距离为______； (2)如图2，直线，，P为直线下方一点，作点P关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情形解决以下问题： ①若点P到直线的距离为2，点P到直线的距离为8，请直接写出两点间的距离______； ②若，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，点可以看作是点绕图中某个点顺时针旋转角得到的），则旋转中心是______，旋转角的度数为______（用含的代数式表示）． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 31．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26七年级下·江苏·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 36．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为___________． 37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 38．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，有一长方形纸带，、分别是边、上一点，锐角，将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为时，则的值为______． 39．（25-26七年级上·重庆·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，长方形纸片中，，点M在线段上，点N在线段上，将长方形纸片沿着线段折叠后，点分别落在点的位置上，交线段于点Q，再沿着线段折叠后，点C，D分别落在点的位置上，若，则的度数是_________°． 40．（25-26七年级下·江苏南京·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 41．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【难】如图，直线，一副三角尺中，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线相交于点H（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 42．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与实践 已知，在长方形中，，，，．点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为． 【初步探索】 (1)尺规作图：若点恰好落在对角线上，请在图1中作出点．此时________°． 【深入探究】 (2)如图2，若点落在内（包含的边）． ①直接写出的最大值与最小值的和________°． ②探究与的关系． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图3，点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为．若点落在内（包含的边），当的其中一边与的某一边平行时，试探究与的关系________． 43．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）数学实验室 在图形变换活动中，张老师带领同学们利用相交直线研究对称变换：已知直线、相交于点O，且，点E是内的任意一点．按如下规则对E进行连续对称操作： 第一步：作点E关于直线的对称点，记为；第二步：作点关于直线的对称点，记为；第三步：作点关于直线的对称点，记为…… 依此交替作关于作对称点，记第n次对称后的点为． (1)如图1所示，当时，作出点，，并连接，，，设，求的大小； (2)填空：由（1）可知，经过两次轴对称（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次______（选填“平移”、“旋转”、“翻折”）得到； (3)填空：若点E经过上述四次对称操作后得到的点与点E关于点O成中心对称，则______； (4)若按上述方式n次对称后，点第一次落入内，且对任意点E，点都与点E重合，请直接写出与n满足的关系______． 44．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点、的对应点分别为点、，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． 若，则的度数__________． 若，请求出的度数． 45．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 生活中的平移问题 题型02 利用平移的性质求解 题型03 利用平移解决实际问题 题型04 平移作图 题型05 轴对称图形 题型06 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 题型07 台球桌面上的轴对称问题 题型08 轴对称中的光线反射问题 题型09 镜面对称 题型10 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 题型11 对称轴问题 题型12 折叠问题 题型13 生活中的旋转现象 题型14 找旋转中心、旋转角、对应点 题型15 根据旋转的性质求解 题型16 利用旋转设计图案 题型17 画已知图形关于某点对称的图形 题型18 中心对称图形 题型19 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型20 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平移现象 识别平移现象，理解平移特征，能判断、画图并运用平移解决简单问题。 基础考点，一般在选择题考查，2分 平移的性质 理解平移基本性质，掌握对应点、线段、角的关系，能运用性质解题作图。 重要考点，一般在小题中考查，分值在3分左右 利用平移解决问题 掌握平移转化思路，巧用平移简化图形计算，灵活解决周长、面积类习题。 基础考点，要会根据实际情况，难度不大，分值在3分左右 平移作图 掌握平移作图步骤与方法，按要求画图，准确确定对应点位置。 核心考点，要保留作图痕迹，分值在5分左右 轴对称图形 认识轴对称图形与对称轴，能准确判断轴对称图形、找出对称轴，理解对应点、对应线段、对应角的关系，会画简单轴对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 轴对称的性质 理解轴对称图形性质，明确对应点、线段、角关系，会运用性质解题识图。 核心考点，重点抓住轴对称的边、角关系，分值在5分左右 垂直平分线 理解线段垂直平分线的定义与性质，掌握 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，能运用性质进行计算、证明和作图。 重要考点，一般在解答题中出现，注意和其他知识点一起考查，3分左右 折叠问题 利用轴对称性质分析折叠等量关系，推理边角数据，规范解答折叠类题型。 核心考点，所有题型均可能考查，分值在6分左右，难度较大 旋转现象 认识旋转的三要素（旋转中心、方向、角度），能判断生活中的旋转现象，知道旋转不改变图形的形状和大小。 基础考点，一般在选择题考查，2分 旋转性质 掌握旋转性质：旋转前后图形形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应角相等，旋转角相等，能运用性质进行判断与计算。 核心考点，掌握旋转过程中的对应边、对应角和旋转中心，分值5分左右 中心对称图形 理解中心对称图形的概念，能准确识别常见中心对称图形，明确其对称中心及性质，会判断图形是否为中心对称图形。 基础考点，一般在选择题考查，2分 中心对称的性质 理解中心对称性质，找准对称点，利用边角、线段等量关系分析解题。 核心考点，一般在解答题中出现，3分左右 知识点01 有理数的概念 知识点01 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 知识点02 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 知识点03 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点04 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 知识点05 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点06 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 题型一 生活中的平移问题 易｜错｜点｜拨 1、把转动、摆动当成平移，忽略平移 “方向不变、沿直线移动” 的特点。 2、判断平移时只看位置，忽略形状、大小、方向都不变。 3、数平移格数时只数间隔，不数对应点之间的格数，多数或少数。 4、混淆 “平移了几格” 和 “两图之间空几格”，导致距离判断错误。 5、简单认为只要移动就是平移，忽略必须沿直线、不翻转这一关键。 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）生活中下列现象可以看作平移的是（    ） A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动 C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张纸对折 【答案】C 【分析】本题考查平移的概念，平移是平面内图形沿某一方向移动一定距离，运动过程中图形的方向保持不变，所有点移动方向和距离都一致，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、荡秋千是绕固定点的旋转运动，图形方向不断改变，不符合平移定义； 选项B、书页翻动是绕书脊的旋转运动，图形方向改变，不符合平移定义； 选项C、中水平传送带上的物体沿水平方向移动，所有点移动方向相同，图形方向不变，符合平移定义； 选项D、纸对折是翻折变换，图形方向改变，不符合平移定义． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）把左边如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的定义，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．根据平移的定义，逐项核对即可． 【详解】解：根据平移定义可知：把如图所示的海豚吉祥物进行平移，能得到的图形是C． 故选：C． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期末）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它历史久远、博大精深，如图①，“马”走一步可到达A、B、C、D、E、F、G、H中的某一个位置，俗称“马走日”．在如图②所示的象棋盘中，“马”至少走______步才能到达“帅”的位置．    【答案】3 【分析】结合“马走日”规则，分析“马”和“帅”之间相距的格数，并以此作为依据推出“马”行走的步数． 【详解】已知“马”和“帅”之间纵向相距个单位长度，横向相距个单位长度，结合图像进行以下假设： ①如果走步，“马”应落点黄色箭头所指的点，可直观看出无法走到“帅”处； ②如果走步，在①基础上，“马”应落点蓝色箭头所指的点，也无法步到达“帅”点；    ③如果走步，在①②基础上，可有条线路能到达“帅”点，如下图绿色箭头所示．    故答案为：． 【点睛】本题考查的是对题意中“马走日”规则的理解，解题关键是结合图像进行假设． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 题型二 利用平移的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、忽略平移只变位置、不变形状大小，乱改边长、角度。 2、找不对对应线段、对应角，导致相等关系用错。 3、求平移距离时，不找对应点，直接估测或数错格数。 4、用平移转化周长、面积时，线段拼接出错，漏算或多算边长。 5、混淆平移与旋转、轴对称，性质混用导致解题错误。 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，将沿直线向右平移，得到，若的周长是，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∵的周长， ∴四边形的周长． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，，，，将沿方向平移（），得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得，，，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将沿方向平移（）得到， ∴，，， ∴阴影部分的周长为 ， 故选：． 7．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将此三角形向右平移得到，此时边与边相交于点D，连接． (1)若，则 ． (2)若落在边的中点处，且， 求四边形 的面积． (3)已知点P在的内部，平移到的位置后，点P的对应点为点 ，连接．若的周长为m，四边形的周长为，则_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质和平行线的性质即可求出答案； （2）根据平移的性质和三角形面积公式即可求出答案； （3）根据平移性质、三角形和四边形的周长即可求出答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点落在边的中点，且，， ∴，， ∴； （3）解：由平移可知，， ∵周长为m，四边形的周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型三 利用平移解决实际问题 易｜错｜点｜拨 1、不会把不规则图形通过平移转化为规则图形，直接硬算导致复杂易错。 2、平移转化周长时，容易漏算或多算线段长度，忽略平移后线段相等。 3、找不准对应点和平移方向、距离，导致列式错误。 4、忽略平移不改变图形形状大小，随意改变边长、角度计算。 5、题目有多个平移步骤时，思路混乱，前后条件不对应。 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 10．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 阴影部分的面积． 11．（25-26七年级下·福建南平·期末）如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则______． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·江西上饶·期末）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 【答案】(1)地毯至少需要11.6米 (2)买地毯需要1044元 【分析】本题考查了平移的性质及有理数四则运算的实际应用． （1）利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， 即可求解； （2）用地毯的长度乘以宽度3米，得到面积，再用面积乘以30，即可求解． 【详解】（1）解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， ∴地毯的长度为（米）， 答：地毯至少需要11.6米； （2）解：地毯的面积为（平方米）， ∴买地毯至少需要（元）， 答：买地毯需要1044元． 题型四 平移作图 易｜错｜点｜拨 1、找不准图形的关键点，漏点导致图形变形。 2、平移方向或距离出错，对应点没有按同一方向、相同距离移动。 3、只移点不连线，或连线混乱、线段不对应。 4、平移后图形形状、大小改变，违背平移性质。 5、数格子时粗心，多数、少数一格造成位置偏差。 13．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 14．（24-25七年级下·广东汕头·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点的位置如下图所示．现将平移，使点A的对应点为D，点B，C的对应点分别是E，F． (1)请画出平移后的； (2)过点C作的平行线； (3)连接，则这两条线段之间的关系是______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】本题考查作图—平移变换，平移的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可； （2）根据网格的特点作平行线即可； （3）根据平移的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的平行线； （3）解：根据平移性质，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等 15．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在网格图中，平移使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的； (2)线段与的关系是_______； (3)求平移前后线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)28 【分析】本题考查作图平移变换，平移得性质，解决本题的关键是掌握平移的不变性． （1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形； （2）连接、，可得线段与的关系； （3）用如图所示的长方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解 【详解】（1）解：如图即为平移后的； （2）解：线段与的关系是：，． 故答案为：，． （3）解：如图： 线段扫过的面积为： ． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图：方格纸中每个小正方形的边长都为，的顶点都在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段的关系是 ； (3)利用网格，过点作的高线； (4)平移的过程中扫过区域的面积为 ． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)画图见解析； (4)． 【分析】此题考查了平移的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键． （）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （）利用网格特征即可画出高线； （）平移过程中扫过区域的面积为平行四边形与面积之和，进而得出答案． 【详解】（1）解：找出对应点，，，然后连接即可； ∴即为所求； （2）解：根据平移的性质可知：，， 故答案为：，； （3）解：根据网格特征可得：如图， ∴即为所求； （4）解：连接， 则平行四边形为， ∴平移的过程中扫过区域的面积为：， 故答案为：． 题型五 轴对称图形 易｜错｜点｜拨 1、把中心对称图形当成轴对称图形，混淆两种对称。 2、找对称轴时漏画、多画，或认为只有一条对称轴。 3、对折后不能完全重合的图形，误判为轴对称图形。 4、汉字、字母、数字类图形，忽略细节笔画是否对称。 5、画图时对应点到对称轴距离不相等，导致图形不对称。 17．（25-26七年级下·江苏南京·期中）以下四款人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是． 故答案为： ． 19．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形________轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有________种． 【答案】 不是 8 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 题型六 根据成轴对称图形的性质进行判断与求解 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有A选项符合题意． 22．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，， ， ∴的周长 ． 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，点与点关于直线对称，从而得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，点与点关于直线对称 点在上，点与点关于直线对称 的周长 两点之间线段最短 当点在同一直线上时，的值最小，最小值为的长 的周长最小值为． 24．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 题型七 台球桌面上的轴对称问题 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 26．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 27．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 28．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 题型八 轴对称中的光线反射问题 29．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 30．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 31．（2025·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 32．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）小丁观看台球比赛后对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，他将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰到上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．他进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． (1)因为． 所以． 所以， 又因为， 所以____①___ 同理， 又因为， 所以②_______（③_________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以④_____ 所以（⑤________） 【引申拓展】 (2)如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． 则⑥_____．（用含的代数式表示）； 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）根据平行线性质及反弹规律可求得结果； 【详解】（1）（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． （2）解：过点作，如图所示： ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． 题型九 镜面对称 易｜错｜点｜拨 混淆镜面成像与轴对称，忽略左右相反、上下不变的特点。 看镜子里的数字、时钟时，直接按原数读取，不会左右翻转判断。 忽略物体与镜像到镜面距离相等，对应点连线垂直于镜面。 复杂图形镜像判断时，细节部分忘记翻转，导致判断错误。 33．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【详解】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 34．（25-26七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 【答案】20231425 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 35．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒且关于镜面对称，据此可得答案． 【详解】 解：在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为， 故答案为：． 36．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 题型十 尺规画垂直平分线、垂线、角平分线 37．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 38．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形内有一点， (1)将长方形沿折叠，使点B落在处，折痕与边、分别交于E、F，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (2)连接，将点C沿过点E的直线折叠，与交于点H，使点C落在射线上，请用直尺与圆规作出折痕（保留作图痕迹）； (3)直接写出折痕与的位置关系_______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）连接，作的线段垂直平分线即可； （2）作的角平分线即可； （3）求出，，则，据此即可得． 【详解】（1）解：如图，折痕即为所作． ． （2）解：如图，折痕即为所作． ． （3）解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，利用网格画图并回答问题： (1)选定四边形的两个内角，分别画它们的平分线，设这两条角平分线相交于点； (2)观察点是否在另两个内角的平分线上； (3)把四边形的顶点向右平移格，再向下平移格，还存在与上面相同的结论吗？ 【答案】(1) (2)点O在另两个内角的平分线上 (3)不存在 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作图即可； （2）利用图像法观察即可得出结论； （3）作图图像观察即可得到结论． 【详解】（1）解：如图： （2）根据图像，点O在另两个内角的平分线上； （3）不存在， 如图，将四边形的顶点向右平移格，再向下平移格， 得到四边形，很显然，的角平分线不经过点， 的角平分线也不经过点，此时不存在上面的结论． 40．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①（答案不唯一） 【分析】本题考查了补角，几何图形中的角度的运算，作射线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先延长，再运用圆规和直尺，作出射线，使，即可作答． （2）根据邻补角互补的性质进行作答即可； （3）理解题意，选择①或②，结合角的和差关系列式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，射线，，如图所示： （2）解：依题意，点O在直线上， 在（1）的条件下的补角有， （3）解：依题意，选择①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 选择②， ∵点O在直线上，． ∴， 则， 则 解得， ∴． 题型十一 对称轴问题 41．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）解决下列问题： (1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的； (2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点即可； （2）根据对称轴的定义作出直线l即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求； （2）解：如图2中，直线l即为所求． 42．（25-26七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 43．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是_________________． 【答案】等边三角形 【分析】分别找出各图形的对称轴条数，进行判断即可填空． 【详解】解：在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，直角三角形不是轴对称图形，是轴对称图形的有线段、角、等边三角形；角有一条对称轴，线段有两条对称轴，等边三角形有3条对称轴， 所以对称轴最多的是：等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 44．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． （2）解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 题型十二 折叠问题 45．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 46．（25-26七年级上·山东临沂·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，解决此类问题的关键，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ，， ， ∴． 故选：B． 47．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 48．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过P点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点，折痕为，第二次折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)证明：； 迁移探究 再次折叠得到，又能提出哪些问题呢？ (2)如图4，将沿过点A的某射线折叠得到，与边交于F． ①作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小； 高阶探究 过点P能折一个角等于已知角吗？ (3)如图5，如何过点P折出一条折痕，使得？请画出折叠的示意图并简要描述折叠过程，无需证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 (3)见解析 【分析】（1）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （2）①作的角平分线即可；以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点I、G，分别以I、G为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线，交于点F，射线即为所求折痕；②分，，三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可； （3）先过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕；再过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕；最后过点再次折叠纸片，使得点D落在射线上，展平纸片，得到折痕，即为所求；先过点A折叠纸片，使点C落在上的处，由折叠的全等性质得；再两次过点P折叠，构造出与平行的折痕，利用平行线的同位角相等，得，则． 【详解】（1）证明：由第一次折叠得，折痕是线段的垂直平分线， ∴； 由第二次折叠得，折痕是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：①折痕如下图： ②由题意得，当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 由题意得，当时，如图： 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，的度数为或或； （3）解：如图，即为所求： 【点睛】本题核心是折叠的性质与平行线判定，通过折叠得到垂直或角相等关系，结合分类讨论思想求解角度，关键是几何直观与逻辑推理的结合． 题型十三 生活中的旋转现象 49．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 50．（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 51．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 52．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 题型十四 找旋转中心、旋转角、对应点 53．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【答案】G 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 54．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____． 【答案】 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转角、对应点）是解题的关键．根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，找出旋转中心，据此得出旋转角的度数． 【详解】解：线段绕某点经过旋转后得到， 则如图所示，连接、，分别作线段、的垂直平分线， 设线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心， ， 旋转角为， 故答案为：． 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)A (2) 【分析】（1）根据旋转在旋转过程固定不变的点是旋转中心解答即可； （2）根据旋转的性质得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵把按逆时针方向旋转得到，点A固定不变， ∴旋转中心是点A； （2）解：因为按逆时针方向旋转得到 所以 因为， 所以 56．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度． (1)画出线段关于直线对称的线段； (2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段； (3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换、几何变换的类型，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作； （2）如图，线段即为所求作； （3）如图，点即为所求作. 题型十五 根据旋转的性质求解 易｜错｜点｜拨 1、混淆旋转与平移、轴对称，乱用对应边、对应角的相等关系。 2、忽略对应点到旋转中心的距离相等，找错对应点导致计算错误。 3、不清楚旋转角都相等，把旋转角找成其他角度。 4、只记得形状大小不变，忘记旋转会改变图形方向。 5、复杂图形中分不清旋转中心、旋转方向与角度，推理出错。 57．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1， 已知与摆放在一起， 点A、C、E在同一直线上，其中，，． 如图2， 固定， 将绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角 ． (1)当时， (2)在旋转过程中，试探究与间的关系； ①当时， ， ②当时， ， ③当  时， (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数． 【答案】(1)30 (2)①； ②； ③ (3)，，，， 【分析】（1）根据旋转角的定义进行解答即可； （2）根据旋转过程中各个角之间的变化关系进行解答即可； （3）在旋转过程中，画出的一边与的某一边平行（不共线）的所有可能出现的情况图，再根据各个角之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，当时，， 即； （2）解：①当时，如图2， ，， ∴； ②当时，如图3， ， 即； ③当时，如图4，，， ∴； （3）解：当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 综上所述，当的一边与的某一边平行（不共线）时，旋转角所有可能的度数为，，，，． 58．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为，点的对应点恰好落在上． (1)在图中画图：延长线段，交于点； (2)判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）根据题意绘制图形即可． （2）根据旋转前后图形不变，得到，根据的对应点恰好落在上，得到，，继而根据三角形内角和定理得到，从而得证结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点； （2）解：，理由如下， 将绕点顺时针旋转得到， ， 点的对应点恰好落在上， ，， ， ， ． 59．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在该角的内部引两条射线，若该角是这两条射线所成角的倍（为正整数），则这两条射线叫做该角的“倍分线”． (1)如图1，，射线是的“2倍分线”，且，则____________°； (2)如图2，，射线重合，绕点顺时针旋转，旋转的角度为． ①若，是的“4倍分线”，求的度数； ②若，在绕点顺时针旋转一周的过程中，射线中，存在两条射线是另两条射线所成的角的“3倍分线”，则满足条件的旋转的角度的度数为___________°． 【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【分析】本题主要考查旋转的性质及角度的计算，理解“倍分线”的概念及分类讨论是解题的关键． （1）根据“2倍分线”，的概念可得，再由代入计算即可； （2）①分射线未旋转过，射线旋转过两种情况，结合是的“4倍分线”，列出等式求解即可； ②根据题意，当射线是的“3倍分线”两种，当射线是的“3倍分线”两种，共四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：射线是的“2倍分线”， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：①情况一：如图射线未旋转过， ， 是的“4倍分线”， ，即，解得， ； 情况二：如图射线旋转过， ， 是的“4倍分线”， ，即，解得， ； 综上，的度数或； ②情况一：如图，射线是的“3倍分线”， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况二：如图，射线是的“3倍分线”， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况三：如图，射线是的“3倍分线”， ， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况四：如图，射线是的“3倍分线”， ， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 综上，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 60．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可得出结果； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转， 设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 题型十六 利用旋转设计图案 61．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向上平移2格，顺次连接即可； （2）将点A，B分别绕点旋转，再顺次连接即可； （3）连接，利用格点取的中点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 62．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将 向右平移8个单位长度后的 ； (2)画出将 以点O为旋转中心、顺时针旋转后的 ； (3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，成轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将点A，B，C分别向右平移8个单位得到点，，，再顺次连接即可； （2）将点A，B，C分别以点O为旋转中心、顺时针旋转得到点，，，再顺次连接即可； （3）取格点O，D，过点O，D即可作出直线l，根据成轴对称的性质即可得到过点O，D的直线l即为所求． 【详解】（1）解∶ 如图所示，即为所作图形： ； （2）解∶如上图所示，即为所作图形； （3）解∶如上图所示，即为所作对称轴． 63．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 【答案】(1)图形见解析，14 (2)图形见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换； （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可． （2）结合旋转的性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求． 线段扫过图形的面积为． 故答案为：14． （2）解：如图（2），连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则绕点逆时针旋转可以与重合， 则点即为所求． 64．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）实践与操作 （1）如图，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形被称为格点三角形，在数学活动课上，老师要求学生在的正方形网格中画出与成轴对称的格点三角形．你也试试． （2）如图，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． ①请在方格纸中画出旋转中心； ②旋转角为______． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】本题主要考查了轴对称作图和旋转作图，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和轴对称的定义． （1）根据轴对称图形的定义进行作图即可； （2）①根据找旋转中心的方法画图即可； ②根据旋转定义，找出旋转角即可． 【详解】解：（1）如图所示： ． （2）①当与，B与D是对应点时，连接，，分别作和的垂直平分线，则两条垂直平分线交于点E，则点E即为旋转中心，旋转角为； 当与，B与C是对应点时，连接，，分别作和的垂直平分线，则两条垂直平分线交于点F，则点F即为旋转中心，旋转角为； ②根据解析①旋转角为． 题型十七 画已知图形关于某点对称的图形 65．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出关于直线轴对称的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)在直线上找一点，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 证明：根据轴对称的性质可知， ∴的周长， 可知当P在线段上时的周长最小． 66．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点都在边长为个单位长度的正方形网格的格点上，点为外一点． (1)将向右平移个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点顺时针旋转度得到，作出旋转后的图形； (3)与成中心对称吗？如果是，画出对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质，将的三个顶点分别向右平移个单位长度，再顺次连接得到； （2）根据旋转的性质，将的三个顶点绕点顺时针旋转，再顺次连接得到； （3）根据中心对称的定义，判断两个三角形是否成中心对称，若对称，连接对应顶点，交点即为对称中心． 【详解】（1）解：平移后的图形如图所示． （2）解：旋转后的图形如图所示． （3）解：与成中心对称，对称中心D如图所示． 67．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，方格纸中，有一个和一点，的顶点和点均与小正方形的顶点重合． (1)在方格纸中，已知与关于点成中心对称，请画出； (2)在方格纸中，将绕点C顺时针旋转得到请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的画法画图即可； （2）根据题意，画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 68．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形网格中有，直线，互相垂直，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心（保留作图痕迹）；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】（1）先根据平移的规律找到点，再依次连接得，即可作答； （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答； （3）观察与，得出与成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：与成中心对称．如图点即为所求 题型十八 中心对称图形 69．（2026·江苏盐城·一模）下列分别是古算诗词题“圆中方形”，“方形圆径”，“圆材藏壁”，“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，又是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，也是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意． 70．（2026·江苏泰州·模拟预测）刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆的面积．设圆的半径为R，其内接正n边形的面积记为．下列选项中，中心对称图形个数最多的一组是（    ） A．正三角形、正方形 B．正方形、正五边形 C．正五边形、正八边形 D．正方形、正八边形 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义，正多边形只有边数为偶数时才是中心对称图形，据此即可得出结果． 【详解】解：∵把一个图形绕某点旋转，若旋转后的图形能和原图形重合，则该图形是中心对称图形， ∴对于正多边形，只有边数为偶数时，绕中心旋转后能与自身重合，即边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形不是中心对称图形， ∴正方形、正八边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形，故选：D． 71．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可． 【详解】解：如图， ∴新图案变成中心对称图形的移法有种； 故答案为： 72．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 【答案】(1)中心对称 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，解决问题的关键是掌握中心对称的性质． （1）按照轴对称或中心对称的性质判断即可． （2）按照中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：从图中看出，都是中心对称图形． 故答案为：中心对称． （2）解：如图所示（答案不唯一）： 题型十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 易｜错｜点｜拨 1、混淆中心对称与轴对称，错把 “对称中心” 当 “对称轴”。 2、忘记对称点的连线必过对称中心且被它平分，做题时不会用这个等量关系。 3、对应线段只记得相等，忽略通常还互相平行，导致几何推理漏条件。 4、把 “中心对称” 和 “中心对称图形” 概念混用，答题表述不规范。 5、解题时找错对应点、对应角，导致角度、边长计算出错。 73．（25-26八年级下·山西运城·期中）一个L形图如图1所示，现需解决如何画一条直线将其分为面积相等的两部分的问题．    (1)分析问题： 本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，______图形绕其对称中心旋转______后能与原图形重合，因此过其______的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． (2)操作发现 如图2，该图形可以看成由左、右两个正方形构成，分别确定两个正方形的对称中心，然后连线即可得到符合要求的分割线．类似的，该图形还可以看成由上、下两个长方形构成，分别确定两个长方形的对称中心，然后连线也可得到符合要求的分割线．请按此要求画出分割线，在图3上完成（保留作图痕迹，不写画法）． (3)深度探究： 由于本题的分割线不唯一，如果采取把图形右上角弥补一个小正方形，让L形先变为长方形后，再分别找正方形和长方形的……，请再按此要求画出分割线，在图4上完成（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)中心对称，，对称中心 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义填写即可； （2）（3）根据题干的提示，利用中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：本题主要通过寻找分割线，深化对中心对称图形的认识，中心对称图形绕其对称中心旋转后能与原图形重合，因此过其对称中心的任意一条直线必将其分割为全等的两部分． （2）如图，即为所求；    （3）如图，即为所求．    【点睛】本题考查了中心对称的应用，解题的关键是根据中心对称的性质得到过对称中心的直线将图形面积分为两个相等的部分． 74．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为21 【分析】（1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 答：的周长为21． 75．（24-25八年级下·江西宜春·期末）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 76．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．    (1)将绕点P逆时针旋转90°得到，请画出； (2)将绕点O旋转180°得到，请画出点O和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段； (4)在线段上找一点M，使得，请画出点M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质即可将绕点逆时针旋转得到△； （2）线段的中点为，作关于点的对称点，连接、即可； （3）平移，使其经过点； （4）作关于直线的对称点，连接并延长，交于点即可． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）点和如图所示：    （3）如图，且经过点；    （4）如图，点即为所求；    因为、关于直线的对称， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换和作图-平移变换，解题的关键熟练掌握旋转和平移的性质． 题型二十 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 77．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； (2)在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据面积可知四边形是底边为2，高为3的平行四边形； （2）根据是中心对称又是轴对称图形可知，四边形为正方形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得 （2）解：根据题意可得 78．图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的轴对称性质，结合面积画图即可； （2）可画一个平行四边形即可； （3）利用勾股定理及等腰梯形或筝形的性质画图即可． 【详解】（1）如答图①，即为所求．（答案不唯一） （2）如答图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）如答图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 79．（25-26九年级上·吉林松原·期中）作图题． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 【分析】本题主要考查旋转变换及中心对称图形，熟练掌握旋转的性质及中心对称的性质是解题的关键； （1）根据中心对称图形的性质可进行作图； （2）根据旋转的性质可进行求解； （3）根据中心对称图形的性质可进行作图． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：所作如图所示： 80．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一） （2）如图2所示 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（2026·江苏连云港·二模）2026年3月30日是第31个江苏小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A．当心淹溺 B．当心落水 C．禁止翻越 D．急救站 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿方向平移到，若，，则A，D之间的距离为（     ） A．2 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】连接，根据平移的性质得，再利用，可计算出，从而得到的长． 【详解】解：如图，连接， 沿水平方向向右平移到的位置， ， ∵，， ． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列生活现象中，最适合用平移变换描述的是（　　） A．柳树在河水中的倒影 B．风力发动机的叶片在风的作用下绕轴运动 C．下雨天汽车雨刷的运动 D．传送带上的物体的移动 【答案】D 【分析】利用平移的定义，沿着某个方向移动一定的距离，求解即可． 【详解】解：A、柳树在河水中的倒影是镜面对称，不符合题意； B、风力发动机的叶片在风的作用下绕轴运动是旋转，不符合题意； C、下雨天汽车雨刷的运动是旋转，不符合题意； D、传送带上的物体的移动是平移，符合题意． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转后能与自身重合，观察图形中黑子的分布确定对称中心，再根据已有白子的位置找出缺失的对称点． 【详解】解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称， 该对弈图的对称中心为网格的中心点， 左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称， 要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称， 观察图形可知，白方落子应在C点． 6．（2026·江苏无锡·二模）请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 【答案】圆（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，找出同时满足两个定义的几何图形即可． 【详解】解：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；平面内将一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合的图形是中心对称图形． 圆沿任意过圆心的直线折叠，直线两旁的部分都可完全重合，且圆绕圆心旋转后能与自身重合，符合要求． 故答案为：圆（答案不唯一）． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起，将簸箕绕点顺时针旋转，点落在点处，使其平放在地面，箕面绕点旋转的度数为_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和邻补角的定义计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴箕面绕点旋转的度数为． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，将沿向右平移至，若，，则的长为__________． 【答案】8 【分析】根据线段的和差得到，由平移可得，从而，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由平移可得， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 【答案】10 【分析】先求出，，再得出点三点共线，根据解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点分别为点关于射线，射线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴． 10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得到． 由，求出，由邻补角的性质得到，由折叠的性质可得到． 【详解】解：，， ， ， 由折叠的性质得：， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)的度数是__________； (2)尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再利用平角求解即可； （2）延长至点，以为圆心作弧交于点、，以、为圆心，大于长为半径作弧相交于点，直线即为所求作． 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）解：如图，直线即为所求作． 13．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【答案】 【详解】解：∵，分别是点关于、的对称点，， ∴，， ∴， 即的周长为． 14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）示例：将一张正方形纸片按下图方式对折、画图、剪纸、展开． 仿照：请在下面的虚线框中画出对折、画图、剪纸的过程． 【答案】见解析 【详解】解：如图， 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）由平移的性质知，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出， （2）由平移的性质知，，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，故． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴； （2），理由如下： 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（2026·江苏无锡·二模）如图，点A、B、C、D、E、F、G都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若经过点C的直线平行于，则可能经过的点是（     ）    A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据网格结构，观察线段在水平方向和竖直方向的变化量，利用平移的性质确定直线的变化规律，从而判断直线可能经过的点． 【详解】解：设小正方形的边长为1．观察图形可知，从点到点，水平方向向右移动个单位，竖直方向向下移动个单位．  直线，点在直线上， 从点出发，向右移动个单位，向下移动1个单位，应到达直线上的另一个格点．观察图形，点向右格、向下格恰好到达点． 直线可能经过点． 17．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，一张四边形纸片，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，折叠后点C，D分别到了点，处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠可知，，再根据已知条件和平行线的性质求出和，从而求出答案即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【详解】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 19．（25-26七年级下·重庆荣昌·期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．36 C．42 D．57 【答案】D 【分析】由题意易证：即可解决问题． 【详解】解：将沿点到点的方向平移到的位置， ， ． 20．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数为 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，推出，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________________． 【答案】 【分析】将四边形的周长分为、、、、，结合的周长和平移的性质进行计算即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵沿方向向右平移个单位得到， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为． 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 【答案】35 【分析】先根据平移的性质可得，，求出的长，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移可得，，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 23．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在C，D上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，的长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况：及，分别画出图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 24．（25-26七年级下·江苏南京·期中）将一张正方形纸片折叠，点分别在上，沿着和折叠，其中和是折痕，点和点折叠后的对应点分别是点和点，设锐角，则______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】利用折叠的性质得到对应角相等，结合正方形内角为的性质，通过角度和差关系推导的表达式． 【详解】解：如图，当与不重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； 如图，当与重叠时， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，， 根据题意，由角度和差关系得：， 整理得：， 又∵， 代入得：； ∴或． 25．（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，，E，F分别是边，上的点，连接，将沿着折叠，得到，当所在直线与垂直时，的度数是________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一是点与点B在直线的异侧，二是点与点B在直线的同侧，即可求解． 【详解】解：如图1，，且点与点B在直线的异侧， ∵中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿着折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，，且点与点B在直线的同侧， 由可知， ∴， 由折叠可得，， ∴； 综上所述，的度数是或． 26．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)将平移，使点移动到点，平移后得到，点、分别是点A、B的对应点．画出平移后的图形，则线段扫过的图形的面积为______； (2)画出关于直线对称的三角形，点D、E、F分别是点A、B、C的对应点． 【答案】(1)图见解析，9 (2)见解析 【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A、B的对应点、，再顺次连接即可得平移后的；根据线段扫过的图形的面积为平行四边形的面积计算即可； （2）根据对称的性质分别作出点A、B、C关于直线对称的点D、E、F，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，平移后得到，即为所求； 线段扫过的图形的面积为平行四边形的面积：； （2）解：如图，即为所求． ． 27．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到，请在图中画出； (2)请画出以点D为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心O；若不是，说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)是，画图见解析 【分析】（1）根据平移方式和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （2）根据中心对称和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （3）根据中心对称的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：与是成中心对称；连接，，则与的交点，即为对称中心O． 28．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据图形平移的性质得出，再根据线段的和差关系求解即可； （2）由图形平移的性质得出，，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ， ； （2）解：由平移的性质可得，，， ． 29．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）． (1)图①中， °； (2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值． 【答案】(1)15 (2)的值为9或15或27． 【分析】（1）根据三角板的特点，图形结合分析即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况：；第二种情况： ；第三种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：第一种情况：如图所示，， ∴， ∴， 即点在上， ∵， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∴， ∴； 综上所述，的值为9或15或27． 30．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式，图形的变换有助于我们从运动的角度来研究几何问题． (1)如图1所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1，与关于直线对称，与关于直线对称，与关于直线对称，则可以看作是绕点O顺时针旋转得到的，旋转角为______度（旋转角）可以看作是向右平移得到，平移距离为______； (2)如图2，直线，，P为直线下方一点，作点P关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图2的情形解决以下问题： ①若点P到直线的距离为2，点P到直线的距离为8，请直接写出两点间的距离______； ②若，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，点可以看作是点绕图中某个点顺时针旋转角得到的），则旋转中心是______，旋转角的度数为______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)180，8； (2)①12；②，理由见解析； (3)C， 【分析】（1）因为旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，所以先找到和的对应点，再计算对应点与O点连线的夹角；因为平移距离是对应点之间的水平距离，所以找到和的一组对应点，计算两点间的水平格数． （2）①因为对称点的连线被对称轴垂直平分，所以先根据对称性质得到相关线段的长度，再利用平行线间的距离关系计算的长度；②因为轴对称对应角相等，所以先根据对称性质得到，再通过角的和差推导β与α的数量关系． （3）因为旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，所以先找到和的对应点，确定旋转中心；再根据平行线和轴对称的性质，推导旋转角θ与α的关系． 【详解】（1）解：∵两次轴对称若对称轴相交于，旋转角等于2倍对称轴的夹角． 且​竖直、垂直交于，夹角为， ∴旋转角为； ∵两次轴对称若对称轴平行，平移距离等于2倍对称轴间距， 且与间距为4， ∴平移距离为． （2）解：①∵到距离为2，在下方，，到距离为8， ∴与间距为； ∵经两次轴对称得到，平行对称轴的两次轴对称， ∴两直线间距． ②，理由如下： ∵与​关于对称， ∴； ∵与关于对称， ∴． 设， 则 ， ∴ ． ∴ ， 即． （3）解：连接， 由轴对称性质得​，，​， ∴， 由，得， ∵，， ∴， ∴ ， ∴点可以看作是点绕点C顺时针旋转角得到的． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 31．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在边上和点在边外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， ∵由平移得到，， ∴， ∴， ∴， ①当时， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 第二种情况：当点在边外时，过点作， ∵由平移得到，， ∴， ∴， ∴， ①当时， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， 由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴不存在这种情况； 综上所述，的值为或或，不可能的值为． 32．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，角的和差计算，掌握折叠的性质是解题的关键． ①由折叠可得，，则，再由求解即可；②若点与点重合，则，，那么，据此即可求解；③分两种情况讨论，在的下方和在的上方；④此时，则，再由角度和差求解即可． 【详解】解：①若，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故错误； 若点与点重合，如图， 由折叠可得，，， ∴， 即，故正确； 如图，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的上方时， ， ， ， ， ∴或，故错误； ④由上可知，当，在的下方，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 33．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 34．（25-26七年级下·江苏·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 35．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 36．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为___________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，，，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图， 则， 则的值为； 当时，如图，则， ， ， 的值为． 当时，如图， 则的值为（不符合题意）． 综上，若与的某一边平行（不共线）时，的值为或． 37．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 【答案】 90 【分析】先利用翻折的性质，得出，，，再利用两角的和结合，证得，然后根据三角形面积公式，得到，当时，最小，则的面积最小，先求出，再求出面积的最小值即可． 【详解】解：由翻折得：，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 要使最小，当时，最小，则的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，有一长方形纸带，、分别是边、上一点，锐角，将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为时，则的值为______． 【答案】或 【分析】分两种情况，依据两次折叠后角的和差关系，即可求得的大小，再依据和的度数之和为，列方程求解，即可得到的值． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图， ∵将纸带沿折叠，再沿折叠，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵和的度数之和为， ∴， 解得：； 当时，如图， 用同样的方法得：，， ∴， ∵和的度数之和为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或． 39．（25-26七年级上·重庆·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，长方形纸片中，，点M在线段上，点N在线段上，将长方形纸片沿着线段折叠后，点分别落在点的位置上，交线段于点Q，再沿着线段折叠后，点C，D分别落在点的位置上，若，则的度数是_________°． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．设，根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而表示出，根据建立方程，解方程，得出，进而根据即可求解． 【详解】解：设， ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 40．（25-26七年级下·江苏南京·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点 (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G， ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数用含m的代数式表示 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】根据折叠的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，得到； ①根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据折叠的性质即可得到结论； ②根据上述过程可得：，求得，得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F， ， ． 四边形是长方形， ， ； （2）解：四边形是长方形， ∴， ， ． 继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H， ， ， ； ②根据上述过程可得：， ， ， ， 解得， ． 41．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【难】如图，直线，一副三角尺中，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线相交于点H（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图3，分别过点F、H作，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图2，过点E作，利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时，②当时，③当时，④时，分别求出旋转角度求解即可． 【详解】（1）证明：在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图3，分别过点F、H作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的角平分线相交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ①当时，同时，如图，过点H作，交于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为； ②当时，如图，过点H作，过点E作，交于G， 由①可得， ∴， ∴旋转时间为； ③当时，如图，过点E作，延长交于点K，则， ∴， 这时在上停止运动， ∴旋转时间为； ④当时，如图，延长交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为； 当时，延长交于G， 同理， ∴旋转时间为， 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，三角板中角度的计算，辅助线的运用，利用平行线性质是解题关键． 42．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）综合与实践 已知，在长方形中，，，，．点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为． 【初步探索】 (1)尺规作图：若点恰好落在对角线上，请在图1中作出点．此时________°． 【深入探究】 (2)如图2，若点落在内（包含的边）． ①直接写出的最大值与最小值的和________°． ②探究与的关系． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图3，点是边上一动点，将沿翻折，点的对应点为．若点落在内（包含的边），当的其中一边与的某一边平行时，试探究与的关系________． 【答案】(1)图见详解，30 (2)①75；② (3)或或 【分析】（1）根据折叠可知，，且折痕与线段的垂直平分线重合，由此可找出点，并利用折叠的性质求出； （2）①通过极限思维可以确定的值最大时，落在上，的值最小时，落在上，即可得出答案；②设，，过点作，通过折叠的性质和平行的性质即可求得与的关系； （3）设，，利用折叠进行角度计算，然后根据当的其中一边与的某一边平行时分四种情况讨论，分别为，，，，最后借助平行的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径画弧，交于，分别以和为圆心，为半径画圆，连接两圆的交点，交于点，连接； 将沿翻折，点的对应点为， ， ， ； （2）解：①若点落在内（包含的边）， 的值最大时，落在上，的值最小时，落在上， 由（1）可知，落在上时，， 落在上时，由折叠得，， 则的最大值与最小值的和为； ②设，， 将沿翻折，点的对应点为， ， ， ，， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 则，即； （3）设，， 则，， 若点落在内（包含的边）, 点落在内（包含的边），则与的边可能存在，，，四种情况, 情况一：当时，， ， ， 则，即； 情况二：当时，延长交于点，， ， ， 则，即； 情况三：当时，，则， 将沿翻折，点的对应点为， ， ， ， 则，即； 情况四：当时， ， ， ，， 此时，； 综上，或或 【点睛】本题考查平行的性质，角度的计算，折叠问题，以及设参求角方法，能够根据折叠找准相等角，并熟练掌握平行的性质是解题的关键． 43．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）数学实验室 在图形变换活动中，张老师带领同学们利用相交直线研究对称变换：已知直线、相交于点O，且，点E是内的任意一点．按如下规则对E进行连续对称操作： 第一步：作点E关于直线的对称点，记为；第二步：作点关于直线的对称点，记为；第三步：作点关于直线的对称点，记为…… 依此交替作关于作对称点，记第n次对称后的点为． (1)如图1所示，当时，作出点，，并连接，，，设，求的大小； (2)填空：由（1）可知，经过两次轴对称（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次______（选填“平移”、“旋转”、“翻折”）得到； (3)填空：若点E经过上述四次对称操作后得到的点与点E关于点O成中心对称，则______； (4)若按上述方式n次对称后，点第一次落入内，且对任意点E，点都与点E重合，请直接写出与n满足的关系______． 【答案】(1) (2)旋转 (3) (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质可知，，然后结合已知条件，利用角度的和差运算即可解答； （2）根据图形，结合旋转的性质判断即可； （3）设，同（1）先求得，然后根据对顶角相等和对称的性质求得，进而可得，即可解答； （4）根据（1）（2）（3）的结果进行规律总结即可解答． 【详解】（1）解：根据对称可知，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，经过两次轴对称后，点到，，且，相当于将绕点O旋转得到， 所以经过两次轴对称后的图形可以看作是原图形经过一次旋转得到； （3）解：如图所示，点E经过上述四次对称操作后得到的点与点E关于点O成中心对称，则， 根据对称可知，，，， 设，则，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：由（1）可知，经过两次轴对称之后，点绕点旋转的角度为， 由（3）可知，经过四次轴对称之后，点绕点旋转的角度为， ∴按上述方式n次对称后，点第一次落入内，且对任意点E，点都与点E重合，此时的旋转角度为， ∴． 44．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点、的对应点分别为点、，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． 若，则的度数__________． 若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案； （2）根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案；由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由翻折的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：，， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ； ， ， 由翻折得， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ， ， ， ， ， ， ． 45．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)与是一组“巧角”，理由见解析 (2)①或；②或或或 【分析】（1）利用折叠的角相等性质，计算出两个角的差，验证是否符合“巧角”定义； （2）①由三点共线和折叠性质得到，结合“巧角”的绝对值方程求解； ②分重叠和无重叠两种情况，利用角度关系建立方程，结合“巧角”定义求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 若，则，解得， ，故与是一组“巧角”． （2）①解：根据题意可知，，， ， 可得，即， 与是一组“巧角”，则， 若，即， 则有， 解得； 若，即， 则有， 解得， 综上，或． ②解：如图，当折叠后与无重叠部分， ，，， ， ， ， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，即， 可得， 解得， ； 如图，当折叠后与有重叠部分， ，，， ， ，即， ， ， 解得， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，， 可得， 解得， ． 综上，或或或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $