专题03 图形变换（3大变换+15大题型） 2025-2026学年七年级下学期数学期末专题复习（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:03： 图形的变换（3大变换+15大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：平移变换 1.平移概念： 在平面内,将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移。 2.平移的性质： （1）平移前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）平移前后的两个图形中,两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等. 考点2：轴对称变换 1.轴对称概念： 将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴。 2.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）成轴对称的两个图形中,不在对称轴上的两个对应点的连线 段被对称轴垂直平分。 3.垂直平分线： 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 垂直平分线的尺规作图 4.轴对称图形： （1）如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身,那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. （2）角是一个轴对称图形，其尺规作图如下图： 角平分线的尺规作图 考点3：旋转变换 1.旋转概念： 在平面内,把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。 2. 旋转性质： （1）旋转前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等。 （2）旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角。 3.中心对称概念： 在平面内,若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的,则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心,两个对称图形上的对应点叫作对称点 . 4.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过对称中心, 且被对称中心平分。 模块3：重点题型+【变式训练】 【题型1】平移现象的识别 例题1．汉字文化博大精深，许多汉字由相同部分组合而成．下列古文字中，可以看作由其中一部分平移得到的是（　　） A．杯 B．山 C．火 D．林 【答案】D 【分析】根据平移的定义求解即可． 【详解】 解：A． 不能看作由其中一部分平移得到，不符合题意； B． 不能看作由其中一部分平移得到，不符合题意； C． 不能看作由其中一部分平移得到，不符合题意； D． 能看作由其中一部分平移得到，符合题意； 【变式训练】 1．下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】B 【分析】本题根据平移的定义判断各选项，平移的定义为：平面内，将一个图形上所有点沿同一直线方向移动相同距离，不改变图形的形状，大小和方向． 【详解】解：∵ 平移不改变图形的形状，大小和方向，且图形上所有点移动方向，距离都相同， A 选项 温度计中液柱变化时，液柱的大小发生改变，不符合平移定义，错误； B 选项 升降电梯从一楼升到五楼，电梯整体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状大小方向均不变，符合平移定义，正确； C 选项 树叶随风飘落，运动方向不断变化，不符合平移定义，错误； D 选项 纸张沿中线对折是翻折变换，不是平移，错误； ∴ 答案选B． 2．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 3．下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义判断即可． 【详解】解：由平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据定义可知A、B、D选项均可以用其中一部分经过平移得到，不符合题意，C选项不能用其中一部分经过平移得到，符合题意，故选C． 4．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 【题型2】利用平移的性质求解 例题2．一个木匠想用一条长的木条来围成花圃，他正在考虑用下列之一的花圃设计，以下的花圃不可能用长的木条围出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的知识可以知道A、B、C三个选项中的图形都可以看作长、宽的长方形，据此求出它们的周长，D选项中的平行四边形的周长显然大于长、宽的长方形的周长． 【详解】解：A、B、C三个选项中的图形的周长都是：， D选项中的平行四边形的底、高，显然该图形的周长大于， 则花圃不可能用长的木条围出的是选项D． 【变式训练】 1．如图，将沿直线向右平移，得到，若的周长是，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∵的周长， ∴四边形的周长． 2．如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】为向右平移得到的距离，设，根据长度关系可得x的值，从而可得到平移的距离． 【详解】解：由题意可得，为向右平移得到的距离， 设，则， ，， ， ，解得， 也是向右平移的距离， ． 3．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据图形平移的性质得出，，根据得出的长，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形，交于点， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴． 4．如图，将直角三角形沿着点到点的方向平移得到三角形交于点．已知，平移距离为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据平移的性质得，，再求出，然后根据得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得，， ∵， ∴， ∴． ∵， 即， 所以图中阴影部分的面积为15． 【题型3】平移的作图 例题3．如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，10 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，连接，， ∴四边形的面积． 【变式训练】 1．如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）由平移可知，这两条线段之间的关系是平行且相等． 2．如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（）点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，由此即可求解； （）根据过点作已知线段的平行线的方法即可求解； （）根据平移的方法作图即可； （）根据得，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在的方格纸中，已知三角形（顶点都在格点上）及格点，请在方格纸内按以下要求画图： (1)将三角形平移得到三角形，使得点和点对应，点和点对应．（要求：画出图形，标上字母）． (2)连接．写出图中所有与相等的角：________． 【答案】(1)见解析 (2)和 【分析】（1）根据点的对应点的位置，确定平移方式，再找出点E和点F的位置，最后顺次连接即可； （2）根据平移的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：根据平移可得：，， ∴， ∵三角形平移得到三角形， ∴， 根据图形可知：格点G在上，且， ∴， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴、C、D三点在同一直线上， ∴， ∴； 综上，与相等的角有和． 4．如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)见解析 【分析】（1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题； （3）在上取格点，根据点M向右平移2格向下平移1格到达点C，将点B向右平移2格向下平移1格到达点D，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． （3）解：如图，即为所求． 【题型4】轴对称图形的识别 例题4．下列交通标志是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察是否有一条直线，使图形沿直线对折后两边能完全重合． 【详解】解：选项：没有对称轴，不是轴对称图形； 选项：没有对称轴，不是轴对称图形； 选项：沿竖直对称轴对折后两边完全重合，是轴对称图形； 选项：没有对称轴，不是轴对称图形； 【变式训练】 1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形是指沿一条直线折叠，两边的部分能够完全重合的图形逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故该选项不符合题意； B．是轴对称图形，故该选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故该选项符合题意； D．是轴对称图形，故该选项不符合题意． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，据此逐一判断选项． 【详解】解：选项A、“夙”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、 “兴”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“昧”：找不到一条直线，使直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项D、“旦”：存在竖直中线，沿这条直线折叠后左右两部分可完全重合，是轴对称图形． 4．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 【题型5】利用成轴对称的性质求解 例题5．如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，， ， ∴的周长 ． 【变式训练】 1．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 2．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 3．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 4．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 【题型6】折叠问题 例题6．如图，把一张长方形纸片沿折叠，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据折叠的性质得，然后根据平角的定义可计算出的度数． 【详解】解：如图所示， ， ， 长方形纸片沿折叠， ， ． 【变式训练】 1．如图，长方形纸片沿EF折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形对边平行，得，故；由折叠的性质得；再结合和平角的定义，列方程求解． 【详解】解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ． 2．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，点与点关于直线对称，从而得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，点与点关于直线对称 点在上，点与点关于直线对称 的周长 两点之间线段最短 当点在同一直线上时，的值最小，最小值为的长 的周长最小值为． 3．如图，把沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得出，根据折叠可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠可得， ∴． 4．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，余角的性质，直角的定义求解即可； 【详解】解：根据矩形的性质，得， ，， 根据折叠的性质，得， ， ，， 故A，B正确，不符合要求； C错误，符合要求； D正确，不符合要求； 【题型7】钟表镜面对称问题 例题7．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式训练】 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 2．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 3．如图，图中显示的是从镜子中看到背的电子钟读数，由此你推断这时的实际时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为； 故选：D． 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 【题型8】轴对称作图问题 例题8．在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 【答案】见解析 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图， ． 【变式训练】 1．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)10 【分析】（1）根据题意，点A平移到点D位置，平移规律是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可得到平移图形； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据线段平移，网格求图形面积的方法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形， （2）解：如图所示，即为所求图形； （3）解：从到，线段扫过的面积为． 2．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （3）连接交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 3．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 4．在方格纸中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，在的正方形网格图中，是一个格点三角形．请在此网格中画出，要求：也是一个格点三角形，且和关于某直线成轴对称．请你在备用图中至少画出四种符合题意的情形．（画出和对称轴） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解． 【详解】解：如图，为所求作的三角形． 【题型9】旋转现象的识别 例题9．通过图形变换来设计图案是常用方法，下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、平移，故符合题意； B、轴对称，故不符合题意； C、旋转，故不符合题意； D、轴对称，故不符合题意． 【变式训练】 1．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 2．如图，将立方体绕它的对角线旋转，应该形成（    ）种立体图形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，是解答本题的关键． 【详解】根据正方体的特征，正方体沿对角线旋转一周，得到的是一个上、下端为圆锥，中间是两个有公共小底面的两个圆台． 故选：C 3．下列运动属于旋转的是（    ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 【答案】D 【详解】根据旋转的定义，判断各选项是否围绕固定点或轴转动. 【分析】A. 滚动过程中的篮球，接触点不断变化，并非绕固定点转动，属于滚动而非旋转； B. 图形沿直线对折是轴对称，属于翻折，不涉及旋转； C. 气球升空是沿直线方向的平移运动，无旋转； D. 钟摆绕固定悬挂点往复摆动，属于绕定点转动，符合旋转的定义. 故选D. 【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键. 4．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【答案】D 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“气球升空”路线不固定，不一定是平移，故C选项错误，不符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【题型10】中心对称图形的识别 例题10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，该选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意． 【变式训练】 1．近年来，我国新能源汽车产业发展迅猛，截至2026年4月，新能源汽车品牌约有120个．下面关于新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2．为践行“人与自然和谐共生”理念，推动社会可持续发展。下列倡导环保的图案中，是中心对称图形的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中心对称图形为： ． 3．下列选项展示了苏超部分球队队徽中的节选图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 4．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 【题型11】利用旋转的性质求解 例题11．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，进而利用角的和与差计算求出即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】 1．如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，从而得到对应边、对应角相等．利用得出为等腰三角形，结合，求出等腰三角形的顶角．由旋转角相等，，从而得到答案． 【详解】解：∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，将绕点A顺时针旋转（）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好落在边上时，若，，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，得到，，结合解答即可； （2）设，根据，求解即可． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，得到，， 故； （2）解：设， ， ， 解得， ， ， 故旋转角； 3．如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)A (2) 【分析】（1）根据旋转在旋转过程固定不变的点是旋转中心解答即可； （2）根据旋转的性质得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵把按逆时针方向旋转得到，点A固定不变， ∴旋转中心是点A； （2）解：因为按逆时针方向旋转得到 所以 因为， 所以 4．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为，点的对应点恰好落在上． (1)在图中画图：延长线段，交于点； (2)判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）根据题意绘制图形即可． （2）根据旋转前后图形不变，得到，根据的对应点恰好落在上，得到，，继而根据三角形内角和定理得到，从而得证结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点； （2）解：，理由如下， 将绕点顺时针旋转得到， ， 点的对应点恰好落在上， ，， ， ， ． 【题型12】找旋转中心问题 例题12．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 【变式训练】 1．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 【答案】D 【分析】先由图中两个三角形各边的长度得出旋转图形的对应顶点，再由旋转性质求解即可找到旋转中心． 【详解】解：由图可知，， 的对应点为、的对应点为、的对应点为， 由旋转性质可知，对应点与旋转中心的连接构成的线段相等，则格点中只有， 即其旋转中心是格点． 2．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 3．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 【答案】点 【分析】根据旋转的性质，旋转点到旋转中心的距离相等即可求解． 【详解】解：观察图象，可知点对应点， 在点、、中，仅有， 故点H为旋转中心． 4．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【答案】G 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 【题型13】求旋转角问题 例题13．如图，将绕点B顺时针旋转角，得到，此时点A，点B，点在一条直线上，若，则旋转角=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先根据角度的和差得出，再利用旋转变换的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即旋转角． 故选：D． 【变式训练】 1．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 2．如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质（对应角相等、对应边相等、旋转角相等）和四边形内角和定理，运用转化思想，将的求解转化为四边形内角和的计算，解题关键是利用旋转性质得到角的等量关系，易错点是对旋转后角的位置关系理解不清；解题思路：先由旋转性质得角的等量关系，再结合平角、四边形内角和推导的度数． 【详解】解：由题意得，， ，旋转角，且；（旋转的性质）； ∵ ∴是等腰三角形，， 又∵点恰好在的延长线上， ∴（平角定义） ∵， ∴， 在四边形中，； 又∵，且； 则 解得 故选：D． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到的位置，设旋转角为α（0°＜α＜180°）．若中恰有一条边与△ABC中的一条边平行，则旋转角α的可能的度数为_____． 【答案】20°，70°，110°或160° 【分析】分情况讨论：①当AB时；②当BC时；③当AB时；④当AC时，画出图形，分别根据旋转的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°， ∴∠B＝70°； 又∵是由△ABC绕点C旋转得到， ∴＝∠A＝20°，＝∠B＝70°； ①如①所示，当AB时，∠A＝＝α＝20°； ②如②所示，当BC时，∠B＝＝α＝70°； ③如③所示，当AB时，∠A＝＝20°，则α＝∠ACB+＝90°+20°＝110°，即α＝110°； ④如④所示，当AC时，＝70°，则α＝∠ACB+＝90°+70°＝160°，即α＝160°； 综上所述，旋转角α的可能的度数为20°，70°，110°或160°； 故答案是：20°，70°，110°或160°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质．解答该题时需要分类讨论，以防漏解． 4．如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转得到，其中点、的对应点为、．如果的一边与原边平行，且旋转角小于，那么的度数是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，先根据旋转的性质得到，再分平行于、平行于的情况讨论． 【详解】解：绕顶点逆时针旋转得到， ， 的一边与原边平行， 当平行于， ， ； 当平行于， ， ， ． 【题型14】旋转作图问题 例题14．如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向上平移2格，顺次连接即可； （2）将点A，B分别绕点旋转，再顺次连接即可； （3）连接，利用格点取的中点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【变式训练】 1．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图1中画出； (2)将绕点按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出； (3)线段和的关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移方式和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （3）根据旋转的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由旋转的性质可得． 2．如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． （3）连接，由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积，根据平移的性质可得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，连接， 由题意得平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积， 由平移的性质可得，， ∵四边形的高为， ∴平移过程中边“扫过”的面积为． 3．如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【分析】（）根据旋转的性质：连接，，，分别将各线段绕点P逆时针旋转得到，，，顺次连接，，，即可得到． （）线段的中点为，作关于的对称点，连接，即可． （）平移使其经过即可． 【详解】（1）解： ∴即为所作图形． （2）解： ∴点和如图所作； （3）解： ∴线段如图所作． 4．作图题． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 【分析】本题主要考查旋转变换及中心对称图形，熟练掌握旋转的性质及中心对称的性质是解题的关键； （1）根据中心对称图形的性质可进行作图； （2）根据旋转的性质可进行求解； （3）根据中心对称图形的性质可进行作图． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：所作如图所示： 【题型15】旋转变换综合问题 例题15．【操作拼图】在桌面上，把一副三角板摆成如图1的位置，其中两直角边和重合，边和相交于点，点和点重合，． （1）在上述图形中， ． 【问题探究】在图1的基础上，让三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转． （2）在旋转过程中，以下说法正确的是 ．（填对应序号） ①；②；③；④ 【综合运用】将一副三角板按照图3摆好后，让三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当三角板旋转角度达到时，两三角板停止旋转． （3）设三角板的旋转时间为秒，在旋转过程中，当三角板中某一边与垂直时，求的值． 【答案】（1）；（2）①②③；（3）、、． 【分析】本题主要考查了三角板的特殊角度性质、三角形内角和定理、角度的和差与等量代换、旋转的性质以及分类讨论思想，熟练掌握三角板的角度特征，运用角度的和差关系与等量代换推导角的数量关系，结合旋转速度建立方程，并通过分类讨论解决动态问题是解题的关键． （1）先利用三角板的特殊角度（）推出，进而得到；再结合，通过三角形内角和为计算出的度数． （2）①通过同角的余角相等，证明与相等；②利用对顶角相等和角度代换，推导与的数量关系；③通过角度的和差代换，证明与的和为；④利用三角形外角性质，推导与的差值． （3）分三种情况讨论：、、．结合三角板的旋转速度（每秒，每秒），用角度差表示旋转后的角度关系，建立方程求解的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：； （2）①∵，， ∴，故①正确； ②∵，，，， ∴即 ∴，故②正确； ③∵，， ∴ ，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：①②③； （3）情况1：如图，当时， ∵，， ∴， ∵旋转后角度差， ∴， 解得； 情况：如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵旋转后角度差， ∴， 解得， 情况：如图，当时， ∵，， ∴， ∴ ∵旋转后角度差， ∴， 解得， 故的值为、、． 【变式训练】 1．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点A，B在直线上，点E，F在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点E以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． (1)当与平行时，则t的值为　　　　　　； (2)当与平行时，则t的值为　　　　　　； (3)【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点E以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，当与平行时，求t的值． 【答案】(1)15 (2)5 (3)3或39或75 【分析】（1）推导出，根据旋转角和平行线的内错角相等即可求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； （3）分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质推出，结合的旋转角度构造方程求解． 【详解】（1）∵，， ∴, ∴, ∵, ∴, 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即, ， 解得：， （2）解：如图，延长交于点, ∵, ∴, ∴, ∴ ∴, 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即, 解得：． （3）解：①如图，当时， 延长，交,,于点,,, , 由题可知，，，, ∴， , , ， 解得：， ②如图，当时，过点作,延长交于点， 则, 则, ∴, ∴, 则, ∴, ∴ 解得： ③如图，当时，延长交于点,延长交于点, 当时， , 大于的， , , , ∴满足条件， 综上，的值为或或75． 2．如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． (1)若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． (2)若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 【答案】(1)或 (2)①、或;②的度数为或 【分析】本题考查了三角形的旋转，线段平行的性质和判定，一元一次方程和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）需要分情况讨论，画出对应的示意图，列出一元一次方程即可求解； （2）①需要分三种情况讨论，根据垂直的判定和性质，然后即可求解； ②需要分三种情况讨论，根据平行的判定和性质，然后即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：，解得：， 即当秒与重合时停止旋转， 当时，需要分两种情况： 第一种情况，如图：， 即， 解得：； 第二种情况，如图：，，解得：； 综上所述：当或时，； （2） 解：①作，如图：， ∴， 由题可得：， ∴， ∴， 第一种情况，当时，即令， ∴， ∵， ∴， ∵目前为，使得，需要令绕点顺时针旋转， 即三角板绕点顺时针旋转时，； 第二种情况，当时，即和重合， ∵， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 第三种情况，当时，即和重合， ∵，， ∴， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 综上所述，当三角板的边垂直于三角板的斜边时，、或； ②第一种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合，和重合， ∴， ∴； 第三种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴； 综上所述，当三角板的斜边与三角板的边平行时，的度数为或； 3．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 4．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)， (4)点成中心 (5)画图见解析 【分析】（1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可； （5）以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线,据此即可作出． 【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； （2）解：根据题意得，，， ∴； （3）解：当直线与直线相交于点时： 可看作是绕着点旋转而成的， ，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； （5）解：如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线． ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:03： 图形的变换（3大变换+15大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：平移变换 1.平移概念： 在平面内,将一个图形沿 平行移动一定的 后得到另一个图形的平面变换叫作平移。 2.平移的性质： （1）平移前后的两个图形可以 ,对应线段 ,对应角也 ； （2）平移前后的两个图形中,两组对应点的连线段 (或 )且 . 考点2：轴对称变换 1.轴对称概念： 将一个平面图形沿 翻折后得到 的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴。 2.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形可以 ,对应线段 ,对应角也 ； （2）成轴对称的两个图形中, 的两个对应点的连线 段被对称轴 。 3.垂直平分线： 垂直且平分一条线段的 叫作这条线段的垂直平分线，简称 。 垂直平分线的尺规作图 4.轴对称图形： （1）如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是 ,那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. （2）角是一个轴对称图形，其尺规作图如下图： 角平分线的尺规作图 考点3：旋转变换 1.旋转概念： 在平面内,把一个图形绕一个 按某个 转动一定 得到另一个图形的平面变换叫作旋转,这个定点称为 ,转动的角度称为 。 2. 旋转性质： （1）旋转前后的两个图形可以 ,对应线段 ,对应角也 。 （2）旋转前后的两个图形中,对应点到 的距离 ,对应点与旋转中心连线所成的角都等于 。 3.中心对称概念： 在平面内,若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转 得到的,则称这两个图形成中心对称,这个点叫作 ,两个对称图形上的对应点叫作对称点 . 4.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过 , 且被对称中心 。 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】平移现象的识别 例题1．汉字文化博大精深，许多汉字由相同部分组合而成．下列古文字中，可以看作由其中一部分平移得到的是（　　） A．杯 B．山 C．火 D．林 【变式训练】 1．下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 2．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．下列图案中，不能用其中一部分经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 4．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【题型2】利用平移的性质求解 例题2．一个木匠想用一条长的木条来围成花圃，他正在考虑用下列之一的花圃设计，以下的花圃不可能用长的木条围出的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，将沿直线向右平移，得到，若的周长是，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，将直角三角形沿着点到点的方向平移得到三角形交于点．已知，平移距离为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【题型3】平移的作图 例题3．如图，在的网格中，每个格子的边长为1．已知点A，B，C都在网格图的格点上． (1)将向左平移2格，再向上平移2格．在图中画出平移后的． (2)在（1）的条件下，连接，，求四边形的面积． 【变式训练】 1．如图，在方格纸中将水平向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)请画出平移后的三角形； (2)若连接，，则这两条线段的位置关系是_________，数量关系是_________； 2．如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格得到，画出； (4)判断和的数量关系　　　． 3．如图，在的方格纸中，已知三角形（顶点都在格点上）及格点，请在方格纸内按以下要求画图： (1)将三角形平移得到三角形，使得点和点对应，点和点对应．（要求：画出图形，标上字母）． (2)连接．写出图中所有与相等的角：________． 4．如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【题型4】轴对称图形的识别 例题4．下列交通标志是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 4．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】利用成轴对称的性质求解 例题5．如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【变式训练】 1．如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 3．如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 4．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6】折叠问题 例题6．如图，把一张长方形纸片沿折叠，已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，长方形纸片沿EF折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．如图，把沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【题型7】钟表镜面对称问题 例题7．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 2．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 3．如图，图中显示的是从镜子中看到背的电子钟读数，由此你推断这时的实际时间是（　　） A． B． C． D． 4．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【题型8】轴对称作图问题 例题8．在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 【变式训练】 1．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 2．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 3．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 4．在方格纸中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，在的正方形网格图中，是一个格点三角形．请在此网格中画出，要求：也是一个格点三角形，且和关于某直线成轴对称．请你在备用图中至少画出四种符合题意的情形．（画出和对称轴） 【题型9】旋转现象的识别 例题9．通过图形变换来设计图案是常用方法，下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 2．如图，将立方体绕它的对角线旋转，应该形成（    ）种立体图形． A． B． C． D． 3．下列运动属于旋转的是（    ） A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程 C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动 4．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“气球升空”属于平移现象 D．“摆钟的钟摆在摆动”属于旋转现象 【题型10】中心对称图形的识别 例题10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．近年来，我国新能源汽车产业发展迅猛，截至2026年4月，新能源汽车品牌约有120个．下面关于新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．为践行“人与自然和谐共生”理念，推动社会可持续发展。下列倡导环保的图案中，是中心对称图形的是（      ）． A． B． C． D． 3．下列选项展示了苏超部分球队队徽中的节选图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型11】利用旋转的性质求解 例题11．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 2．如图，将绕点A顺时针旋转（）后得到． (1)如图1，当的对应边恰好落在边上时，若，，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 3．如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 4．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为，点的对应点恰好落在上． (1)在图中画图：延长线段，交于点； (2)判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 【题型12】找旋转中心问题 例题12．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练】 1．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 2．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 4．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【题型13】求旋转角问题 例题13．如图，将绕点B顺时针旋转角，得到，此时点A，点B，点在一条直线上，若，则旋转角=（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 2．如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（    ） A． B． C． D． 3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到的位置，设旋转角为α（0°＜α＜180°）．若中恰有一条边与△ABC中的一条边平行，则旋转角α的可能的度数为_____． 4．如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转得到，其中点、的对应点为、．如果的一边与原边平行，且旋转角小于，那么的度数是______． 【题型14】旋转作图问题 例题14．如图，方格纸中的顶点均在网格的格点上． (1)画出先向右平移4格，再向上平移2格后的； (2)画出绕点旋转后的； (3)观察发现，与成中心对称．在图中画出对称中心． 【变式训练】 1．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图1中画出； (2)将绕点按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出； (3)线段和的关系是________． 2．如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（1）问中平移过程中边“扫过”的面积为________． 3．如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 4．作图题． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 【题型15】旋转变换综合问题 例题15．【操作拼图】在桌面上，把一副三角板摆成如图1的位置，其中两直角边和重合，边和相交于点，点和点重合，． （1）在上述图形中， ． 【问题探究】在图1的基础上，让三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转． （2）在旋转过程中，以下说法正确的是 ．（填对应序号） ①；②；③；④ 【综合运用】将一副三角板按照图3摆好后，让三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当三角板旋转角度达到时，两三角板停止旋转． （3）设三角板的旋转时间为秒，在旋转过程中，当三角板中某一边与垂直时，求的值． 【变式训练】 1．动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点A，B在直线上，点E，F在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点E以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． (1)当与平行时，则t的值为　　　　　　； (2)当与平行时，则t的值为　　　　　　； (3)【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点E以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，当与平行时，求t的值． 2．如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． (1)若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． (2)若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 3．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 4．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $