专题01 幂的运算12大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题01 幂的运算（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 同底数幂的乘法 题型02 同底数幂乘法的逆用 题型03 幂的乘方及其逆用 题型04 积的乘方及其逆用 题型05 同底数幂的除法及其逆用 题型06 幂的混合运算 题型07 零指数幂与负整数指数幂 题型08 科学记数法 题型09 利用幂的性质比较大小 题型10 利用幂的运算性质判断指数关系 题型11 幂的运算等于1的分类讨论题 题型12 幂的运算新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 掌握同底数幂乘法法则，会运算、辨易错，能解决基础计算与简单应用问题。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 幂的乘方运算 理解幂的乘方法则，熟练进行运算，区分相关幂运算，规范解题步骤。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 积的乘方运算 理解积的乘方法则，熟练计算，辨析易混运算，能解决基础习题。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 同底数幂的除法 理解同底数幂除法法则，熟练运算，掌握零指数幂，区分各类幂运算。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 幂的混合运算 熟练掌握各类幂运算法则，明确运算顺序，能准确区分并综合运用，避免公式混淆、符号错误、漏乘方等问题，提升规范计算与化简能力。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 零指数幂 理解并记住零指数幂的意义，掌握 a0=1 (a≠0)，能正确进行简单计算，明确底数不能为 0这一关键条件，避免漏写限制条件和计算错误。 易错常考点，一般在小题中考查； 负整数指数幂 理解负整数指数幂含义，掌握运算公式，能完成化简、计算与形式转换。 易错常考点，一般在小题中考查； 科学记数法 掌握科学记数法表示绝对值小于1的数。 基础必考题，一般在选择题中考查 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 题型一 同底数幂的乘法 易｜错｜点｜拨 底数不变、指数相加，易把指数相乘，忽略底数为负数时的括号与符号，非同类底数不能直接合并。 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若，，则_____． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： 4．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 题型二 同底数幂乘法的逆用 易｜错｜点｜拨 逆用同底数幂乘法时，易忽略指数拆分合理性，底数不同不能强行逆用，且负数与括号底数容易符号出错。 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，则的值是（   ） A．5 B．6 C．1 D． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期末）计算：的结果是______． 7．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求的值． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 题型三 幂的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 幂的乘方易把指数相乘算成相加，逆用时指数拆分要统一底数，注意括号与负号，底数不同不可随意逆用。 9．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）已知，求的值是__________． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，，，则、、的大小关系是___________． 11．（25-26七年级下·河北沧州·期中）尝试使用幂的基本性质，解决下列问题： (1)将下列习题的过程补充完整： 题目：若，，用含x，y的代数式表示． 解：________， ，， 原式_________________． (2)根据（1）的过程，已知（其中a，b都是正整数），求的值． 12．（25-26七年级下·吉林长春·期中）回答下列问题 (1)已知，，求： ①的值； ②的值． (2)已知，求m的值． 题型四 积的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 积的乘方易漏给每个因式乘方，逆用时要找准相同指数再合并底数，注意负号与括号，指数不同不能直接逆用。 13．（25-26七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)． 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）阅读下面例题的解题过程．例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为，，所以． (1)一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； (2)解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示． 16．（25-26八年级上·河南周口·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)______． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“＜”连接起来． (3)若，，求的值． 题型五 同底数幂的除法运算及逆用 易｜错｜点｜拨 同底数幂相除易将指数相减算成相除，逆用时注意底数相同、指数合理拆分，且底数不能为 0，避免负号与括号出错。 17．（25-26七年级下·山西·期中）已知（x、y均为正整数），则的值为（   ） A．9 B．8 C．6 D．27 18．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，求下列各式的值． (1) ， ； (2)． 20．（25-26七年级下·江西抚州·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)_______； (2)已知，，，请把，，用“”连接起来：_______； (3)若，，求的值； 题型六 幂的混合运算 易｜错｜点｜拨 幂的混合运算易混淆运算法则与顺序，常出现符号错误、括号处理不当、漏乘方或乱合并，需先算乘方再算乘除，最后算加减。 21．（2025七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 22．（24-25七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)． 23．（2025七年级下·江苏·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 24．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型七 零指数幂与负整数指数幂 易｜错｜点｜拨 均要求底数不为 0，易错点是忽略限制条件、负指数忘变倒数、符号与括号处理出错。 25．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如果，那么的值不能取（    ） A． B．1 C．3 D．4 27．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 28．（25-26七年级下·江西抚州·期中）我们规定：，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数．例： (1)计算： ； ． (2)如果，那么 ；如果，那么 ． (3)如果，且为整数，求满足条件的． 题型八 科学记数法 29．（2026年北京市丰台区中考二模考试数学）近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 30．（25-26七年级下·广东河源·期中）目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 31．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000037m，用科学记数法表示为______． 32．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 题型九 利用幂的性质比较大小 33．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ________________________． 34．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来：_______． 35．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 36．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 题型十 利用幂的运算性质判断指数关系 37．（25-26七年级下·河北保定·期中）若，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级下·江苏·期末）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级下·河北张家口·期末）已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 40．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 题型十一 幂的运算等于1的分类讨论问题 易｜错｜点｜拨 分三类讨论 ——非零数的 0 次幂、1 的任意次幂、-1 的偶次幂，易漏底数不为 0、指数奇偶性及底数符号限制。 41．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 42．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 43．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若，则可以取的值有______． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值． 题型十二 幂的运算中新定义问题 45．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 46．（2025·甘肃嘉峪关·一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：_____，若，，，且满足，则______． 48．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ②若，则 ；若，则 ； (2)【应用】 已知，，，若，求y的值； (3)【拓展】 若，，求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·江苏镇江·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）计算：（   ） A．2026 B．-2026 C．1 D．-1 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若已知，则的值是（     ） A．2 B．4 C．1 D．3 4．（25-26八年级上·四川眉山·期中）计算的结果是（　） A．1.5 B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏常州·一模）_____． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，则______． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知和是同类项，则__________． 9．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知，则______． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，试比较，，的大小，并用“”将它们连接：________． 11．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知：，，求： (1)； (2)． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知n为整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 14．（25-26八年级上·北京·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 15．（25-26八年级上·江苏·期末），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（　　） A． B． C．1 D．4 18．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（     ） A．75 B．200 C．1000 D．1400 19．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 21．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，则_________．（用含k的代数式表示） 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且，则的值为______． 23．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，，则____． 24．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是________．（填序号） 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）使的x的值为______． 26．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)已知：，求x的值． 29．（25-26七年级下·江苏南京·期中）解答下列各题： (1)已知，，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)已知，，请直接用含有字母的代数式表示________． 30．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)___________； (2)求___________； (3)求的和．（请写出计算过程） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·江苏·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·山东日照·期中）已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 34．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 35．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （   ） A． B． C．7 D． 36．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）若，则x的值为______． 37．（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则__________________． 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为_____千个；由上述计算可知，若（为正数），则_____． 39．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么________； （2）如果，那么=______． 40．（24-25七年级下·湖南·期末）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为______． 41．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么规定．例如：如果，那么． (1)根据规定填空：___________，___________； (2)记，，，若，求的值； (3)若，，比较，的大小关系． 42．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，则_____； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 43．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)计算以下各对数的值：_________，_________，_________； (2)根据（1）中的计算结果，写出，，满足的关系式； (3)根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：_________（且，，）； (4)根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 44．（2024七年级下·江苏·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 45．（25-26八年级上·江苏·周测）规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 同底数幂的乘法 题型02 同底数幂乘法的逆用 题型03 幂的乘方及其逆用 题型04 积的乘方及其逆用 题型05 同底数幂的除法及其逆用 题型06 幂的混合运算 题型07 零指数幂与负整数指数幂 题型08 科学记数法 题型09 利用幂的性质比较大小 题型10 利用幂的运算性质判断指数关系 题型11 幂的运算等于1的分类讨论题 题型12 幂的运算新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 掌握同底数幂乘法法则，会运算、辨易错，能解决基础计算与简单应用问题。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 幂的乘方运算 理解幂的乘方法则，熟练进行运算，区分相关幂运算，规范解题步骤。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 积的乘方运算 理解积的乘方法则，熟练计算，辨析易混运算，能解决基础习题。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 同底数幂的除法 理解同底数幂除法法则，熟练运算，掌握零指数幂，区分各类幂运算。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 幂的混合运算 熟练掌握各类幂运算法则，明确运算顺序，能准确区分并综合运用，避免公式混淆、符号错误、漏乘方等问题，提升规范计算与化简能力。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 零指数幂 理解并记住零指数幂的意义，掌握 a0=1 (a≠0)，能正确进行简单计算，明确底数不能为 0这一关键条件，避免漏写限制条件和计算错误。 易错常考点，一般在小题中考查； 负整数指数幂 理解负整数指数幂含义，掌握运算公式，能完成化简、计算与形式转换。 易错常考点，一般在小题中考查； 科学记数法 掌握科学记数法表示绝对值小于1的数。 基础必考题，一般在选择题中考查 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 题型一 同底数幂的乘法 易｜错｜点｜拨 底数不变、指数相加，易把指数相乘，忽略底数为负数时的括号与符号，非同类底数不能直接合并。 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的运算性质，关键是将已知的幂值转化为以2为底的幂的形式，求出、的值后求和；或利用同底数幂的乘法法则，通过幂的运算直接得出． 【详解】解：方法一：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 方法二：根据同底数幂的乘法法则， ∵， ∴，即； 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项的方法解答即可． 【详解】解：原式． 4．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）规定一种新运算：，例如，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)32 (2)1.5 【分析】根据新运算的定义，将新运算转换为通常的代数式计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ， ． 题型二 同底数幂乘法的逆用 易｜错｜点｜拨 逆用同底数幂乘法时，易忽略指数拆分合理性，底数不同不能强行逆用，且负数与括号底数容易符号出错。 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，则的值是（   ） A．5 B．6 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算性质，利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期末）计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法法则的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．利用同底数幂乘法逆运算将变为，再提公因数计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆用，幂的逆运算，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算． （1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得： ，，，再结合，进一步可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴； （2）∵如果，那么我们规定， ∴由，可得， ，可得， ，可得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据新定义列式计算即可求解； （）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可求解； 本题考查了乘方及同底数幂乘法的逆运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三 幂的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 幂的乘方易把指数相乘算成相加，逆用时指数拆分要统一底数，注意括号与负号，底数不同不可随意逆用。 9．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）已知，求的值是__________． 【答案】 【分析】根据得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，，，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【详解】解：，， 11．（25-26七年级下·河北沧州·期中）尝试使用幂的基本性质，解决下列问题： (1)将下列习题的过程补充完整： 题目：若，，用含x，y的代数式表示． 解：________， ，， 原式_________________． (2)根据（1）的过程，已知（其中a，b都是正整数），求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算得到，再由，，可得原式； （2）把可变形为，进一步可变形为，再根据已知条件可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ，， ∴原式； （2）解：， ， ， 原式． 12．（25-26七年级下·吉林长春·期中）回答下列问题 (1)已知，，求： ①的值； ②的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)①17；②72 (2) 【分析】（1）①逆用幂的乘方计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可； （2）根据幂的乘方及同底数幂的乘法得到，根据幂的乘方得到，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ∵ ∴， 解得． 题型四 积的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 积的乘方易漏给每个因式乘方，逆用时要找准相同指数再合并底数，注意负号与括号，指数不同不能直接逆用。 13．（25-26七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据积的乘方运算法则即可求解； （）根据积的乘方运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先计算幂的乘方，再合并同类项； （3）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）阅读下面例题的解题过程．例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为，，所以． (1)一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； (2)解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将和用、表示，代入即可得到结果． （2）先将转化为，再根据积的乘方变形为，最后结合幂的乘方将其转化为含、的代数式． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 16．（25-26八年级上·河南周口·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)______． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“＜”连接起来． (3)若，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)18 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，逆用法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方即可求解； （2）先把a、b化为指数为3的幂，在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，即可比较幂的大小； （3）逆用同底数幂的乘法与幂的乘方，即可求解． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：1； （2）解：， ∵， ∴， 即； （3）解： ． 题型五 同底数幂的除法运算及逆用 易｜错｜点｜拨 同底数幂相除易将指数相减算成相除，逆用时注意底数相同、指数合理拆分，且底数不能为 0，避免负号与括号出错。 17．（25-26七年级下·山西·期中）已知（x、y均为正整数），则的值为（   ） A．9 B．8 C．6 D．27 【答案】A 【分析】先将所求式子的底数统一转化为3，利用幂的运算性质化简，再结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】，， ， ， ． 18．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，求下列各式的值． (1) ， ； (2)． 【答案】(1)28，49 (2) 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则变形，再代值计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则计算，再逆用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则变形，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：． 20．（25-26七年级下·江西抚州·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)_______； (2)已知，，，请把，，用“”连接起来：_______； (3)若，，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘方逆运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∴. 题型六 幂的混合运算 易｜错｜点｜拨 幂的混合运算易混淆运算法则与顺序，常出现符号错误、括号处理不当、漏乘方或乱合并，需先算乘方再算乘除，最后算加减。 21．（2025七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 22．（24-25七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查幂的混合运算： （1）先进行负整数指数幂，零指数幂，乘方的计算，再进行加减运算即可； （2）根据幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 23．（2025七年级下·江苏·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)） (2) (3) (4)0 【分析】本题考查幂的运算，零指数幂和负整数指数幂： （1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）先进行幂的运算，再进行加减运算即可； （3）先进行幂的运算，再合并同类项即可； （4）先进行幂的运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 24．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)0 (6) 【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （5）先计算同底数幂乘法，再合并同类项即可； （6）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型七 零指数幂与负整数指数幂 易｜错｜点｜拨 均要求底数不为 0，易错点是忽略限制条件、负指数忘变倒数、符号与括号处理出错。 25．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ， ， 可知， ∴． 26．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如果，那么的值不能取（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】把各选项m的值分别代入验证即可． 【详解】解：A．把代入得，不符合题意； B．把代入得，不符合题意； C．把代入得，不符合题意． D．把代入得，符合题意． 27．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据同底数幂的乘法的逆用，即可求解． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）根据规定，因为，所以，同理， 因为，所以，所以， 所以． 28．（25-26七年级下·江西抚州·期中）我们规定：，即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数．例： (1)计算： ； ． (2)如果，那么 ；如果，那么 ． (3)如果，且为整数，求满足条件的． 【答案】(1)； (2)； (3) ； ； 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则可得，，进一步即可求解； （3）根据新定义运算法则可得，进一步即可求解． 【详解】（1）解： ；． （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵a、p为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，． 题型八 科学记数法 29．（2026年北京市丰台区中考二模考试数学）近日，中国科学技术大学研制出了可编程量子计算原型机“九章四号”，其生成一个样本仅需25微秒，比当前全球最快的超级计算机快倍，进一步巩固了我国在光量子计算领域的世界领先地位．25微秒秒，将0.000025用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 30．（25-26七年级下·广东河源·期中）目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据科学记数法的定义，将数表示为，其中，为整数，将转换为科学记数法，先依次确定和，再按科学记数法表示即可． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴将转换时，，小数点向右移动了位， ∴， ∴． 31．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000037m，用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于1时，为负整数，的绝对值与原数小数点移动的位数相同，据此确定和的值即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 32．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键． （1）根据一个水分子的质量=两个氢原子的质量+一个氧原子的质量列式即可； （2）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ． 题型九 利用幂的性质比较大小 33．（24-25八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ________________________． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 34．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来：_______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方公式逆用，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将，然后比较即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 35．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴； （2）∵， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． 36．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； ②比较和的大小：因为，，所以． 可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：__________（填“”或“”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可； （2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可． 【详解】（1）因为，， 所以． 故答案为：； （2）因为， ， ， 且， 所以， 所以． 题型十 利用幂的运算性质判断指数关系 37．（25-26七年级下·河北保定·期中）若，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式两边化为同底数幂的形式，再利用同底数幂相等则指数相等，推导与的关系即可． 【详解】解：， ， ． 38．（25-26七年级下·江苏·期末）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，结合“底数相等，幂相等，则指数相等”的性质，逐个验证选项即可得到不成立的关系式． 【详解】解：∵，，， 对选项A：∵， ∴，A成立，不符合题意； 对选项B：∵， ∴，B成立，不符合题意； 对选项C：∵， ∴，C成立，不符合题意； 对选项D：不能得出，D选项符合题意． 39．（25-26七年级下·河北张家口·期末）已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将拆分为，代入已知幂的形式，对比指数即可得到等量关系． 【详解】解：， ， 可得， 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加， 得， 40．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据根据同底数幂的乘法法则得，即可解答 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． 题型十一 幂的运算等于1的分类讨论问题 易｜错｜点｜拨 分三类讨论 ——非零数的 0 次幂、1 的任意次幂、-1 的偶次幂，易漏底数不为 0、指数奇偶性及底数符号限制。 41．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论，第一种情况为时；第二种情况根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可知且，即可得出答案． 【详解】解： 第一种情况：时， 解得， 第二种情况：且时，， 解得， 或时，， 故选：D． 42．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂公式，和1的n次方的结果等知识，可按当时与当时两种情况讨论，掌握乘方结果是的三种情况：即①底数不为0，指数是0，②底数是1，③底数是，指数为偶数是解题的关键． 【详解】解：①当，即时，，即 ∴； ②当，即时，则有(i)；(ii)且为偶数； (i)由解得：， (ii)解得：，此时，为奇数，不合题意， ∴； 综上所述：或， 故选：B． 43．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若，则可以取的值有______． 【答案】6，4，1 【分析】根据整数指数幂的运算性质，分三种情况讨论幂等于的情形，分别计算验证得到的取值． 【详解】解：①当时，， ，符合题意； ②当时，， ，符合题意； ③当，，解得， 故可以取的值有6，4，1． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)、、 【分析】（1）由题意可知符合非零底数的零指数幂的情况， 令指数求解即可； （2）分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为，底数不为； ② 底数为的情况：底数为，任意整数次幂结果都为； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为． 【详解】（1）解：∵，底数为，既不是也不是， ∴指数， 解得； （2）解：分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为，底数不为， 得 ，且， 解得，，符合题意； ② 底数为的情况：底数为，任意整数次幂结果都为， 令， 解得，，符合题意； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为， 令， 解得，，符合题意； 综上，的取值为、、． 题型十二 幂的运算中新定义问题 45．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 46．（2025·甘肃嘉峪关·一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 故选D． 47．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：_____，若，，，且满足，则______． 【答案】 3 // 【分析】根据题目中规定计算的值即可；根据题意可得，，，再根据同底数幂的除法法则可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：3；． 【点睛】本题主要考查了新规定运算、乘方运算以及同底数幂的除法运算，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的除法法则是解题关键． 48．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ②若，则 ；若，则 ； (2)【应用】 已知，，，若，求y的值； (3)【拓展】 若，，求的值． 【答案】(1)①；；②32；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法，负整数指数幂，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘除法法则是解决本题的关键． （1）①根据规定的两数之间的运算法则解答；②根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴；； 故答案为：；； ②∵， ∴， ， ∴； 故答案为：32；4； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），， ，， ∴，    ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·江苏镇江·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵与不是同类项，不能合并， ∴，故D错误． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）计算：（   ） A．2026 B．-2026 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】根据零指数幂的定义，任何不等于0的数的0次幂都等于1 【详解】∵ ， ∴ ． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若已知，则的值是（     ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】将等式两边化为同底数幂，结合幂的乘方和同底数幂的乘法法则化简，即可求出的值． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·四川眉山·期中）计算的结果是（　） A．1.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 6．（2026·江苏常州·一模）_____． 【答案】 /0.5 【详解】解：． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知和是同类项，则__________． 【答案】/ 【分析】根据同类项的定义得到，求出m，n的值后代入式子求解即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知，则______． 【答案】100 【分析】根据题意可得，根据幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，试比较，，的大小，并用“”将它们连接：________． 【答案】 【分析】根据相关运算法则求出a、b、c的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，求解即可； （2）先根据同底数幂的乘除法，积的乘方，算出每一项，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知：，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1372 【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘除法进行计算，即可求解； （2）根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 13．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知n为整数，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴原式； （2）解：∵， ∴原式． 14．（25-26八年级上·北京·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用有理数乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； ， ． 故答案为：3，4； （2）解：，理由如下， ∵， ， ， ， ． 15．（25-26八年级上·江苏·期末），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算规则与同类项合并规则，根据积的乘方、同底数幂的乘除法、同类项的概念逐个判断即可． 【详解】解：A．，该项错误． B．同底数幂相除，底数不变，指数相减，得，该项正确． C．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，该项错误． D．与不是同类项，不能合并，该项错误． 17．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的除法与一元一次方程的求解，根据新运算的定义，结合同底数幂的除法法则将原式转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，又 ∴ ，可得 整理得 ， 解得 ． 18．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（     ） A．75 B．200 C．1000 D．1400 【答案】D 【分析】利用初中幂的乘方运算法则，将所求指数变形，代入已知条件计算即可得到结果，解题关键是观察得到，将所求式子转化为已知数的平方进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 对比选项可知，1428.84最接近1400． 19．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数转化为指数相同的形式，再比较底数大小即可得到结果，用到知识点为，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大． 【详解】解： 逆用幂的乘方法则可得，，． ∵ ，且指数相同，正整数幂的值随底数增大而增大， ∴， 即． 20．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法和除法的运算法则，逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，即，故②错误； ∵，且， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ， ∴，故④正确； 综上，正确结论为①③④． 21．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，则_________．（用含k的代数式表示） 【答案】 【分析】先由得到，再将变形为，然后结合幂的乘方运算法则和积的乘方逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及已知条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，，则____． 【答案】/ 【分析】根据新定义得到 ， ，利用幂的运算法则推出，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，现给出，，之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，将每个关系式两边转化为以2为底的幂，通过比较幂的值即可判断关系式是否正确． 【详解】解：根据题意得：，，， 、， ， ， 故①正确；   ， ， ， 故②正确； 、， ， ， 故③正确； 、， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 25．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）使的x的值为______． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 26．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如 (1)填空：当，时， ； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解； （2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则（a、b为非负数、m为非负整数），请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)已知：，求x的值． 【答案】(1)5 (2)3 【分析】（1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用积的乘方的逆用变形及等式性质，得到，则，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为5； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的值为3． 29．（25-26七年级下·江苏南京·期中）解答下列各题： (1)已知，，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)已知，，请直接用含有字母的代数式表示________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将转化为，再将，代入求解即可； （2）根据逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法得出，进而根据指数相等，即可求解； （3）将化为，代入，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ （2）解： ∴ 解得： （3）解：∵，， ∴ 30．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)___________； (2)求___________； (3)求的和．（请写出计算过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设和为，给等式两边同时乘以，再将新等式与原等式相减，消去中间项，直接得到结果； （2）设和为，给等式两边同时乘以​，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出； （3）设和为，给等式两边同时乘以，再将原等式与新等式相减，消去中间项，解出． 【详解】（1）解：设，则， 故． （2）解：设，则， 则， 即， 故． （3）解：设，则， 可得， 故． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负指数幂、零次幂和乘方的运算法则算出每个数的具体值，再从小到大排序，选出对应的选项． 【详解】解：，，，， ， 故． 32．（25-26八年级上·江苏·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 33．（25-26八年级上·山东日照·期中）已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算性质，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将已知条件转化为、、的数量关系，再逐一验证关系式． 根据已知条件，利用同底数幂乘法法则推导、、的关系：由得；由得，即；将上述关系代入四个关系式，验证等式是否成立． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． 验证①：，，故，①正确； 验证②：，②错误； 验证③：，③错误； 验证④：，，故，④正确； 正确的关系式为①④， 故选：B． 34．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，为实数，，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，巧妙利用指数运算性质，将乘积关系转化为指数相加，简化计算．通过指数运算，将已知等式转化为合适的指数形式，利用指数求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， ∴， ∴， ， 故选：B． 35．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 36．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）若，则x的值为______． 【答案】0或1 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．分三种情况讨论：当时；当为任意数时；当为偶数时；分别计算即可． 【详解】解：当时，，此时； 当为任意数时，，此时； 当为偶数时，，此时不合题意，舍去； 综上，x的值是0或1， 故答案为：0或1． 37．（24-25七年级下·四川达州·期中）若三个实数，，满足，则__________________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，根据题意得出，根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算将原式化简，代入，即可求解． 【详解】 故答案为：． 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在年月号开跑的无锡马拉松比赛中，赛道总长度约为公里，选手们沿途经过湖光山色、城市风貌，体验“人在画中跑”．为了鼓励选手们保持稳定的配速，组委会决定在赛道上设置若干个能量补给站，假设第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；第个补给站有千个能量包；（幂的指数从整数推广到正分数以后，整数指数幂的运算性质仍然适用）……计算前个补给站能量包的总数为_____千个；由上述计算可知，若（为正数），则_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂乘方运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．前个补给站能量包的总数为，可转化为，即可求解，由可得，即可求出． 【详解】解：前个补给站能量包的总数为 （千个）， （为正数）， ， ， 故答案为：，． 39．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若 ，则（且，m，n是正整数）．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果那么________； （2）如果，那么=______． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘． （1）把改写为，进而得出关于x的方程求解； （2）由得，左右分别相乘得，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 40．（24-25七年级下·湖南·期末）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 41．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么规定．例如：如果，那么． (1)根据规定填空：___________，___________； (2)记，，，若，求的值； (3)若，，比较，的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，找满足和的指数即可； （2）先根据定义把、转化为、，再利用同底数幂乘法，结合求出； （3）先根据定义把、表示为和，再逆用幂的乘方将二者统一指数为，转化为和，最后通过比较底数大小得出，的大小关系． 【详解】（1）解：，则， ，则． （2）解：，则，，则， ， 若，则，可得， ，故． （3）解：，则，即， ，则，即， ，故． 42．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，则_____； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）根据新定义即可得到； （2）根据新定义得到 ，，，根据即可得； （3）根据新定义得到， ，即可判断． 【详解】（1）解：， ； ，， ； （2）解：∵，，， ，，， ， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵，， ，， ①； ② ，， ， ， ， ． 43．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)计算以下各对数的值：_________，_________，_________； (2)根据（1）中的计算结果，写出，，满足的关系式； (3)根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：_________（且，，）； (4)根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性． 【答案】(1)2；4；6 (2) (3) (4)见解析 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． （4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，，， ∴； （3）解：由（2）的结果可得； （4）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 44．（2024七年级下·江苏·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 45．（25-26八年级上·江苏·周测）规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2) 【分析】（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将变换为，再利用新运算的规定解答即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①， ． ②， ． （2）解：依题意，得， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $