专题02 整式乘法（3大运算+3大公式+15大题型） 2025-2026学年七年级下学期数学期末专题复习（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期 数学期未专题复习 专题：02： 整式乘法(3大运算+3大公式+15大题型) 模块1：知识结构+题型预览 三大运算 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多顶式 (a+b)2=a2+2ab+2 a2+b2=(a+b)2-2ab 公式变形 ab=a+b)2-(a2+2) 完全平方和公式 图形解释 a-2=a2-2b+6 a2+b2=(a-b)2+2ab 公式变形 三大公式 ab=a@2+63)-a-b2 完全平方差公式 图形解释 (a+b)(a-b)-a2-b2 题1亿乘法公式 平方差公式 图形解释 重要关系 (a+b)2-(a-b2=4ab 题型01：单项式×单项式 题型02：单项式×多项式 基本运算题型 题型03：多项式×多项式 题型04：根据多项式乘积求参数的值 题型05：根据完全平方公式计算 题型06：利用完全平方公式简便计算 完全平方公式题型 题型07：求完全平方式中的参数 十五大题型 题型08：利用完全平方公式变式求值 题型09：完全平方公式与几何图形综合 题型10：判断是否适用平方差公式计算 题型11：根据平方差公式计算 平方差公式题型 题型12：利用平方差公式简便计算 题型13：平方差公式与几何图形综合 题型14：整式化简及求值问题 综合题型 题型15：整式运算的应用 1/24 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：单项式乘单项式 单项式乘单项式法侧：单项式与单项式相乘，把它们的、 分别相乘，对于只在一个单项式里 含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式： 考点2：单项式乘多项式 1.单项式与多项式相乘，先用 乘 再把所得的积 2.符号表示：a(b+c+d)=ab+ac+ad 考点3：多项式乘多项式 1.多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 再把 所得的积 2.符号表示：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 考点4：三大乘法公式 公式 重要变形及拓展 图形解释 重要变形1：a2+b2=(a+b)2-2ab 重要变形2： ab=+4b的 (a+b)2=a2+2ab+b2 2 重要拓展： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 重要变形1：a2+b2=(a-b)+2ab (a-b)2=a2-2ab+b2: 重要变形2： ab-+b)abi 2 重要拓展：(a+b)(a-b)(a2+b2)=a4-b4 (a+b)(a-b)=a2-b2 使用条件：两括号内的项，一项相同，一项相反 2/24 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】单项式乘单项式 例题1.计算-】xy-2x的结果是() A. B.-xy2 C.-xy D.-2x'y 【变式训练】 1.计算(-3w(名)的结果是（) A.2x'y2 B. D.2x'y 2.计算：9ab2a6=（) 3 A.6ab B.6a2b C.4a'b D.9ab 3计算( 12 的结果是() A.4x'y2 B.-4x3y2 C.2xy2 D.-2x3y2 4.若3xy3.-2x2y)=-6xy',则a、b的值为() A.a=3,b=4B.a=2,b=4 C.a=3,b=3 D.a=2,b=3 【题型2】单项式乘多项式 例题2.计算： 0-6（-a+2: (2(a2y°(a2-2ab+l. 【变式训练】 1.计算 (得-2w+ a-2xr-+j 2.计算： 3/24 (1)2x3x2y+4xy2）: (2)(-2mn)2(2m+3n-1): (3)5mn2n+3m-m2)）; (4)2x+xy2+xyz2）xyz. 3.计算： (1)4x-5y)-3xy): (2)3a2a2-9a+3-4a2a-l. 4.计算： (Dab-2ab-a: (2)-4x2·3x2+2x-y) 【题型3】多项式乘多项式 例题3.计算： (1)2x-5y)(3x-y): (2)x-yx2+xy+y2）: (32x+y(x-y川-2(y2-y): (4)(a-0(3a2-2a+4. 4/24 【变式训练】 1.计算： (1)x+3)(x+4; (2)(2x-5)(x-2); (3)1-x)(6+x): (42x+y)(x-y). 2.如图，则长方形花园的面积为() a-2 a+1 A.a2-a-2B.a2-2a-2 C.a2+a-2 D.a2-3a-2 3.计算： (1)x-1x2+x+1 (2)x+3)(x-2)-xx-1 4.计算： (1)x-1x+4: (2x-2y(5x+3y: (3)(m-nm2+mn+n2): (4)2x-1)3x2+2x+1. 5124 【题型4】根据多项式乘积求参数的值 例题4.若(x+2)x2+ax+1中不含X2项，则a=() A.-2 B.2 c D. 【变式练】 1.已知(x2+x-3(2x+n)的展开式中不含x的一次项，且常数项是-6，则m+n的值是() A.-1 B.1 C.-5 D.5 2.若等式(x-s)(2x+t)=2x2+mx-n恒成立，无论t为何值，2m+5n的值始终为定值，则这个定值为 3.关于x的代数式ax+3)(2x-4+4x2+m化简后不含有x2项和常数项. (1)求a和m的值. (2)若an-mn=28,求代数式-4n2+3m的值. 4.已知(ax-3)(x+2)-x2+b展开后，不含有xX2项和常数项. (1)求a、b的值； (2)在(1)的条件下，求(a-b)(a2+ab+b2)的值 6/24 【题型5】根据完全平方公式计算 例题5.运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2; 2(- 【变式训练】 1.运用完全平方公式计算： (1)3ab-4)2. (2)3m+令2 (3)(-3x-y)2. ④. 2.运用完全平方公式计算： (1)(3a+b); (2)(4m-5n2; 2j, (40.1x2-4y2）2. 3.运用完全平方公式计算： 7/24 1)x+3y)2: 2)(4m-5n; (3)x-2y)2-(2x+y)2: 4.运用完全平方公式计算： (1)-2a+3); 3)-x2-4y; (4)1-2b)2. 【题型6】利用完全平方公式简便计算 例题6.运用完全平方公式计算： (1)982; (2)70.52. 【变式练) 8/24 1.运用完全平方公式进行简便计算： (1)99.82; 2.运用完全平方公式计算： (1)632; (2)982: (3)700.12; (4)499.92. 3.运用完全平方公式计算： (1)50.012: (2)49.92. 4.运用完全平方公式计算： (1)97; (2)10.22 【题型7】求完全平方式中的参数 例题7.已知x2+8.x+m2是完全平方公式，则m的值为() A.4 B.4或-4 C.16 D.-4 【变式训练】 1.如果x2+(m+1)x+1是关于x的完全平方式，则常数m的值为() A.-1 B.1 C.1或-1 D.1或-3 2.多项式x2+2x加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（) A.4 B.1 C.-1 D.-4 3.若一个关于x的多项式的完全平方是9x2+(m-)x+16,则m的值为· 9/24 4.如果关于x的多项式4x2+(m+2)x+9是一个完全平方式，那么m的值为 【题型8】利用完全平方公式变式求值 例题8.已知x+y=5,y=-2,求下列代数式的值： (1)x-y); (2)x+1川x-1)(y+1(y-1. 【变式训练】 1.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题. 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：因为a+b=3,ab=1,所以(a+b)=9,2ab=2, 所以a2+b2+2ab=9,得a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x+y=6,x2+y2=30,求y的值： (2)若3a+b=7,ab=2,求3a-b的值； (3)若(x-3)(x-5=8,求(x-3)+(x-5)的值， 2.请同学们认真阅读下面求代数式的值的方法. 己知有理数x、y满足x-y=4,y=-1,计算x3-y的值. 10/24 解：因为x2+y2=(x-y)+2xy=16+2×-1)=14, 所以x3-y3=(x2+y2)(x-y)+xy(x-y)=14×4+(-1)×4=52. 借鉴上面的方法，解决下列问题： (1)若有理数a、b满足a-b=3,ab=-1,求a3-b3的值； (2)若有理数a、b满足a+b=3,，ab=-1,求a3+b3的值. 3.已知有理数a,b满足a-b=4,a2+b2=14. (1)求ab的值 (2)阅读如图材料，求a3-b3的值. 因为(a+b)(a2+b2)=a3+ab2+a2b+b3, 所以a3+b3=(a+b)a2+b2）-a2b-ab2, 所以a3+b=(a+b)(a2+b2）-ab(a+b). 4.将完全平方公式(a±b)=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若a-b=3, ab=1,求a2+b的值.解法如下：：(a-b)2=a2-2ab+b2,a2+b2=(a-b+2ab,又a-b=3,ab=1, 11/24 .a2+b2=32+2x1=11 (1)简单应用：若x+y=8,x2+y2=48,求y的值： (2)拓展应用：若(2026-3m+(3m-2015)2=85,求(2026-3m)(3m-2015)的值. 【题型9】完全平方公式与几何图形综合 例题9.下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2的 是() B. D 【变式训练】 1.如图，将两张长为a,宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片 重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面 积分别记为S,和S2若知道下列条件，不能求出S-S2值的是() 12/24 I ⑦ .②. 图1 图2 A.长方形纸片的周长和面积 B.②的长与宽之差 C.图1与图2阴影部分的面积差 D.长方形纸片和②的面积差 2.如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的 面积为() A.5 B.10 C.15 D.20 3.如图(a)所示，边长为a的正方形中有一个边长为b(b<a)的小正方形，如图(b)所示是由图(a)中 的阴影部分拼成的一个长方形。 a+b (a) (b) (1)设图(a)中阴影部分的面积为S,图(b)中阴影部分的面积为S,请直接用含a,b的式子表示S=一， S2=· (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式： (3)拓展应用：试利用这个公式计算：(2+1)(2+1(24+1(2+1+1. 4.完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题.比如，完全平方公式 (a+b)=a2+2ab+b2可以变形为a2+b2=(a+b)-2ab. 13/24 C 请根据以上信息，解答下列问题 (1)已知a+b=2,a2+b2=12,则ab= (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a,b,若a+b=8,ab=13,求阴影部分的面积. 【题型10】判断是否适用平方差公式计算 例题10.下列各式，能用平方差公式计算的是() A.（a+2b)a-2b B.a-3)-a+3 C.（a-2)(2a+1 D.（x+y(-x-y 【变式训练】 1.下列式子中，能用平方差公式计算的是() A.(2x+y)(2x-y川 B.(2x-y)(-2x+y C.a-1a-2 D.（a-b)a-b 2.下列各式中，不能用平方差公式计算的是() A.（-x-yx-y B.(-x+y(-x-y) C.(x+y)(-x+y) D.（x-y(-x+y 3.下列多项式与多项式相乘中，能利用平方差公式计算的是() A.（3m+n(3n-m） B.(m+1(-m-1 14/24 C.(x+a)(x+b) D.(x+2y(-x+2y 4.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是() A.（4a+b)(4a-b B.(a-2b)(3b-a) C.2a-b)(-2a+2b D.(a-2b(b+a) 【题型11】根据平方差公式计算 例题11.运用平方差公式计算： (1)(x+3y)x-3y): (2)(2m-n)(-2m-n). 【变式练】 1.运用平方差公式计算： (1)5+a)5-a): (2)2a-3b)(2a+3b): (3)-1+3x)-1-3x: 传小 2.运用平方差公式计算： (1)m+2nj(m-2n: (2)3a+b)(3a-b); 行-yj2* (4)-1+5aj-1-5a. 15/24 3.运用平方差公式计算： (1)(x+3)(x-3)(x2+9): x+x+ 4.运用平方差公式计算： w-3a--3a+): 2-r+x+ 【题型12】利用平方差公式简便计算 例题12.运用平方差公式计算： (1)51×49; (2)2002x1994 【变式训练】 1.运用平方差公式计算： (1)97×103; 20262 (②2025×2027+1 2.运用平方差公式计算： (1)197×203. (2)99.8×100.2. 16/24 (3)602x591 (4) 20252 3 31 2026×2024+1 3.在学习“平方差公式时，张老师出了一道题：计算9×11×101.嘉嘉发现把9写成10-1)，把11写成 (10+1)后可以连续运用平方差公式进行计算. 请根据上述思路，计算： (1)9×11×101; a+}++++0 4.【阅读理解问题】观察：利用平方差公式进行计算：(2-1)(2+)(22+1)(2+1) 解：原式=（22-1(22+1(2+1 =24-1(24+ =28-1. (①)基础运用计算：(1+2(1+22)(1+2)1+2）1+2)+1= (2)拓展运用计算： @+0+1+201+2+: ②3×22+1(24+1(28+1(216+1(22+1(24+1 【题型13】平方差公式与几何图形综合 例题13.从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯 形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）·那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成 17/24 立的公式为() a 5 图1 图2 A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.a2-b2=(a-b)2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 【变式训练】 1.借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图(1)是长、宽分别为a和b的小长方形，用4 个这样的小长方形围成图(2)所示的正方形，设外围大正方形的边长为x,内部小正方形的边长为y.观察 图形，有下列4个结论：①a-b=y:②x-y=2a:③ab=-y,④b2-a2=y.其中正确的个数是() 4 (1) (2) A.1 B.2 C.3 D.4 2.综合与实践 从边长为α的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， a b 图1 图2 ()上述操作可以得到一个公式： (2)利用你得到的公式，计算：20242-2023×2025： a计第：（-宁01-1-02)〔12023)月 18/24 3.【探究】若x满足(9-x)x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)2的值. 设9-x=a,x-4=b, 则(9-x)x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5, .(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17: 【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足(5-xx-2)=2,则(5-x)2+(x-2)2的值为 (2)若x满足(6-x)3-x)=1,则(9-2x)2的值为 (3)【拓展】己知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点，且AE=2,CF=4,长方形 EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边作正方形 水 R A D H M B ①MF= ,DF=;(用含x的式子表示) ②求阴影部分的面积. 4.小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所 示的若干个a×a、bxb的小正方形以及a×b的小长方形硬纸片. b-a 图1 图2 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：（a+b)=a2+2ab+b2. 19/24 (1)请你帮小明完成拼图设计； (2)应用上述公式解决如下问题： ①已知a+b=3,a2+b2=5,求ab的值； ②若(x-5)2+1-x)2=10,则(x-51-x= 【实践2】小红将b×b的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2). (3)上述操作能验证的公式是 ④计第：（-1X-…-2023-2026 【题型14】整式化简及求值问题 份题14.先化简，再求值：1+2y+1+21-2列，其中y2 【变式训练】 1.先化简再求值：(2x+y)-(2x+y)(2x-y,当x=1,y=-2. 2.先化简，再求值：(2a+1)(2a-1)-a(3a+2),其中a=-1. 3.先化简，再求值：(x+2)2+x(x-4)-(x+1)(x-1).其中x=-1. 20/24 4.先化简，再求值：(2a+b)-4(a+b)(a-b)-5b2,其中a=-1,b=2. 【题型15】整式运算的应用 例题15.白塔中学于10月27日成功举办科创活动展演，现场亮点纷呈：灵动的歼10航模精准盘旋、机 器狗的高难度动作展示、农用无人机精彩演绎、火箭模型直冲云霄，更恰逢神舟21号于2025年10月31 日载人飞船成功发射，为这场科创盛宴增添了浓厚的航天氛围.如图是同学们制作的一种火箭模型的截面 图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形 2a 2a (I)用含a,b的式子表示该截面的面积S; (2)若a=x+y,b=x-y,用x、y表示截面面积并化简： (3)当x=7,y=-1时，求这个截面的面积. 21/24 【变式训练】 1.如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块空地长为3a+2b)m,宽为2a+b)m;另一块长为 (a+b)m,宽为a-b)m.现将两块空地进行改造，计划在中间边长为a-b)m的正方形（阴影部分）中种 花，其余部分种植草坪 3a+2b 2a+b a-b a+b a-b (1)求计划种植草坪的面积： (2)已知a=30,b=10,若种植草坪的价格为30元/m2,种花的价格为50元/m2,求改造两块空地种植花 草应投入的资金为多少元？ 2.如图，某小区有一块长为2a+4b)m,宽为(2a-b)m的长方形地，角上有四个边长为a-b)m的小正方 形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化 (1)用含有a,b的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）； (2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，己知该团队每小时可绿化30m,每小时收费30a元，则该物 22/24 业应该支付绿化团队多少元（用含a,b的代数式表示）？ 3.第十三届郑州国际少林武术节即将举行，来自国内外的上千名嘉宾、武术团体及运动员汇聚于此，共同 欣赏和感受中国武术的深厚底蕴和文化魅力.如图，这是某武校为武术节筹备建造的一个武术表演台（阴 影部分)· m m+2n m-n m-n m-n 2m+n (I)请用m,n表示表演台的面积S.(结果化为最简) (2)若修建表演台的费用为200元/平方米，且m=20米，n=12米，则修建表演台需要费用多少元？ 4.某植物园中有A、B两个园区，已知A园区为长方形，其长为(x+y)米，宽为x-y)米；B园区为正方 形，边长为x+4y)米 x-y A B x+y x+4y 23/24 (1)请用代数式表示A、B两个园区的面积之和并化简； (2)现在根据实际情况需要对B园区进行改造，将其改造成长方形，宽保持原长度不变，长比原边长增加 (3x-2y米，用代数式表示改造后B园区的面积并化简. 24/24 2025-2026学年七年级下学期 数学期末专题复习 专题:02： 整式乘法（3大运算+3大公式+15大题型） 模块1：知识结构+题型预览 模块2：课本复盘+考点默写 考点1：单项式乘单项式 单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式； 考点2：单项式乘多项式 1.单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 2.符号表示： 考点3：多项式乘多项式 1. 多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加； 2.符号表示：() 考点4：三大乘法公式 公式 重要变形及拓展 图形解释 重要变形1： 重要变形2： 重要拓展： ； 重要变形1： 重要变形2： ()() 重要拓展： 使用条件：两括号内的项，一项相同，一项相反 模块3：重点题型+变式训练 【题型1】单项式乘单项式 例题1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 变式训练 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题只需分别计算系数乘积，同底数幂的乘积，再确定符号即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算系数乘积，再根据同底数幂的乘法法则计算字母部分，即可得到结果． 【详解】解： ． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 4．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 【题型2】单项式乘多项式 例题2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）先根据单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式训练 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方． （1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法运算，难度不大，关键是在熟悉运算法则的基础上仔细运算． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，即单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则分别展开两个单项式与多项式相乘的部分，再去括号、合并同类项； 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型3】多项式乘多项式 例题3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式训练 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．如图，则长方形花园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：长方形花园的面积为 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型4】根据多项式乘积求参数的值 例题4．若中不含项，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： ． ∵的展开式中不含项， ∴， ∴． 变式训练 1．已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据展开式不含一次项、常数项为求出和的值，再计算即可． 【详解】解：先展开原式并合并同类项：， 展开式中不含的一次项，且常数项为， ， 解得， ． 2．若等式恒成立，无论为何值，的值始终为定值，则这个定值为_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式运算与整式恒成立的性质，先将等式左边按多项式乘多项式法则展开，对比等式两边对应项系数得到m、n关于s、t的表达式，代入整理，根据无论t为何值结果为定值，得到t的系数为0，求出s的值，即可计算得到定值 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵无论为何值，的值始终为定值， ∴ ∴ ∴ 3．关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a和m的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）先将已知代数式整理后，根据题意求得的值； （2）根据，求得的值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ， ． （2）解：∵， ， ， 解得：， ． 4．已知展开后，不含有项和常数项． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再由不含有项和常数项，联立方程组求解即可； （2）将（1）的结果代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵展开后，不含有项和常数项， ∴，解得； （2）解：由（1）得， ． 【题型5】根据完全平方公式计算 例题5．运用完全平方公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 变式训练 1．运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 2．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式：． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式展开计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 4．运用完全平方公式计算： (1)； (2)， (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据完全平方公式进行计算即可； （4）根据完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型6】利用完全平方公式简便计算 例题6．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，． （1）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可； （2）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练 1．运用完全平方公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式直接求解即可． （2）利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3969 (2)9604 (3) (4) 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟记完全平方公式． 4．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)104.04 【分析】本题考查了完全平方公式，． （1）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可； （2）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7】求完全平方式中的参数 例题7．已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， 解得或． 变式训练 1．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 2．多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（　　） A．4 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以根据一次项系数的一半的平方来确定，所以加上的单项式是． 3．若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 【答案】25或 【分析】根据完全平方式的结构特征作答，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 【详解】解：由于多项式是完全平方式，且常数项， 因此该多项式可以写成的形式， 因为， 通过比较与的一次项系数， 可得， 解得或． 4．如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【答案】10或 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，掌握完全平方公式的形式是解题关键，根据完全平方公式的结构，对比多项式系数即可求解m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴中间项系数满足，即或， 解得或． 【题型8】利用完全平方公式变式求值 例题8．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 33 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解； （1）根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可； （2）先根据完全平方公式的变形求出的值，再根据平方差公式及多项式乘以多项式法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ 变式训练 1．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式求得，再将原式利用完全平方公式展开，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ，即， ； （2）解：，， ，即， ， ， ， ，即， ； （3）解：， ， ， ． 2．请同学们认真阅读下面求代数式的值的方法． 已知有理数、y满足，，计算的值． 解：因为， 所以． 借鉴上面的方法，解决下列问题： (1)若有理数、满足，，求的值； (2)若有理数、满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用完全平方公式计算出，再仿照示例计算的值； （2）先利用完全平方公式计算出，将变形为，再仿照示例计算． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ； （2）解：∵，， ， ． 3．已知有理数$a，b$满足． (1)求的值． (2)阅读如图材料，求的值． 因为， 所以， 所以． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 利用完全平方公式变形，将已知条件与代入求； (2) 类比材料中的推导方法，由展开式移项得到，再代入求值 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴． 4．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值．解法如下：，，又，， (1)简单应用：若，，求的值； (2)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)8 (2)18 【分析】（1）根据完全平方公式变形，将已知和的值代入，即可计算出的值； （2）把两个代数式看作整体，先计算两个整体的和为定值，再利用完全平方公式展开，代入已知的平方和，即可求出两个整体的乘积，得到结果． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 【题型9】完全平方公式与几何图形综合 例题9．下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别用两种方式表示各选项的阴影面积，进而判断即可． 【详解】解：A．阴影面积可表示为或，即，符合题意； B．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； C．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； D．阴影面积可表示为或，即，不符合题意． 变式训练 1．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和若知道下列条件，不能求出值的是（   ） A．长方形纸片的周长和面积 B．②的长与宽之差 C．图1与图2阴影部分的面积差 D．长方形纸片和②的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别表示出和，可得，再运用整式的运算分别验证每个选项的正误． 【详解】解：如图，设正方形的边长为， 可得，，，， ，， ， ，， ， ， A、长方形纸片的周长为，面积为，即知道和，根据完全平方变形公式可得，即知道，故A不符合题意； B、②的长与宽之差为，即知道，故B不符合题意； C、，，，， 图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为，，即知道，故C不符合题意； D、长方形纸片和②的面积差为，不能得到的值，故D符合题意． 2．如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意，，再表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 3．如图（a）所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（b）所示是由图（a）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（a）中阴影部分的面积为，图（b）中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示_____，_____． (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：_____． (3)拓展应用：试利用这个公式计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可； （2）根据面积相等列式化简即可解答； （3）先给式子左边添加，然后从左到右依次利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：上述过程所揭示的乘法公式为； （3）解：原式 ． 4．完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．比如，完全平方公式可以变形为． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，则__________． (2)如图，已知两个正方形的边长分别为，，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合，整理得，最后代入数值计算，即可作答． （2）观察图形的阴影部分，列出阴影部分的面积的式子，再整理，最后代入面积的式子计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ （2）解：根据题意，可得阴影部分的面积． ∵， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积． 【题型10】判断是否适用平方差公式计算 例题10．下列各式，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的适用特点为两个二项式相乘，两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特点即可用平方差公式计算，据此判断各选项即可． 【详解】解∵ 选项A中，存在相同项，相反项与，符合平方差公式的要求，能用平方差公式计算． 选项B中，两项均互为相反数，没有相同项，不符合要求． 选项C中 ，不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不符合要求． 选项D中，两项均互为相反数，没有相同项，不符合要求． 变式训练 1．下列式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式计算的式子需满足：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断即可． 【详解】解：平方差公式要求式子符合，有一项完全相同，另一项互为相反数， A、的相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，能用平方差公式计算， B、两项都互为相反数，无相同项，不符合要求， C、 没有互为相反数的项，不符合要求， D、两项都相同，没有互为相反数的项，不符合要求， 故选：A． 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式为的特点，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A选项 原式可变形为 ，符合平方差公式的特点，可以用平方差公式计算，不符合题意； B选项 原式中项完全相同，项互为相反数，符合平方差公式的特点，可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项 原式可变形为，项完全相同，项互为相反数，符合平方差公式的特点，可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项 原式中项和项都互为相反数，不存在完全相同的项，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，符合题意. 3．下列多项式与多项式相乘中，能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，要求两个相乘的二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵ 选项A 中没有相同项，也没有互为相反数的项，∴ 不能用平方差公式计算． ∵ 选项B ，两项都相同，不存在互为相反数的不同项，∴ 不能用平方差公式计算． ∵ 选项C 中，与不互为相反数，∴ 不能用平方差公式计算． ∵ 选项D ，其中相同项为，相反项为与，符合平方差公式的结构特征，∴ 可以利用平方差公式计算． 4．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：中，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算，符合题意； B选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项：中，虽然有相同项，但与不是互为相反数，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意． 【题型11】根据平方差公式计算 例题11．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 变式训练 1．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式的应用，即，其中和可以是数、字母或代数式． （1）运用平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式计算即可； （3）运用平方差公式计算即可； （4）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据平方差公式计算各题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．运用平方差公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）逐步利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）直接利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 【题型12】利用平方差公式简便计算 例题12．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2499 (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用： （1）将原式变形为，再利用平方差公式求解； （2）将原式变形为，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式训练 1．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2)1 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 3．在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算嘉嘉发现把写成，把写成后可以连续运用平方差公式进行计算． 请根据上述思路，计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9999 (2)1 【分析】（1）将原式化为，连续利用平方差公式进行计算即可； （2）将改写成后，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 4．【阅读理解问题】观察：利用平方差公式进行计算： 解：原式 ． (1)基础运用计算：_________； (2)拓展运用计算： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）①把原式变形为，再利用平方差公式求解即可；②把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①原式 ． ②原式 ． 【题型13】平方差公式与几何图形综合 例题13．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图和图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积为：； 由图可得，平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，，高为大正方形边长与小正方形边长之差，， ∴阴影部分的面积为：， ∴验证成立的公式为：． 变式训练 1．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长、宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意得，，据此可判断①②；根据正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积可判断③；根据可判断④． 【详解】解：由题意得，，故①错误， ∴，故②正确； ∵正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积， ∴， ∴，故③正确； ，故④正确； ∴正确的有②③④，共3个． 2．综合与实践 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（）求出图的剩余面积、图的面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 【详解】（1）解：图剩余面积为面积为，图面积为， 则上述操作可以得到一个公式：． （2）解：由（）得： ； （3）解： ． 3．【探究】若满足，求的值． 设，， 则，， ∴； 【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，则的值为________； (2)若满足，则的值为________． (3)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形． ①________，________；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)①，；②20 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）设，得到，根据完全平方公式变形计算即可； （3）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】（1）解：设， 则， ； （2）解：设， 则， ； ∵ ； （3）①∵四边形是长方形、、，四边形是正方形、 ， ，； ②∵长方形的面积是 24， ， 阴影部分面积， 设， 则， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 20． 4．小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． (1)请你帮小明完成拼图设计； (2)应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (3)上述操作能验证的公式是______； (4)计算： 【答案】(1)见解析 (2)①2；②3 (3)； (4)． 【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式； （2）①利用完全平方公式变形计算即可求解； ②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解； （3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ； （4）解： ． 【题型14】整式化简及求值问题 例题14．先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 变式训练 1．先化简再求值：，当，． 【答案】，0 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，然后代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当，原式 3．先化简，再求值：．其中． 【答案】 ， 【详解】解： 当时，原式 ． 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简式子，将，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型15】整式运算的应用 例题15．白塔中学于10月27日成功举办科创活动展演，现场亮点纷呈：灵动的歼10航模精准盘旋、机器狗的高难度动作展示、农用无人机精彩演绎、火箭模型直冲云霄，更恰逢神舟21号于2025年10月31日载人飞船成功发射，为这场科创盛宴增添了浓厚的航天氛围．如图是同学们制作的一种火箭模型的截面图，该图下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用含a，b的式子表示该截面的面积S； (2)若，，用x、y表示截面面积并化简； (3)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式． （1）该图形面积等于梯形面积、长方形面积、和三角形面积之和，据此列式； （2）将，代入（1）中的式子，利用完全平方公式和平方差公式化简计算； （3）将，代入（2）中的式子求解即可． 【详解】（1）； （2）解：； （3）解：，时，原式． 变式训练 1．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块空地长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪 (1)求计划种植草坪的面积； (2)已知，，若种植草坪的价格为30元，种花的价格为50元，求改造两块空地种植花草应投入的资金为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键． （1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量，分别求出投入栽花和草坪的资金，再相加即可． 【详解】（1）解：两块空地总面积：， ， 栽花面积：， 草坪面积：． （2）解：，，草坪价格为30元/， 种植草坪的资金（元）； 种植花的资金（元）， ∴改造两块空地种植花草应投入的资金为（元）． 2．如图，某小区有一块长为，宽为的长方形地，角上有四个边长为的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）； (2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化，每小时收费元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含，的代数式表示）？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的混合运算法则进行计算即可． 根据绿化面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，可得：，根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可； 根据该团队每小时可绿化，每小时收费元，可得：，然后再根据单项式乘以多项式的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得绿化的面积为： ， 绿化的面积是； （2）解：根据题意得：元． 该物业应该支付绿化团队元． 3．第十三届郑州国际少林武术节即将举行，来自国内外的上千名嘉宾、武术团体及运动员汇聚于此，共同欣赏和感受中国武术的深厚底蕴和文化魅力．如图，这是某武校为武术节筹备建造的一个武术表演台（阴影部分）． (1)请用表示表演台的面积．（结果化为最简） (2)若修建表演台的费用为元/平方米，且米，米，则修建表演台需要费用多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）根据图形列出算式，再根据整式的运算法则化简即可； （）把的值代入（）中的结果求出面积，再乘以单价即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式（平方米）， （元）， 答：修建表演台需要费用元． 4．某植物园中有、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，边长为米． (1)请用代数式表示、两个园区的面积之和并化简； (2)现在根据实际情况需要对园区进行改造，将其改造成长方形，宽保持原长度不变，长比原边长增加米，用代数式表示改造后园区的面积并化简． 【答案】(1)=平方米 (2)=平方米 【分析】（1）根据题中的图形，由矩形面积公式、正方形面积公式表示出园区面积，再由整式混合运算法则求解即可得到答案； （2）根据题意，由矩形面积公式、正方形面积公式表示出园区面积，再由整式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：、两个园区的面积之和为 平方米； （2）解：改造后园区的面积为 平方米． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $