专题05 二元一次方程组及其解法五大题型（期末复习讲义）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题05 二元一次方程组及其解法（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组的概念（辨别与解的判定） 题型02 二元一次方程组的解法（代入消元法与加减消元法） 题型03 解法的灵活选择与综合应用 题型04 含参数的二元一次方程组 题型05 三元一次方程组的概念和解 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的概念 能准确判断一个方程（组）是否为二元一次方程（组），理解解的含义 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现。易错点：忽略二元一次方程需含两个未知数且次数为1 代入消元法解方程组 能熟练运用代入消元法解二元一次方程组，掌握规范步骤 高频考点，适用于其中一个方程中某个未知数系数为±1的情况。注意变形要准确，代入后不要混淆 加减消元法解方程组 能熟练运用加减消元法解二元一次方程组，掌握系数化同的技巧 核心考点，适用于两个方程中同一未知数系数成倍数或可直接相加减的情况。注意符号处理 两种解法的选用策略 能根据方程组特征快速选择合适的解法 必考能力，常在实际解方程题中间接考查。需分析系数特点决定代入还是加减 含参数的二元一次方程组 能根据方程组的解的条件（如解为已知数、解的关系等）求参数的值 压轴题型，常与方程组的解的定义结合，需建立关于参数的方程 二元一次方程组的解的情况初步（拓展） 了解方程组有唯一解、无解、无穷多解的条件（对应系数比的关系） 少数期末题作为选填出现，重在理解 说明：本专题核心是“消元”思想，将二元化为一元。注意解题步骤的规范书写，避免计算失误。 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1．二元一次方程 含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。一般形式：（其中 均不为0）。 二元一次方程有无数个解（以数对形式 表示）。 2．二元一次方程组 由两个二元一次方程联立在一起，叫做二元一次方程组。一般形式： 二元一次方程组的解：使两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（记作 ）。 3．判断要点 方程(组)中共含两个未知数； 未知数的系数不为0（若某未知数系数为0，则实际只有一元）； 项的次数为1（分母中不能含未知数，如 不是一次）。 ·示例： 是二元一次方程； 是二元一次方程组； ·易错点：判断方程组是否为二元一次方程组，要化简后再看。如 实际上是二元一次方程组（x=1也是一元一次方程，但含有两个未知数？实际上x=1中y系数为0，但整体仍然含有两个未知数，可以认为是一类特殊的二元一次方程组，通常也接受）。  知识点02 代入消元法 步骤（变形→代入→解一元→回代）： 1. 从方程组中选一个系数比较简单的方程，用含一个未知数的式子表示另一个未知数（如 或 ）。 2. 将这个式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 将求出的未知数的值代入第一步得到的式子中，求出另一个未知数的值。 5. 写出方程组的解（一般写成 形式）。 ·适用场景：当某一个未知数的系数为 ±1 时，用代入法最方便。或者某个方程已写成 或 的形式。 ·易错点：代入时不要代回原方程（消元必须代到另一个方程）； 变形后的式子要正确，注意符号和括号； 最后结果要写成解的形式，不能只写 和 的值不写大括号。 知识点03 加减消元法 步骤（化同系数→加减消元→解一元→回代）： 1. 观察两个方程中同一个未知数的系数，如果它们互为相反数，则两方程相加消去该未知数；如果相等，则两方程相减消去该未知数。 2. 如果系数既不相等也不互为相反数，则利用等式性质，将其中一个方程（或两个方程）两边乘适当的数，使该未知数的系数绝对值相等。 3. 将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程。 4. 解一元一次方程，求出一个未知数的值。 5. 将求出的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值。 6. 写出方程组的解。 ·适用场景：当两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或可直接相加减时，用加减法更简便。 ·易错点：两边乘数时，方程每一项都要乘，不能漏项； 相减时注意减去一个多项式，要整体加括号，符号处理要小心； 加减消元后解出一元值，回代时最好代入系数简单的方程，避免计算错误。 知识点04 两种解法的选用策略 方程特征 推荐方法 某个未知数的系数为 ±1 代入法（直接表示） 某个未知数的系数互为相反数或相等 加减法（直接加或减） 系数成倍数关系（如 2x 和 4x） 加减法（乘数后相加减） 两个方程都较复杂，无简单系数 优先观察能否用加减法（乘最小公倍数）；也可用代入但变形麻烦 题目指定方法 按指定方法步骤操作 技巧：代入法一般用于“解出来方便”的情况；加减法用于“系数可化同”的情况。两种方法本质相同（消元），可根据个人习惯和题目特征灵活选择。 知识点05 含参数的二元一次方程组 已知方程组的解（或解的关系），求参数的值。常用方法： 1. 将解（已知数值或含有参数的表达式）代入方程组，得到关于参数的方程（组）。 2. 解这个关于参数的方程（或方程组）。 3. 验证参数是否使方程组有意义（如系数不为0）。 ·示例：已知 的解满足 ，求 的值。 ·易错点：先由后两个方程 解出 ，再代入第一个方程得 。 知识点06 解的情况初步（拓展） 对于方程组 ： 若 ，则方程组有唯一解； 若 ，则方程组无解； 若 ，则方程组有无穷多解（两个方程实质相同）。 ·易错点：此知识点在期末中可能以选择题形式出现，重在理解比例关系。 题型一二元一次方程组的概念（辨别与解的判定） 解｜题｜技｜巧 ①将其中一个方程变形为 或 ； ② 代入另一个方程，消元； ③ 解一元一次方程，求出一个未知数； ④ 回代求出另一个未知数； ⑤ 写出解。 易｜错｜点｜拨 易错点拨：变形时注意移项要变号；代入后去括号时符号易错；回代时最好代入最简单的方程。 【典例1】（25-26六年级下·上海·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【典例3】（24-25六年级下·上海·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D． 【典例4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 【典例5】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 【变式1】（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【变式4】（25-26六年级下·上海静安·期中）已知是方程的解，则________． 【变式5】24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 题型二 二元一次方程组的解法（代入消元法与加减消元法） 解｜题｜技｜巧 核心思想：消元——将二元一次方程组转化为一元一次方程。 代入法步骤： ① 变形：将其中一个方程写成 或 ； ② 代入：代入另一个方程，消去一个未知数； ③ 解一元方程； ④ 回代求另一未知数。 加减法步骤： ① 化同：将同一未知数的系数化为绝对值相等（乘适当的数）； ② 加减：系数相等则相减，互为相反数则相加，消去一个未知数； ③ 解一元方程； ④ 回代求另一未知数。 易｜错｜点｜拨 - 代入法：变形时注意移项变号，代入后括号不要漏； - 加减法：乘数时每一项都要乘，相减时整体加括号； - 无论哪种方法，最后结果要写成 形式。 【典例1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）二元一次方程组的解为______． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）解方程组： (1) (2) (3) 【典例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）把方程化成用含x的式子表示y的形式为______． 【变式1】（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 【变式2】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组． (1) (2) 题型三 解法的灵活选择与综合应用 解｜题｜技｜巧 先观察系数特征： - 若某未知数系数为 ±1 → 代入法； - 若相同未知数系数相等或相反 → 加减法； - 若系数成倍数关系 → 加减法（乘最小倍数）； - 若系数无特殊关系，两种方法均可，但加减法通常计算更简。 【典例1】（24-25六年级下·上海·期中）定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 【典例2】（24-25六年级·上海·阶段检测）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【典例3】（25-26六年级下·上海·期末预测）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【变式1】（2026六年级下·上海·专题练习）阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第 步开始出现错误． (2)请写出该方程组的正确解答过程． 【变式2】（24-25六年级下·上海青浦·期末）在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下： 解：设，，则原方程组可化为 解方程组，得即解得 (1)请你把小华的做法填写完整； (2)请你根据小华的做法，解方程组： 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组，小美和小庆的部分做法如下． 小美的部分过程 小庆的部分过程 ，得                由②，得 ③， 把①代入③， 得             (1)下列说法正确的是（   ） A．小美的过程正确    B．小庆的过程正确 C．小美和小庆的过程都正确    D．小美和小庆的过程都不正确 (2)小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入） ①加减消元法      ②代入消元法 (3)请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程． 题型四 含参数的二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 1. 若已知方程组的解，直接将解代入得到关于参数的方程（组）。 1. 若已知解的关系（如 ），则先利用关系与方程联立解出 （用参数表示或直接解出具体值），再代入原方程求参数。 1. 若已知同解方程组（两个方程组解相同），则先解不含参数的方程组得到解，再代入含参数的方程组求参数。 易｜错｜点｜拨 参数表示时要注意分母不为0；求出的参数要检验是否使原方程组有意义（如系数出现0但可允许）。 【典例1】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）若方程组的解也是方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】若关于，的方程组的解满足，则的值为（） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【典例3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知二元一次方程， （1）用含x的代数式表示y，则__________； （2）用含y的代数式表示x，则__________； 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末模拟）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【变式2】（24-25六年级下·全国·课后作业）填空： （1）若是关于的二元一次方程，则________． （2）若是二元一次方程的解，则________． （3）把方程写成用含的代数式表示的形式是________． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末模拟）若关于，的方程组的解满足，则______． 【变式4】（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 题型五 三元一次方程组的概念和解 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 选元消去：观察三个方程，选择同一个未知数（如 ），利用加减法将其从两个方程中消去，得到关于 的二元一次方程组。 1. 解二元方程组：用代入法或加减法解出 的值。 1. 回代求第三元：将 代入原方程组中较简单的一个方程，求出 。 1. 检验：将解代入原方程组验证（通常只须代入未用过的一个方程即可）。 写解：写成 形式。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 消元时选错目标 选择系数较简单的未知数优先消去（如系数为±1或成倍数） 乘数时漏乘常数项 对方程两边乘非零数时，每一项（包括常数项）都要乘 加减法符号错误 两方程相减时，整体加括号，逐项变号 回代时选错方程 回代求第三元时，应选原方程组中未经过复杂变形的方程 漏写解的形式 最后结果必须写成 形式，不可只写数值 未检验 建议将解代入一个未用过的方程检验，防止计算失误 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（24-25六年级下·上海·阶段测试）运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 【典例3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 【典例4】（25-26六年级下·上海·期末模拟）若，则_____． 【变式1】25-26六年级下·上海浦东新·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式2】（2026六年级下·上海·专题练习）数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5.（24-25六年级下·上海·期末）解方程组：． 6.（24-25六年级下·上海虹口·期末）下列方程组中属于二元一次方程组的有（    ） （1）（2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26六年级下·上海·期中）已知方程，若用来表示，可得___________． 8.（24-25六年级下·上海松江·期末）写出一组解是的一个二元一次方程：_____． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（24-25六年级下·上海·期末）已知是关于，的二元一次方程，则________． 2.（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 3.（25-26六年级下·上海·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 4．（25-26六年级下·上海·期末预测）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 5.（24-25六年级下·上海闵行·期末）解下列方程组： (1)； (2) 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26六年级下·上海·期中）如图，现有五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为___________．（填字母） 2．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则______． 3.（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解． (1)分别用含的式子表示； (2)求的值和方程组的解． 4.（25-26六年级下·上海·期末）已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 5.（25-26六年级下·上海·期末复习）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26六年级下·上海·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 7．（25-26六年级下·上海·阶段测试）阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得 (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组 (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，解方程组 (3)对于有理数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，求的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组及其解法（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程组的概念（辨别与解的判定） 题型02 二元一次方程组的解法（代入消元法与加减消元法） 题型03 解法的灵活选择与综合应用 题型04 含参数的二元一次方程组 题型05 三元一次方程组的概念和解 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程（组）的概念 能准确判断一个方程（组）是否为二元一次方程（组），理解解的含义 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现。易错点：忽略二元一次方程需含两个未知数且次数为1 代入消元法解方程组 能熟练运用代入消元法解二元一次方程组，掌握规范步骤 高频考点，适用于其中一个方程中某个未知数系数为±1的情况。注意变形要准确，代入后不要混淆 加减消元法解方程组 能熟练运用加减消元法解二元一次方程组，掌握系数化同的技巧 核心考点，适用于两个方程中同一未知数系数成倍数或可直接相加减的情况。注意符号处理 两种解法的选用策略 能根据方程组特征快速选择合适的解法 必考能力，常在实际解方程题中间接考查。需分析系数特点决定代入还是加减 含参数的二元一次方程组 能根据方程组的解的条件（如解为已知数、解的关系等）求参数的值 压轴题型，常与方程组的解的定义结合，需建立关于参数的方程 二元一次方程组的解的情况初步（拓展） 了解方程组有唯一解、无解、无穷多解的条件（对应系数比的关系） 少数期末题作为选填出现，重在理解 说明：本专题核心是“消元”思想，将二元化为一元。注意解题步骤的规范书写，避免计算失误。 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1．二元一次方程 含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。一般形式：（其中 均不为0）。 二元一次方程有无数个解（以数对形式 表示）。 2．二元一次方程组 由两个二元一次方程联立在一起，叫做二元一次方程组。一般形式： 二元一次方程组的解：使两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（记作 ）。 3．判断要点 方程(组)中共含两个未知数； 未知数的系数不为0（若某未知数系数为0，则实际只有一元）； 项的次数为1（分母中不能含未知数，如 不是一次）。 ·示例： 是二元一次方程； 是二元一次方程组； ·易错点：判断方程组是否为二元一次方程组，要化简后再看。如 实际上是二元一次方程组（x=1也是一元一次方程，但含有两个未知数？实际上x=1中y系数为0，但整体仍然含有两个未知数，可以认为是一类特殊的二元一次方程组，通常也接受）。  知识点02 代入消元法 步骤（变形→代入→解一元→回代）： 1. 从方程组中选一个系数比较简单的方程，用含一个未知数的式子表示另一个未知数（如 或 ）。 2. 将这个式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。 3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 将求出的未知数的值代入第一步得到的式子中，求出另一个未知数的值。 5. 写出方程组的解（一般写成 形式）。 ·适用场景：当某一个未知数的系数为 ±1 时，用代入法最方便。或者某个方程已写成 或 的形式。 ·易错点：代入时不要代回原方程（消元必须代到另一个方程）； 变形后的式子要正确，注意符号和括号； 最后结果要写成解的形式，不能只写 和 的值不写大括号。 知识点03 加减消元法 步骤（化同系数→加减消元→解一元→回代）： 1. 观察两个方程中同一个未知数的系数，如果它们互为相反数，则两方程相加消去该未知数；如果相等，则两方程相减消去该未知数。 2. 如果系数既不相等也不互为相反数，则利用等式性质，将其中一个方程（或两个方程）两边乘适当的数，使该未知数的系数绝对值相等。 3. 将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程。 4. 解一元一次方程，求出一个未知数的值。 5. 将求出的值代入原方程组中较简单的方程，求出另一个未知数的值。 6. 写出方程组的解。 ·适用场景：当两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或可直接相加减时，用加减法更简便。 ·易错点：两边乘数时，方程每一项都要乘，不能漏项； 相减时注意减去一个多项式，要整体加括号，符号处理要小心； 加减消元后解出一元值，回代时最好代入系数简单的方程，避免计算错误。 知识点04 两种解法的选用策略 方程特征 推荐方法 某个未知数的系数为 ±1 代入法（直接表示） 某个未知数的系数互为相反数或相等 加减法（直接加或减） 系数成倍数关系（如 2x 和 4x） 加减法（乘数后相加减） 两个方程都较复杂，无简单系数 优先观察能否用加减法（乘最小公倍数）；也可用代入但变形麻烦 题目指定方法 按指定方法步骤操作 技巧：代入法一般用于“解出来方便”的情况；加减法用于“系数可化同”的情况。两种方法本质相同（消元），可根据个人习惯和题目特征灵活选择。 知识点05 含参数的二元一次方程组 已知方程组的解（或解的关系），求参数的值。常用方法： 1. 将解（已知数值或含有参数的表达式）代入方程组，得到关于参数的方程（组）。 2. 解这个关于参数的方程（或方程组）。 3. 验证参数是否使方程组有意义（如系数不为0）。 ·示例：已知 的解满足 ，求 的值。 ·易错点：先由后两个方程 解出 ，再代入第一个方程得 。 知识点06 解的情况初步（拓展） 对于方程组 ： 若 ，则方程组有唯一解； 若 ，则方程组无解； 若 ，则方程组有无穷多解（两个方程实质相同）。 ·易错点：此知识点在期末中可能以选择题形式出现，重在理解比例关系。 题型一二元一次方程组的概念（辨别与解的判定） 解｜题｜技｜巧 ①将其中一个方程变形为 或 ； ② 代入另一个方程，消元； ③ 解一元一次方程，求出一个未知数； ④ 回代求出另一个未知数； ⑤ 写出解。 易｜错｜点｜拨 易错点拨：变形时注意移项要变号；代入后去括号时符号易错；回代时最好代入最简单的方程。 【典例1】（25-26六年级下·上海·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：二元一次方程组的定义为：由一次方程组成，且方程组中共含有两个未知数的整式方程组，叫做二元一次方程组. A中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； B中方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； D中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组． 【典例2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义（方程组的解是使方程组中所有方程都成立的未知数的值 ），熟练掌握该定义是解题的关键．根据方程组的解的定义，判断方程组的解与其中一个方程的解的关系，即方程组的解需同时满足方程组里的两个方程，所以必然满足其中一个方程． 【详解】解：对于方程组， ∵方程组的解是能使方程组中两个方程同时成立的未知数的值， ∴方程组的解一定满足其中的每一个方程， 而是方程组中的第一个方程， ∴方程组的解一定是方程的解． 故选：A ． 【典例3】（24-25六年级下·上海·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A．8 B．5 C．11 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程，可得，再将所求代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴ ， 故选：C． 【典例4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列叙述中错误的是（   ）． A．只含有两个未知数且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组 B．两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组 C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成 D．任意一对数都是二元一次方程的一组解 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解 【详解】解：A． 只含有两个未知数且未知数的次数是一次的方程组叫做二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； B．两个不同未知数的二元一次方程不能组成一个二元一次方程组，两个相同未知数的二元一次方程能组成一个二元一次方程组，即两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组，该选项正确，不符合题意； C．二元一次方程组可以由两个一元一次方程组成，该选项正确，不符合题意； D．任意一对数不一定是二元一次方程的一组解，该选项错误，符合题意； 故选D． 【典例5】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 【变式2】（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能熟记二元一次方程组的解的定义是解此题的关键． 将解，代入各选项的方程组，验证是否同时满足两个方程． 【详解】A、把代入第一个方程，等式成立， 代入第二个方程，等式成立．所以该选项正确； B、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； C、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； D、把代入第二个方程，等式不成立．所以该选项错误． 故选：A． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 【变式4】（25-26六年级下·上海静安·期中）已知是方程的解，则________． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】先将代入求出的值，再代入中求解． 【详解】解：将代入方程中， 得， 即， 则． 【变式5】24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到， 解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故， ， 解得，且， 故， 故答案为：1． 题型二 二元一次方程组的解法（代入消元法与加减消元法） 解｜题｜技｜巧 核心思想：消元——将二元一次方程组转化为一元一次方程。 代入法步骤： ① 变形：将其中一个方程写成 或 ； ② 代入：代入另一个方程，消去一个未知数； ③ 解一元方程； ④ 回代求另一未知数。 加减法步骤： ① 化同：将同一未知数的系数化为绝对值相等（乘适当的数）； ② 加减：系数相等则相减，互为相反数则相加，消去一个未知数； ③ 解一元方程； ④ 回代求另一未知数。 易｜错｜点｜拨 - 代入法：变形时注意移项变号，代入后括号不要漏； - 加减法：乘数时每一项都要乘，相减时整体加括号； - 无论哪种方法，最后结果要写成 形式。 【典例1】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）二元一次方程组的解为______． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据代入消元法计算即可． 【详解】解：， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将方程组变形为，利用代入消元法解方程组即可； （3）将方程组变形为，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程组可变形为， 由②①得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可变形为， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以方程组的解为． （3）解：方程组可变形为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【典例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）把方程化成用含x的式子表示y的形式为______． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，把x看作已知量，通过移项，系数化为表示y即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查利用代入消元法解二元一次方程组． 解题思路是先从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现消元，进而求解方程组． 【详解】解：由方程，通过移项可得到， 将代入方程中：得到． 化简得到． 得． 把代入， 可得． 综上，方程组的解为． 【变式2】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是解题的关键． 用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由②得：③ 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 原方程组的解为：． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）将第二个方程代入第一个方程，消去，解方程可得的值，再将的值代入第二个方程可得的值，由此即可得； （2）先将方程组整理为，再将方程①减去方程②可得的值，然后将的值代入方程②可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以方程组的解为． （2）解：整理为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 题型三 解法的灵活选择与综合应用 解｜题｜技｜巧 先观察系数特征： - 若某未知数系数为 ±1 → 代入法； - 若相同未知数系数相等或相反 → 加减法； - 若系数成倍数关系 → 加减法（乘最小倍数）； - 若系数无特殊关系，两种方法均可，但加减法通常计算更简。 【典例1】（24-25六年级下·上海·期中）定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 【答案】 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．根据题意得出新方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 由得， 由得， 组成新方程组， 解得：． 【典例2】（24-25六年级·上海·阶段检测）小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， 得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是 【典例3】（25-26六年级下·上海·期末预测）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 【变式1】（2026六年级下·上海·专题练习）阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第 步开始出现错误． (2)请写出该方程组的正确解答过程． 【答案】(1)加减消元法；一 (2) 【知识点】加减消元法 【分析】（1）根据加减消元法的定义进行分析即可； （2）根据加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 第一步开始出现错误，错误的原因是中，等式的两边的两边均乘以3时计算错误， 故答案为：加减消元法，一． （2）解：由，得， 由，得， 解得：， 把代入，得； 所以原方程组的解是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 【变式2】（24-25六年级下·上海青浦·期末）在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下： 解：设，，则原方程组可化为 解方程组，得即解得 (1)请你把小华的做法填写完整； (2)请你根据小华的做法，解方程组： 【答案】(1)1，2，，11 (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【详解】解：（1）1        2            11 （2）设，，则原方程组可化为 解方程组，得即解得 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组，小美和小庆的部分做法如下． 小美的部分过程 小庆的部分过程 ，得                由②，得 ③， 把①代入③， 得             (1)下列说法正确的是（   ） A．小美的过程正确    B．小庆的过程正确 C．小美和小庆的过程都正确    D．小美和小庆的过程都不正确 (2)小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入） ①加减消元法      ②代入消元法 (3)请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程． 【答案】(1)D (2)①；② (3)见解析 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）小美的过程中，的结果应该为；小庆的过程中，由可得，据此可得答案； （2）根据解题过程即可得到答案； （3）分别利用加减消元法和代入消元法解原方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得，小美的过程中，的结果应该为； 小庆的过程中，由，可得， ∴小美和小庆的过程都不正确， 故选：D； （2）解：由题意得，小美用的是加减消元法，小庆用的是代入消元法， 故答案为：①；②； （3）解：选择小美的方法： ，得，解得； 将代入①得，解得， 这个方程组的解为 选择小庆的方法：由②得③， 把①代入③得，即， 解得， 将代入①得， 解得， 这个方程组的解为． 题型四 含参数的二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 1. 若已知方程组的解，直接将解代入得到关于参数的方程（组）。 1. 若已知解的关系（如 ），则先利用关系与方程联立解出 （用参数表示或直接解出具体值），再代入原方程求参数。 1. 若已知同解方程组（两个方程组解相同），则先解不含参数的方程组得到解，再代入含参数的方程组求参数。 易｜错｜点｜拨 参数表示时要注意分母不为0；求出的参数要检验是否使原方程组有意义（如系数出现0但可允许）。 【典例1】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）若方程组的解也是方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先利用消元法解出给定二元一次方程组的解，再根据方程解的定义，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：， 得：，解得：， 把代入得，，解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得，， 解得：． 【典例2】若关于，的方程组的解满足，则的值为（） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【详解】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 【典例3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知二元一次方程， （1）用含x的代数式表示y，则__________； （2）用含y的代数式表示x，则__________； 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】将二元一次方程变形，把目标未知数留在等号左侧，其余项移到等号右侧，再将目标未知数的系数化为1，即可得到对应结果． 【详解】解：（1）已知方程， 移项得：， 系数化为1得：； （2）已知方程， 移项得：， 系数化为1得：． 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末模拟）如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 【变式2】（24-25六年级下·全国·课后作业）填空： （1）若是关于的二元一次方程，则________． （2）若是二元一次方程的解，则________． （3）把方程写成用含的代数式表示的形式是________． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程的定义、代入消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据二元一次方程的定义可得且，求解即可． （2）把代入中，求解即可． （3）把方程通过移项，系数化为一，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． （2）把代入中， 即， 解得：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期末模拟）若关于，的方程组的解满足，则______． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】根据二元一次方程组的解的关系求参数，运用整体思想求解即可，将方程组中两个方程相减整理得到关于的表达式，再结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式4】（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知关于x，y的二元一次方程（a，b均为常数，且）． (1)当，时，用含x的式子表示y，则__________； (2)若是该二元一次方程的一组解． ①探索a与b的数量关系； ②小明发现无论a，b取何值，方程都有一组公共解，请求出这组解． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】二元一次方程的解、代入消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）把，代入关于x、y的二元一次方程得关于x,y的方程，把y用x表示出来即可； （2）①把代入关于x、y的二元一次方程得关于a,b的方程，进行整理即可得到答案； ②把代入原方程变形，根据无论a,b取何值，这些方程都有一个公共的解，求出所求结果即可． 【详解】（1）解：当，时，得 （2）解：①把代入，得，整理得； ②由①可知， ∴原方程化为，即． 当时，无论a取任意值，都有，此时， ∴这组公共解为． 题型五 三元一次方程组的概念和解 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 选元消去：观察三个方程，选择同一个未知数（如 ），利用加减法将其从两个方程中消去，得到关于 的二元一次方程组。 1. 解二元方程组：用代入法或加减法解出 的值。 1. 回代求第三元：将 代入原方程组中较简单的一个方程，求出 。 1. 检验：将解代入原方程组验证（通常只须代入未用过的一个方程即可）。 写解：写成 形式。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 消元时选错目标 选择系数较简单的未知数优先消去（如系数为±1或成倍数） 乘数时漏乘常数项 对方程两边乘非零数时，每一项（包括常数项）都要乘 加减法符号错误 两方程相减时，整体加括号，逐项变号 回代时选错方程 回代求第三元时，应选原方程组中未经过复杂变形的方程 漏写解的形式 最后结果必须写成 形式，不可只写数值 未检验 建议将解代入一个未用过的方程检验，防止计算失误 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 【典例2】（24-25六年级下·上海·阶段测试）运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 【答案】B 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】观察三元一次方程组各未知数的系数，第一个方程本身不含y，第二，三个方程中y的系数成整数倍数关系，消去y的计算量最小，是最简便的方法． 【详解】解：∵原方程组为 方程①不含未知数y，方程②中y的系数是2，方程③中y的系数是， ∴将 ，即可直接消去y，得到 ， 再和方程①组成二元一次方程组，计算最简便， 因此先消去y再求解是较简单的方法． 【典例3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 【答案】 【知识点】比的应用、三元一次方程组的定义及解 【分析】把看做是常数，可得，再分别求解x，y的值，从而可得答案． 【详解】解：，整理得：， 得：， ， 把代入①得：， ． 【典例4】（25-26六年级下·上海·期末模拟）若，则_____． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】将已知条件拆分为三个等式，将三个等式左右两边分别相加，即可求出所求式子的值． 【详解】解：根据题意得， ①②③得：，即， 则． 【变式1】25-26六年级下·上海浦东新·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）观察方程组中的系数特点，可直接用加减法消去，得到关于，的二元一次方程组求解后，再求的值； （2）先将连等式拆解为三个方程，整理得到标准三元一次方程组，再通过消元法求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 得， 得， 得 解得 将代入得 解得， 将，代入得 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， ∴， ∴， 得， 得 解得， 将代入得 解得， 将代入得 解得， ∴原方程组的解为． 【变式2】（2026六年级下·上海·专题练习）数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25六年级下·上海青浦·期末）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，属于基础题，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，含有两个未知数且所有未知数的项的次数都是1，可直接选出正确选项． 【详解】解：A选项中的方程组有三个未知数，故不符合题意； B选项中的方程组属于二元一次方程组，故符合题意； C选项中的方程组中的不是一次方程，故不符合题意； D选项中的方程中的第一个方程的分母含未知数，不是整式方程，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程，据此对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A. 方程组含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，选项错误； B. 第一个方程含二次项，且含三个未知数x、y、z，不符合“二元一次”条件，选项错误； C. 第一个方程为分式方程，非整式方程，不符合条件，选项错误； D. 方程组含两个未知数x、y，且两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，选项正确； 故选：D． 4．（24-25六年级下·上海·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 5.（24-25六年级下·上海·期末）解方程组：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键； 将方程②变形后直接利用代入代入消元法求解即可． 【详解】解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 6.（24-25六年级下·上海虹口·期末）下列方程组中属于二元一次方程组的有（    ） （1）（2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查二元一次方程组的识别，熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键；根据二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，且每个方程的次数为1的整式方程组，逐一判断即可． 【详解】解：（1）含三个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意． （2）含两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，符合题意． （3）含两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，符合题意． （4）第一个方程含二次项，不符合题意． 综上，符合条件的有（2）和（3），共2个； 故选：B． 7．（25-26六年级下·上海·期中）已知方程，若用来表示，可得___________． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【详解】解： ． 8.（24-25六年级下·上海松江·期末）写出一组解是的一个二元一次方程：_____． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解；符合题意的二元一次方程可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（24-25六年级下·上海·期末）已知是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题可得， 解得， 故答案为：． 2.（24-25六年级下·上海闵行·期末）若是方程的解，则______． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式求值，解题的关键是利用方程的解得到的值，再对所求代数式变形． 先把方程的解代入方程，得出，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为是方程的解， 把代入方程中，可得． ， 所以， 故答案为3． 3.（25-26六年级下·上海·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将原方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合已知建立关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ， ， 解得：． 4．（25-26六年级下·上海·期末预测）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】根据相反数的定义，可得，即，先将代入第一个方程求出与的值，再代入第二个方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解，互为相反数， ，即， 将代入方程得，， 解得， ∴ ， 把，代入方程，得， 化简得， ， 解得． 5.（24-25六年级下·上海闵行·期末）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26六年级下·上海·期中）如图，现有五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为___________．（填字母） 【答案】B 和 C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据判断是否为二元一次方程解的方法，即可求解． 【详解】解：A卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则不是的解； B卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则是的解； C卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则是的解； D卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则不是的解； E卡片：将代入方程左边，右边， 左边右边，则不是的解； 综上可知：是B卡片上的方程和C卡片上的方程的解，即是二元一次方程组的解． 2．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程的定义 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， 且， ，， ． 故答案为：． 3.（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解． (1)分别用含的式子表示； (2)求的值和方程组的解． 【答案】(1) (2)， 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由同解方程的定义可求的值，再求方程组的解即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， 将代入①得，， 方程组的解为； （2）二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ， ， 方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 4.（25-26六年级下·上海·期末）已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 5.（25-26六年级下·上海·期末复习）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 6．（25-26六年级下·上海·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解、加减消元法 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 7．（25-26六年级下·上海·阶段测试）阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得 (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组 (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，解方程组 (3)对于有理数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）模仿材料的换元法，设 ，解新方程组后回代得到原方程组的解； （2）将待解方程组变形，对应已知方程组的解做整体换元求解； （3）根据新定义列出等式，通过整体计算得到所求值． 【详解】（1）解：对于方程组 令 则原方程组可化为 整理得 解得 因此 解得 （2）解：已知方程组的解为 将两边同时除以，得 因此 解得 （3）解：由新运算定义和已知条件，得 要求 得 得 整理得即 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $