专题06 二元一次方程组的实际应用问题（期末复习讲义）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题06 二元一次方程组的实际应用问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 行程问题（相遇、追及、环形） 题型02 工程问题 题型03 配套问题以及分配问题 题型04 数字问题 题型05 几何图形问题（二元一次方程组） 题型06 销售利润问题 题型07 古代古文问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 行程问题（相遇、追及） 能利用路程=速度×时间关系，通过列表分析，设未知数列方程组解决相遇、追及问题 高频应用题，常与二元一次方程组结合。易错点：单位不统一、相向与同向混淆 工程问题 能利用工作量=工作效率×工作时间关系，设未知数列方程组，常将工作总量看成单位“1” 常见题型，注意工作效率是分数时通分易错 盈亏与配套问题 能根据“总量相等”或“配套比例”列方程组，解决分配、配套问题 经典题型，关键在于找出等量关系（如“每人分几件，余几件”“零件配套比”） 数字问题 能根据数字的表示方法（如两位数=10a+b）列方程组 常与数位、数字和、数字倒序结合，注意数位表示 图表信息类应用题 能从表格、图象中读取数据，转化为方程组求解 近年热门题型，考查信息提取与建模能力 列表法分析数量关系 能根据问题绘制表格，清晰呈现已知量、未知量和等量关系 贯穿所有应用题的通用方法，必须熟练掌握 说明：本专题核心是“审题→设元→列方程组→解→检验作答”。特别强调列表法，能有效避免漏列等量关系。 知识点01 列方程组解应用题的一般步骤 1. 审：认真审题，理解题意，找出已知量和未知量，明确问题中的等量关系。 1. 设：设两个未知数（通常用 表示），注意单位。 1. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组。 1. 解：解方程组，求出未知数的值。 1. 检：检验解是否符合实际意义（如人数为正整数、时间非负等）。 1. 答：写出答案（包括单位）。 ·核心思想：用方程（组）表示实际问题中的等量关系，将实际问题转化为数学问题。  知识点02 列表法分析数量关系 列表法是解决复杂应用题的有力工具，尤其适用于涉及多个对象、多个量的题目。通过表格可以清晰呈现各量之间的关系，便于找等量关系。 步骤： 1. 确定表格的行和列（通常行表示不同对象，列表示不同量）。 2. 将已知数据填入表格，未知量用字母表示。 3. 根据表格中的数据关系（如和差倍分、乘积关系）列出方程。 ·示例（行程问题）： 对象 速度（km/h） 时间（h） 路程（km） 甲 乙 ·易错点：相遇时路程和 = 总距离；追及时路程差 = 初始距离。 知识点03 各类问题的基本等量关系 1．行程问题 基本公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：甲路程 - 乙路程 = 初始距离（同向出发） 环形跑道：同向追及时，快者路程 - 慢者路程 = 一圈长；反向相遇时，两人路程和 = 一圈长 2．工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 常将总工作量看成1，则工作效率 = 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量 3．盈亏与配套问题 盈亏问题（如分物品）：每人分 件多 件，每人分 件少 件 → 总物品数 = 人数× + = 人数× - 配套问题（如螺栓螺母）：螺栓数量 : 螺母数量 = 1 : 2 → 2×螺栓数 = 螺母数 4．数字问题 两位数：（ 为十位数字， 为个位数字） 三位数： 等量关系：数字和、数字倒序、倍数关系等 5．图表信息问题 从表格、条形图、折线图中读取数据，找出对应关系，转化为方程组。 注意图表的单位、图例、坐标轴含义。 题型一 行程问题（相遇、追及、环形） 解｜题｜技｜巧 列表模板： 对象 速度 时间 路程 甲 乙 相遇问题：（同时出发则 ） 追及问题：（同时出发则 ） 易｜错｜点｜拨 单位统一（如 km/h 与 h 匹配，m/min 与 min 匹配） 注意出发时间是否相同，若不同则时间要分开设 环形问题分清是同向还是反向 【典例1】（24-25六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为，根据“车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时”列方程组求解即可． 【详解】解：设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为， 根据题意，得， 化简得， 两式相加，得， ∴， 即甲乙两地的公路长， 故选：B． 【典例2】（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【答案】小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键． 设小敏步行所用的时间分别为小时，乘坐观光车所用的时间为小时，根据小敏步行时的平均速度是每小时 4 千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时 12 千米，列出方程组，即可得到结论． 【详解】解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时， 根据题意得， 解得， 答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时． 【典例3】（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末预测）甲、乙两人骑车分别从相距40千米的两地相向而行，如果甲、乙同时出发，那么在出发后1.6小时两人相遇：如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后1小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各骑行多少千米？ 【答案】甲每小时行驶10千米，乙每小时骑行15千米 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设甲每小时行驶千米，乙每小时骑行千米，根据“如果甲、乙同时出发，那么在出发后1.6小时两人相遇：如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后1小时两人相遇”可列方程求解． 【详解】解：设甲每小时行驶千米，乙每小时骑行千米，依题意得： ， 解得：， 答：甲每小时行驶10千米，乙每小时骑行15千米． 【变式2】（24-25六年级下·上海徐汇·阶段检测）甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【答案】甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时，根据相遇时甲车比乙车多行18千米，甲车小时行完全程，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时， 由题意可得：， 解得：， ∴甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知速度，时间和路程的关系． 【变式3】（25-26六年级·上海·期末预测）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 题型二 工程问题 解｜题｜技｜巧 常用设元：设甲工作效率为 ，乙工作效率为 （常将总工作量看作1，则 ） 等量关系：甲做量 + 乙做量 = 总工作量（通常为1） 易｜错｜点｜拨 工作效率是分数时，通分计算要仔细 注意工作时间和工作效率要匹配（如甲先做几天，再合作几天） 【典例1】（24-25六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 【典例2】（24-25六年级·上海·期末）甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 【变式1】（24-25六年级下·上海金山·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 题型三 配套问题、分配问题 解｜题｜技｜巧 盈亏问题：设人数为 ，物品数为 ，根据“每人分a件多m件”得；根据“每人分b件少n件”得 。 配套问题：设生产某零件的工人数为 ，另一零件工人数为 ，根据配套比例列方程，如 。 易｜错｜点｜拨 注意“多”和“少”的翻译：多m件是 ，少n件是 ，不要写反 配套比例要正确，如一个螺栓配两个螺母，则螺母数 = 2×螺栓数 【典例1】（24-25六年级下·上海·阶段检测）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 【典例2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系是关键． （1）设生产竖式纸盒个，横式纸盒个，根据一个竖式纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，一个横式纸盒需要3个长方形纸板，2个正方形纸板，根据纸板刚好用完结合长方形和正方形的纸板数列出方程组求解即可； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由1个竖式纸盒与2个横式纸盒需要正方形纸板5个，长方形纸板10个，由此列出方程解答即可； （3）分析题意需分类讨论，①如果剩余两张正方形纸板；②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板；③如果剩余两张长方形纸板，再结合（1）中的方法分析即可解答． 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 【典例3】（24-25六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 【答案】(1)每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车 (2)该汽车的续航里程为400千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，再列方程组解题即可； （2）设该汽车的续航里程为千米．根据“充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米”可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车 根据题意，可得， 解得： ， 答：每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车． （2）设该汽车的续航里程为千米． 根据题意，可得， 解得： ， 答：该汽车的续航里程为400千米． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键． 【变式1】（2026六年级下·上海金山·期末）学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工每天能装配双人课桌4张或者单人椅10只．一张双人课桌与两只单人椅配为一套．问几人装配双人课桌、几人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套？ 【答案】5人装配双人课桌、4人装配单人椅 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设x个人装配课桌，y个人装配椅子，才能使每天装配的课桌椅配套，由题意得：，解方程组即可． 【详解】解：设x个人装配课桌，y个人装配椅子，才能使每天装配的课桌椅配套， 由题意得：， 解得：， 答：5人装配双人课桌、4人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程组． 【变式2】（24-25六年级下·上海青浦·期末）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 【变式3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【答案】饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶， 根据题意得：， 解得：， 答：饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶． 题型四 数字问题 解｜题｜技｜巧 1. 数字表示：两位数 （ 十位， 个位），三位数 1. 常见等量关系：数字和、数字倒序、倍数等。 易｜错｜点｜拨 数位上的数字是0~9的整数，且首位不能为0 倒序数与原数的关系要写对（如原数 ，倒序 ） 【典例1】（24-25六年级·上海·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 【典例2】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 【答案】14 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设右上角上的数为m，中间数为n，右下角上的数为b，根据，求出，根据，求出，根据，得出，根据，求出，最后代入求出结果即可． 【详解】解：设右上角上的数为m，中间数为n，右下角上的数为b，如图所示： x 21 m 5 n 20 y b 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【典例3】（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 【答案】5和7/7或5 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 【变式1】（24-25六年级下·上海·阶段检测）一个比例，第一项与第二项的比值为，且两个外项之和为37，差为13，则该比例为______． 【答案】或 【知识点】 比例的基本性质、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了比例的基本性质和二元一次方程组，比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，先根据两个外项之和与差求出两个外项的值，再结合第一项与第二项的比值求出比例的四项，即可作答． 【详解】解：设两个外项分别为a和， ∵两个外项之和为37，差为13， ∴， ∴， 解得， 则， ∴， ∴两个外项分别为25和12， ∵第一项与第二项的比值为， ∴第二项为或 ∴或 即该比例为或 故答案为：或 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是 _____． 【答案】42 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【详解】解：设较大的数为x，较小的数为y， 由题意得：， 解得：， ∴xy＝14×3＝42， 故答案为：42． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36，如图 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 【变式4】（24-25六年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 题型五 几何图形问题（二元一次方程组） 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 审图：明确图形形状、已知条件（周长、面积、边长差等）。 1. 设未知数：通常设两个关键量（如长、宽；底、高）。 1. 列方程组：利用几何公式和已知条件列出两个方程。 1. 解方程组：选择合适的消元法。 1. 检验：解是否符合几何意义（边长正数，符合三角形三边关系等）。 1. 作答。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 混淆周长与面积公式 长方形周长 ，面积 ，不要记混 单位不统一 若边长单位不同（cm与m），先统一单位 忽略几何约束（如三角形两边之和大于第三边） 解出边长后验证是否能构成三角形 设未知数时没有明确表示几何量 如设长为 ，宽为 ，不要设成 后忘记含义 【典例1】（25-26六年级下·上海静安·期中）如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】通过设形状大小相同的长方形的长宽为，，观察图形找等量关系列二元一次方程组即可解出答案． 【详解】解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为，． 由题意可得：， 解得． 所以长方形的宽为：， 长方形的面积为：， 六个形状大小相同的长方形的面积和为：， 阴影部分的面积是：． 【典例2】（24-25六年级下·上海·阶段测试）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程． 首先设长方形的长为，宽为，由图形得等量关系：①1个长+3个宽；②2个宽个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得， ∴阴影部分的面积为：， 故选：B． 【典例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，长方形是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，则小正方形的边长是______． 【答案】15 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设，则，，再根据，建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设， 则，， 由题意得：，即， 解得， 所以小正方形的边长是， 故答案为：15． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 【变式2】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设桌子的高度为，长方体的长为，宽为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出二元一次方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长为，宽为， 根据题意得：， 得：， ∴桌子的高度为 故答案为：． 题型六 销售利润问题 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 分清量：明确进价、售价、利润、利润率、数量。 1. 设未知数：通常设两个未知量（如两种商品的进价或数量）。 1. 列方程组：根据总利润、总销售额、或利润率关系列式。 1. 解方程组。 1. 检验：结果是否合理（利润为正，数量为正整数等）。 1. 作答。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 混淆“利润率”与“利润” 利润率是利润占进价的百分比，利润是实际钱数 忽视打折 打折后售价 = 原价 × 折扣率，折扣率如八折=0.8 单位不一致（如万元与元） 统一单位后列方程 总利润错算 总利润 = 单件利润×数量，不是售价×数量 【典例1】（24-25六年级下·上海·期末）原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需______元． 【答案】45 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元，根据题意建立方程组，解方程组可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元， 由题意得：， 整理得：， 解得， 则， 即原购买1件甲商品和1件乙商品共需45元， 故答案为：45． 【典例2】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）某同学在两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元． (1)这种复读机和书包的单价各是多少元？ (2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：超市所有商品打八折销售，超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？ 【答案】(1)复读机单价是360元，书包单价是92元 (2)都能买下这两样物品，在A超市购买更省钱 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的复读机单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 【详解】（1）解：设复读机单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：复读机单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B先买下复读机，可得， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 【变式1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，根据买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买型机器人台，型机器人台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 【变式2】（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 【答案】(1)甲商品的单价为元，乙商品的单价为元； (2)此时的盈利率为． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． （1）设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元，根据信息1和信息2中的等量关系，列方程组，求解即可； （2）根据题意，可得乙商品的售价，从而可得乙商品的利润，代入盈利率公式计算即可． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元， 根据题意可得，， 解得，， 答：甲商品的单价为元，乙商品的单价为元． （2）解：设盈利率为， 根据题意可得，， 解得，， 答：此时的盈利率为． 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)A、B两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元 (2)这些头盔全部售出，该店共可获利元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元，由此列式求解即可； （2）设购进A种头盔个，则购进B种头盔个，由此列式得到购进A种头盔个，则购进B种头盔个，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元， ∴， 解得，， ∴A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元； （2）解：设购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∴， 解得，， ∴购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∵销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元， ∴（元）， ∴这些头盔全部售出，该店共可获利元． 题型七 古代古文问题 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 翻译：将古文叙述转化为现代数学语言，明确已知量和未知量。 1. 设未知数：通常设未知量（如牛价 ，马价 ）。 1. 列方程组：根据古文中的等量关系列出方程。 1. 解方程组。 1. 检验：是否符合题意（价格为正数，分数可接受）。 1. 作答（可用现代货币单位表示）。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 古文理解偏差 逐字逐句翻译，必要时参考注释，特别注意“盈”“不足”“相与”等词 单位混淆（古代与现代） 最终答案按题目要求单位，可换算成现代单位或保留原单位 遗漏条件 古文往往语言精炼，需反复读题，找出所有隐含等量关系 【典例1】（2026六年级下·上海·专题练习）《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】结合绳子折成三等份、四等份时与井深的数量关系，找出两个等量关系来列方程组即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺， ∵将绳子折成三等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多4尺， ∴， ∵将绳子折成四等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多1尺， ∴， ∴可列方程组为． 【典例2】（25-26六年级上·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式． 【详解】解：设共有人，辆车． 对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数； 对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即， 所以，故①正确，②错误． “每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数， 所以，故③正确，④错误． 综上，符合题意的是①③， 故选：A． 【典例3】（25-26六年级·上海·期末预测）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“每棵树上有3只乌鸦，5只落在地上”，可得等量关系：乌鸦总数树的总数，即．根据“每棵树上有5只乌鸦，有一棵树上没有乌鸦”，可得等量关系：乌鸦总数树的总数，即，即可得解． 【详解】解：可列方程组为． 【变式1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 【答案】、 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 【变式2】（2025·上海普陀·期末）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25六年级下·上海闵行·期末）某眼镜厂有工人25人，每人每天平均生产镜架72个或镜片96片，为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，安排人生产镜架，人生产镜片．根据题意，可列方程组为__________． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 设名工人生产镜架，名工人生产镜片，可得，又根据2个镜片和1个镜架恰好配一套，列方程即可． 【详解】解：设名工人生产镜架，名工人生产镜片， 根据题意得：， 故答案为：． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．若要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排天生产桌子，天生产椅子，根据题意可列方程组为________ 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排天生产桌子，天生产椅子，根据 1 张桌子配 4 把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的 4 倍可列方程组． 【详解】解：设安排天生产桌子，天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故答案为：． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问人数和物品的价格各是多少？如果设有人，物品的价格是元，那么根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意，分别列出每人出8钱和7钱时的方程，联立方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价格为y钱： 当每人出8钱时，总钱数为，剩余3钱，故物价y比少3，即； 当每人出7钱时，总钱数为，不足4钱，故物价y比多4，即， 联立方程组得：． 故选：A． 4．（24-25六年级下·上海·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 5.（25-26六年级·上海·期末预测）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 6.（24-25六年级下·上海闵行·期末）乐乐五月份在一家超市买了袋面包和瓶牛奶，共花了元，六月份超市打折促销，面包打七折，一瓶牛奶的价格比五月份降低了，如果乐乐六月份以元的价格购买了袋面包和瓶牛奶，求五月份一个面包和一瓶牛奶的价格． 【答案】五月份一个面包的价格为元/袋，牛奶元/瓶 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设五月份一个面包的价格为元/袋，牛奶元/瓶，根据题意得， ， 解得：； 答：五月份一个面包的价格为元/袋，牛奶元/瓶． 7．（24-25六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 【答案】该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是明白列方程的依据：第一次邮购费用第二次邮购费用总邮购费用． 设第一次邮购册，则费用为；则第二次邮购册，费用为；根据总费用为960元及共购200册可得出方程组，解出即可． 【详解】解：设该单位第一次邮购册，第二次邮购册， 由题意得：， 解得：． 答：该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（25-26六年级下·上海静安·期中）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：今有黄金八枚，白银一十三枚，称之重，适等．交易其一，金轻九两．问金、银一枚各重几何？大意是说：八枚黄金与十三枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻九两，问：每枚黄金、白银重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则所列方程组为__________． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组，根据题目给出的两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：八枚黄金与十三枚白银重量相等，得 ， 互换一枚，黄金重： ， 白银重： ， 互换一枚，黄金比白银轻 9 两，得 ， 方程组为 ． 2.（24-25六年级下·上海普陀·期末）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是______． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系列式是关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为， 乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50， ∴， 甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50， ∴， ∴列出方程组是， 故答案为： ． 3.（24-26六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 4．（25-26六年级下·上海·期末预测）一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是_________． 【答案】58 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x+y=58． 故答案为：58． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5.（24-25六年级下·上海·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【答案】(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨 (2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键． （1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可； （2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得 ，解得， 答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨． （2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得 ， 整理，得， ∵m，n为正整数， ∴或， ∴学校共有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆； ②租用A型车2辆，B型车6辆． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26六年级·上海·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 2．（24-25六年级下·上海·阶段检测）若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 【答案】4 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解问题．设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则，再利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则 ， 整理得：， ∵都是正整数且都小于或等于9， ∴，，，， ∴符合条件的两位数有4个． 故答案为：4． 3.（24-25六年级下·上海·期末预测）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 4.（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．            素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 【答案】（1）该商场购进款、款足球的单价分别为元和元（2）方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个；方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个；方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键； （1）设该商场购进款、款足球的单价分别为元和元，根据购进20个款足球和40个款足球共需4400元；购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元，列出方程组进行求解即可； （2）设5月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“总进货款为4800元，买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，赋值即可得出结论． 【详解】解：（1）设该商场购进款、款足球的单价分别为元和元，由题意，得： ， 解得：， 答：该商场购进款、款足球的单价分别为元和元； （2）设5月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球， ∵5月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进款足球个． 根据题意，得， 化简，得． ∴， ∵A、两款足球都需要购买，、均为正整数， ∴解得，，． 答：方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个； 方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个； 方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 5.（24-25六年级下·上海·专题练习）“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元 (2)购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及销售问题，熟练的根据题意列出方程并掌握二元一次方程组的解法是解题的关键， （1）设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，列出二元一次方程，求其正整数解，再分别计算出各种方案下的利润，即可得出答案． 【详解】（1）解：设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元， 根据题意，得 解得 答：两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元． （2）解：设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，得， 其正整数解为或或 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）． 因为， 所以当时，利润最大． 答：为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台． 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 【答案】(1)家长有9名，学生有7名 (2)132元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）设小海团队家长有x名，学生有y名，根据小海团队共16人，以及小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元，列出方程组进行求解即可； （2）求出退票需扣除的费用，再求出团队购票所需的总费用，用1000减去退费扣除的费用，以及团队购票费用，即可得出结果． 【详解】（1）解：设小海团队家长有x名，学生有y名， 由题得： 解得：， 答：小海团队家长有9名，学生有7名 （2）小海团队与乐乐团队合并后总人数为（人），满足20人及以上的团体票条件， 因此小海团队的16人可按团体票价购买， （元）， （元）， （元）． 答：重新购票后能节省132元． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二元一次方程组的实际应用问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 行程问题（相遇、追及、环形） 题型02 工程问题 题型03 配套问题以及分配问题 题型04 数字问题 题型05 几何图形问题（二元一次方程组） 题型06 销售利润问题 题型07 古代古文问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 行程问题（相遇、追及） 能利用路程=速度×时间关系，通过列表分析，设未知数列方程组解决相遇、追及问题 高频应用题，常与二元一次方程组结合。易错点：单位不统一、相向与同向混淆 工程问题 能利用工作量=工作效率×工作时间关系，设未知数列方程组，常将工作总量看成单位“1” 常见题型，注意工作效率是分数时通分易错 盈亏与配套问题 能根据“总量相等”或“配套比例”列方程组，解决分配、配套问题 经典题型，关键在于找出等量关系（如“每人分几件，余几件”“零件配套比”） 数字问题 能根据数字的表示方法（如两位数=10a+b）列方程组 常与数位、数字和、数字倒序结合，注意数位表示 图表信息类应用题 能从表格、图象中读取数据，转化为方程组求解 近年热门题型，考查信息提取与建模能力 列表法分析数量关系 能根据问题绘制表格，清晰呈现已知量、未知量和等量关系 贯穿所有应用题的通用方法，必须熟练掌握 说明：本专题核心是“审题→设元→列方程组→解→检验作答”。特别强调列表法，能有效避免漏列等量关系。 知识点01 列方程组解应用题的一般步骤 1. 审：认真审题，理解题意，找出已知量和未知量，明确问题中的等量关系。 1. 设：设两个未知数（通常用 表示），注意单位。 1. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组。 1. 解：解方程组，求出未知数的值。 1. 检：检验解是否符合实际意义（如人数为正整数、时间非负等）。 1. 答：写出答案（包括单位）。 ·核心思想：用方程（组）表示实际问题中的等量关系，将实际问题转化为数学问题。  知识点02 列表法分析数量关系 列表法是解决复杂应用题的有力工具，尤其适用于涉及多个对象、多个量的题目。通过表格可以清晰呈现各量之间的关系，便于找等量关系。 步骤： 1. 确定表格的行和列（通常行表示不同对象，列表示不同量）。 2. 将已知数据填入表格，未知量用字母表示。 3. 根据表格中的数据关系（如和差倍分、乘积关系）列出方程。 ·示例（行程问题）： 对象 速度（km/h） 时间（h） 路程（km） 甲 乙 ·易错点：相遇时路程和 = 总距离；追及时路程差 = 初始距离。 知识点03 各类问题的基本等量关系 1．行程问题 基本公式：路程 = 速度 × 时间 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：甲路程 - 乙路程 = 初始距离（同向出发） 环形跑道：同向追及时，快者路程 - 慢者路程 = 一圈长；反向相遇时，两人路程和 = 一圈长 2．工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 常将总工作量看成1，则工作效率 = 合作问题：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量 3．盈亏与配套问题 盈亏问题（如分物品）：每人分 件多 件，每人分 件少 件 → 总物品数 = 人数× + = 人数× - 配套问题（如螺栓螺母）：螺栓数量 : 螺母数量 = 1 : 2 → 2×螺栓数 = 螺母数 4．数字问题 两位数：（ 为十位数字， 为个位数字） 三位数： 等量关系：数字和、数字倒序、倍数关系等 5．图表信息问题 从表格、条形图、折线图中读取数据，找出对应关系，转化为方程组。 注意图表的单位、图例、坐标轴含义。 题型一 行程问题（相遇、追及、环形） 解｜题｜技｜巧 列表模板： 对象 速度 时间 路程 甲 乙 相遇问题：（同时出发则 ） 追及问题：（同时出发则 ） 易｜错｜点｜拨 单位统一（如 km/h 与 h 匹配，m/min 与 min 匹配） 注意出发时间是否相同，若不同则时间要分开设 环形问题分清是同向还是反向 【典例1】（24-25六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【典例3】（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末预测）甲、乙两人骑车分别从相距40千米的两地相向而行，如果甲、乙同时出发，那么在出发后1.6小时两人相遇：如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后1小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各骑行多少千米？ 【变式2】（24-25六年级下·上海徐汇·阶段检测）甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【变式3】（25-26六年级·上海·期末预测）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 题型二 工程问题 解｜题｜技｜巧 常用设元：设甲工作效率为 ，乙工作效率为 （常将总工作量看作1，则 ） 等量关系：甲做量 + 乙做量 = 总工作量（通常为1） 易｜错｜点｜拨 工作效率是分数时，通分计算要仔细 注意工作时间和工作效率要匹配（如甲先做几天，再合作几天） 【典例1】（24-25六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【典例2】（24-25六年级·上海·期末）甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【变式1】（24-25六年级下·上海金山·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 【变式3】（24-25六年级下·上海·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 题型三 配套问题、分配问题 解｜题｜技｜巧 盈亏问题：设人数为 ，物品数为 ，根据“每人分a件多m件”得；根据“每人分b件少n件”得 。 配套问题：设生产某零件的工人数为 ，另一零件工人数为 ，根据配套比例列方程，如 。 易｜错｜点｜拨 注意“多”和“少”的翻译：多m件是 ，少n件是 ，不要写反 配套比例要正确，如一个螺栓配两个螺母，则螺母数 = 2×螺栓数 【典例1】（24-25六年级下·上海·阶段检测）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【典例3】（24-25六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 【变式1】（2026六年级下·上海金山·期末）学生课桌装配车间共有木工9人，每个木工每天能装配双人课桌4张或者单人椅10只．一张双人课桌与两只单人椅配为一套．问几人装配双人课桌、几人装配单人椅才能使每天装配的课桌椅配套？ 【变式2】（24-25六年级下·上海青浦·期末）某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【变式3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 题型四 数字问题 解｜题｜技｜巧 1. 数字表示：两位数 （ 十位， 个位），三位数 1. 常见等量关系：数字和、数字倒序、倍数等。 易｜错｜点｜拨 数位上的数字是0~9的整数，且首位不能为0 倒序数与原数的关系要写对（如原数 ，倒序 ） 【典例1】（24-25六年级·上海·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【典例2】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 【典例3】（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 【变式1】（24-25六年级下·上海·阶段检测）一个比例，第一项与第二项的比值为，且两个外项之和为37，差为13，则该比例为______． 【变式2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是 _____． 【变式3】（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【变式4】（24-25六年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 题型五 几何图形问题（二元一次方程组） 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 审图：明确图形形状、已知条件（周长、面积、边长差等）。 1. 设未知数：通常设两个关键量（如长、宽；底、高）。 1. 列方程组：利用几何公式和已知条件列出两个方程。 1. 解方程组：选择合适的消元法。 1. 检验：解是否符合几何意义（边长正数，符合三角形三边关系等）。 1. 作答。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 混淆周长与面积公式 长方形周长 ，面积 ，不要记混 单位不统一 若边长单位不同（cm与m），先统一单位 忽略几何约束（如三角形两边之和大于第三边） 解出边长后验证是否能构成三角形 设未知数时没有明确表示几何量 如设长为 ，宽为 ，不要设成 后忘记含义 【典例1】（25-26六年级下·上海静安·期中）如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25六年级下·上海·阶段测试）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 【典例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，长方形是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，则小正方形的边长是______． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【变式2】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 题型六 销售利润问题 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 分清量：明确进价、售价、利润、利润率、数量。 1. 设未知数：通常设两个未知量（如两种商品的进价或数量）。 1. 列方程组：根据总利润、总销售额、或利润率关系列式。 1. 解方程组。 1. 检验：结果是否合理（利润为正，数量为正整数等）。 1. 作答。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 混淆“利润率”与“利润” 利润率是利润占进价的百分比，利润是实际钱数 忽视打折 打折后售价 = 原价 × 折扣率，折扣率如八折=0.8 单位不一致（如万元与元） 统一单位后列方程 总利润错算 总利润 = 单件利润×数量，不是售价×数量 【典例1】（24-25六年级下·上海·期末）原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需______元． 【典例2】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）某同学在两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元． (1)这种复读机和书包的单价各是多少元？ (2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：超市所有商品打八折销售，超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？ 【变式1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【变式2】（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)A、B两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？ 题型七 古代古文问题 解｜题｜步｜骤（以加减消元法为例） 1. 翻译：将古文叙述转化为现代数学语言，明确已知量和未知量。 1. 设未知数：通常设未知量（如牛价 ，马价 ）。 1. 列方程组：根据古文中的等量关系列出方程。 1. 解方程组。 1. 检验：是否符合题意（价格为正数，分数可接受）。 1. 作答（可用现代货币单位表示）。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 古文理解偏差 逐字逐句翻译，必要时参考注释，特别注意“盈”“不足”“相与”等词 单位混淆（古代与现代） 最终答案按题目要求单位，可换算成现代单位或保留原单位 遗漏条件 古文往往语言精炼，需反复读题，找出所有隐含等量关系 【典例1】（2026六年级下·上海·专题练习）《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26六年级上·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【典例3】（25-26六年级·上海·期末预测）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思是说，有一群乌鸦到树林休息，如果每棵树上有3只乌鸦，则有5只落在地上；如果每棵树上有5只乌鸦，则有一棵树上没有乌鸦．设共有只乌鸦，棵树，则可列方程组为___________． 【变式1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 【变式2】（2025·上海普陀·期末）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25六年级下·上海闵行·期末）某眼镜厂有工人25人，每人每天平均生产镜架72个或镜片96片，为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，安排人生产镜架，人生产镜片．根据题意，可列方程组为__________． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．若要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排天生产桌子，天生产椅子，根据题意可列方程组为________ 3．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问人数和物品的价格各是多少？如果设有人，物品的价格是元，那么根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海·期末）一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 5.（25-26六年级·上海·期末预测）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 6.（24-25六年级下·上海闵行·期末）乐乐五月份在一家超市买了袋面包和瓶牛奶，共花了元，六月份超市打折促销，面包打七折，一瓶牛奶的价格比五月份降低了，如果乐乐六月份以元的价格购买了袋面包和瓶牛奶，求五月份一个面包和一瓶牛奶的价格． 7．（24-25六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1. （25-26六年级下·上海静安·期中）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：今有黄金八枚，白银一十三枚，称之重，适等．交易其一，金轻九两．问金、银一枚各重几何？大意是说：八枚黄金与十三枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻九两，问：每枚黄金、白银重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则所列方程组为__________． 2.（24-25六年级下·上海普陀·期末）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是______． 3.（24-26六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 4．（25-26六年级下·上海·期末预测）一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是_________． 5.（24-25六年级下·上海·期末）某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ (2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案； 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（25-26六年级·上海·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 2．（24-25六年级下·上海·阶段检测）若一个两位数等于它的个位数字和十位数字的和的4倍，则这样的两位数有_____个． 3.（24-25六年级下·上海·期末预测）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    4.（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．            素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 5.（24-25六年级下·上海·专题练习）“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 3 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $