期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用复习讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用复习讲义 期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用复习讲义 考点目录 机械能守恒定律在杆连接系统的应用 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 考点一 机械能守恒定律在杆连接系统 【知识点解析】 核心知识点 1. 刚性杆不可形变，系统内力（杆的弹力）做功代数和为0，整体机械能守恒。 1. 速度关系：同轴转动角速度相等；两物体沿杆方向分速度大小相等。 1. 适用条件：只有重力、杆的弹力做功，无摩擦、无其他外力做功。 解题思路 1. 确定系统：将杆与所有相连物体看作一个整体。 1. 判定守恒：检查是否只有重力、杆的弹力做功，确认系统机械能守恒。 1. 找速度关联：根据杆的约束，推导各物体速度关系式（关键步骤）。 1. 选取零势能面，分别写出系统初、末态的总动能、总重力势能。 1. 列机械能守恒方程，联立速度关系求解速度、高度、位移等未知量。 1. 多状态/动态问题，分段选取初末状态逐一分析。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）如图所示，长为3L的轻杆两端分别固定有质量均为m的小铁球1和2，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴。初状态轻杆恰好在水平位置，静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，当杆到达竖直位置时，求： (1)球1的速度大小v1和球2的速度大小，以及在此过程中，轻杆对球1做的功W₁ (2)水平转动轴对轻杆的作用力F的大小。 例2．（24-25高二下·陕西西安·期末）抛石机是一种攻守城垒的武器。为了方便研究，将其简化为图示的物理模型，轻杆左端装上质量为m的石头A，右端固定有重物B，轻杆可绕水平转轴O自由转动。初始时刻轻杆与水平地面的夹角为30°，A、B到O的距离分别为6L、L。系统无初速度释放，当轻杆运动到竖直时轻杆对A的支持力大小为，A，B均可视为质点，不计转轴摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)当轻杆运动到竖直时，求石头A的速度大小vA； (2)求重物B的质量M。 例3．（24-25高一下·河北邯郸·期末）如图所示，轨道中部分竖直且光滑，部分为粗糙水平面，部分是半径为的四分之一光滑圆弧，其中、均与相切。质量均为的滑块M、N（可视为质点）通过铰链固定在长为的轻杆两端，开始时滑块N恰好位于点。现由静止释放两滑块使其沿轨道下滑，已知滑块光滑，滑块粗糙，滑块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为。求： (1)滑块停止运动时距点的距离； (2)滑块运动到点时的速度大小； (3)滑块由释放至运动到点的过程中，轻杆对其做的功。 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·重庆·期末）如图所示，一轻直杆可绕与其垂直的固定光滑转轴O在竖直平面内转动，杆的A、B两端点各固定一可视为质点的小球P、Q。小球P、Q的质量分别为m、2m，长度，。现将该轻直杆从图示水平位置由静止释放，当杆转过时，P、Q两球恰好同时脱离杆，脱离瞬间两小球的速度不变，脱离后立即移走杆和转轴。已知重力加速度为g，，，不计空气阻力。 (1)求杆从静止释放到转过时，P、Q两球各自的重力势能变化量； (2)求P、Q两球刚脱离杆时各自的速度大小； (3)从P、Q两球刚脱离杆时开始计时，经过时间，小球Q恰好第一次落到水平地面上。求转轴O距地面的高度，以及小球Q第一次落地时P、Q两球之间的距离。 变式2．（24-25高一下·山东威海·期中）一质量不计的直角形支架两端分别连接小球A和B，两球的质量均为。支架的两直角边长度分别为和，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)A运动至最低点时，两球的速率； (2)从释放到A运动至最低点，支架对B做的功； (3)B能上升的最大高度。 变式3．（24-25高一下·江苏苏州·期末）长为l的轻杆一端连接质量为m的小球，另一端可绕O点自由转动．如图甲所示，自由下垂的小球某时刻获得一初速度，恰好可以运动到最高点，忽略空气阻力，重力加速度为g． (1)求小球的初速度大小v0； (2)当小球运动到最左端位置P时，求杆对小球的拉力大小F； (3)如图乙所示，杆竖直时小球靠着各表面都光滑的正方体木块，在微小扰动下细杆倒向木块，当杆与竖直方向夹角为60°时小球与木块恰好分离，求木块的质量M。 考点二 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 【知识点解析】 核心知识点 1. 轻绳不可伸长，绳的弹力为内力，做功总和为0，系统机械能守恒。 1. 速度关系：相连物体沿绳方向的分速度大小相等。 1. 常见模型：滑轮组、倾斜绳牵连、竖直绳提拉物体。 1. 适用条件：只有重力、绳的弹力做功，忽略空气阻力与摩擦。 解题思路 1. 划定研究系统：以绳连接的全部物体为整体。 1. 判断守恒条件，排除摩擦、外力做功等影响。 1. 分解速度：将物体实际速度拆为沿绳、垂直绳分量，利用沿绳分速度相等，建立速度方程。 1. 分析初、末位置，写出各物体动能与重力势能。 1. 联立机械能守恒方程与速度关系式计算。 1. 注意：物体往返、落地、绳松弛等临界状态，状态改变后重新分析。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。当绳与水平方向的夹角为θ时，C的下落速度。与下方质量为2m的静止桩D碰撞，碰撞后C的速度为零，D以竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。D在运动过程中受到的阻力，x为D向下移动的距离，A、B、C、D均可视为质点。 (1)求C的质量； (2)求C、D碰前瞬间A的速度大小（用和θ表示）和D所受阻力F的最大值； (3)撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。 例2．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）如图1所示，小球B和物块C质量均为m，B、C由一劲度系数的轻质弹簧连接，静止竖直立于水平桌面上。如图2所示，某同学设计了一个把C提离桌面的小实验，把轻绳一端与B球连接，另一端穿过一竖直光滑的细管后与质量也为m的小球A相连，用手托住A球，使绳子自然伸直，此时绳子无张力，OA长为l。现保持细管顶端O点高度不变，轻轻摇动细管，让小球A转动一段时间后，物块C刚好被提离桌面，此时A在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示。求： (1)从实验开始到物块C刚好被提离桌面的过程中，B球上升的高度； (2)物块C刚好被提离桌面时，小球A的线速度大小； (3)从开始摇动细管到物块C刚好被提离桌面的过程中，手所做的功。 例3．（24-25高一下·重庆渝中·期中）如图所示，倾角为30°的光滑斜面体固定在水平面上，一半径的光滑半圆形轨道与水平面相切。一轻质动滑轮下方悬挂一质量的重物，绕过轻质动滑轮的轻绳跨过固定在斜面上的定滑轮与一质量的小球相连，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时小球和重物均处于静止状态，小球位于斜面上的A点。释放小球和重物后，小球运动到斜面上的B点时轻绳断开，小球先后进入水平面和半圆形轨道并恰好能到达圆形轨道的最高点。已知两滑轮距离足够远，B点距水平面的高度，小球进入水平面时无机械能损失，不计一切摩擦，重力加速度g取。求： (1)小球在B点时的速度大小； (2)AB的长度。 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）如图所示，倾角为30°的斜面和半径为R的半圆弧连接，圆心O在斜面的延长线上，连接点M处有一轻质定滑轮，N为圆弧最低点且，斜面的底端固定一挡板P。物块B、C间由一轻质弹簧拴接置于斜面上（弹簧平行于斜面），其中C紧靠在挡板P处，B用跨过滑轮的不可伸长的轻绳与小球A相连，开始时将小球A锁定在M处，此时轻绳与斜面平行，且恰好伸直但无张力，B、C处于静止状态。某时刻解锁小球A，当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C对挡板的作用力恰好为0。已知小球A的质量为5m，物块B、C的质量均为2m，重力加速度为g，小球与物块均可视为质点，不计一切摩擦，弹簧始终处于弹性限度内，则 (1)弹簧的劲度系数； (2)小球A到达N点时，物块B的速度大小， (3)小球A从M到N的过程中，绳子对小球A做功多少？ 变式2．（25-26高二上·四川广元·阶段检测）如图所示，倾角θ=30°的固定光滑斜面上固定着挡板，轻弹簧下端与挡板相连，弹簧处于原长时上端位于D点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑定滑轮连接物体A和B，使滑轮左侧绳子始终与斜面平行，初始时用手按住物体A，使其静止在斜面的C点，C、D两点间的距离为L，现由静止释放物体A，物体A沿斜面向下运动，将弹簧压缩到最短的位置为E点，D、E两点间距离为，若物体A、B的质量分别为4m和m，不计空气阻力，重力加速度为g，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求： (1)物体A从静止释放后下滑到D点时的速度大小； (2)弹簧被压缩后的最大弹性势能； 变式3．（24-25高一下·天津·阶段检测）如图所示，质量为m的小球甲，穿过一竖直固定的光滑杆与轻弹簧的一端连接，轻弹簧套在杆上，另一端固定在地面。质量为的小球乙用轻绳跨过光滑的小定滑轮与甲连接，O为滑轮的顶点。开始托住乙球，左侧轻绳刚好竖直伸直但无张力，甲球静止于P点，绳与水平方向夹角为。某时刻由静止释放乙球，当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与在其P点时弹簧的弹力大小相等，水平，。已知重力加速度为g，，，乙球运动过程中始终未与地面接触。求： (1)弹簧的劲度系数； (2)甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量； (3)甲球到达Q点时的速度大小； 考点三 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 【知识点解析】 核心知识点 1. 研究系统：物体+弹簧+地球，能量包含动能、重力势能、弹性势能。 1. 守恒条件：只有重力、弹簧弹力做功，三者相互转化，总机械能不变。 1. 关键状态：弹簧原长（弹性势能为0）、最大形变量（物体速度常为0）、平衡位置。 1. 性质：弹性势能仅由形变量决定，形变量相同则弹性势能相等。 解题思路 1. 确定系统，验证守恒条件（无其他力做功）。 1. 选取初、末状态，明确弹簧初、末形变量，判断弹性势能变化。 1. 依次写出初、末态总能量：动能 + 重力势能 + 弹性势能。 1. 列守恒方程求解；优先分析原长、最高点、最低点等临界位置。 1. 多物体+弹簧组合：整体分析为主，结合受力判断运动趋势与能量转化。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建福州·期末）某种装置如图所示，左端固定的轻弹簧可以锁定在不同的压缩状态，弹簧原长小于AB间距离且始终处于弹性限度内。质量的小滑块紧靠弹簧右端，滑块与弹簧不栓接，光滑水平面的右端在B点与倾角的传送带平滑连接，传送带以恒定速率顺时针转动，传送带两转轴间的距离，滑块与传送带的动摩擦因数，传送带在C点与光滑的圆弧轨道相切，圆弧轨道半径，E为圆弧最高点，D与圆心等高。当弹簧锁定后所储存的弹性势能是时，将滑块由静止释放，已知重力加速度，，。 (1)求滑块到达B点时（已与弹簧分离）的速度的大小； (2)求滑块通过传送带的过程中，因摩擦产生的热量Q； (3)为了使物块能恰好经过圆弧轨道的最高点E，求弹簧最初的弹性势能的大小。 例2．（25-26高一下·海南海口·期中）如图所示，现有一游戏装置，该装置依次由水平面、半径为的圆轨道（底端点与点前后略有错开）、水平面及与水平面夹角的足够长斜面连接而成，其中点与点在同一竖直线上且高度差。在点处用挡板固定一轻质弹簧，弹簧与小球可接触但不连接。已知：小球质量，弹簧的弹性势能可调，释放弹簧时可将小球弹出，所有轨道光滑。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)若某次游戏时弹簧的弹性势能，求小球过圆轨道最高点时轨道对小球的弹力； (2)若小球恰好能通过点，求弹簧的弹性势能的大小； (3)若小球从点水平抛出后垂直打到斜面上，求弹簧的弹性势能以及小球打到斜面上时的动能。 例3．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）某游乐场的游乐装置可简化为如图所示的竖直面内轨道BCDE，左侧为半径的光滑圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角的光滑倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为的小滑块可视为质点从空中的A点以 的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点不计经过D点时的能量损失后沿倾斜轨道向上运动至F点图中未标出，弹簧恰好压缩至最短。已知C、D之间和D、F之间距离都为1m，滑块与轨道CD间的动摩擦因数为，重力加速度，不计空气阻力。求： (1)小滑块P经过圆弧轨道上B点的速度大小； (2)小滑块P到达圆弧轨道上的C点时，受到轨道的弹力； (3)弹簧的弹性势能的最大值； (4)试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出B点的速度大小；若不能，判断滑块最后位于何处。 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北廊坊·期中）如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在点平滑相接，导轨半径为。质量为的物块将弹簧压缩至点后由静止释放，运动至点前已脱离弹簧，脱离弹簧时速度为，物块恰好能通过最高点。物块可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物块在点时对导轨的压力； (3)物块从点到点的过程中，物块克服摩擦力做的功。 变式2．（25-26高一下·吉林松原·期中）如图所示，AC为光滑的水平桌面，轻弹簧的一端固定在A端的竖直墙壁上，质量的小物块（与弹簧不连接）将弹簧的另一端压缩到B点，之后由静止释放，离开弹簧后从C点水平飞出，恰好从D点以的速度沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道DEF（小物体与轨道间无碰撞）。O为圆轨道的圆心，E为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道的半径，，。小物块运动到F点后，冲上足够长的固定斜面FG，斜面FG与圆轨道相切于F点，小物块与斜面间的动摩擦因数。，，取。不计空气阻力，求： (1)弹簧最初具有的弹性势能； (2)小物块第一次到达圆弧轨道的E点时对轨道压力的大小； (3)已知小物块沿斜面FG第一次返回圆弧轨道后不能回到圆弧轨道的D点，经过足够长的时间后，求 ①小物块通过圆弧轨道最低点的速度大小； ②小物块在斜面FG上通过的路程s。 变式3．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图所示，竖直面内光滑半圆弧轨道，圆心为，半径为，最低点与水平面平滑连接，与竖直方向夹角为。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到点，水平面上点左侧光滑，右侧粗糙。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置，由静止释放物块，物块被弹开后沿轨道能够滑到的最高点为。若物块与段间的动摩擦因数，段的长度也为，重力加速度为，物块可视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块最终停下的位置离点的距离； (3)若使物块再次压缩弹簧由静止释放后，恰好能沿轨道通过半圆弧最高点，则求弹簧这次需要被压缩的初始弹性势能大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用复习讲义 期末培优：机械能守恒定律在杆连接系统、绳连接系统、弹簧类问题的应用复习讲义 考点目录 机械能守恒定律在杆连接系统的应用 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 考点一 机械能守恒定律在杆连接系统 【知识点解析】 核心知识点 1. 刚性杆不可形变，系统内力（杆的弹力）做功代数和为0，整体机械能守恒。 1. 速度关系：同轴转动角速度相等；两物体沿杆方向分速度大小相等。 1. 适用条件：只有重力、杆的弹力做功，无摩擦、无其他外力做功。 解题思路 1. 确定系统：将杆与所有相连物体看作一个整体。 1. 判定守恒：检查是否只有重力、杆的弹力做功，确认系统机械能守恒。 1. 找速度关联：根据杆的约束，推导各物体速度关系式（关键步骤）。 1. 选取零势能面，分别写出系统初、末态的总动能、总重力势能。 1. 列机械能守恒方程，联立速度关系求解速度、高度、位移等未知量。 1. 多状态/动态问题，分段选取初末状态逐一分析。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·广东东莞·阶段检测）如图所示，长为3L的轻杆两端分别固定有质量均为m的小铁球1和2，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴。初状态轻杆恰好在水平位置，静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，当杆到达竖直位置时，求： (1)球1的速度大小v1和球2的速度大小，以及在此过程中，轻杆对球1做的功W₁ (2)水平转动轴对轻杆的作用力F的大小。 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）由系统机械能守恒，可得 且有 解得， 对球1根据动能定理 解得 （2）对球1受力分析，由牛顿第二定律可得 对球2受力分析，由牛顿第二定律可得 由牛顿第三定律，球1对轻杆作用力 球2对轻杆作用力 对轻杆分析 例2．（24-25高二下·陕西西安·期末）抛石机是一种攻守城垒的武器。为了方便研究，将其简化为图示的物理模型，轻杆左端装上质量为m的石头A，右端固定有重物B，轻杆可绕水平转轴O自由转动。初始时刻轻杆与水平地面的夹角为30°，A、B到O的距离分别为6L、L。系统无初速度释放，当轻杆运动到竖直时轻杆对A的支持力大小为，A，B均可视为质点，不计转轴摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)当轻杆运动到竖直时，求石头A的速度大小vA； (2)求重物B的质量M。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当轻杆运动到竖直时，对A根据牛顿第二定律可得， 解得 （2）根据机械能守恒定律得 根据角速度公式有 解得 例3．（24-25高一下·河北邯郸·期末）如图所示，轨道中部分竖直且光滑，部分为粗糙水平面，部分是半径为的四分之一光滑圆弧，其中、均与相切。质量均为的滑块M、N（可视为质点）通过铰链固定在长为的轻杆两端，开始时滑块N恰好位于点。现由静止释放两滑块使其沿轨道下滑，已知滑块光滑，滑块粗糙，滑块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为。求： (1)滑块停止运动时距点的距离； (2)滑块运动到点时的速度大小； (3)滑块由释放至运动到点的过程中，轻杆对其做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对滑块MN的系统由能量关系可知 解得 （2）滑块运动到点时的速度大小，滑块M与O点连线与竖直方向夹角为60°，则此时 由机械能守恒可知 解得 （3）滑块由释放至运动到点时由机械能守恒可知 对滑块M由动能定理 解得 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·重庆·期末）如图所示，一轻直杆可绕与其垂直的固定光滑转轴O在竖直平面内转动，杆的A、B两端点各固定一可视为质点的小球P、Q。小球P、Q的质量分别为m、2m，长度，。现将该轻直杆从图示水平位置由静止释放，当杆转过时，P、Q两球恰好同时脱离杆，脱离瞬间两小球的速度不变，脱离后立即移走杆和转轴。已知重力加速度为g，，，不计空气阻力。 (1)求杆从静止释放到转过时，P、Q两球各自的重力势能变化量； (2)求P、Q两球刚脱离杆时各自的速度大小； (3)从P、Q两球刚脱离杆时开始计时，经过时间，小球Q恰好第一次落到水平地面上。求转轴O距地面的高度，以及小球Q第一次落地时P、Q两球之间的距离。 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）杆转过时，小球P的重力势能变化量 小球Q的重力势能变化量（“—”号表示重力势能减少） （2）设刚脱离杆时，P、Q两球的速度大小分别为、，由分析知 对两小球组成的系统，由机械能守恒定律有 联立解得， （3）P、Q两球脱离杆后，在水平方向均做匀速直线运动，在竖直方向均做匀变速直线运动 小球Q第一次落地时在竖直方向下落的高度，解得 因此，转轴O距地面的高度，解得 从脱离杆到小球Q第一次落地的过程中： 小球Q在水平方向运动的距离，解得 小球P在水平方向运动的距离，解得 小球P在竖直方向运动的距离，解得 因此，小球Q第一次落地时： P、Q两球在水平方向的间距，解得 P、Q两球在竖直方向的间距，解得 P、Q两球之间的距离 变式2．（24-25高一下·山东威海·期中）一质量不计的直角形支架两端分别连接小球A和B，两球的质量均为。支架的两直角边长度分别为和，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)A运动至最低点时，两球的速率； (2)从释放到A运动至最低点，支架对B做的功； (3)B能上升的最大高度。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）题意易知AB角速度相同，由于，根据 可知   A运动至最低点时，对AB系统，由机械能守恒有 联立解得， （2）从释放到A运动至最低点，对B球，由动能定理有 联立解得支架对B做的功 （3）设B上升到最高点时，AB速度均为0，设B杆与水平方向的夹角为，则由机械能守恒有 因为， 联立解得B能上升的最大高度 变式3．（24-25高一下·江苏苏州·期末）长为l的轻杆一端连接质量为m的小球，另一端可绕O点自由转动．如图甲所示，自由下垂的小球某时刻获得一初速度，恰好可以运动到最高点，忽略空气阻力，重力加速度为g． (1)求小球的初速度大小v0； (2)当小球运动到最左端位置P时，求杆对小球的拉力大小F； (3)如图乙所示，杆竖直时小球靠着各表面都光滑的正方体木块，在微小扰动下细杆倒向木块，当杆与竖直方向夹角为60°时小球与木块恰好分离，求木块的质量M。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球恰好运动到最高点，此时速度大小为0，由动能定理得 解得 （2）小球运动到最左端位置P时，设此时小球速度大小为v1，从位置P到最高点由动能定理得 在位置P由牛顿第二定律得 解得 （3）小球与木块分离时，木块加速度为零，则小球在水平方向上的加速度也为零，杆对小球的作用力也为零，设此时小球速度大小为v2，木块速度大小为vM 当杆与竖直方向夹角为60°时小球与木块恰好分离时，由牛顿第二定律 由能量守恒定律得 关联速度关系 综合解得 考点二 机械能守恒定律在绳连接系统的应用 【知识点解析】 核心知识点 1. 轻绳不可伸长，绳的弹力为内力，做功总和为0，系统机械能守恒。 1. 速度关系：相连物体沿绳方向的分速度大小相等。 1. 常见模型：滑轮组、倾斜绳牵连、竖直绳提拉物体。 1. 适用条件：只有重力、绳的弹力做功，忽略空气阻力与摩擦。 解题思路 1. 划定研究系统：以绳连接的全部物体为整体。 1. 判断守恒条件，排除摩擦、外力做功等影响。 1. 分解速度：将物体实际速度拆为沿绳、垂直绳分量，利用沿绳分速度相等，建立速度方程。 1. 分析初、末位置，写出各物体动能与重力势能。 1. 联立机械能守恒方程与速度关系式计算。 1. 注意：物体往返、落地、绳松弛等临界状态，状态改变后重新分析。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。当绳与水平方向的夹角为θ时，C的下落速度。与下方质量为2m的静止桩D碰撞，碰撞后C的速度为零，D以竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。D在运动过程中受到的阻力，x为D向下移动的距离，A、B、C、D均可视为质点。 (1)求C的质量； (2)求C、D碰前瞬间A的速度大小（用和θ表示）和D所受阻力F的最大值； (3)撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知 解得C的质量为 （2）CD碰前，设A的速度为，根据运动的分解 CD碰后D向下运动后停止，根据动能定理 解得 （3）设某时刻C向下运动的速度为，图中虚线与竖直方向的夹角为，则AB向上运动的速度为，根据机械能守恒定律可知 系统动能增量最大，重力势能的减少量最大，令 转化斜率法 从点到单位圆引直线，直线斜率的倒数，相切时斜率最小，最大，重力势能的增量最大，即 此时 解得 此时C的最大动能为 例2．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）如图1所示，小球B和物块C质量均为m，B、C由一劲度系数的轻质弹簧连接，静止竖直立于水平桌面上。如图2所示，某同学设计了一个把C提离桌面的小实验，把轻绳一端与B球连接，另一端穿过一竖直光滑的细管后与质量也为m的小球A相连，用手托住A球，使绳子自然伸直，此时绳子无张力，OA长为l。现保持细管顶端O点高度不变，轻轻摇动细管，让小球A转动一段时间后，物块C刚好被提离桌面，此时A在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示。求： (1)从实验开始到物块C刚好被提离桌面的过程中，B球上升的高度； (2)物块C刚好被提离桌面时，小球A的线速度大小； (3)从开始摇动细管到物块C刚好被提离桌面的过程中，手所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设图1中弹簧的压缩量为x1，物块C刚离地时弹簧的伸长量为x2，根据平衡条件，对B有 对C有 B球上升高度 （2）物块C刚离地时，对A竖直方向 水平方向 对B有 解得， （3）AB组成的系统在此过程中，因为x1=x2 所以 根据动能定理 解得 例3．（24-25高一下·重庆渝中·期中）如图所示，倾角为30°的光滑斜面体固定在水平面上，一半径的光滑半圆形轨道与水平面相切。一轻质动滑轮下方悬挂一质量的重物，绕过轻质动滑轮的轻绳跨过固定在斜面上的定滑轮与一质量的小球相连，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时小球和重物均处于静止状态，小球位于斜面上的A点。释放小球和重物后，小球运动到斜面上的B点时轻绳断开，小球先后进入水平面和半圆形轨道并恰好能到达圆形轨道的最高点。已知两滑轮距离足够远，B点距水平面的高度，小球进入水平面时无机械能损失，不计一切摩擦，重力加速度g取。求： (1)小球在B点时的速度大小； (2)AB的长度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球在圆轨道最高点时的速度大小为v，根据牛顿第二定律 设小球在B点的速度大小为，从B到圆轨道最高点过程，根据动能定理 解得 （2）设AB长度为l，则重物上升的高度 小球在B点时，重物的速度大小 对小球和重物，根据机械能守恒定律 解得 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）如图所示，倾角为30°的斜面和半径为R的半圆弧连接，圆心O在斜面的延长线上，连接点M处有一轻质定滑轮，N为圆弧最低点且，斜面的底端固定一挡板P。物块B、C间由一轻质弹簧拴接置于斜面上（弹簧平行于斜面），其中C紧靠在挡板P处，B用跨过滑轮的不可伸长的轻绳与小球A相连，开始时将小球A锁定在M处，此时轻绳与斜面平行，且恰好伸直但无张力，B、C处于静止状态。某时刻解锁小球A，当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C对挡板的作用力恰好为0。已知小球A的质量为5m，物块B、C的质量均为2m，重力加速度为g，小球与物块均可视为质点，不计一切摩擦，弹簧始终处于弹性限度内，则 (1)弹簧的劲度系数； (2)小球A到达N点时，物块B的速度大小， (3)小球A从M到N的过程中，绳子对小球A做功多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）未解锁小球A之前，弹簧处于压缩状态，对物块B受力分析有 小球A到达N点时，物块C对挡板的作用力恰好为0，此时弹簧处于伸长状态，对物块C进行分析有 根据几何关系有 联立解得 （2）小球A到达N点过程，设小球A的速度为，物块B的速度为；小球A、物块B、弹簧组成的系统机械能守恒，又，可知弹簧弹性势能始末相等，由系统机械能守恒可得 根据关联速度分解可得 联立解得， （3）小球A从M到N的过程中，根据动能定理可得 解得绳子对小球A做功为 变式2．（25-26高二上·四川广元·阶段检测）如图所示，倾角θ=30°的固定光滑斜面上固定着挡板，轻弹簧下端与挡板相连，弹簧处于原长时上端位于D点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑定滑轮连接物体A和B，使滑轮左侧绳子始终与斜面平行，初始时用手按住物体A，使其静止在斜面的C点，C、D两点间的距离为L，现由静止释放物体A，物体A沿斜面向下运动，将弹簧压缩到最短的位置为E点，D、E两点间距离为，若物体A、B的质量分别为4m和m，不计空气阻力，重力加速度为g，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求： (1)物体A从静止释放后下滑到D点时的速度大小； (2)弹簧被压缩后的最大弹性势能； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对A、B整体从C到D的过程受力分析，根据牛顿第二定律得 根据 解得下滑到D点时的速度大小 （2）当A的速度为零时，弹簧被压缩到最短，此时弹簧弹性势能最大，整个过程中对A、B整体应用动能定理得 解得 则弹簧具有的最大弹性势能 变式3．（24-25高一下·天津·阶段检测）如图所示，质量为m的小球甲，穿过一竖直固定的光滑杆与轻弹簧的一端连接，轻弹簧套在杆上，另一端固定在地面。质量为的小球乙用轻绳跨过光滑的小定滑轮与甲连接，O为滑轮的顶点。开始托住乙球，左侧轻绳刚好竖直伸直但无张力，甲球静止于P点，绳与水平方向夹角为。某时刻由静止释放乙球，当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与在其P点时弹簧的弹力大小相等，水平，。已知重力加速度为g，，，乙球运动过程中始终未与地面接触。求： (1)弹簧的劲度系数； (2)甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量； (3)甲球到达Q点时的速度大小； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与在其P点时弹簧的弹力大小相等，则在P点弹簧的压缩量为，由甲球在P点平衡可得 解得 （2）由图中的几何关系可知， 甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量为 （3）设甲球到达Q点时的速度大小为，甲乙两球沿绳方向的速度相等，可知此时乙球的速度为零，在P、Q两点弹力相同，由系统机械能守恒可得 解得 考点三 机械能守恒定律在弹簧类问题的应用 【知识点解析】 核心知识点 1. 研究系统：物体+弹簧+地球，能量包含动能、重力势能、弹性势能。 1. 守恒条件：只有重力、弹簧弹力做功，三者相互转化，总机械能不变。 1. 关键状态：弹簧原长（弹性势能为0）、最大形变量（物体速度常为0）、平衡位置。 1. 性质：弹性势能仅由形变量决定，形变量相同则弹性势能相等。 解题思路 1. 确定系统，验证守恒条件（无其他力做功）。 1. 选取初、末状态，明确弹簧初、末形变量，判断弹性势能变化。 1. 依次写出初、末态总能量：动能 + 重力势能 + 弹性势能。 1. 列守恒方程求解；优先分析原长、最高点、最低点等临界位置。 1. 多物体+弹簧组合：整体分析为主，结合受力判断运动趋势与能量转化。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建福州·期末）某种装置如图所示，左端固定的轻弹簧可以锁定在不同的压缩状态，弹簧原长小于AB间距离且始终处于弹性限度内。质量的小滑块紧靠弹簧右端，滑块与弹簧不栓接，光滑水平面的右端在B点与倾角的传送带平滑连接，传送带以恒定速率顺时针转动，传送带两转轴间的距离，滑块与传送带的动摩擦因数，传送带在C点与光滑的圆弧轨道相切，圆弧轨道半径，E为圆弧最高点，D与圆心等高。当弹簧锁定后所储存的弹性势能是时，将滑块由静止释放，已知重力加速度，，。 (1)求滑块到达B点时（已与弹簧分离）的速度的大小； (2)求滑块通过传送带的过程中，因摩擦产生的热量Q； (3)为了使物块能恰好经过圆弧轨道的最高点E，求弹簧最初的弹性势能的大小。 【答案】(1)6m/s (2)40J (3)66J 【详解】（1）弹簧弹性势能全部转化为滑块动能 解得 （2）滑块速度小于传送带速度，滑块受到沿传送带向上的滑动摩擦力，由牛顿第二定律 得加速度大小（方向沿斜面向上） 设滑块到达C点速度为，由运动学公式 解得，故全程加速度不变； 滑块在传送带上运动时间 这段时间传送带位移 相对位移 摩擦生热 代入数据得 （3）滑块恰好经过圆弧最高点E，重力提供向心力 E点相对C点的高度差 从C到E圆弧光滑，由机械能守恒 ，滑块在传送带上全程匀减速； 对B到C过程，由运动学公式 弹簧弹性势能 代入数据得 例2．（25-26高一下·海南海口·期中）如图所示，现有一游戏装置，该装置依次由水平面、半径为的圆轨道（底端点与点前后略有错开）、水平面及与水平面夹角的足够长斜面连接而成，其中点与点在同一竖直线上且高度差。在点处用挡板固定一轻质弹簧，弹簧与小球可接触但不连接。已知：小球质量，弹簧的弹性势能可调，释放弹簧时可将小球弹出，所有轨道光滑。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)若某次游戏时弹簧的弹性势能，求小球过圆轨道最高点时轨道对小球的弹力； (2)若小球恰好能通过点，求弹簧的弹性势能的大小； (3)若小球从点水平抛出后垂直打到斜面上，求弹簧的弹性势能以及小球打到斜面上时的动能。 【答案】(1)6N (2)2J (3)3.6J，10J 【详解】（1）从释放小球到最高点D，根据能量守恒定律有 在D点时由牛顿第二定律得 解得 （2）若小球恰好能通过点，则 由能量关系可知，弹簧的弹性势能的大小 （3）若小球从点水平抛出后垂直打到斜面上，则，，， 联立解得t=0.8s，v0=6m/s 弹簧的弹性势能 小球打到斜面上时的速度 动能为。 例3．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）某游乐场的游乐装置可简化为如图所示的竖直面内轨道BCDE，左侧为半径的光滑圆弧轨道BC，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角的光滑倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为的小滑块可视为质点从空中的A点以 的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点不计经过D点时的能量损失后沿倾斜轨道向上运动至F点图中未标出，弹簧恰好压缩至最短。已知C、D之间和D、F之间距离都为1m，滑块与轨道CD间的动摩擦因数为，重力加速度，不计空气阻力。求： (1)小滑块P经过圆弧轨道上B点的速度大小； (2)小滑块P到达圆弧轨道上的C点时，受到轨道的弹力； (3)弹簧的弹性势能的最大值； (4)试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出B点的速度大小；若不能，判断滑块最后位于何处。 【答案】(1) (2)50N (3)6J (4)不能；最后位于离D点或离C点处 【详解】（1）设滑块P经过B点的速度大小为如图所示 则 代入数据解得 （2）滑块P从B点到达最低点C点的过程中，由机械能守恒定律得 代入数据解得 滑块经过C点时设受轨道的弹力为，由牛顿第二定律得 代入数据解得 （3）设弹簧的弹性势能的最大值为滑块从C到F过程，由能量守恒定律得 由题意可知，代入数据可解得 （4）设滑块返回时能上升的高度h，根据能量守恒定律得 代入数据解得 因此滑块无法从B点离开滑块最终静止，从滑块第一次到达C点到滑块最终静止整个过程，对滑块，由能量守恒定律得 代入数据解得，滑块在CD上滑行的路程 则滑块最后静止时离D点或离C点。 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·河北廊坊·期中）如图所示，光滑水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在点平滑相接，导轨半径为。质量为的物块将弹簧压缩至点后由静止释放，运动至点前已脱离弹簧，脱离弹簧时速度为，物块恰好能通过最高点。物块可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为。求： (1)弹簧压缩至点时的弹性势能； (2)物块在点时对导轨的压力； (3)物块从点到点的过程中，物块克服摩擦力做的功。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）水平面光滑，物块从释放到脱离弹簧的过程中，只有弹簧的弹力做功，弹性势能全部转化为物块的动能，则由机械能守恒定律可知弹簧压缩至点时的弹性势能为 （2）在点对物块进行受力分析，列牛顿第二定律方程有    解得物块在点时受到导轨对它的弹力的大小为 由牛顿第三定律得，物块在点时对导轨的压力大小为，方向竖直向下 （3）恰好通过点，重力提供向心力，有    对物块从点到点的过程列动能定理方程有    解得物块克服摩擦力做的功为 变式2．（25-26高一下·吉林松原·期中）如图所示，AC为光滑的水平桌面，轻弹簧的一端固定在A端的竖直墙壁上，质量的小物块（与弹簧不连接）将弹簧的另一端压缩到B点，之后由静止释放，离开弹簧后从C点水平飞出，恰好从D点以的速度沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道DEF（小物体与轨道间无碰撞）。O为圆轨道的圆心，E为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道的半径，，。小物块运动到F点后，冲上足够长的固定斜面FG，斜面FG与圆轨道相切于F点，小物块与斜面间的动摩擦因数。，，取。不计空气阻力，求： (1)弹簧最初具有的弹性势能； (2)小物块第一次到达圆弧轨道的E点时对轨道压力的大小； (3)已知小物块沿斜面FG第一次返回圆弧轨道后不能回到圆弧轨道的D点，经过足够长的时间后，求 ①小物块通过圆弧轨道最低点的速度大小； ②小物块在斜面FG上通过的路程s。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）设小物块在C点的速度为，则在D点有 设弹簧最初具有的弹性势能为，根据能量守恒 （2）设小物块在E点的速度为，则从D到E的过程中，根据机械能守恒有 设在E点，圆轨道对小物块的支持力为N，根据牛顿第二定律 联立解得， 由牛顿第三定律可知，小物块到达圆轨道的E点时对圆轨道的压力为。 （3）①小物块最终将在F点与关于过圆轨道圆心的竖直线对称的点之间做往复运动，小物块的机械能守恒，设最终在最低点的速度为，则有 代入数据解得 ②小物块在斜面上滑动时，受到摩擦力的作用，最终停下来，设小物块沿斜面FG上滑的最大距离为s，根据能量守恒定律可得 从E到F点根据机械能守恒定律可得 解得， 变式3．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图所示，竖直面内光滑半圆弧轨道，圆心为，半径为，最低点与水平面平滑连接，与竖直方向夹角为。一根轻弹簧放在水平面上，其左端连接在固定挡板上，右端自由伸长到点，水平面上点左侧光滑，右侧粗糙。现将质量为的物块放在水平面上，并向左压缩弹簧到位置，由静止释放物块，物块被弹开后沿轨道能够滑到的最高点为。若物块与段间的动摩擦因数，段的长度也为，重力加速度为，物块可视为质点。求： (1)物块运动到圆弧轨道点时，轨道对物块的支持力大小； (2)物块最终停下的位置离点的距离； (3)若使物块再次压缩弹簧由静止释放后，恰好能沿轨道通过半圆弧最高点，则求弹簧这次需要被压缩的初始弹性势能大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块第一次到C点的速度为，刚好到D点时速度为0，对物块从C到D由机械能守恒定律得 解得 在C点由牛顿第二定律得 解得 （2）设物块第1次从C点返回至停止运动，在BC段上的路程为s，由动能定理可得 解得 则物块最终停下的位置离B点的距离为 （3）物块恰好通过E点，由牛顿第二定律得 物块从静止到E点由动能定理得 由功能关系可得 联立解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $