2026年中考数学二轮复习 二元一次方程组、一元二次方程、不等式的实际应用问题 讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦二元一次方程组、一元二次方程、不等式的实际应用三大中考核心考点，以“考点梳理-例题精析-变式训练”架构组织知识点，通过真实情境问题（如商场采购、新能源汽车补贴）引导学生建立数学模型，突破应用难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以现实问题为载体培养数学核心素养，如通过中国象棋采购问题，引导学生用数学眼光观察数量关系，用数学思维分析等量关系建立方程组，发展模型意识与应用意识。例题与变式题分层设计，教师可据此精准指导，帮助学生高效掌握解题方法，提升中考应考能力。

二元一次方程组、一元二次方程、不等式的实际应用问题专项训练 二元一次方程组、一元二次方程、不等式的实际应用问题专项训练 考点目录 二元一次方程组 一元二次方程 不等式的实际应用问题 考点一 二元一次方程组 例1．（2026·河南·模拟预测）中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 (1)商场购进两种材质的中国象棋各几件？ (2)若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）东北地区城市足球联赛哈尔滨赛区将于2026年5月23日在阿城区体育场举行首场比赛，文化广场售卖两款专属纪念衫：印有球队队徽的主场款和印有金源文化图案的联名款，球迷协会决定批量采购两款纪念衫用于助威活动． 已知采购两种纪念衫的数量和总费用如下表： 采购类型 主场款数量（件） 联名款数量（件） 总费用（元） 第一批 2 3 190 第二批 3 1 180 (1)求主场款、联名款纪念衫的单价分别是多少元？ (2)该球迷协会计划采购两种纪念衫共件，要求主场款纪念衫数量不少于联名款纪念衫数量的，求购进主场款纪念衫多少件时，使采购的总费用最小，总费用的最小值为多少元？ 例3．（2026·湖南长沙·一模）2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 变式1．（2026·山东德州·二模）为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． (1)租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ (2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 变式2．（2026·江西景德镇·二模）某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． (1)王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； (2)王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 变式3．（2026·四川巴中·模拟预测）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用两种食品各多少份？ 考点二 一元二次方程 例1．（2026·福建漳州·模拟预测） 问题背景 为响应国家“2030年前碳达峰，2060年前碳中和”的战略目标，某市积极推进交通领域绿色转型． 材料一 该市为鼓励市民购买新能源汽车，根据当月全市新能源汽车销量动态调整补贴金额．相关部门统计了以下数据，如下表所示： 新能源汽车销量x（单位：万辆）    0        1 每辆补贴金额w（单位：万元）    0.5        1.1 经分析，w与x之间近似满足二次函数关系． 材料二 某品牌新能源汽车售价为每辆15万元，若当月每辆补贴 w万元，则每位居民实际购车支出为 （15-w）万元，且该新能源汽车年均使用成本为0.3万元．经调研发现，同级别燃油车售价为每辆12万元，无补贴，年均使用成本为0.7万元． 材料三 经测算，每辆燃油车年均排放二氧化碳约2.7吨，而新能源汽车年均碳排放仅为0.9吨． 请阅读上述材料，完成以下任务． (1)请求出w与x的函数关系式． (2)若某市民将同级别燃油车更换为该品牌新能源汽车，从经济角度出发，当补贴金额w最高时，该市民至少需要使用新能源汽车多少年，才能使总成本（包括车的售价以及使用成本）不高于燃油车？ (3)到 2025年底，该市共有燃油车 60万辆，新能源汽车20万辆（不考虑车辆报废）．市政府希望到 2030年，全市交通领域的年碳排放总量比 2025年减少．假设未来 5年（从2026年到 2030年），每新增一辆新能源汽车就会替代一辆燃油车，不增加燃油车；同时，新能源汽车每月销量都相同，可以用这 5年总销量除以 60（即 5年共 60个月），得到每月销量．请你帮政府估算：在未来 5年中，总共需要支出多少万元的补贴金额？ 例2．（2026·湖北武汉·一模）综合与实践 问题背景： 景点检票时游客排队是常见的现象．智慧学案（讲义）智慧课堂（作业）某校数学兴趣小组对该景区每天开园100分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票20人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数（单位：人）与开园时间（单位：分钟）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数w（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放14个检票窗口（该景区共有24个检票窗口）． (1)①开园10分钟，14个检票窗口已检票的人数为________； ②排队检票人数w（单位：人）与开园时间x（单位：分钟）之间的函数关系式为________． 问题解决： (2)求开园多少分钟不再有游客排队检票． (3)检票到第10分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客200人，为了减少排队等候时间，决定当即临时增开个检票窗口．若景区检票口期望在开园40分钟以内不再出现排队的情况，求的最小值． 例3．（2026·广西南宁·二模）广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 变式1．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 变式2．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 变式3．（2026·宁夏吴忠·二模）【综合与实践】 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓展应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，若定价为18元，则日销售量为54盆， ①小莹妈妈要想每天获得400元的利润，应涨价多少元？ ②涨价为多少元时，每天能够获得最大利润？最大利润是多少？ 考点三 不等式的实际应用问题 例1．（2026·广东深圳·二模）【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； (3)作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； (4)已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 例2．（2026·四川南充·二模）初夏到来，某商场订购一批进价为40元的凉鞋．按往年情况，若按每双50元的价格销售，每月能卖出3000双：若按每双55元的价格销售，每月能卖出2500双，每月销量（双）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．售价不低于进价，每双凉鞋的毛利不高于进价的． (1)求与之间的函数关系式，并指出销售单价每提高1元对销量的影响； (2)当售价定为多少时，该商品每月的毛利最大？最大毛利是多少？ 例3．（2026·河南周口·二模）校园文创商店计划购进中原非遗剪纸与泥塑摆件两种文创产品．已知购进3件剪纸、2件泥塑共需160元；购进2件剪纸、3件泥塑共需140元． (1)求每件剪纸、每件泥塑摆件的进价分别为多少元； (2)若该商店准备一次性购进两种文创产品共100件，剪纸数量不少于泥塑数量的2倍，且总进货资金不超过3400元，请求出最优进货方案． 变式1．（2026·河南濮阳·二模）某校科技社团的同学们准备用3D打印制作的科技作品在我市科技节上参展．学校可将学生参赛作品外包（按件付费），也可买一台入门级3D打印机自己打印． 方案 费用明细 方案一 按件付费，每制作一件作品需付费60元（包含材料费和服务费） 方案二 购买一台800元的打印机，每制作一件作品需材料费20元（无服务费） 设学校需要制作件科技作品，按方案一花费元，按方案二花费元． (1)直接写出，关于的函数关系式； (2)假如你是学校负责人，为节省费用，你会选择哪种方案？并说明理由． (3)若学校制作件科技作品时，两种方案所需费用相差200元，请你直接写出此时的值． 变式2．（2026·江苏连云港·二模）东海县是世界水晶之都，水晶制品享誉全球．某水晶商户主营高品质水晶手链，其进价为每条30元，根据市场规则，售价不得低于50元，且日销售量不低于20条．经调研：当售价为50元每条时，日销量为40条；售价每提高5元，日销量减少4条．设每条手链售价为元（），日销量为条，日销售利润为元． (1)若售价定为60元每条，求此时的日销量； (2)求日销售利润关于售价的函数表达式，并求出最大日销售利润及其对应售价； (3)小海同学说：“日销售额最大时，日销售利润也最大．”你同意吗？并说明理由． 变式3．（2026·江苏宿迁·二模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14250元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的2倍，该景区如何购买费用最低？最低为多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $二元一次方程组、一元二次方程、不等式的实际应用问题专项训练 二元一次方程组、一元二次方程、不等式的实际应用问题专项训练 考点目录 二元一次方程组 一元二次方程 不等式的实际应用问题 考点一 二元一次方程组 例1．（2026·河南·模拟预测）中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 (1)商场购进两种材质的中国象棋各几件？ (2)若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件 (2)商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元 【分析】（1）设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件，根据花费钱数和总件数列二元一次方程组，求出x、y的值； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元，列出一次函数，确定自变量a的取值范围，根据一次函数增减性确定a的值和最大利润． 【详解】（1）解：设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ，， w随a的增大而增大． 当时，利润最大，最大值为（元）． 故商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）东北地区城市足球联赛哈尔滨赛区将于2026年5月23日在阿城区体育场举行首场比赛，文化广场售卖两款专属纪念衫：印有球队队徽的主场款和印有金源文化图案的联名款，球迷协会决定批量采购两款纪念衫用于助威活动． 已知采购两种纪念衫的数量和总费用如下表： 采购类型 主场款数量（件） 联名款数量（件） 总费用（元） 第一批 2 3 190 第二批 3 1 180 (1)求主场款、联名款纪念衫的单价分别是多少元？ (2)该球迷协会计划采购两种纪念衫共件，要求主场款纪念衫数量不少于联名款纪念衫数量的，求购进主场款纪念衫多少件时，使采购的总费用最小，总费用的最小值为多少元？ 【答案】(1)主场款纪念衫单价为元，联名款纪念衫单价为元 (2)购进主场款纪念衫件时，总费用的最小值为元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组解答即可； （2）设购进主场款纪念衫m件，采购总费用为元，先根据题意列出关于的函数解析式，再根据题意列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求最小值即可． 【详解】（1）解：设主场款纪念衫单价为x元，联名款纪念衫单价为y元， ， 解得， 答：主场款纪念衫单价为50元，联名款纪念衫单价为30元； （2）解：设购进主场款纪念衫m件，采购总费用为元， ， ∵， 解得， ∵， ∴随m的增大而增大，当m取最小值时，有最小值， ∴当时，， 答：购进主场款纪念衫件时，总费用的最小值为元． 例3．（2026·湖南长沙·一模）2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆，解题过程见详解 (2)购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元，解题过程见详解 【分析】（1）根据已知条件列二元一次方程组求解即可； （2）结合第（1）问的结果，先建立总利润与机车数量的一次函数关系式，然后根据条件确定自变量的取值范围，再利用函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得    解得 答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆； （2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则 ． 购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ， ． 又为非负整数， 的最大值为33． ， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值， 此时，， 所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元． 变式1．（2026·山东德州·二模）为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． (1)租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ (2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 【答案】(1)租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元 (2)租用大型客车15辆，小型客车10辆，才能使费用最少，最少为元 【分析】（1）设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出关于的不等式组，求出的值，表示出总费用求解即可； 【详解】（1）由题意，设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元， ， ，． 答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元； （2）由题意，大型客车辆，则小型客车辆， ， ， 又为整数， 或16， 又，且， 随增大而增大， 当时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：（辆）， 最少费用：（元）． 变式2．（2026·江西景德镇·二模）某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． (1)王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； (2)王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 【答案】(1)这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元 (2)厂商补贴最多是600元 【分析】（1）先计算出两件商品的原价总和，再结合降价规则列出二元一次方程组求解即可得到各自原价； （2）根据价格要求列出一元一次不等式，求解即可得到厂商补贴的最大金额． 【详解】（1）解：设这台电视机原价为元，平板电脑原价为元 由题意得， 解得 答：这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元； （2）解：设厂商补贴为元 由题意，国补后再减去厂商补贴的价格不低于2970元， 列不等式得 解得 答：厂商补贴最多是600元． 变式3．（2026·四川巴中·模拟预测）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用两种食品各多少份？ 【答案】(1)应选用种食品份，种食品份； (2)应选用种食品份，种食品份． 【分析】（1）设应选用种食品份，种食品份，根据题意列方程组得，然后解方程组即可； （2）由每份食品质量为，总质量为，因此总份数为，设选用种食品份，则种食品为份，由题意得，解得，设总能量为，则，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设应选用种食品份，种食品份， 根据题意列方程组得， 解得， 答：应选用种食品份，种食品份； （2）解：每份食品质量为，总质量为，因此总份数为，设选用种食品份，则种食品为份， 由题意得， 解得， 设总能量为，则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小，此时， 答：应选用种食品份，种食品份． 考点二 一元二次方程 例1．（2026·福建漳州·模拟预测） 问题背景 为响应国家“2030年前碳达峰，2060年前碳中和”的战略目标，某市积极推进交通领域绿色转型． 材料一 该市为鼓励市民购买新能源汽车，根据当月全市新能源汽车销量动态调整补贴金额．相关部门统计了以下数据，如下表所示： 新能源汽车销量x（单位：万辆）    0        1 每辆补贴金额w（单位：万元）    0.5        1.1 经分析，w与x之间近似满足二次函数关系． 材料二 某品牌新能源汽车售价为每辆15万元，若当月每辆补贴 w万元，则每位居民实际购车支出为 （15-w）万元，且该新能源汽车年均使用成本为0.3万元．经调研发现，同级别燃油车售价为每辆12万元，无补贴，年均使用成本为0.7万元． 材料三 经测算，每辆燃油车年均排放二氧化碳约2.7吨，而新能源汽车年均碳排放仅为0.9吨． 请阅读上述材料，完成以下任务． (1)请求出w与x的函数关系式． (2)若某市民将同级别燃油车更换为该品牌新能源汽车，从经济角度出发，当补贴金额w最高时，该市民至少需要使用新能源汽车多少年，才能使总成本（包括车的售价以及使用成本）不高于燃油车？ (3)到 2025年底，该市共有燃油车 60万辆，新能源汽车20万辆（不考虑车辆报废）．市政府希望到 2030年，全市交通领域的年碳排放总量比 2025年减少．假设未来 5年（从2026年到 2030年），每新增一辆新能源汽车就会替代一辆燃油车，不增加燃油车；同时，新能源汽车每月销量都相同，可以用这 5年总销量除以 60（即 5年共 60个月），得到每月销量．请你帮政府估算：在未来 5年中，总共需要支出多少万元的补贴金额？ 【答案】(1) (2)至少需要使用5年 (3)总共需要支出万元补贴 【分析】（1）设与的函数关系式为，将代入，即可得到答案； （2）根据函数性质得到当时，取得最大值，最大值为，设该市民至少需要使用新能源汽车年，由题意得：，求出，取整数即可； （3）设未来 5年共新增新能源汽车万辆，根据题意得：，求出，求出每月销量万辆，（万元），即可得到答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将代入， 解得， 故与的函数关系式为 （2）解：由（1）知， 当时，取得最大值，最大值为， 设该市民至少需要使用新能源汽车年， 由题意得：， 解得， 为整数， 至少需要使用5年； （3）解：年碳排放总量为：（万吨）， 年碳排放总量目标为（万吨）， 设未来 5年共新增新能源汽车万辆， 根据题意得：， 解得， 未来 5年共新增新能源汽车万辆， 每月销量万辆， （万元）， 总补贴金额为（万元）， 答：总共需要支出万元补贴． 例2．（2026·湖北武汉·一模）综合与实践 问题背景： 景点检票时游客排队是常见的现象．智慧学案（讲义）智慧课堂（作业）某校数学兴趣小组对该景区每天开园100分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票20人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数（单位：人）与开园时间（单位：分钟）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数w（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放14个检票窗口（该景区共有24个检票窗口）． (1)①开园10分钟，14个检票窗口已检票的人数为________； ②排队检票人数w（单位：人）与开园时间x（单位：分钟）之间的函数关系式为________． 问题解决： (2)求开园多少分钟不再有游客排队检票． (3)检票到第10分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客200人，为了减少排队等候时间，决定当即临时增开个检票窗口．若景区检票口期望在开园40分钟以内不再出现排队的情况，求的最小值． 【答案】(1)①2800人；② (2)70分钟 (3)的最小值为 【分析】（1）①根据每个窗口每分钟检票20人，景区同时开放14个检票窗口求解即可； ②先表示出已检票总人数，再根据排队人数公式：到达总人数已检票人数，即可求出； （2）不再排队即排队人数，解方程：，即可解答． （3）要求开园40分钟以内不再排队，即时排队人数，开园40分钟时，先求出总游客数（含新增200人团体），再求出总已检票人数，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①每个窗口每分钟检票20人，14个窗口10分钟检票总人数为：（人）； ②已检票总人数为， 根据排队人数公式：到达总人数已检票人数， 则； （2）解：不再排队即排队人数， 解方程：， 整理得，因式分解为， 解得（舍去负根）． 即开园70分钟后不再有游客排队． （3）解：要求开园40分钟以内不再排队，即时排队人数， 开园40分钟时，总游客数（含新增200人团体）为：（人）， 总已检票人数为：， 则， 解得． 因为是正整数，且景区总窗口最多24个， 所以的最小值为． 例3．（2026·广西南宁·二模）广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为，所用材料为长、宽的长方形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示），然后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）． 为了优化设计，传承人借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，对方案2的优点给出了如下评价： 1．减少纸张的浪费：方案2表面积更小． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你解决以下问题： (1)方案1中，设剪去的正方形边长为．请写出该包装盒的表面积（单位：）关于的函数表达式，并求出方案1中的值及的值． (2)请你在答题卡指定位置画出方案2的示意图，并通过计算判断关于“方案2表面积更小”的评价是否准确． 【答案】(1)，， (2)图形见详解，评价准确，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式的运算等知识． （1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）转变思路，根据“在纸板宽的一侧裁剪两个正方形”的思路构图即可作答；同（1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为，可列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）如图， 根据题意有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 即：包装盒的表面积为：， 由上图可知：纸板的宽刚好构成纸盒的两面高、底和盖，刚好底和盖的宽度相等，两面高的宽度也相等， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（时，，明显不符合题意舍去）， 即：； （2）图形如下： 根据上图有：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：， 根据图形有：此时包装盒的表面积为：， ∵包装盒底面积为， ∴， 整理：， 解得：，（，明显不符合题意舍去）， 即：； 方案1：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 方案2：包装盒的长度为：， 包装盒的宽度为：，高度：， 使用的纸板面积为：； 综合比较：方案2使用的纸板面积更少，即减少纸张浪费；相比于方案1的纸盒，方案2的纸盒在高度相等的同时，底部的长宽比例更接近，图形更接近于正方形；相比于方案1的 “长条形”纸盒，方案2的纸盒则更加方正． 即“方案2表面积更小”的评价准确． 变式1．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 【答案】(1)400 (2)售价应定为50元/米 (3)当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 【分析】（1）根据“利润（售价成本）销量固定成本”直接求解； （2）根据“总利润单个利润数量固定开支”将关系式列出来，求解后根据要尽量让利于顾客来确定所求的值； （3）根据“总利润单个利润数量固定支出”列出二次函数，利用二次函数开口向下，顶点处取得最大值求解． 【详解】解：（1）当日车间直销获得的利润为（元）． （2）设线下门店售价提高x元/米， 由题意可列方程，， 整理可得， 解得或， ∵要尽量让利于顾客，∴， ∴售价为元． 答：售价应定为50元/米； （3）由题意，线上直播销售每米实际利润为元，设利润为元，由题意可得， ， ∵，且， ∴当时，最大，此时． 答：当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 变式2．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元 (3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）将点代入得出方程组，求出解即可； （2）先表示出每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套， 可列方程，， 解得，， 要尽可能让利于顾客， 选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元； （3）解：设每月销售利润为元， 整理得， ，二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值， 此时，最大利润为元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 变式3．（2026·宁夏吴忠·二模）【综合与实践】 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓展应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，若定价为18元，则日销售量为54盆， ①小莹妈妈要想每天获得400元的利润，应涨价多少元？ ②涨价为多少元时，每天能够获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)售价每涨价1元，日销售量减少2盆，日销售量与售价的关系式为y=-2x+90 (3)①应涨价7元或17元．②涨价12元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元． 【分析】（1）将已知数据按照售价从小到大排序整理即可； （2）观察整理后的数据变化，总结日销售量和售价的变化规律； （3）①设涨价为a元，根据利润为400元列出一元二次方程求解； ②列出利润关于涨价a的二次函数解析式，利用二次函数的性质求解最大利润即可． 【详解】（1）解：将数据按售价从小到大顺序整理如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 （2）解：观察整理后的数据可得，售价每增加2元，日销售量减少4盆， 即售价每涨价1元，日销售量减少2盆， 设售价为元，日销售量为盆， 则可得 （3）解：①设涨价元， 由题意得，每盆利润为元，日销售量为盆， 因此， 整理得， 解得， 答：应涨价7元或17元． ②设每天获得的利润为元， 由题意得， 配方得， ， 当时，取得最大值，最大值为． 答：涨价12元时，每天能够获得最大利润，最大利润是450元． 考点三 不等式的实际应用问题 例1．（2026·广东深圳·二模）【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； (3)作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； (4)已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2.0，8.4 (2)1400 (3)推荐采用A温室的种植方案，理由见解析 (4)每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获得最大利润2400元 【分析】（1）由单株产量表和口感评分频数分布直方图即可求解； （2）由不低于1.8千克的占比即可求解； （3）比较单株产量或口感评分的平均数、方差或中位数即可； （4）设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元，根据题意列出不等式与一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：由单株产量表可得A温室的单株产量的众数；由口感评分频数分布直方图可得B温室的草莓口感评分从小到大排列第5个和第6个数据分别为8.3和8.5，则中位数． （2）解：（株）， ∴A温室单株产量不低于1.8千克的草莓约有1400株． （3）解：推荐采用A温室的种植方案，理由如下： A温室的单株产量平均数更高，平均产量更高； A温室的口感评分的平均数更高、方差更小，说明A温室的平均口感更好，口感评分更稳定，品质更均匀．（选择一条回答即可） （4）解：设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的最大值为（元），此时（盒）， ∴每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获最大利润2400元． 例2．（2026·四川南充·二模）初夏到来，某商场订购一批进价为40元的凉鞋．按往年情况，若按每双50元的价格销售，每月能卖出3000双：若按每双55元的价格销售，每月能卖出2500双，每月销量（双）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．售价不低于进价，每双凉鞋的毛利不高于进价的． (1)求与之间的函数关系式，并指出销售单价每提高1元对销量的影响； (2)当售价定为多少时，该商品每月的毛利最大？最大毛利是多少？ 【答案】(1)，销售单价每提高1元，每月销量减少100双 (2)售价定为56元时，每月毛利最大，最大毛利为38400元 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式，根据一次函数斜率得到单价对销量的影响，结合题干条件确定自变量的取值范围； （2）根据总毛利=单双利润×销量列出二次函数解析式，结合二次函数的性质和自变量的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由题意得，时，，时，， 代入得， 解得， 因此函数关系式为， 根据题意，售价不低于进价，毛利不高于进价的， 可得， 即， 由可知，销售单价每提高1元，每月销量减少100双； （2）解：设每月毛利为元， 根据题意得， 整理得， 该二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴随的增大而增大， 因此当时，取得最大值， 答：当售价定为56元时，该商品每月的毛利最大，最大毛利为38400元． 例3．（2026·河南周口·二模）校园文创商店计划购进中原非遗剪纸与泥塑摆件两种文创产品．已知购进3件剪纸、2件泥塑共需160元；购进2件剪纸、3件泥塑共需140元． (1)求每件剪纸、每件泥塑摆件的进价分别为多少元； (2)若该商店准备一次性购进两种文创产品共100件，剪纸数量不少于泥塑数量的2倍，且总进货资金不超过3400元，请求出最优进货方案． 【答案】(1)剪纸40元每件，泥塑20元每件 (2)剪纸67件，泥塑33件 【分析】（1）设每件剪纸的进价为元，每件泥塑摆件的进价为元，根据“购进3件剪纸、2件泥塑共需160元；购进2件剪纸、3件泥塑共需140元”可列方程组，求解方程组即可； （2）设购进泥塑a件，剪纸件，根据“剪纸数量不少于泥塑数量的2倍，且总进货资金不超过3400元”可列不等式组，求出不等式组的解集， 【详解】（1）解：设每件剪纸的进价为元，每件泥塑摆件的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件剪纸的进价为40元，每件泥塑摆件的进价为20元； （2）解：设购进泥塑a件，剪纸件，根据题意得： 解得：， ∵是正整数，故可取30，31，32，33， 总进货资金：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，总资金最少． 此时，剪纸数量为（件） 答：最优方案为购进泥塑33件，剪纸67件． 变式1．（2026·河南濮阳·二模）某校科技社团的同学们准备用3D打印制作的科技作品在我市科技节上参展．学校可将学生参赛作品外包（按件付费），也可买一台入门级3D打印机自己打印． 方案 费用明细 方案一 按件付费，每制作一件作品需付费60元（包含材料费和服务费） 方案二 购买一台800元的打印机，每制作一件作品需材料费20元（无服务费） 设学校需要制作件科技作品，按方案一花费元，按方案二花费元． (1)直接写出，关于的函数关系式； (2)假如你是学校负责人，为节省费用，你会选择哪种方案？并说明理由． (3)若学校制作件科技作品时，两种方案所需费用相差200元，请你直接写出此时的值． 【答案】(1)， (2)当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 综上所述，当学校需要制作科技作品少于20件时，选择方案一更省钱； 当学校需要制作科技作品等于20件时，选择方案一、二的费用相同； 当学校需要制作科技作品多于20件时，选择方案二更省钱． (3)15或25 【分析】（1）根据材料中两个方案的费用明细，直接写出关系式即可； （2）比较与的大小，从而得出对应的的取值范围，再选择方案即可； （3）结合（2）的结论，分为和两类讨论，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，； （2）略 （3）解：①当时，由（2）可得，， ∴， 解得； ②当时，由（2）可得，， ∴， 解得， 综上所述，的值为15或25． 变式2．（2026·江苏连云港·二模）东海县是世界水晶之都，水晶制品享誉全球．某水晶商户主营高品质水晶手链，其进价为每条30元，根据市场规则，售价不得低于50元，且日销售量不低于20条．经调研：当售价为50元每条时，日销量为40条；售价每提高5元，日销量减少4条．设每条手链售价为元（），日销量为条，日销售利润为元． (1)若售价定为60元每条，求此时的日销量； (2)求日销售利润关于售价的函数表达式，并求出最大日销售利润及其对应售价； (3)小海同学说：“日销售额最大时，日销售利润也最大．”你同意吗？并说明理由． 【答案】(1)此时日销量为32条 (2)函数表达式为 ，最大日销售利润为980元，对应售价为65元 (3) 略 【分析】（1）根据售价变化量计算日销量减少量，即可得到所求日销量； （2）先推导日销量关于售价的关系式，再结合利润公式得到的函数表达式，根据二次函数性质和自变量取值范围求最大利润； （3）先求出日销售额的函数，找到日销售额最大时的售价，计算对应利润与最大利润比较，即可判断说法是否正确． 【详解】（1）解：由题意得，售价为50元时，日销量为40条，售价每提高5元，日销量减少4条． 当售价定为60元，售价比50元提高（元）． 减少的日销量为 （条）． 此时日销量为（条）． 答：此时的日销量为32条． （2）解：由题意，日销量 ． 根据题干要求，，且日销售量不低于20条， 因此 解得． 日销售利润等于单条利润乘以日销量， 因此 整理得 ． 该二次函数二次项系数 ，开口向下，在顶点处取得最大值． 顶点的横坐标为 ． 满足 ，符合条件． 将代入得 ． 因此最大日销售利润为980元，对应售价为65元． （3）不同意，理由如下： 设日销售额为，由题意得 ． 该二次函数二次项系数 ，开口向下，顶点横坐标为 因此当时，日销售额最大． 当时，日销售利润 ，此时日销售利润不是最大． 因此不同意小海同学的说法． 变式3．（2026·江苏宿迁·二模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14250元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的2倍，该景区如何购买费用最低？最低为多少元？ 【答案】(1)购买1套A型器材和1套B型器材各需元和元 (2)①35套；②购买A型34套、B型16套时费用最低，最低费用为14200元 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据“购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元”列方程组求解即可； （2）①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，根据“购买A、B型器材的总费用不超过14250元”列不等式求解即可；②根据A型器材购买的数量不少于B型器材数量的2倍，结合①求出的范围，设总费用为元，列出一次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解∶ 设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元， 由题意可得： ，解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需元和元； （2）解∶① 设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由题意可得： 解得， 答：A型器材最多购买套 ②由题意，，解得， ∴， 设总费用为元，则：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，元， 此时B型器材数量为套； 答：购买A型34套、B型16套时费用最低，最低费用为14200元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $