4.一元二次方程-【辽海备考·中考总复习】2026年中考数学总复习（含模拟卷）

中考总复习·数学 4.一元二次方程 知识梳理 知识点一一元三次方程的概念及一般形式 1.只含有一个未知数并且所含未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式：+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，它的二次项、一次 项和常数项分别为ax2,bx,c;二次项系数为L,一次项系数为b, 【知识点二一元二次方程的解法 1.直接开平方法：形式为x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)，得到x=±Vp或m+n=±Vp. 2.配方法，步骤如下： (1)把方程化成一元二次方程的一般形式： (2)将二次项系数化为1； (3)把常数项移到方程的右边： (4)两边加上一次项系数的一半的平方； (5)把方程转化成(x+m)=n的形式； (6)两边开方求其根， 3.公式法：一元二次方程a㎡2+hx+e=0(a≠0)的求根公式为x=-b生Y-4ac(62-4c≥ 2a 0),步骤如下： (1)把方程化为一股形式，进而确定a,b,c的值（注意符号）； (2)求出b2-4ac的值（先判别方程是否有根）； (3)在b2-4c≥0的前提下，把a,b,c的值代入求根公式，求出-b±V-4c的值， 2a 最后写出方程的根. 4.因式分解法，步骤如下： (1)整理方程，使其右边为0； (2)把方程左边分解成两个一次因式的乘积： (3)令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 58 第一部分数与代数 【知识点三一元三次方程的根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 (1)b24ac>0台方程有两个不相等的实数根. (2)b24c=0曰方程有两个相等的实数根， (3)b2-4ac<0曰方程没有实数根， 【知识点四 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验方程的根是香符金 实际意义；(6)写出答案， 2.几种常见的应用题类型 (1)数字问题：若a,b,c分别表示一个三位数x的个位数字、十位数字和百位数字， 则此三位数可表示为100c+10b+@. (2)增长率问题：设a为原来量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量， 则a(1+x)=b;当x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-x)=b; (3)面积问题， (4)利润问题， 腿 考点精梳 【考点一一元二次方程的相关概念 例1(2025义乌期末)下列属于一元二次方程的是() A.x+y=1 B.2x+1=4 C.x2+x=2 D.x41=2 例2(2024盐城期末)已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为(） A.-2 B.2 C.-4 D.4 例3(2025桂林模拟)若方程(m-1)x1-2x-4=0是一元二次方程，求m的值。 59 中考总复习·数学 考点二一元二次方程根的情况 例1(2024苏州期末)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数 根，则飞的取值范围是() A.k≥0 B.k>0且k≠1 C.k≤0且k≠-1 D.k>0 例2(2023黄陂区期末)关于x的一元二次方程x2-x-1=0的根的情况是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定 例3(2025桂林模拟)已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3m-6=0. (1)不解方程，请判定方程根的情况 (2)若方程有一个根是负数，求m的取值范围， 【考点三一元二次方程的解法 例1(2024临沂期末)一元二次方程y2-y}-0配方后可化为(） A.=1 B.(21 c+-D.2= 例2(2025泰安期末)解方程：2(x-3)2=x2-9. 考点四一元二次方程的应用☐ 例1(2025萧山区期中)某种植基地2022年蔬菜的产量为80t,2024年蔬菜的产量达 到100t,求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为 () 60 第一部分数与代数 A.80(1+x)2=100 B.100(1-x)2=80 C.80(1+2x)=100 D.80(1+x2)=100 例2(2025乌鲁木齐模拟)某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天的定价为180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空一间房.如果有游客居住， 宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为 10890元？设房价定为x元，则有() A.(180+x-20)50-0=10890 B.(x-20)50--180=10890 10 C.x50-x-180 -50x20=10890 10 D.(x+180)50-0 -50x20=10890 易错点精析 【易错点一对一元二次方程概念的认识模糊 例下列方程中，属于一元二次方程的是（) A.2x2-3y+1=(x-2)(2x+1) B.x2-5+1=0 C.ax2+bx+c=O D.(2x-3)(x-2)=0 【错解】选A或B或C 【错点分析】将A化筒后得x-y+1=0,这是一个二元一次方程；B中-5是分式，而一元 二次方程属整式方程；C中没有注明(a,b,c为常数，a≠0)· 【正解】将D化简后为2x2-7x+6=0,故选D. 【易错点三忽略三次项系数不为0的条件 例方程(m-2)x2-3x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 【错解】由题意，得4-(-3P4m-2x(-10,解得m心子 【错点分析】当m=2时，原方程为-310，有一个实数根=日，不符合题意.根据题 意，原方程有两个不相等的实数根，这就说明，原方程为一元二次方程.上述解法中忽视了 一元二次方程的二次项系数不能为零这一隐含条件 【正解】m>4,且m≠2 61 中考总复习·数学 【易错点三混淆三次项式与一元三次方程的配方 例用配方法求2a2-4a-1的最小值是 【错解】2i-4-l=a-2M-=(d-2a+1)-1号=(a-1P-多当l时，原多项式的最小值 是、3 2 【错点分析】一元二次方程在配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系 数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.因此要注意等式变形 与代数式变形的区别. 【正解】22-4a-1=2(a2-2a)-1=2(ad-2a+1)-2-1=2(a-1)2-3.当a=1时，原多项式的最小值 是-3. 【易错点四末结合实际问题检验解方程的结果 例某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600盏.调查发现， 售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10盏.为了实 现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少盏？ 【错解】设这种台灯的售价应定为x元，依题意，得(x-30)[600-10(x-40)]=10000. 化简得x2-130x+4000=0,解得x=50,x2=80. 当x=50时，600-10(x-40)=600-10x(50-40)=500(台)； 当x=80时，600-10(x-40)=600-10×(80-40)=200(台). 答：这种台灯的售价应定为50元或80元，这时应购进台灯500盏或200盏. 【错点分析】这个题目的解题过程是没有问题的，但所解得的答案未必都符合题意，因 为题目有规定“售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减 少10盏”，故x=80与这个条件不符，这个结果舍去，相应求出应购进台灯的数量200盏也 不存在 【正解】设这种台灯的售价应定为x元，依题意，得(x-30)[600-10(x-40)]=10000.化 简得x2-130x+4000=0,解得x=50,x2=80.因为售价在40元至60元范围内，所以x2=80不符 合题意，舍去.当x=50时，600-10(x-40)=600-10x(50-40)=500(盏).答：这种台灯的售价 应定为50元，这时应购进台灯500盏. 62 第一部分数与代数 优题精练 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)》 1.(★)若1-V3是方程x2-2x+c=0的一个根，则c的值为() A.-2 B.4V3-2 C.3-V3 D.1+V3 2.(★)如果代数式3x2-6的值为21，那么x的值是() A.3 B.±3 C.-3 D.±V3 3.(★)若关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值是() A.任意实数 B.1或-1 C.1 D.-1 4.(★)一元二次方程(x+1)2-2(x-1)2=7的根的情况是（） A.无实数根 B.有一正根、一负根 C.有两个正根 D.有两个负根 5.(★)方程3x(x-5)-4(5-x)=0的根是() A.x=5 B等 C.1=5,2=-4 D.x=-3 4 6.(★)已知关于x的一元二次方程x2+mx-3=0一个根为3，则另一个根为（) A.1 B.-1 C.2 D.-6 7.(★)某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问 二、三月份平均每月的增长率是多少.设平均每月的增长率为x,根据题意得方程为() A.50(1+x)2=175 B.50+50(1+x)2=175 C.50(1+x)+50(1+x)2=175 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=175 8.(★)根据下列表格的对应值： x 2 3 ax2+bx+c -10 -8 4 12 判断方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的一个解x的取值范围是() A.1<x<2 B.2<x<3 C.3<x<4 D.x>4 9.(★)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人 数为() A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 10.(★)某种花卉每盆的盈利金额与每盆中花卉的株数有一定的关系，每盆植3株时， 平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是() 63 中考总复习·数学 A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.(★)将x2+6x+3配方成(x+m)2+n的形式，则m= 12.(★)如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 13.(★)若关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+(m2-4)=0有一个根是0，则m= 14.(★)已知a,b,c是△ABC的三边长，若方程(-c)x2+2bx+a+c=0有两个相等的实 数根，则△ABC是 三角形， 15.(★)一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出 同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒出的液体是 L. 三、解答题（本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(15分★)解方程. (1)3x2-9=0; (2)3x2-7x+4=0: (3)(2x-1)2=x2+4x+4. 17.(10分★)在长为8cm、宽为5cm的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方 形，使得留下的图形（图中阴影部分）的面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的 边长. 第17题图 18.(10分★)某商店准备购进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价 为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售 量净增加10个.受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若准备获利2000元， 则应进货多少个？定价为多少元？ 64 ● 第一部分数与代数 19.(10分★★)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并 且两次降价的百分率相同 (1)求该种商品每次降价的百分率. (2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销 售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 20.(10分★★)如图，学校为美化环境，准备用总长为29m的篱笆，在靠墙的一侧设 计一块矩形花圃ABCD,其中墙长I9m,花圃三边外围用篱笆围起，并在边BC上留一个 1m宽的门（建在EF处，另用其他材料）· (1)若花圃的面积为100m,求花圃的一边AB的长. (2)花圃的面积能达到120吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 19m BL E F 第20题图 65粉刷外墙的面积是4mm2.根据题意，得500-500=5. 解得m=25.经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25m2 20.解：(1)设原计划每天加工x个，则现在每天加 工1.5x个. 由题意得20-2=200，解得-20 经检验，=20是原分式方程的解，且符合题意。 答：原计划每天加工纸箱20个. (2)设加工竖式纸盒m个、横式纸盒n个，由题意得 m+2n=1000, 解得m=200. 4m+3n=2000, n=400. 答：加工竖式纸盒200个、横式纸盒400个恰好能将 购进的纸板全部用完」 4.一元二次方程 腿考点精梳 考点一一元二次方程的相关概念 例1C【解析】x+=1中含有两个未知数，不是一元 二次方程，故A不符合题意；2x+1=4中未知数的最高次数 是1，不是一元二次方程，故B不符合题意：x2+x=2是 元二次方程，故C符合题意：x+1=2不是整式方程，即 不是一元二次方程，故D不符合题意.故选C 例2B【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x= 1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0,解得k=2,故 选B. 例3解：由题意得m-1≠0，lml+1=2,解得m=-1. 考点二一元二次方程根的情况 例1B【解析】.·关于x的一元二次方程(k-1)x2+ 2x-1=0有两个不相等的实数根，六1≠0， 解 224(k-1)×(-1)>0, 得k>0且k≠1.故选B. 例2A【解析】.4=(-1)2-4×1×(-1)=5>0，.关于x 的一元二次方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根，故选A. 例3解：(1).4=[-(m+1)]24(3m-6)=m2-10m+25= (m-5)2≥0，·.方程有两个实数根. (2)x2-(m+1)x+3m-6=0,(x-3)[x-(m-2)]=0,x-3= 0或x-(m-2)=0,.x1=3,x2=m-2. 方程有一个根是负数，m-2<0,m<2 考点三一元二次方程的解法 例1B【解折】户-y子=0，-y=子，广y+1, 2)1,故选B 例2解：方程变形得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,因式 分解得(x-3)(2x-6-x-3)=0,解得x1=3,x2=9. 参考答案 考点四一元二次方程的应用 例1 A【解析】设蔬菜产量的年平均增长率为 x， 根 据2022年蔬菜的产量为 80t， ，则 2023年蔬菜的产量为 80(1+x)t，2024 年蔬菜的产量为 80(1+x)(1+x)t， ，而2024 年蔬菜的产量达到 100t， ，即 80(1+x)(1+x)=100 或 $$8 0 \left( 1 + x \right) ^ { 2 } =$$ 100，故选A. 例2 B【解析】根据利润=每间房的净利润x入住的房间 数可得，即设房价定为 x 元，根据题意，得 $$\left( x - 2 0 \right) \left( 5 0 - \frac { x - 1 8 0 } { 1 0 } \right)$$ =10890，故选B. 优题精练 1.A 2.B 3.C 4.C 5. C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A $$1 1 . 3 1 2 . \frac { 9 } { 4 }$$ 13.-214. 直角 15.20 16.解： $$\left( 1 \right) x _ { 1 } = \sqrt 3 ， x _ { 2 } = - \sqrt 3 . \left( 2 \right) x _ { 1 } = \frac { 4 } { 3 } ， x _ { 2 } = 1 .$$ (2)x=，x=1. $$\left( 3 \right) x _ { 1 } = 3 ， x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 } .$$ 17.解：设截去小正方形的边长为xcm， 根据题意得 $$4 x ^ { 2 } = 8 \times 5 \times \left( 1 - 8 0 \% \right) ，$$ 解得 $$x _ { 1 } = \sqrt 2 ， x _ { 2 } = - \sqrt 2$$ (不符合题意，舍去). 答：截去小正方形的边长为 $$\sqrt 2 c m .$$ 18.解：设每个商品的定价是x元，由题意，得 (x-\right. 40)[180-10(x-52)]=2000. 整理，得 $$x ^ { 2 } - 1 1 0 x + 3 0 0 0 = 0 .$$ 解得 $$x _ { 1 } = 5 0 ， x _ { 2 } = 6 0 .$$ 当 $$x _ { 1 } = 5 0$$ 时，进货 180-10(x-52)=200 (个)，不符合题 意，舍去； 当 $$x _ { 2 } = 6 0$$ 时，进货 180-10(x-52)=100 (个)，符合题意. 答：当该商品每个定价为60元时，进货100个. 19.解：(1)设该种商品每次降价的百分率为 x% ，依 题意得 $$4 0 0 \left( 1 - x \% \right) ^ { 2 } = 3 2 4 ，$$ ，解得 x=10 或 x=190 (舍去).答： 该种商品每次降价的百分率为10%. (2)设第一次降价后售出该种商品 m 件，则第二次降 价后售出该种商品 (100-m) 件，第一次降价后的利润为 400×(1-10%)-300=60 (元/件)， 第二次降价后的利润为 324-300=24 (元/件). 依题意，得 60m+24(100-m)=36m+2400≥3210， ，解得 m≥22.5，∴m≥23. 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一 次降价后至少要售出该种商品23件. 20.解：(1)设 AB=xm， ，则 BC=(29+1-2x)m， ，根据 题意得 x(29+1-2x)=100， 整理得 $$x ^ { 2 } - 1 5 x + 5 0 = 0 ，$$ ，解得 $$x _ { 1 } = 5 ， x _ { 2 } = 1 0 .$$ 当 x=5时， 29+1-2x=29+1-2×5=20>19， ，不符合题意， 舍去； 当 x=10 时， 29+1-2x=29+1-2×10=10<19， ，符合题意. 答：花圃的一边AB 的长为10 m. 65 5 中考总复习·数学 (2)花圃的面积不能达到120m2.理由： 假设花圃的面积能达到120m2,设AB=ym,则BC= (29+1-2y）m. 根据题意，得y(29+1-2y)=120,整理得y2-15y+60=0. .4=(-15)2-4×1×60=-15<0,..原方程无实数根， ∴.假设不成立，即花圃的面积不能达到120m2. 5.一元一次不等式（组） 腿考点精梳 考点一不等式的基本性质 例1D【解析】a<b,a<b,A正确；a, ∴.-2a>-2b,B正确；.a<b,.a-5<b-1,C正确；.a<b, .a+8不一定大于b+1,D错误.故选D. 例2A【解析】取=分，则六子，士2宁分 4x <2,x<1,故选A. 例3A【解析】a>b,∴.atc>b+c,故选A. 考点二解一元一次不等式（组）】 例1B【解折】宁+>-2，移项得>-3，两边乘 以2得x>-6;-2x+1≤0，移项得-2x≤-1，两边除以-2 (不等号方向改变)得x≥}∴不等式组24-2， 的解 l-2x+1≤0 集是x≥号，故选B. 例2A【解析】解不等式-2x+5≥9，得x≤-2，解不 等式x+k>1,得x>1-k..原不等式组无解，.1-k≥-2，解 得k≤3，故选A. 例3C【解析】关于x的不等式x>a只有两个非正整 数解，则非正整数解是-1,0，则a的取值范围为-2≤K-1, 故选C. 考点三不等式（组）的应用 例1A【解析】设该商品打x折销售，根据题意得 1200.1x-80≥80×5%，解得x≥7，x的最小值为7，即该 商品至多可打七折，故选A. 例2C【解析】设小明答对x道题，则答错或不答 (20-x)道题.根据题意得10x-5(20-x)≥80，解得x≥12， x的最小值为12，.他至少要答对12道题，故选C. 例3解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率 为x,根据题意，得125(1-x)2=80,解得x1=0.2=20%,x2= 1.8(不符合题意，舍去)·答：乙种商品每件进价的年平 均下降率为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商 品.根据题意，得(125-25x2)y+80(100-y)≤7800，解得y≥ 40,y的最小值为40.答：最少购进40件甲种商品. ■优题精练 1.B2.B3.B4.B5.A6.A7.D8.D 9.C10.B 11.3912.a≤313.9614.115.x>49 16.解：)x≤1.(2)<5.(3)x3. 17.解： ,包①-②得y=<0,可得c6 将)=号代入①，得x=l+3a0,解得a<-3. 18.解：图象如图所示.(1)当×1时，y>-2.(2)当 1时，K-2.(3)当x=号时，0. 第18题答图 19.解：(1)设生产L型号的童装x套，那么生产M 型号的童装(80-x)套. ·.生产一套L型号的童装可以获利45元，生产一套M 型号的童装可以获利30元， :y=45x+30(80-x),即y=15x+2400.需甲种布料0.6x+ 1.1(80-x)≤70， 需乙种布料0.9x+0.4(80-x)≤52，.36≤x≤40. (2)总利润y=15x+2400,36≤x≤40，.当x=40时， y=3000最大， 即生产L型号的童装为40套时，所获总利润最大，最 大总利润是3000元. 20.解：(1)设购进每件A种纪念品需要x元，每件 B种纪念品需要y元， 依题查得8+3，=950解得=10。 5x+6y=800, y=50. 答：购进每件A种纪念品需要100元，每件B种纪念 品需要50元. (2)设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品 (100-m)件， 依题意得100+50C10-m)≥700，解得40≤m≤50 1100m+50(100-m)≤7500， 又.m为整数，且50-40+1=11，.该商店共有11种进 货方案. (3)设销售完这100件纪念品获得的总利润为w元， 则w=20m+30(100-m)=-10m+3000. -10<0,0随m的增大而减小，当m=40时，0取